CN106227918A - 基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法 - Google Patents

Abstract

基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，包括如下步骤：根据摆线轮的基本参数确定设计变量和目标函数；根据传统约束方法和本发明提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件；发挥粒子群优化算法的全局优化能力结合摆线轮修形的特点，构建摆线轮修形优化的粒子群优化算法模型；以修形后的齿廓能最大限度的逼近转角修形齿廓和保证尽量小的回差为优化目标，在传统约束的基础上进一步增加对齿顶隙和齿根隙的约束要求，从而得到最佳等距加移距的修形齿廓。进而提供一种计算周期短、计算精度高的基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，取得了良好的效果。

Description

基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法

技术领域

本发明涉及摆线轮的设计与制造领域技术领域，特别是涉及一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法。

背景技术

摆线针轮啮合副是行星摆线减速机的核心元件。在目前的生产实践中，摆线轮齿廓的修形普遍采用等距加移距的修形方法，而对于等距、移距修形量，依赖于工人的经验，需要反复试验验证。在理论上，在确定等距加移距修形量时，由于采用的方法不同，得出结果也不甚相同。文献[1]提出通过逼近转角修形摆线齿廓，得到等距加移距修形量，此种方法只是使两种齿形相似，而真正决定啮合质量的法向间隙却不等，达不到改善啮合性能的要求。文献[2]提出齿厚修形量，由于没有采用优化理论，结果精度低，达不到使用要求。文献[3]文献[4]给出了应用MATLAB优化工具箱寻找等距移距最佳修形量的修形方法，但是没有考虑摆线轮的啮合位置，因此，计算的修形量不能应用到实际的生产过程，亦不能认为是最佳。献[5]提出采用求超越方程来进行，但是求解超越方程时容易出现虚解、丢解现象，公法线的长度也是一个近似的数值。专利号为201410120389.3专利中介绍了一种根据油膜厚度要求和拐点位置来优化摆线轮齿廓修型量的方法，但是优化和约束的参数依然无法满足实际应用的需求。

目前，以数学规划的理论基础、以计算机为工具、寻求最佳设计结果的优化方法正在取代传统的经验设计方法。粒子群优化算法是一种基于群智能的随机优化算法。该算法具有收敛速度快、易实现并且仅用少数参数需要调整的有点，与其他优化算法一样，可以解决所几乎所有的优化问题。目前已经在目标函数优化、神经网络等领域取得广泛的应用。尝试用粒子群优化算法解决摆线针轮齿廓修形的多目标优化问题，更好的发挥粒子群优化算法的全局优化能力。

上述文献[1]至[5]具体为：

[1]王秋成.摆线轮齿形修整的优化[J].浙江工学院学报,1989,42(1):7-15.

[2]张兰义,秦维谦.摆线针轮啮合副齿形修正的初步探讨[J].吉林工业大学学报,1982,(4):94-106.

[3]焦文瑞，孔庆华，宋德朝等，摆线轮齿廓修形的优化设计[J].机械传动，2009,33(1)：41-43

[4]焦文瑞，孔庆华，宋德朝等，无系杆摆线针轮啮合副齿廓修形的设计[J].同济大学学报(自然科学版),2010,38(1)：108-112

[5]徐安平，戴天尾，曲玉霞等，摆线轮齿廓修形检测与公法线长度计算[J].河北工业大学学报,1997,26(4)：56-59

发明内容

本发明目的是：为提高摆线轮啮合质量，通过分析摆线轮修形的数学模型，提出一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法。以修形后的齿廓能最大限度的逼近转角修形齿廓和保证尽量小的回差为优化目标，在传统约束的基础上进一步增加对齿顶隙和齿根隙的约束要求，从而得到最佳等距加移距的修形齿廓。进而提供一种计算周期短、计算精度高的基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法。

