CN106125672A - 一种复杂曲面零件高效加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种复杂曲面零件高效加工方法属于精密高效智能化数控加工技术领域，涉及一种用于提高复杂曲面零件加工效率的直线与样条曲线混合插补数控加工刀轨生成方法。该方法首先对刀位点序列在拐角较大位置处进行分割，并对刀位数据进行精炼；对各段精炼后刀位点序列拟合最小二乘样条曲线；最后，判断精炼前刀位点到拟合曲线的距离是否满足拟合精度条件，若满足，输出曲线插补加工刀轨，若不满足，增加控制点个数和曲线阶次，重新拟合，若仍不满足，输出直线插补加工刀轨，实现直线与曲线混合插补加工刀轨的生成。采用本方法生成的刀轨进行数控加工可以有效降低加工时间，提高复杂曲面零件加工效率。

Description

一种复杂曲面零件高效加工方法

技术领域

本发明属于精密高效智能化数控加工技术领域，特别涉及一种用于提高复杂曲面零件加工效率的直线与参数样条曲线混合插补加工刀轨生成方法。

背景技术

复杂曲面零件，如等角螺旋天线、发动机涡轮叶片等，广泛应用于航空航天、能源动力、国防汽车等领域。随着这些领域中高端装备的发展，对复杂曲面零件的加工精度、加工质量和加工效率提出了更高要求。对于传统的直线、圆弧插补加工来说，需用直线或圆弧段逼近复杂曲面零件加工过程中理想的自由曲线刀轨，此时，因一阶不连续点的存在，会导致直线、圆弧插补加工中产生频繁的加减速运动，不利于加工质量和加工效率的提高。为克服传统直线、圆弧插补缺陷，近年来参数样条曲线直接插补技术得到了广泛研究。一些高档数控系统，如西门子、法兰克、科德数控等都提供了样条曲线插补功能，然而，鉴于现有的计算机辅助制造软件都仅提供直线或圆弧插补后处理器，导致参数样条曲线刀轨无法直接生成，曲线插补加工难以实现。因此，研究参数样条曲线刀轨生成方法，实现复杂曲面零件的几何模型到曲线插补加工数控代码的转换，对提高该类零件加工质量和加工效率具有重要意义。

对现有相关技术总结发现，文献“NURBS Curve and Surface Fitting forReverse Engineering”，Ma等，International Journal of Advanced ManufacturingTechnology，1998，14:918-927，该文献给出一种非均匀有理B样条曲线、曲面拟合方法，可用于B样条曲线插补刀轨的生成，然而，该方法将所有数据点拟合成一条样条曲线，当刀位点数量较多时，易产生计算量大、局部大曲率部位拟合效果差等问题。文献“CNC CodesConversion from Linear and Circular Paths to NURBS Curves”，Lin等，International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，39：760-773，该文献提出一种将直线和圆弧插补数控加工代码转换成非均匀有理B样条曲线插补加工刀轨的方法，然而，该方法需要基于现有的直线、圆弧插补加工代码而实现。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种复杂曲面零件高效加工方法，该方法通过提取复杂曲面零件上的刀位点信息，在刀位点数据分割、精简的基础上，基于最小二乘法进行B样条曲线拟合，生成直线与曲线混合插补加工刀轨，实现曲线插补数控加工，以提高复杂曲面零件的加工效率。采用本方法生成的刀轨进行数控加工可以有效降低加工时间，提高加工效率。

本发明的技术方案是一种复杂曲面零件高效加工方法，其特性在于，该方法对刀位点数据进行分割与精简的预处理，并在每段刀位点序列上拟合B样条曲线；最后，判断原始刀位点到拟合曲线的距离是否满足精度条件，若不满足，多次增加控制点个数或曲线阶次，重新进行曲线拟合，若仍不满足，输出直线插补加工刀轨，若满足，输出曲线插补加工刀轨；方法的具体步骤如下：

第一步刀位点预处理

为生成样条曲线插补数控加工刀轨，采用计算机辅助制造软件生成理想刀轨上的刀位点序列{Qr_i}，i＝1,…,n_q，n_q为刀位点总数；对该刀位点序列进行预处理，以实现更佳的曲线拟合效果；为避免几何急变位置处曲线拟合效果差的问题，首先对刀位点数据进行分割，具体做法为，给定刀位点分段拐角条件θ_q，从i＝2到i＝n_q-1扫描刀位点序列{Qr_i}，计算向量Qr_i-1Qr_i与向量Qr_iQr_i+1之间夹角θ的值：

