CN106979315A - 一种基于多项式变异粒子群优化的齿轮根切量计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于机械设计技术领域，涉及一种基于多项式变异粒子群优化的齿轮根切量计算方法。具体方法是：(1)根据设计要求，确定传动齿轮的基本设计参数；(2)建立齿轮轮廓的数学模型，并给出渐开线齿面和齿根过渡曲线的参数方程；(3)建立齿轮根切点位置的计算模型；(4)采用多项式变异粒子群优化方法求解根切点位置计算模型，并进一步得到齿轮根切量。相比已有的根切量计算方法，本发明给出的一种齿轮根切量计算方法，可同时确定根切量及根切点的位置并可根据设计要求灵活调整计算精度，其为齿轮对的设计及其传动性能改善研究提供了一个新的思路。

Description

一种基于多项式变异粒子群优化的齿轮根切量计算方法

技术领域

本发明属于机械结构设计技术领域，具体涉及一种基于多项式变异粒子群优化的齿轮根切量计算方法。

背景技术

在某型动力伺服刀塔的传动系统设计中，通过合理调整系统中传动齿轮的变位系数和根切量，能够显著改善齿轮啮合对的传动性能，进而降低换刀过程中刀盘的残余振动。因而准确建立根切量和根切点位置与齿轮设计参数的对应关系，并计算变位齿轮的根切量，便成为动力刀塔传动系统设计研究中的重要问题。

齿轮根切量及根切点位置的确定方式，主要有间接法和直接法。间接方法是先计算根切量，再根据参数方程确定根切点位置。间接方法计算量较小，但涉及变量较多，求解精度不易控制。直接方法是计算参数曲线的交点得到根切点的位置坐标，进而计算根切量。直接方法计算量较大，便于模块化计算，容易控制求解精度。

这里齿轮根切量的常用计算方法，以便于与本发明给出的计算方法作比较。齿轮的根切量h_u是齿轮齿廓根切点到基圆的径向距离。由图2所示的几何关系，A.Schiebel给出了关于θ和的方程，其中M是根切点。

如图2所示，根切点的初始切入量u是

u＝h_s-r_btanαsinα

其中刀具直线切削刃齿顶高这里一般有变位系数χ＜0。m是模数，是齿顶高系数，r_b是基圆半径，α是分度圆压力角，λ是中间变量。

求解式(1)中的方程可得到但式(1)中的超越方程求解困难。文献“叶松林.渐开线齿廓根切点位置的精确计算[J].仪表技术与传感器,1988(03):22–24.”给出了一种处理方法，由式(1)得

于是将式(1)的方程转化为关于θ的一元非线性方程

(θtanα-η)cosθ+(θ-tanα)sinθ+η＝0 (2)

其中常数求解得到θ^*，进而得到

于是计算齿轮的根切量h_u是

文献“Aida T.齿轮的设计和制造第一卷圆柱齿轮的设计[M].北京:中国农业机械出版社,1983.”还给出了h_u的近似计算公式

其中λ由式(1)确定。

由h_u可得根切点到基圆圆心距离r_M和根切点的压力角α_M

r_M＝h_u+r_b，α_M＝arccos(r_b/r_M). (4)

于是由式(6)得到根切点M的位置坐标。

叶松林方法(式(2))和Aida公式(式(3))是传统的齿轮根切量计算方法，其仅能确定齿轮根切量的值，并不能给出根切点的位置坐标，这显然无法满足动力刀塔传动齿轮设计中需要精确分析根切情况的需求。

发明内容

本发明的目的在于提供一种精确分析关键齿轮的根切情况的计算方法，以提升动力刀塔中关键齿轮对的传动性能。本发明提出一种基于多项式粒子群优化的齿轮根切量的计算方法，直接计算齿轮根切量及根切点位置，为实现上述目的，本发明的具体技术方案包括如下步骤：