本发明所采取的技术方案是：

一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，包括如下步骤：

步骤一、根据摆线轮的基本参数确定设计变量和目标函数；

步骤二、根据传统约束方法和本发明提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件；

步骤三、发挥粒子群优化算法的全局优化能力结合摆线轮修形的特点，构建摆线轮修形优化的粒子群优化算法模型；

作为优选方案，本发明还采用了如下技术方案：

所述步骤一具体为：

摆线轮未修形齿廓方程为F₀。在摆线轮修形过程中当给定一个转角修形量Δδ后，可以得到由转角修形量Δδ所对应的摆线轮齿廓方程F₁，通过计算易于加工的等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp的齿廓方程来拟合转角修形的齿廓方程F₂。

摆线轮未修形齿廓方程F₀为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c1}=\[r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \[(1-i^H)\mathrm{\θ}\]+(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\sin \left(i^H\mathrm{\θ}\right)\\ y_{c1}=\[r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \[(1-i^H)\mathrm{\θ}\]-(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\cos \left(i^H\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮的加入转角修形Δδ之后的数学方程F₁为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c2}=\[r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \[(1-i^H)\mathrm{\θ}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\]+\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\sin (i^H\mathrm{\θ}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})\\ y_{c2}=\[r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \[(1-i^H)\mathrm{\θ}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\]-\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\cos (i^H\mathrm{\θ}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮引入等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp之后的数学方程F₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c3}=\[r_p-{\mathrm{\Δr}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\Δr}}_{rp})S_2\]\sin \[(1-i^H)\mathrm{\θ}\]+\frac{a}{r_p-{\mathrm{\Δr}}_p}\[r_p-{\mathrm{\Δr}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\Δr}}_{rp})S_2\]\sin \left(i^H\mathrm{\θ}\right)\\ y_{c3}=\[r_p-{\mathrm{\Δr}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\Δr}}_{rp})S_2\]\cos \[(1-i^H)\mathrm{\θ}\]-\frac{a}{r_p-{\mathrm{\Δr}}_p}\[r_p-{\mathrm{\Δr}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\Δr}}_{rp})S_2\]\cos \left(i^H\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.$

其中S₂＝(1+k₂ ²-2k₂cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₂＝az_p/(r_p-Δr_p)

方程F₀、F₁、F₂中除了参数等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp是需要优化的位置参数以外其他参数都是给定的，因此设计变量可以表示为：

X＝{Δr_p,Δr_rp}^T

摆线轮修形既要保证修形齿形的工作部分最大程度逼近转角修形齿形，又要保证尽量小的回差，因此数学模型中存在两个目标函数。

等距加移距组合修形的齿形工作部分最大程度逼近转角修形的齿形。根据侧隙要求得转角修形量Δδ，根据同时啮合传力齿数，初定与转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分的两界限点的相位角并在此区间将分为m-1等分，由此根据方程F₁求得转角修形齿形坐标(x_ci,y_ci)(i＝1,2,3···m)。同时令式方程F₂表示的等距加移距修形齿形坐标(x'_ci,y'_ci)中的y'_ci＝y_ci，求得等距加移距修形的相位角从而得到x′_ci，为则转角修形齿形与等距加移距修形齿形之间的偏差为目标函数1可表示为：

${\mathrm{min\Γ}}_1({\mathrm{\Δr}}_p,{\mathrm{\Δr}}_{rp})=min\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}|x_{ci}^{\′}-x_{ci}|$

等距"移距修形引起的回差为目标函数2：

${\mathrm{min\Γ}}_2({\mathrm{\Δr}}_p,{\mathrm{\Δr}}_{rp})=min\left(\frac{2{\mathrm{\Δr}}_{rp}}{{\mathrm{az}}_c}\frac{2{\mathrm{\Δr}}_p}{{\mathrm{az}}_c}\sqrt{1-{k_2}^2}\right)\left(rad\right)$

所述步骤二具体为：

根据传统约束方法和本发明提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件如下：

为了保证一定的法向间隙：

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1={\mathrm{\Δr}}_p+{\mathrm{\Δr}}_{rp}\≥0\\ g_2={\mathrm{\Δr}}_{rp}\≥0\\ g_3={\mathrm{\Δr}}_p\≤0\end{array}\right.$