$\mathrm{\θ}=\arccos \left(\frac{({\mathrm{Qr}}_i-{\mathrm{Qr}}_{i-1})\·({\mathrm{Qr}}_{i+1}-{\mathrm{Qr}}_i)}{\left|\right|{\mathrm{Qr}}_i-{\mathrm{Qr}}_{i-1}\left|\right|\·\left|\right|{\mathrm{Qr}}_{i+1}-{\mathrm{Qr}}_i\left|\right|}\right)---\left(1\right)$

判断该角度θ与θ_q的关系，若满足θ＞θ_q，则将该点作为刀位数据分割点，实现刀位点序列的分割；设分割后刀位点序列段数为n_c，第i段序列中的刀位点数量为k_i，则分割后的第i段刀位点序列可表示为{Qc_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,…,k_i；

在曲线拟合过程中，当刀位点过于密集时，易引起局部突变、计算量大等问题，因此在每段序列内对刀位点进行精简，在不丢失刀轨形貌信息的条件下，尽量缩减刀位点数量；给定刀位点精简距离判定条件e_q，从i＝1到i＝n_c，j＝2到j＝k_i-1扫描第i段刀位点序列{Qc_i,j}，计算点Qc_i,j到其前后两点连线Qc_i,j-1Qc_i,j+1的距离d:

$d=\frac{({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})}{\left|\right|({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\left|\right|}\·({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})---\left(2\right)$

判断该距离d与e_q关系，若不满足d＞e_q，则将Qc_i,j点剔除，重复上述过程，直到在所有保留的刀位点处都满足d＞e_q，实现刀位点的精简，设精简后第i段刀位点序列中刀位点数量为t_i，则第i段精简后刀位点序列表示为{Q_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,...,t_i；

第二步样条曲线拟合

经过刀位点序列分割后，将每段精简后刀位点序列拟合成一条B样条曲线，给定曲线阶次初始值p_min和控制点个数初始值n_min，基于向心参数化方法求解每个刀位点对应的B样条曲线参数，对于第i段精简后刀位点序列{Q_i,j}来说，每点对应的曲线参数计算为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{u}}_1=0,{\stackrel{\‾}{u}}_{t_i}=1\\ {\stackrel{\‾}{u}}_j={\stackrel{\‾}{u}}_{j-1}+\frac{\sqrt{\left|\right|Q_{i,j}-Q_{i,j-1}\left|\right|}}{\underset{k=2}{\overset{t_i}{\Σ}}\sqrt{\left|\right|Q_{i,k}-Q_{i,k-1}\left|\right|}},j=2,\mathrm{...},t_i-1\end{array}\right.---\left(3\right)$

计算拟合B样条曲线的节点矢量；令当前拟合阶次p＝p_min，控制点个数n＝n_min，则节点矢量中节点的个数m为：

m＝n+p+1 (4)

节点矢量U则可表示为U＝{u₁,…u_p+1,u_p+2,…,u_n,u_n+1,…,u_m}，其中u₁,…u_p…u_p+1为0，u_n+1,…,u_m为1，其余各节点计算方法为：

$\left\{\begin{array}{c}j=\mathrm{int}(i\·\frac{m}{n-p})\\ u_{p+i}=(1-i\·\frac{m}{n-p}+j)\·{\stackrel{\‾}{u}}_{j-1}+(i\·\frac{m}{n-p}-j)\·{\stackrel{\‾}{u}}_j\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，int(x)表示不大于x的最大整数；

根据德布尔-考克斯递推公式计算B样条基函数N_i,p(u)：

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right)---\left(7\right)$

式中，规定“0/0＝0”，且i＝1,2,…,n；

基于最小二乘法，计算拟合B样条曲线的控制点坐标P_i，i＝1,2,…,n；在第i段精简后刀位点序列内，令拟合B样条曲线的首末控制点与首末刀位点相同，其余控制点利用最小二乘法计算获得，即：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=Q_{i,1},P_n=Q_{i,t_i}\\ \left(\begin{array}{c}{P}_2\\ .\\ .\\ .\\ P_1\end{array}\right)={\left(N^{T}N\right)}^{-1}R\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，矩阵N和R分别计算为：

$R=\left(\begin{array}{c}{N}_{2,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_2\right)r_2+\mathrm{...}+N_{2,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_{t_i-1}\right)r_{t_i-1}\\ .\\ .\\ .\\ N_{n-1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_2\right)r_2+\mathrm{...}+N_{N-1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_{t_i-1}\right)r_{t_i-1}\end{array}\right)---\left(10\right)$