第1步，建立根切点位置的计算模型

1.1根据设计要求，确定关键齿轮的基本设计参数；

1.2建立齿轮轮廓的数学模型，并给出齿面渐开线和齿根过渡曲线的参数方程；

1.3由步骤(1.2)的基础上，建立齿轮根切点位置的计算模型；

第2步，多项式变异粒子群优化方法求解计算模型。

采用多项式粒子群优化算法求解根切点位置的计算模型，并进一步得到齿轮根切量；

本发明的进一步改进在于，所述的步骤(1.2)中，建立齿轮轮廓的数学模型并给出齿面渐开线和齿根过渡曲线的参数方程的具体实现过程如下：

如图3所示，以齿轮圆心为原点o，齿轮轮齿中心线为y轴建立直角坐标系xoy。齿廓包含4段曲线：齿根圆弧曲线AB，齿根过渡曲线BM，齿面渐开线MD和齿顶圆弧曲线DE。齿根过渡曲线与齿面渐开线的交点是根切点，并记作M。M点是齿根过渡曲线与齿面渐开线的过渡点。当齿根过渡曲线与齿面渐开线相交于M点时，范成产生的渐开线齿面的一部分被刀具切去，产生根切现象。当齿根过渡曲线与齿面渐开线相切时，M是切点，而且无根切。M点又可称为过渡点。

图3中齿根过渡曲线和齿面渐开线的参数方程如下。关于参数α′的齿根过渡曲线的参数方程是

x₁和y₁是齿根过渡曲线上点的坐标，是中间变量并与α′相关。齿根过渡曲线参数的取值范围是其中α′_min过渡曲线参数α′的最小值。若齿轮不存在根切，齿根过渡曲线与齿面渐开线相切于点M，则此时有齿轮存在根切时，α′_min小于α。a₁，r₀和r均是常数，其计算公式是

a₁＝a-χm

其中a和b是中间常数。

关于参数α_k的齿面渐开线的参数方程是

其中x₂和y₂是齿面渐开线上点的坐标。齿面渐开线参数的取值范围是α_k∈[α_M，α_a]。α_M是根切点M处的齿面渐开线压力角，α_a是齿顶圆压力角。

其中δ、r_b是常数，中间变量γ＝tanα_k。

本发明的进一步改进在于，所述的步骤(1.3)中，由步骤(1.2)的基础上，建立齿轮根切点位置的计算模型的具体实现过程如下：

如图3所示，M点是过渡曲线与齿面渐开线的交点。计算根切点M位置的问题可以转化为求齿根过渡曲线与齿面渐开线上最小距离点的问题，这是一个典型的连续型变量的数学优化问题，这里采用PMOPSO算法求解。建立确定根切点M位置的数学模型是

其中f(α′，α_k)＝[x₁(α′)-x₂(αk)]²+[y₁(α′)-y₂(αk)]²。x₁(α′)和y₁(α′)由式(5)确定；x₂(αk)和y₂(αk)由式(6)确定。式(7)中优化模型的理论解满足目标函数即两条曲线上的最小距离点是相交点。式(7)的求解精度可根据设计要求灵活调整。在得到根切点M的坐标(x_M，y_M)后，可确定齿轮的根切量h_u。

以下讨论式(7)中优化模型的解的数量与根切点位置的关系。定义根切临界齿数是是

基圆临界齿数是

一般地，对于和c^*＝0.25可以得到和变位系数χ的函数关系，如图4所示，其中满足如图5所示，根切量h_u是根切点M到基圆的距离。根据齿轮齿数和临界齿数的关系，可以分三种情况讨论。

当时，有r_b＞r_f。如图5a所示，过渡曲线与齿面渐开线只有一个交点，存在根切。此时式(7)存在唯一解，过渡点M是根切点。

当时，有r_b＞r_f。如图5b所示，过渡曲线与齿面渐开线相切，无根切。过渡点M是切点，其对应的过渡曲线参数是α′_M＝α。

当时，有r_b＜r_f。如图5c所示，过渡曲线与齿面渐开线相切，无根切。过渡点M是切点，其对应的过渡曲线参数是α′_M＝α。式(7)中，若则存在根切点，且存在唯一解；若则不存在根切，过渡点M是切点，且有α′_M＝α。

