CN104455309A - 一种圆弧端齿的齿根过渡结构及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种圆弧端齿的齿根过渡结构及其设计方法，其中圆弧端齿基本齿廓中齿底与压力承载面之间的过渡采用直线圆弧多段组合过渡形式，包括两段半径大小不同的圆弧和一直线段，其中较大半径圆弧与齿底相切连接，主要承载齿根部分的高应力区域，可以减缓齿根部分的应力集中，直线段作为压力承载面的延长部分，较小半径圆弧连接较大半径圆弧和直线段，并与两者均相切；在不改变圆弧端齿其他结构的前提下，仅将传统过渡圆弧替换成本发明的过渡结构，即可缓解圆弧端齿齿根的应力集中状况，减轻圆弧端齿的结构重量，同时也可以使得过渡圆弧与压力承载面的切点位置进一步向齿底方向移动，压力承载面的直线段部分可进一步加长，降低接触面平均挤压应力。

Description

一种圆弧端齿的齿根过渡结构及其设计方法

技术领域：

本发明涉及一种圆弧端齿结构及其设计方法，尤其涉及一种圆弧端齿的齿根过渡结构及其设计方法。

背景技术：

圆弧端齿是端齿盘的一种特殊结构形式，是一种具有自动定心功能的精密分度定位元件，同时也是机床分度设备和重载设备传动装置的关键部件。由于圆弧端齿连接结构具有安装、拆卸方便，结构紧凑，互换性好等优点，所以广泛的应用于飞机、轮船、火车等大功率设备的动力装置连接和传动装置上面，这些各种广泛使用的高应力结构，要求圆弧端齿具有较长的使用寿命。然而传统的圆弧端齿齿根过渡圆弧处存在严重的应力集中现象，严重的影响了圆弧端齿的使用寿命。

针对以上技术不足，对圆弧端齿结构的齿根过渡结构进行改进，以缓解齿根应力集中现象，提高端齿盘结构的使用寿命。

发明内容：

本发明的目的是提供一种圆弧端齿的齿根过渡结构及其设计方法，缓解圆弧端齿根部的应力集中状况，从而提高其使用寿命。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种圆弧端齿的齿根过渡结构，所述圆弧端齿包括相互啮合的凸齿件和凹齿件，所述凸齿件和凹齿件均包括有端齿、端齿槽以及压力承载面，所述端齿基本齿条的法向轮廓构成圆弧端齿的基本齿廓，所述凸齿件的端齿槽和凹齿件的端齿在轴向预紧力的作用下相互压紧于压力承载面，所述端齿槽包括齿底，所述齿根过渡结构位于端齿槽的齿底和压力承载面之间，所述圆弧端齿基本齿廓中，齿根过渡结构由与齿底相切连接的第一圆弧、作为压力承载面延长部分的直线段以及与直线段相切连接的第二圆弧组成，所述第一圆弧和第二圆弧相切连接于一起。

进一步地，所述圆弧端齿基本齿廓中端齿槽的齿底与压力承载面之间的倒角过渡圆弧形成了传统单圆弧，所述第一圆弧的半径大于传统单圆弧半径，所述第二圆弧的半径小于传统单圆弧的半径。

进一步地，所述圆弧端齿基本齿廓中第一圆弧与齿底的连接切点为传统单圆弧与齿底的切点，所述直线段与压力承载面的连接切点为传统单圆弧与压力承载面的切点。

进一步地，所述圆弧端齿基本齿廓中第一圆弧的圆心X轴坐标与传统单圆弧圆心的X轴坐标相同。

本发明还采用如下技术方案：一种圆弧端齿的齿根过渡结构的设计方法，其包括如下步骤：

步骤一：给出传统单圆弧(4)，传统单圆弧半径为R_b，将传统单圆弧与凸齿件(1)的齿底(10)相切的切点A及传统单圆弧与压力承载面(3)相切的切点D保持不变，给定第一圆弧半径大小R₁和第二圆弧半径大小R₂，所述第一圆弧(5)与齿底相切于点切点A，第二圆弧(6)在B点光滑连接第一圆弧(5)且在C点光滑连接直线段(7)，求解第一圆弧圆心O₁、第二圆弧圆心O₂、切点B点和切点C的位置；