本发明引入修形齿廓对于齿顶隙和齿根隙的要求，为了满足一定的润滑和啮合条件规定齿顶隙0＜Δa≤Δa_max，齿根隙需要满足0＜Δr≤Δr_max。

所述步骤三具体为：

由于粒子群算法不能直接用于多目标的优化，故此处引入评价函数法，其基本思想是借助几何或应用中的直观背景，构建所谓的评价函数比方加权求和，从而将多目标问题转化为单目标问题，然后利用单目标问题求出最优解。此处采用比值的方法来代替加权处理。将两个目标优化函数相乘为Γ₁×Γ₂，然后将约束条件改为g_i≤0的形式，设计如下的适应度评价函数：

$F({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Gamma;}}_1\&times;{\mathrm{\&Gamma;}}_2& g_i\&le;0(i=1,2,3,4,5)\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{\max }+\underset{i=1}{\overset{5}{\&Sigma;}}<g_i>& otherwise\end{array}\right.$

其中g_i为约束条件；＜g_i＞表示当g_i＞0时取g_i的值，否则取0；Γ_max表示群体中最差的可行个体的适应度值，如果群体中没有可行个体时即为预设的最大值，对不可行解的度量通过实现，即进化群体中不可行个体在的选择压力下逐渐向可行域靠近，当进入可行域之后又会在Γ₁×Γ₂的作用下逐渐接近最优解。

评价函数确定以后就可以按照典型的粒子群算法求解，在此不再赘述。

本发明具有的优点和积极效果是：

本发明通过分析摆线轮修形的数学方程和粒子群算法提出了一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法；以修形后的齿廓能最大限度的逼近转角修形齿廓和保证尽量小的回差为优化目标，在传统约束的基础上进一步增加对齿顶隙和齿根隙的约束要求，从而得到最佳等距加移距的修形齿廓。进而提供一种计算周期短、计算精度高的基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，取得了良好的效果。

附图说明

图1齿廓曲线及最大齿顶隙和齿根隙；

具体实施方式

为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹例举以下实施例，并配合附图详细说明如下：

请参阅图1，一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，包括如下步骤：

步骤一根据摆线轮的基本参数确定设计变量和目标函数：

摆线轮未修形齿廓方程为F₀。在摆线轮修形过程中当给定一个转角修形量Δδ后，可以得到由转角修形量Δδ所对应的摆线轮齿廓方程F₁，通过计算易于加工的等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp的齿廓方程来拟合转角修形的齿廓方程F₂。

摆线轮未修形齿廓方程F₀为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c1}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\sin \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\\ y_{c1}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\cos \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮的加入转角修形Δδ之后的数学方程F₁为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c2}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;}\&rsqb;+\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\sin (i^H\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;})\\ y_{c2}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;}\&rsqb;-\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\cos (i^H\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮引入等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp之后的数学方程F₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c3}=\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\frac{a}{r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p}\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\sin \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\\ y_{c3}=\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-\frac{a}{r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p}\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\cos \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中S₂＝(1+k₂ ²-2k₂cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₂＝az_p/(r_p-Δr_p)

方程F₀、F₁、F₂中除了参数等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp是需要优化的位置参数以外其他参数都是给定的，因此设计变量可以表示为：

X＝{Δr_p,Δr_rp}^T

摆线轮修形既要保证修形齿形的工作部分最大程度逼近转角修形齿形，又要保证尽量小的回差，因此数学模型中存在两个目标函数。

等距加移距组合修形的齿形工作部分最大程度逼近转角修形的齿形。根据侧隙要求得转角修形量Δδ，根据同时啮合传力齿数，初定与转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分的两界限点的相位角并在此区间将分为m-1等分，由此根据方程F₁求得转角修形齿形坐标(x_ci,y_ci)(i＝1,2,3···m)。同时令式方程F₂表示的等距加移距修形齿形坐标(x'_ci,y'_ci)中的y'_ci＝y_ci，求得等距加移距修形的相位角从而得到x′_ci，为则转角修形齿形与等距加移距修形齿形之间的偏差为目标函数1可表示为：

${\mathrm{min\&Gamma;}}_1({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=min\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}|x_{ci}^{\&prime;}-x_{ci}|$