综上所述，齿根过渡曲线与齿面渐开线交点位置与齿轮齿数的具有相关性。当齿数小于根切临界齿数时，式(7)的解是唯一的，过渡曲线与齿面渐开线有唯一交点；否则，两曲线相切，且切点处的压力角等于齿轮分度圆压力角。因而，式(7)中的优化模型总是存在唯一解，这给问题的求解提供了很大的便利。

本发明的进一步改进在于，所述的步骤(2.1)中，多项式变异粒子群优化的具体实现过程如下：

多项式变异粒子群优化(PMOPSO)方法的基本思想是，在粒子群演化过程中，利用多项式变异算法对当前粒子进行扰动，并以一定的概率接受劣化解。随着时间的推移，劣化解的接受概率逐渐趋于零，PMOPSO算法也逐渐收敛于最优解。在搜索后期，多项式变异算子产生的新点逐渐逼近当前点，因而可提升PMOPSO算法的局部搜索精度。PMOPSO算法是对标准粒子群优化方法的改进，适用于含有复杂非线性约束的连续型变量的数学优化问题。

含有固定边界约束的多项式变异算子已知当前点p和变异新点x满足x，p∈[x_l，x_u]，则定义扰动因子

于是得到扰动因子δ的计算公式是

其中，随机数u～U(0，1)，v＝0.5(1-β)^η+1，常数β的计算公式是分布常数是一般取η_max∈[30.0，50.0]。于是得到变异新点x的计算公式是x＝p+δ(x_u-x_l)。图6是含有固定边界的多项式变异算子产生变异新点相对于当前点的概率密度函数，图中给出了样本量为10⁴的多项式变异算子在各区间的样本频率，其中f(x)是概率密度函数。

粒子群优化算法设计中，这里采用带有惯性权重ω_t和收缩因子χ₀的粒子群进化方程

其中，惯性权重采用线性递减的计算公式

其中t是进化时间，ω_t是t时刻惯性权重的值。ω_min和ω_max是惯性权重的取值范围，t_max是进化时间的最大值。

PMOPSO方法中的算法参数和种群拓扑结构对优化设计问题的求解精度和计算复杂度的影响很大。在满足计算精度要求的条件下，尽量降低种群规模和最大进化次数，以降低计算复杂度。这里采用环形(Ring)邻域拓扑结构，个体的邻域半径约为种群规模的1/5。

附图说明

图1动力刀塔换刀模块的齿轮传动系统

图2根切量的计算公式和齿条型刀具直线切削刃

图3渐开线齿廓几何模型

图4临界齿数z^*与变位系数χ的关系

图5过渡曲线与齿面渐开线的交点位置讨论

图6多项式变异算子的概率密度函数曲线

图7 PMOPSO算法中种群的演化过程

图8根切点位置与变位系数的关系

图9不同计算方法的根切量变化曲线对比

图10根切量的变化规律

具体实施方式

如图1所示，结合某型动力伺服刀塔的传动系统设计实施实例，以动力伺服刀塔传动系统中的某关键齿轮为研究对象，进一步详细说明本发明中的齿轮根切量的计算方法。该基本设计参数和PMOPSO算法参数如表表1所示，其中给出了多个模数备选值和变位系数的取值范围。为了提高算法的计算效率，PMOPSO算法采用了较小的种群规模。如图8所示，根切点位置与齿面渐开线的起始位置较为接近，选取计算初值时可以认为根切点与齿面渐开线的起始位置重合。

表1齿轮设计参数和PMOPSO算法参数表

图7(a)是粒子种群中最佳个体在解空间中的运动轨迹。图图7(b)是粒子种群中最佳个体所对应的目标函数值的演化曲线。在搜索初期，种群最佳个体与理论最优解的距离较远，种群中个体的目标函数值较大。随着搜索的推进，最佳个体的运动轨迹迅速逼近理论最优解，种群中个体的目标函数值迅速下降，种群整体性能逐步提升。当时间t＞20时，种群中最佳个体对应的目标函数值已逐渐收敛于零，种群演化接近尾声时，种群性能也已逐渐稳定。