步骤二：根据传统单圆弧结构设计，A、D两点的位置为已知，基本齿廓的压力承载面上任意一点与圆弧端齿轴线所夹的锐角为压力角θ，以齿底切点A为原点建立坐标系xAy，并标记已知切点D的位置坐标为(x_D,y_D)，假设所求圆心O₁坐标为(x₁,y₁)，圆心O₂的坐标为(x₂,y₂)，切点B坐标为(x_B,y_B)，切点C坐标为(x_C,y_C)，

根据第一圆弧与齿底相切，可知第一圆弧圆心位于坐标系y轴上，第一圆弧半径为R₁，则O₁坐标为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ y_1=R_1\end{array}---\left(1\right)\right.$

由齿根过渡结构设计几何关系可知，圆心O₂位于以O₁为圆心、以R₁-R₂为半径的圆周上，同时位于与直线段CD平行且距离为R₂的直线O₂M上，则圆心O₂满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_2}^2+{(y_2-R_1)}^2={(R_1-R_2)}^2\\ y_2-y_D=(x_2-x_D)\·\mathrm{ctg\θ}+R_2/\sin \mathrm{\θ}\end{array}---\left(2\right)\right.$

同理，B点是以O₁为圆心、以R₁为半径的圆与以O₂为圆心、以R₂为半径的圆的切点，则切点B同时满足两个圆方程且O₁、O₂、B三点位于同一直线，则切点B满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_B}^2+{(y_B-R_1)}^2={R_1}^2\\ {(x_B-x_2)}^2+{(y_B-y_2)}^2={R_2}^2\\ (x_B-x_1)\&CenterDot;(y_B-y_2)=(x_B-x_2)\&CenterDot;(y_B-y_1)\\ x_A<x_B<x_D;y_A<y_B<y_D\end{array}---\left(3\right)\right.$

C点是以O₂为圆心、以R₂为半径的圆与直线段CD的切点，则切点C满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_C-x_2)}^2+{(y_C-y_2)}^2={R_2}^2\\ y_D-y_C=(x_D-x_C)\&CenterDot;\mathrm{ctg\&theta;}\\ (x_C-x_2)\&CenterDot;(x_D-x_2)+(y_C-y_2)\&CenterDot;(y_D-y_2)={R_2}^2\end{array}---\left(4\right)\right.$

其中公式(4)中的第三式表示D点位于以点C为切点的第二圆弧的切线方程上，

任意给定一组R₁、R₂，且满足R₂<R_b<R₁关系时，联立求解方程组(1)～(4)，即可唯一确定圆心O₁、圆心O₂、切点B和切点C的位置，即得到圆弧端齿的齿根过渡结构。

进一步地，所述R₁/R_b的取值范围为1.13～1.88，R₂/R_b的取值范围为0.26～0.77，R₁/R₂的取值范围为1.6～4.5。

进一步地，所述步骤二中：

直线段CD的长度还可由几何作图的方法求解得到：

作以下辅助线：连接传统单圆弧的圆心O和切点D，与直线O₂M相较于点N；过圆心O₁作直线O₂M的垂线O₁M，垂足为点M；过圆心O作直线O₁M的垂线OL，垂足为点L，根据图示几何关系可知，直线OD与直线O₂M相互垂直，

在直角△O₁MO₂中， ${\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}}^2={\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}}^2+{\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}}^2,$ 则

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}=R_1-R_2\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}L}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{LM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{OD}}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{ND}})\\ =(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}N}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{NM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(5\right)$

则长度为：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}=\sqrt{{(R_1-R_2)}^2-{[(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)]}^2}-(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}---\left(6\right).$