等距"移距修形引起的回差为目标函数2：

${\mathrm{min\&Gamma;}}_2({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=min\left(\frac{2{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}}{{\mathrm{az}}_c}\frac{2{\mathrm{\&Delta;r}}_p}{{\mathrm{az}}_c}\sqrt{1-{k_2}^2}\right)\left(rad\right)$

步骤二根据传统约束方法和本发明提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件：

根据传统约束方法和本发明提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件如下：

为了保证一定的法向间隙：

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1={\mathrm{\&Delta;r}}_p+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}\&GreaterEqual;0\\ g_2={\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}\&GreaterEqual;0\\ g_3={\mathrm{\&Delta;r}}_p\&le;0\end{array}\right.$

本发明引入修形齿廓对于齿顶隙和齿根隙的要求，为了满足一定的润滑和啮合条件规定齿顶隙0＜Δa≤Δa_max，齿根隙需要满足0＜Δr≤Δr_max。

步骤三、发挥粒子群优化算法的全局优化能力结合摆线轮修形的特点，构建摆线轮修形优化的粒子群优化算法模型：

由于粒子群算法不能直接用于多目标的优化，故此处引入评价函数法，其基本思想是借助几何或应用中的直观背景，构建所谓的评价函数比方加权求和，从而将多目标问题转化为单目标问题，然后利用单目标问题求出最优解。此处采用比值的方法来代替加权处理。将两个目标优化函数相乘为Γ₁×Γ₂，然后将约束条件改为g_i≤0的形式，设计如下的适应度评价函数：

$F({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Gamma;}}_1\&times;{\mathrm{\&Gamma;}}_2& g_i\&le;0(i=1,2,3,4,5)\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{\max }+\underset{i=1}{\overset{5}{\&Sigma;}}<g_i>& otherwise\end{array}\right.$

其中g_i为约束条件；＜g_i＞表示当g_i＞0时取g_i的值，否则取0；Γ_max表示群体中最差的可行个体的适应度值，如果群体中没有可行个体时即为预设的最大值，对不可行解的度量通过实现，即进化群体中不可行个体在的选择压力下逐渐向可行域靠近，当进入可行域之后又会在Γ₁×Γ₂的作用下逐渐接近最优解。评价函数确定以后就可以按照典型的粒子群算法求解，在此不再赘述。

本发明具有的优点和积极效果是：

本发明通过分析摆线轮修形的数学方程和粒子群算法提出了一种基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法；以修形后的齿廓能最大限度的逼近转角修形齿廓和保证尽量小的回差为优化目标，在传统约束的基础上进一步增加对齿顶隙和齿根隙的约束要求，从而得到最佳等距加移距的修形齿廓。进而提供一种计算周期短、计算精度高的基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，取得了良好的效果。

Claims (1)

1.基于粒子群算法的摆线针轮齿廓修型量优化方法，其特征在于：

该优化方法包括如下步骤，

步骤一、根据摆线轮的基本参数确定设计变量和目标函数；

步骤二、根据传统约束方法和本方法提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件；

步骤三、发挥粒子群优化算法的全局优化能力结合摆线轮修形的特点，构建摆线轮修形优化的粒子群优化算法模型；

作为优选方案，本方法还采用了如下技术方案：

所述步骤一具体为：

摆线轮未修形齿廓方程为F₀；在摆线轮修形过程中当给定一个转角修形量Δδ后，可以得到由转角修形量Δδ所对应的摆线轮齿廓方程F₁，通过计算易于加工的等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp的齿廓方程来拟合转角修形的齿廓方程F₂；

摆线轮未修形齿廓方程F₀为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c1}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\sin \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\\ y_{c1}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-(a-k_1{r}_{rp}{S}_1)\cos \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮的加入转角修形Δδ之后的数学方程F₁为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c2}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;}\&rsqb;+\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\sin (i^H\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;})\\ y_{c2}=\&lsqb;r_p-r_{rp}{S}_1)\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;}\&rsqb;-\frac{a}{r_p}(r_p-z_p{r}_{rp}{S}_1)\cos (i^H\mathrm{\&theta;}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.$