图8是m＝3.0时，不同的变位系数时，齿面渐开线轮廓与根切点位置的演化情况。当χ＝-0.5时，齿根过渡曲线已深入齿廓内部，齿面渐开线长度缩短，齿根过渡曲线逐渐伸长。相比于χ＝0.0的情形，根切点的位置略有升高，根切量增大。同时，齿廓顶部的厚度增加。这里可以根据设计要求很灵活地调整根切点位置的计算精度。

如图9所示，分别采用叶松林方法、Aida公式和本发明提出的方法计算齿轮的根切量，得到根切量h_u随变位系数χ的变化曲线。图9中，χ＝0点附近，齿轮的根切量较小，不同方法的根切量计算结果一致性最佳；在χ＝-0.5点附近，根切量较大，不同方法的计算值存在微小差异，其中本发明方法得到的值略高于其他方法。Aida公式是一个近似计算公式，当变位量增大时，根切量的计算精度有所下降。相比之下叶松林方法和本发明方法的计算结果一致性较好，稳定性较高。

图10是在模数m和变位系数χ取不同的值时，采用本发明提出的方法得到的根切量变化曲线。模数m一定时，根切量h_u与变位系数χ的变化关系接近于线性。随着变位系数χ的增大，根切量h_u逐渐减小。变位系数χ一定时，随着模数m的增大，根切量h_u逐渐增大。变位系数χ值较小时，模数m的变化对根切量h_u的影响较大。

相比于传统的根切量计算方法，本发明的方法不仅可以准确计算齿轮根切量及根切点的位置，而且可以根据设计要求灵活调整计算精度。

Claims (2)

1.一种基于多项式粒子群优化的齿轮根切量的计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

第一步，建立根切点位置的计算模型

1.1根据设计要求，确定关键齿轮的基本设计参数；

1.2建立齿轮轮廓的数学模型，并给出齿根过渡曲线和齿面渐开线的参数方程；

齿根过渡曲线参数α′的求解方程是

x₁和y₁是齿根过渡曲线上点的坐标，是中间变量并与α′相关；齿根过渡曲线参数的取值范围是其中α′_min过渡曲线参数α′的最小值；若齿轮不存在根切，齿根过渡曲线与齿面渐开线相切于点M，则此时有齿轮存在根切时，α′_min小于α；a₁，r₀和r均是常数，其计算公式是

$r_0=\frac{{\mathrm{mc}}^{*}}{1-\sin \mathrm{\α}}$

$a=m(h_a^{*}+c^{*})-r_0$

$b=\frac{\mathrm{\π}m}{4}+{\mathrm{mh}}_a^{*}tan\mathrm{\α}+r_{0}cos\mathrm{\α}$

a₁＝a-χm

其中a和b是中间常数；

齿面渐开线参数α_k的求解方程是

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=r_b\[\sin (\mathrm{\γ}-\mathrm{\δ})-\mathrm{\γ}cos(\mathrm{\γ}-\mathrm{\δ})\]\\ y_2=r_b\[cos(\mathrm{\γ}-\mathrm{\δ})+\mathrm{\γ}\sin (\mathrm{\γ}-\mathrm{\δ})\]\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中x₂和y₂是齿面渐开线上点的坐标；齿面渐开线参数的取值范围是α_k∈[α_M，α_a]；α_M是根切点M处的齿面渐开线压力角，α_a是齿顶圆压力角；

${\mathrm{\α}}_a=arccos\[\frac{r_b}{r+(h_a^{*}+\mathrm{\χ})m}\]$

$\mathrm{\δ}=\frac{\mathrm{\π}}{2z}+\frac{2\mathrm{\χ}tan\mathrm{\α}}{z}+tan\mathrm{\α}-\mathrm{\α}$