本发明具有如下有益效果：

(1)本发明针对圆弧端齿基本齿廓中齿底和压力承载面之间的圆弧过渡提出了直线圆弧多段组合过渡形式，与传统的单圆弧过渡形式相比，在不改变圆弧端齿其他结构的前提下，仅将传统过渡圆弧替换成本发明的过渡结构，即可缓解齿根过渡圆弧处的应力集中状况，提高圆弧端齿的使用寿命，同时还可以减轻圆弧端齿结构的重量；

(2)此外，采用直线圆弧多段组合过渡结构，可以使齿根过渡圆弧与压力承载面的切点位置相对于传统过渡形式的切点位置向齿底方向移动，进而压力承载面的直线段部分可相对于传统结构加长，也即接触面积可以增加，从而可以降低接触面平均挤压应力。

附图说明：

图1为圆弧端齿的凸齿件和凹齿件啮合位置关系示意图。

图2为圆弧端齿的端齿和端齿槽相互啮合时的基本齿廓局部图。

图3为图2中基本齿廓局部图的E部放大示意图。

图4为本发明圆弧端齿的齿根过渡结构的设计示意图。

其中：1-凸齿件；2-凹齿件；3-压力承载面；4-传统单圆弧；5-第一圆弧；6-第二圆弧；7-直线段；10-齿底。

具体实施方式：

请参照图1至图3所示，圆弧端齿包括相互啮合的凸齿件1和凹齿件2，凸齿件1和凹齿件2均包括有端齿、端齿槽以及压力承载面3，端齿基本齿条的法向轮廓构成图2所示的圆弧端齿基本齿廓，凸齿件1的端齿槽和凹齿件2的端齿在轴向预紧力的作用下相互压紧于压力承载面3，凸齿件1的端齿槽包括齿底10，齿根过渡结构位于端齿槽的齿底10和压力承载面3之间。所述圆弧端齿基本齿廓中，其中齿根过渡结构由与齿底10相切连接的第一圆弧5、作为压力承载面延长部分的直线段7以及与直线段7相切连接的第二圆弧6组成，第一圆弧5和第二圆弧6相切连接于一起。图3中的传统单圆弧4为传统结构中的过渡圆弧结构，其圆心为点O，传统单圆弧4与凸齿件1的齿底10相切于切点A，与压力承载面3相切于切点D。

本发明中的齿根过渡结构，在圆弧端齿基本齿廓中，是由半径不同的两个过渡圆弧及一直线段组成，如图3中的圆弧AB(即第一圆弧5)、与圆弧AB连接于一起的圆弧BC(即第二圆弧6)、与圆弧BC连接于一起的线段CD(即直线段7)，其中圆弧AB的半径大于圆弧BC的半径，且圆弧AB的圆心位于点O1，圆弧BC的圆心位于点O2。

本发明中的齿根过渡结构建立在传统单圆弧4基础之上，基本齿廓中传统单圆弧4为端齿槽的齿底10与压力承载面3之间的倒角过渡圆弧。

图3所示的圆弧端齿基本齿廓中，第一圆弧5与凸齿件1的齿底10相连且与凸齿件1的齿底10相切于切点A，切点A与传统单圆弧4与齿底10的切点A为同一点，第一圆弧5与第二圆弧6连接且相切于切点B，第二圆弧6与直线段7连接且与之相切于切点C，直线段7是压力承载面的延长部分，其交点D与传统单圆弧4与压力承载面3的切点D为同一点。

基本齿廓中第一圆弧5的半径大于传统单圆弧4的半径，且第二圆弧6的半径小于传统单圆弧4的半径；第一圆弧5的大半径过渡，主要用于承载齿根部分的高应力区域，第二圆弧6和直线段7光滑连接第一圆弧5与压力承载面3，可以最大限度减少传统单圆弧半径过大时与压力承载面3的几何干涉问题。