式中，r_j，j＝1,...,t_i-1的计算方法为：

$r_j=Q_{i,j}-N_{1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_j\right)Q_{i,1}-N_{n,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_j\right)Q_{i,t_i},j=1,...,t_i-1---\left(11\right)$

第三步生成直线与曲线混合插补加工刀轨

将第i段精简后刀位点序列拟合成B样条曲线后，计算原始精简前第i段刀位点序列{Qc_i,j}中每点到拟合曲线的距离，该距离的计算方法为，根据B样条曲线参数方程C(u)：

$C\left(u\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{N}_{i,p}\left(u\right)P_i,0\≤u\≤1---\left(12\right)$

将参数区间[0,1]等分成n_d份，计算刀位点Qc_i,j到每个等分参数值处曲线上点的距离，记录距离最小值对应的参数值，将该参数值左右相邻参数所确定的参数区间细分为n_d份，再计算刀位点Qc_i,j到每个参数点的距离，重复上述过程，直到两次计算的距离值之差小于给定的精度指标，从而得到刀位点Qc_i,j到拟合曲线的距离d_j；给定曲线拟合精度条件e_c，若有

d_j＜e_c,j＝1,…,k_i (13)

成立，则输出样条曲线插补加工刀轨；否则，令控制点个数n＝n+1，返回第二步重新进行曲线拟合，给定控制点个数最大值n_max，若n＝n_max时仍不满足不等式(13)，令曲线阶次p＝p+1，返回第二步重新进行曲线拟合，给定曲线阶次最大值p_max，若p＝p_max时仍不满足不等式(13)，则输出直线插补加工刀轨；

令i＝i+1，重复第二步到第三步，直到i＝n_c，输出每段刀位点序列对应的加工刀具轨迹，实现直线与曲线混合插补加工刀轨的生成；利用所生成的刀轨进行实际加工，因除少数拟合精度无法保证区域外的大部分区域皆采用参数样条曲线插补加工，故可有效提高复杂曲面零件的加工效率。

本发明的有益效果是：在对刀位点序列进行分割和精简的基础上进行曲线拟合，避免了拟合计算量大及局部区域拟合效果差的问题；发明了直线与曲线混合插补加工刀轨生成方法，弥补了现有计算机辅助制造软件无法直接生成曲线插补加工刀轨的不足，可实现复杂曲面零件加工效率的提高。

附图说明

图1——方法整体流程图；

图2——“蝴蝶”形曲线刀轨几何模型图；

图3——传统直线插补加工代码文件图；

图4——采用本方法得到的直线与曲线混合插补加工代码文件图；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

在复杂曲面零件加工过程中，刀具轨迹往往为自由曲线，采用传统直线或圆弧插补刀轨进行数控加工时，因会导致机床频繁加减速，加工效率较低；采用曲线插补加工可提高加工效率和加工质量，但现有计算机辅助制造软件均无法直接生成曲线插补加工代码，因此，发明一种直线与曲线混合插补加工刀轨生成方法，以提高复杂曲面零件加工效率。

附图1为方法整体流程图，附图2为“蝴蝶”形曲线刀轨几何模型图，以附图2所示曲线刀轨为例，详细说明本发明具体实施过程：

第一步，刀位点预处理：利用计算机辅助制造软件UG8.0生成附图2所示曲线刀轨的刀位点序列{Qr_i}，i＝1,…,n_q，这里刀位点总数n_q为280；取θ_q＝35°，e_q＝0.06mm，利用发明内容中第一步方法确定刀位分割点，将刀位点序列{Qr_i}分割，得到各段刀位点序列{Qc_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,…,k_i，进一步在每段刀位点序列内进行刀位点精简，得到各段精简后刀位点序列{Q_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,…,t_i；这里分割后刀位点序列段数为n_c＝21段，精简后刀位点总数t₁+t₂+…+t₂₁＝149；

第二步，样条曲线拟合：给定p_min＝2，n_min＝3，令i＝1，依据发明内容中第二步方法，基于最小二乘原理，对第i段精简后刀位点序列进行B样条曲线拟合；

第三步，给定p_max＝3，n_max＝t_i-4，拟合精度条件e_c＝0.03mm，判断精简前第i段刀位点序列中各点到拟合曲线的距离值是否满足不等式(13)，若满足，输出曲线插补加工刀轨，否则，判断当前控制点个数n是否大于给定的n_max，若n＜n_max，令n＝n+1，返回第二步重新进行曲线拟合，若n＝n_max，判断当前曲线阶次p是否大于给定的p_max，若p＜p_max，令p＝p+1，返回第二步重新进行曲线拟合，若p＝p_max，说明在给定的精度条件下无法实现样条曲线拟合，因此输出直线插补加工刀轨；判断i是否等于总的刀位点序列段数n_c，若不等，令i＝i+1，p＝p_min，n＝n_min，循环第二步到第三步，从而实现直线与曲线混合插补加工刀轨的生成。