其中S₁＝(1+k₁ ²-2k₁cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₁＝az_p/r_p

摆线轮引入等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp之后的数学方程F₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c3}=\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\sin \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\frac{a}{r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p}\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\sin \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\\ y_{c3}=\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\cos \&lsqb;(1-i^H)\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-\frac{a}{r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p}\&lsqb;r_p-{\mathrm{\&Delta;r}}_p-z_p(r_{rp}+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})S_2\&rsqb;\cos \left(i^H\mathrm{\&theta;}\right)\end{array}\right.$

其中S₂＝(1+k₂ ²-2k₂cosθ)^-0.5，θ∈(0,π)，k₂＝az_p/(r_p-Δr_p)

方程F₀、F₁、F₂中除了参数等距修形量Δr_p和移距修形量Δr_rp是需要优化的位置参数以外其他参数都是给定的，因此设计变量可以表示为：

X＝{Δr_p,Δr_rp}^T

摆线轮修形既要保证修形齿形的工作部分最大程度逼近转角修形齿形，又要保证尽量小的回差，因此数学模型中存在两个目标函数；

等距加移距组合修形的齿形工作部分最大程度逼近转角修形的齿形；根据侧隙要求得转角修形量Δδ，根据同时啮合传力齿数，初定与转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分的两界限点的相位角并在此区间将分为m-1等分，由此根据方程F₁求得转角修形齿形坐标(x_ci,y_ci)(i＝1,2,3···m)；同时令式方程F2表示的等距加移距修形齿形坐标(x'_ci,y'_ci)中的y'_ci＝y_ci，求得等距加移距修形的相位角从而得到x'_ci，为则转角修形齿形与等距加移距修形齿形之间的偏差为目标函数1可表示为：

${\mathrm{min\&Gamma;}}_1({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=min\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}|x_{ci}^{\&prime;}-x_{ci}|$

等距"移距修形引起的回差为目标函数2：

${\mathrm{min\&Gamma;}}_2({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=min(\frac{2{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}}{{\mathrm{az}}_c}-\frac{2{\mathrm{\&Delta;r}}_p}{{\mathrm{az}}_c}\sqrt{1-{k_2}^2})\left(rad\right)$

所述步骤二具体为：

根据传统约束方法和本方法提出的对修形后的摆线轮齿顶隙和齿根隙的约束要求，重新确定约束条件如下：

为了保证一定的法向间隙：

$\left\{\begin{array}{c}{g}_1={\mathrm{\&Delta;r}}_p+{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}\&GreaterEqual;0\\ g_2={\mathrm{\&Delta;r}}_{rp}\&GreaterEqual;0\\ g_3={\mathrm{\&Delta;r}}_p\&le;0\end{array}\right.$

本方法引入修形齿廓对于齿顶隙和齿根隙的要求，为了满足一定的润滑和啮合条件规定齿顶隙0＜Δa≤Δa_max，齿根隙需要满足0＜Δr≤Δr_max；

所述步骤三具体为：

由于粒子群算法不能直接用于多目标的优化，故此处引入评价函数法，其基本思想是借助几何或应用中的直观背景，构建所谓的评价函数比方加权求和，从而将多目标问题转化为单目标问题，然后利用单目标问题求出最优解；此处采用比值的方法来代替加权处理；将两个目标优化函数相乘为Γ₁×Γ₂，然后将约束条件改为g_i≤0的形式，设计如下的适应度评价函数：

$F({\mathrm{\&Delta;r}}_p,{\mathrm{\&Delta;r}}_{rp})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Gamma;}}_1\&times;{\mathrm{\&Gamma;}}_2& g_i\&le;0(i=1,2,3,4,5)\\ {\mathrm{\&Gamma;}}_{\max }+\underset{i=1}{\overset{5}{\&Sigma;}}<g_i>& otherwise\end{array}\right.$

其中g_i为约束条件；＜g_i＞表示当g_i＞0时取g_i的值，否则取0；Γ_max表示群体中最差的可行个体的适应度值，如果群体中没有可行个体时即为预设的最大值，对不可行解的度量通过实现，即进化群体中不可行个体在的选择压力下逐渐向可行域靠近，当进入可行域之后又会在Γ₁×Γ₂的作用下逐渐接近最优解；

评价函数确定以后就可以按照典型的粒子群算法求解，在此不再赘述。