在图3所示的基本齿廓中，第一圆弧5圆心的X轴坐标与传统单圆弧4圆心的X轴坐标相同。

从图3所示的基本齿廓中时可以发现，切点C相对于传统单圆弧过渡结构的切点D，切点位置进一步靠近齿底，本发明的齿根过渡结构相对于传统的过渡圆弧，压力承载面得到了向下的延伸，所以压力承载面的直线段部分可进一步加长，也即接触面积可以进一步增加，可以降低接触面平均挤压应力，同时可以减轻圆弧端齿结构的重量。

请参照图1至图3并结合图4所示，本发明圆弧端齿的齿根过渡结构的设计方法包括如下步骤：

步骤一：传统单圆弧的切点A和切点D保持不变，给定第一圆弧半径大小R₁和第二圆弧半径大小R₂，将原始单圆弧过渡形式用本发明的直线圆弧多段组合过渡形式代替，其中第一圆弧5与齿底相切，第二圆弧6在B点光滑连接第一圆弧5且在C点光滑连接直线段7(即线段CD)。因此，本发明圆弧端齿的齿根过渡结构设计转化为求解第一圆弧圆心O₁、第二圆弧圆心O₂、切点B点和切点C的位置。

步骤二：根据原始结构设计，A、D两点的位置为已知，基本齿廓的压力承载面上任意一点与圆弧端齿轴线(即图示坐标系的y轴)所夹的锐角(即压力角)为θ。以齿底切点A为原点建立坐标系xAy，并标记已知切点D的位置坐标为(x_D,y_D)，假设所求圆心O₁坐标为(x₁,y₁)，圆心O₂的坐标为(x₂,y₂)，切点B坐标为(x_B,y_B)，切点C坐标为(x_C,y_C)。

根据第一圆弧与齿底相切，可知第一圆弧圆心位于坐标系y轴上，第一圆弧半径为R₁，则O₁坐标为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ y_1=R_1\end{array}---\left(1\right)\right.$

由齿根过渡结构设计几何关系可知，圆心O₂位于以O₁为圆心、以(R₁-R₂)为半径的圆周上，同时位于直线O₂M(与直线段CD平行且距离为R₂)上，则圆心O₂满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_2}^2+{(y_2-R_1)}^2={(R_1-R_2)}^2\\ y_2-y_D=(x_2-x_D)\&CenterDot;\mathrm{ctg\&theta;}+R_2/\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}---\left(2\right)\right.$

同理，B点是以O₁为圆心、以R₁为半径的圆与以O₂为圆心、以R₂为半径的圆的切点，则切点B同时满足两个圆方程且O₁、O₂、B三点位于同一直线，则切点B满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_B}^2+{(y_B-R_1)}^2={R_1}^2\\ {(x_B-x_2)}^2+{(y_B-y_2)}^2={R_2}^2\\ (x_B-x_1)\&CenterDot;(y_B-y_2)=(x_B-x_2)\&CenterDot;(y_B-y_1)\\ x_A<x_B<x_D;y_A<y_B<y_D\end{array}---\left(3\right)\right.$

C点是以O₂为圆心、以R₂为半径的圆与直线段CD的切点，则切点C满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_C-x_2)}^2+{(y_C-y_2)}^2={R_2}^2\\ y_D-y_C=(x_D-x_C)\&CenterDot;\mathrm{ctg\&theta;}\\ (x_C-x_2)\&CenterDot;(x_D-x_2)+(y_C-y_2)\&CenterDot;(y_D-y_2)={R_2}^2\end{array}---\left(4\right)\right.$

其中公式(4)中的第三式表示D点位于以点C为切点C的第二圆弧的切线方程上。

任意给定一组R₁、R₂，当满足R₂<R_b<R₁关系时，联立求解方程组(1)～(4)，即可唯一确定圆心O₁、圆心O₂、切点B和切点C的位置，所构建的直线圆弧多段组合过渡结构可保证光滑连接齿底与压力承载面，即得到本发明的圆弧端齿的齿根过渡结构设计方案。