附图3为传统直线插补加工代码文件图，附图4为采用本方法得到的直线与曲线混合插补加工代码文件图；附图3所示直线插补加工代码文件总大小为7.0kB，附图4所示直线与曲线混合插补加工代码文件总大小为4.0kB，可见采用本方法得到的刀轨文件大小得到了显著缩减，有利于提高数控代码文件向机床内传输的速度；在数控系统型号为GNC61的VGM210型立式加工中心上采用两种数控加工刀轨进行实际加工试验，并监控二者各自的加工时间，得到，采用附图3所示直线插补加工刀轨进行数控加工的时间为10s，采用附图4所示直线与曲线混合插补加工刀轨进行数控加工的加工时间为8s，可见，采用本发明方法生成的刀轨进行数控加工可以有效降低加工时间，提高加工效率。

本发明面向复杂曲面零件加工过程中采用传统直线或圆弧插补时存在频繁加减速运动进而影响加工质量和加工效率的问题，发明了基于直线与曲线混合插补加工刀轨生成的复杂曲面零件高效加工方法，对提高复杂曲面零件加工质量和加工效率具有重大工程实用意义。

Claims (1)

1.一种复杂曲面零件高效加工方法，其特性在于，该方法对刀位点数据进行分割与精简的预处理，并在每段刀位点序列上拟合B样条曲线；判断原始刀位点到拟合曲线的距离是否满足精度条件，若不满足，多次增加控制点个数或曲线阶次，重新进行曲线拟合，若仍不满足，输出直线插补加工刀轨，若满足，输出曲线插补加工刀轨；方法的具体步骤如下：

第一步刀位点预处理

为生成样条曲线插补数控加工刀轨，采用计算机辅助制造软件生成理想刀轨上的刀位点序列{Qr_i}，i＝1,…,n_q，n_q为刀位点总数；对该刀位点序列进行预处理，以实现更佳的曲线拟合效果；为避免几何急变位置处曲线拟合效果差的问题，首先对刀位点数据进行分割，给定刀位点分段拐角条件θ_q，从i＝2到i＝n_q-1扫描刀位点序列{Qr_i}，计算向量Qr_i-1Qr_i与向量Qr_iQr_i+1之间夹角θ的值：

$\mathrm{\θ}=\arccos \left(\frac{({\mathrm{Qr}}_i-{\mathrm{Qr}}_{i-1})\·({\mathrm{Qr}}_{i+1}-{\mathrm{Qr}}_i)}{\left|\right|{\mathrm{Qr}}_i-{\mathrm{Qr}}_{i-1}\left|\right|\·\left|\right|{\mathrm{Qr}}_{i+1}-{\mathrm{Qr}}_i\left|\right|}\right)---\left(1\right)$

判断该角度θ与θ_q的关系，若满足θ＞θ_q，则将该点作为刀位数据分割点，实现刀位点序列的分割；设分割后刀位点序列段数为n_c，第i段序列中的刀位点数量为k_i，则分割后的第i段刀位点序列可表示为{Qc_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,…,k_i；

在曲线拟合过程中，给定刀位点精简距离判定条件e_q，从i＝1到i＝n_c，j＝2到j＝k_i-1扫描第i段刀位点序列{Qc_i,j}，计算点Qc_i,j到其前后两点连线Qc_i,j-1Qc_i,j+1的距离d:

$d=\frac{({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})}{\left|\right|({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})\×({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j-1})\left|\right|}\·({\mathrm{Qc}}_{i,j+1}-{\mathrm{Qc}}_{i,j})---\left(2\right)$

判断该距离d与e_q关系，若不满足d＞e_q，则将Qc_i,j点剔除，重复上述过程，直到在所有保留的刀位点处都满足d＞e_q，实现刀位点的精简，设精简后第i段刀位点序列中刀位点数量为t_i，则第i段精简后刀位点序列可表示为{Q_i,j}，i＝1,…,n_c，j＝1,...,t_i；