其中δ、r_b是常数，中间变量γ＝tanα_k；

1.3建立齿轮根切点位置的计算模型；

采用PMOPSO算法求解；建立确定根切点M位置的数学模型；

$\begin{array}{c}minf({\mathrm{\α}}^{\′},{\mathrm{\α}}_k)\\ s.t.{\mathrm{\α}}^{\′}\∈(0,\frac{\mathrm{\π}}{2}),{\mathrm{\α}}_k\∈\[0,{\mathrm{\α}}_a\].\end{array}---\left(7\right)$

其中f(α′，α_k)＝[x₁(α′)-x₂(α_k)]²+[y₁(α′)-y₂(α_k)]²；x₁(α′)和y₁(α′)由式(5)确定；x₂(α_k)和y₂(α_k)由式(6)确定；式(7)中优化模型的理论解满足目标函数即两条曲线上的最小距离点是相交点；在得到根切点M的坐标(x_M，y_M)后，确定齿轮的根切量h_u；

$h_u=r_M-r_b=\sqrt{x_M^2+y_M^2}-r_b$

定义根切临界齿数是是

$z_0^{*}=\frac{2(1-\mathrm{\χ})}{{\sin }^2\mathrm{\α}}$

基圆临界齿数是

$z_1^{*}=\frac{2(h_a^{*}+c^{*}-\mathrm{\χ})}{1-cos\mathrm{\α}}.$

对于和c^*＝0.25得到和变位系数χ的函数关系，其中满足根切量h_u是根切点M到基圆的距离；根据齿轮齿数和临界齿数的关系，可以分三种情况讨论；

当时，有r_b＞r_f；过渡曲线与齿面渐开线只有一个交点，存在根切；此时式(7)存在唯一解，过渡点M是根切点；

当时，有r_b＞r_f；过渡曲线与齿面渐开线相切，无根切；过渡点M是切点，其对应的过渡曲线参数是α′_M＝α；

当时，有r_b＜r_f；过渡曲线与齿面渐开线相切，无根切；

第二步，多项式变异粒子群优化方法求解计算模型；

采用多项式粒子群优化算法求解根切点位置的计算模型，得到齿轮根切量。

2.根据权利要求1所述的一种基于多项式粒子群优化的齿轮根切量的计算方法，其特征在于，所述的第二步中，多项式变异粒子群优化的具体实现过程如下：

含有固定边界约束的多项式变异算子已知当前点p和变异新点x满足x，p∈[x_l，x_u]，定义扰动因子

$\mathrm{\δ}=\frac{x-p}{x_u-x_l}$

得到扰动因子δ的计算公式是

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\δ}}=\left\{\begin{array}{c}{\[2u(1-2v)+2v\]}^{1/(\mathrm{\η}+1)}-1,u\∈\[0,0.5\],\\ 1-{\[2u(2v-1)+2(1-v)\]}^{1/(\mathrm{\η}+1)},u\∈(0.5,1\].\end{array}\right.$

其中，随机数u～U(0，1)，v＝0.5(1-β)^η+1，常数β的计算公式是分布常数是取η_max∈[30.0，50.0]；

得到变异新点x的计算公式是x＝p+δ(x_u-x_l)；

采用带有惯性权重ω_t和收缩因子χ₀的粒子群进化方程

$\left\{\begin{array}{c}{v}_j^t={\mathrm{\ω}}_t\·v_j^t+c_1{r}_1(p_j-x_j^t)+c_2{r}_2(N_j-x_j^t),\\ v_j^{t+1}={\mathrm{\χ}}_0\×v_j^t,\\ x_j^{t+1}=x_j^t+v_j^{t+1}.\end{array}\right.$

其中，惯性权重采用线性递减的计算公式

${\mathrm{\ω}}_t={\mathrm{\ω}}_{max}-({\mathrm{\ω}}_{max}-{\mathrm{\ω}}_{min})\×\frac{t}{t_{\max }}$

其中t是进化时间，ω_t是t时刻惯性权重的值；ω_min和ω_max是惯性权重的取值范围，t_max是进化时间的最大值。