当半径R₁、R₂的取值满足R₂<R_b<R₁关系时，本发明的齿根过渡结构均可建立，以下给出第一圆弧半径R₁、第二圆弧半径R₂与传统单圆弧半径R_b的比值关系的推荐取值范围，可实现降低齿根应力的效果最佳：R₁/R_b推荐取值范围为1.13～1.88，R₂/R_b推荐取值范围为0.26～0.77，R₁/R₂推荐取值范围为1.6～4.5。

此外，直线段7(即线段CD)的长度除了用以上解析方法确定的C、D两点坐标求解以外，还可由几何作图的方法求解得到：

作以下辅助线：连接圆心O和切点D，与直线O₂M相较于点N；过圆心O₁作直线O₂M的垂线O₁M，垂足为点M；过圆心O作直线O₁M的垂线OL，垂足为点L。根据图示几何关系可知，直线OD与直线O₂M相互垂直。在直角△O₁MO₂中， ${\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}}^2={\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}}^2+{\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}}^2,$ 则

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}=R_1-R_2\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}L}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{LM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{OD}}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{ND}})\\ =(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}N}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{NM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(5\right)$

则长度为：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}=\sqrt{{(R_1-R_2)}^2-{[(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)]}^2}-(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

本发明针对圆弧端齿结构中齿底和压力承载面之间的圆弧过渡提出了直线圆弧多段组合的过渡形式，与传统的单圆弧过渡形式相比，缓解了齿根过渡圆弧处的应力集中状况，从而延长了圆弧端齿的使用寿命。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种圆弧端齿的齿根过渡结构，所述圆弧端齿包括相互啮合的凸齿件(1)和凹齿件(2)，所述凸齿件(1)和凹齿件(2)均包括有端齿、端齿槽以及压力承载面(3)，所述端齿基本齿条的法向轮廓构成圆弧端齿的基本齿廓，所述凸齿件(1)的端齿槽和凹齿件(2)的端齿在轴向预紧力的作用下相互压紧于压力承载面(3)，所述端齿槽包括齿底(10)，其特征在于：所述齿根过渡结构位于端齿槽的齿底(10)和压力承载面(3)之间，所述圆弧端齿基本齿廓中，齿根过渡结构由与齿底(10)相切连接的第一圆弧(5)、作为压力承载面延长部分的直线段(7)以及与直线段(7)相切连接的第二圆弧(6)组成，所述第一圆弧(5)和第二圆弧(6)相切连接于一起。

2.如权利要求1所述的圆弧端齿的齿根过渡结构，其特征在于：所述圆弧端齿基本齿廓中端齿槽的齿底(10)与压力承载面(3)之间的倒角过渡圆弧形成了传统单圆弧(4)，所述第一圆弧(5)的半径大于传统单圆弧(4)半径，所述第二圆弧(6)的半径小于传统单圆弧(4)的半径。

3.如权利要求2所述的圆弧端齿的齿根过渡结构，其特征在于：所述圆弧端齿基本齿廓中第一圆弧(5)与齿底(10)的连接切点为传统单圆弧(4)与齿底(10)的切点，所述直线段(7)与压力承载面(3)的连接切点为传统单圆弧(4)与压力承载面(3)的切点。

4.如权利要求3所述的圆弧端齿的齿根过渡结构，其特征在于：所述圆弧端齿基本齿廓中第一圆弧(5)的圆心X轴坐标与传统单圆弧(4)圆心的X轴坐标相同。

5.一种圆弧端齿的齿根过渡结构的设计方法，其特征在于：包括如下步骤

步骤一：给出传统单圆弧(4)，传统单圆弧半径为R_b，将传统单圆弧与凸齿件(1)的齿底(10)相切的切点A及传统单圆弧与压力承载面(3)相切的切点D保持不变，给定第一圆弧半径大小R₁和第二圆弧半径大小R₂，所述第一圆弧(5)与齿底相切于点切点A，第二圆弧(6)在B点光滑连接第一圆弧(5)且在C点光滑连接直线段(7)，求解第一圆弧圆心O₁、第二圆弧圆心O₂、切点B点和切点C的位置；