第二步样条曲线拟合

经过刀位点序列分割后，将每段精简后刀位点序列拟合成一条B样条曲线，给定曲线阶次初始值p_min和控制点个数初始值n_min，基于向心参数化方法求解每个刀位点对应的B样条曲线参数，对于第i段精简后刀位点序列{Q_i,j}来说，每点对应的曲线参数计算为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{u}}_1=0,{\stackrel{\‾}{u}}_{t_i}=1\\ {\stackrel{\‾}{u}}_j={\stackrel{\‾}{u}}_{j-1}+\frac{\sqrt{\left|\right|Q_{i,j}-Q_{i,j-1}\left|\right|}}{\underset{k=2}{\overset{t_i}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{\left|\right|Q_{i,k}-Q_{i,k-1}\left|\right|}},j=2,...,t_i-1\end{array}\right.---\left(3\right)$

计算拟合B样条曲线的节点矢量；令当前拟合阶次p＝p_min，控制点个数n＝n_min，则节点矢量中节点的个数m为：

m＝n+p+1 (4)

节点矢量U则可表示为U＝{u₁,…u_p+1,u_p+2,…,u_n,u_n+1,…,u_m}，其中u₁,…u_p+1为0，u_n+1,…,u_m为1，其余各节点计算方法为：

$\left\{\begin{array}{c}j=\mathrm{int}\left(i\·\frac{m}{n-p}\right)\\ u_{p+i}=\left(1-i\·\frac{m}{n-p}+j\right)\·{\stackrel{\‾}{u}}_{j-1}+\left(i\·\frac{m}{n-p}-j\right)\·{\stackrel{\‾}{u}}_j\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，int(x)表示不大于x的最大整数；

根据德布尔-考克斯递推公式计算B样条基函数N_i,p(u)：

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right)---\left(7\right)$

式中，规定“0/0＝0”，且i＝1,2,…,n；

基于最小二乘法，计算拟合B样条曲线的控制点坐标P_i，i＝1,2,…,n；在第i段精简后刀位点序列内，令拟合B样条曲线的首末控制点与首末刀位点相同，其余控制点利用最小二乘法计算获得，即：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1=Q_{i,1},P_n=Q_{i,t_i}\\ \left(\begin{array}{c}{P}_2\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ P_{n-1}\end{array}\right)={\left(N^{T}N\right)}^{-1}R\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，矩阵N和R分别计算为：

$R=\left(\begin{array}{c}{N}_{2,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_2\right)r_2+...+N_{2,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_{t_i-1}\right)r_{t_i-1}\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ N_{n-1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_2\right)r_2+...+N_{n-1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_{t_i-1}\right)r_{t_i-1}\end{array}\right)---\left(10\right)$

式中，r_j，j＝1,...,t_i-1的计算方法为：

$r_j=Q_{i,j}-N_{1,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_j\right)Q_{i,1}-N_{n,p}\left({\stackrel{\‾}{u}}_j\right)Q_{i,t_i},j=1,...,t_i-1---\left(11\right)$

第三步生成直线与曲线混合插补加工刀轨

将第i段精简后刀位点序列拟合成B样条曲线后，计算原始精简前第i段刀位点序列{Qc_i,j}中每点到拟合曲线的距离，该距离的计算方法为，根据B样条曲线参数方程C(u)：

$C\left(u\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{N}_{i,p}\left(u\right)P_i,0\≤u\≤1---\left(12\right)$

将参数区间[0,1]等分成n_d份，计算刀位点Qc_i,j到每个等分参数值处曲线上点的距离，记录距离最小值对应的参数值，将该参数值左右相邻参数所确定的参数区间细分为n_d份，再计算刀位点Qc_i,j到每个参数点的距离，重复上述过程，直到两次计算的距离值之差小于给定的精度指标，从而得到刀位点Qc_i,j到拟合曲线的距离d_j；给定曲线拟合精度条件e_c，若有

d_j＜e_c,j＝1,…,k_i (13)

成立，则输出样条曲线插补加工刀轨；否则，令控制点个数n＝n+1，返回第二步重新进行曲线拟合，给定控制点个数最大值n_max，若n＝n_max时仍不满足不等式(13)，令曲线阶次p＝p+1，返回第二步重新进行曲线拟合，给定曲线阶次最大值p_max，若p＝p_max时仍不满足不等式(13)，则输出直线插补加工刀轨；

令i＝i+1，重复第二步到第三步，直到i＝n_c，输出每段刀位点序列对应的加工刀具轨迹，实现直线与曲线混合插补加工刀轨的生成，利用所生成的刀轨进行实际加工。