步骤二：根据传统单圆弧结构设计，A、D两点的位置为已知，基本齿廓的压力承载面上任意一点与圆弧端齿轴线所夹的锐角为压力角θ，以齿底切点A为原点建立坐标系xAy，并标记已知切点D的位置坐标为(x_D,y_D)，假设所求圆心O₁坐标为(x₁,y₁)，圆心O₂的坐标为(x₂,y₂)，切点B坐标为(x_B,y_B)，切点C坐标为(x_C,y_C)，

根据第一圆弧与齿底相切，可知第一圆弧圆心位于坐标系y轴上，第一圆弧半径为R₁，则O₁坐标为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ y_1=R_1\end{array}\right.---\left(1\right)$

由齿根过渡结构设计几何关系可知，圆心O₂位于以O₁为圆心、以R₁-R₂为半径的圆周上，同时位于与直线段CD平行且距离为R₂的直线O₂M上，则圆心O₂满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_2}^2+{(y_2-R_1)}^2={(R_1-R_2)}^2\\ y_2-y_D=(x_2-x_D)\&CenterDot;\mathrm{ctg\&theta;}+R_2/\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(2\right)$

同理，B点是以O₁为圆心、以R₁为半径的圆与以O₂为圆心、以R₂为半径的圆的切点，则切点B同时满足两个圆方程且O₁、O₂、B三点位于同一直线，则切点B满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{x_B}^2+{(y_B-R_1)}^2={R_1}^2\\ {(x_B-x_2)}^2+{(y_B-y_2)}^2={R_2}^2\\ (x_B-x_1)\&CenterDot;(y_B-y_2)=(x_B-x_2)\&CenterDot;(y_B-y_1)\\ x_A<x_B<x_D;y_A<y_B<y_D\end{array}\right.---\left(3\right)$

C点是以O₂为圆心、以R₂为半径的圆与直线段CD的切点，则切点C满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_C-x_2)}^2+{(y_C-y_2)}^2={R_2}^2\\ y_D-y_C=(x_D-x_C)\&CenterDot;\mathrm{ctg\&theta;}\\ (x_C-x_2)\&CenterDot;(x_D-x_2)+(y_C-y_2)\&CenterDot;(y_D-y_2)={R_2}^2\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中公式(4)中的第三式表示D点位于以点C为切点的第二圆弧的切线方程上，

任意给定一组R₁、R₂，且满足R₂<R_b<R₁关系时，联立求解方程组(1)～(4)，即可唯一确定圆心O₁、圆心O₂、切点B和切点C的位置，即得到圆弧端齿的齿根过渡结构。

6.如权利要求5所述的圆弧端齿的齿根过渡结构的设计方法，其特征在于：所述R₁/R_b的取值范围为1.13～1.88，R₂/R_b的取值范围为0.26～0.77，R₁/R₂的取值范围为1.6～4.5。

7.如权利要求5所述的圆弧端齿的齿根过渡结构的设计方法，其特征在于：所述步骤二中：

直线段CD的长度还可由几何作图的方法求解得到：

作以下辅助线：连接传统单圆弧的圆心O和切点D，与直线O₂M相较于点N；过圆心O₁作直线O₂M的垂线O₁M，垂足为点M；过圆心O作直线O₁M的垂线OL，垂足为点L，根据图示几何关系可知，直线OD与直线O₂M相互垂直，

在直角△O₁MO₂中， ${\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}}^2={\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}}^2+{\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}}^2,$ 则

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{O_1{O}_2}=R_1-R_2\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{1}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{1}L}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{LM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{OD}}-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{ND}})\\ =(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)\\ \stackrel{\&OverBar;}{O_{2}M}=\stackrel{\&OverBar;}{O_{2}N}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{NM}}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{OO}}_1}\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\\ =\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}+(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(5\right)$

则长度为：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{CD}}=\sqrt{{(R_1-R_2)}^2-{[(R_1-R_b)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+(R_b-R_2)]}^2}-(R_1-R_b)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}---\left(6\right).$