CN103926881A - 一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法 - Google Patents

Abstract

一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，它有七大步骤；在参数曲线的直接插补中，用割线法替代传统的弦线法，使用连续的割线段去逼近被插补参数曲线。这种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法的关键是在插补过程中形成插补割线段，即要求每一个插补周期形成的插补直线段与被插补参数曲线相交形成割线。本发明的基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法能实现无速度波动插补，而且在相同几何误差的约束下能达到比其他参数曲线直接插补方法更高的插补精度，同时由于该参数曲线直接插补方法消除了速度波动，因此使得平滑进给速度规划变得更简单，提高了插补器的效率，它适用于高速高精度数控系统的参数曲线插补器。

Description

一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法

技术领域

本发明涉及一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，属于数控系统的数字控制加工技术领域。

背景技术

现已有的参数曲线直接插补方法不能完全消除插补过程中速度波动的影响。速度波动是由指令进给速度与实际进给速度不一致产生的，造成实际进给速度在指令进给速度上下波动，可以用速度波动率来衡量，如下式：

$\mathrm{\σ}=\left|\frac{V_a-V_c}{V_c}\right|\×100\%$

其中σ为速度波动率，V_a为实际进给速度，V_c为指令进给速度。速度波动会使插补平滑进给速度规划变得困难，造成实际插补路径与规划路径不一致，因此会影响插补器的插补精度，甚至造成颤振。如何消除速度波动带来的影响，一直是参数曲线直接插补中的关键点。

最早的参数曲线直接插补方法是均匀参数插补方法，即每个插补周期的参数增量为常值。这种方法计算简单，但是恒定的参数增量使得进给速度无法确定，因此容易给机床造成冲击。后来出现了恒定进给速度插补，并出现了反馈插补方法来控制速度波动的大小，但是这种方法没有考虑几何误差因素的影响，因此加工精度无法保证。随着技术的发展，速度波动、几何误差、动力学特性参数、进给系统动态特性等逐步被作为约束因素考虑进参数曲线的直接插补过程中，参数曲线直接插补方法日益完善。按插补参数的计算方法可以将参数曲线直接插补方法分为三类：直接数值计算法、反馈数值计算法和弧长-参数拟合法。直接数值计算法是参数曲线直接插补方法的基础，如Taylor一阶、二阶展开法，Runge-Kutta法等，这种方法产生的速度波动率是无法控制的。反馈直接计算法在直接数值计算法的基础上增加了速度波动率的约束，用迭代的方法计算插补参数增量直至速度波动率满足要求，能主动控制速度波动率的大小，但是无法完全消除速度波动，而且迭代次数的增加降低了插补器的实时性能。弧长-参数拟合法是构造弧长-参数的分段多项式函数，虽无法主动控制速度波动率的大小，但能有效降低速度波动率，然而依然无法完全消除速度波动带来的影响。后来出现的诸如基于弧长补偿和反馈的插补方法、速度自适应插补方法等，能有效的降低迭代次数和提高插补效率，但是都无法完全消除速度波动。

与传统的参数曲线弦线法插补方法不同，本发明的一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法使用割线段作为插补直线段去逼近被插补曲线，能使得插补过程中产生的速度波动为0。在插补过程中，用割线段作为插补直线段会产生径向误差和弓高误差，若使用传统弦线法直接插补方法中利用最大弓高误差限制插补进给速度的方法，可以使用割线法直接插补方法在插补过程中产生的径向误差和弓高误差远远小于设定的最大几何误差，因此插补精度相对于传统的弦线法能大大提高。

在参数曲线进给速度规划过程中，由于插补周期数的圆整与速度波动的产生，往往会造成实际插补路径与理论规划路径不一致。周期数的圆整（计算周期数时舍去小数部分，保留整数部分）总是使实际插补路径小于理论规划路径；速度波动既可能使实际插补路径偏大，也可能是实际插补路径偏小。周期数的圆整造成的进给速度规划误差可以简单的增加恒速运行的周期数来补偿插补路径差值，而速度波动造成的影响往往需要对某段子曲线段重新进行速度规划或者使用其他补偿方法，因而提高了进给速度规划的难度。由于本专利发明的基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法完全消除了速度波动，因此仅需对插补周期数的圆整造成的进给速度规划误差进行简单的补偿，相比于传统的弦线法大大降低了进给速度规划的难度，提高了插补器的效率。

发明内容

本发明涉及一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，其目的是在不提高插补算法复杂度的情况下，能使插补过程中的速度波动率为0，完全消除速度波动带来的影响。同时，在同样的几何误差约束下能达到更高的插补精度，而且使插补进给速度规划过程变得更加简便。适用于高速高精度数控系统的参数曲线直接插补器。

本发明采用的技术方案如下：一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，采用割线段替代现有插补算法中的弦线段去逼近被插补曲线。首先用直接数值计算法计算参数初值，然后用一种基于冗余系数的牛顿迭代法求取满足要求的割线段，最后按照指令进给速度与插补周期截取割线段为插补割线段以完全消除速度波动，图1所示为本发明的方法流程图，图2所示为一个插补周期内的插补方法示意图。

本发明涉及一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，其具体操作步骤如下：

步骤一：参数曲线为C(u)={x(u),y(u),z(u)}，u为曲线参数，一般0≤u≤1。插补开始时，设第0个插补点参数为u₀=0，第0个插补点为P₀=C(u₀)={x₀,y₀,z₀}。

步骤二：第i个插补周期的指令进给速度为V_i，插补周期为T_c，计算指令插补步长为L_i=V_iT_c。

步骤三：使用Taylor二阶展开法计算下一个插补参数值的初值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{i+1}^{\left(0\right)}=u_i+\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}{T}_c+\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}\frac{{T_c}^2}{2}\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}=V_i/\left|\right|C^{\′}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|\\ \frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}=-{V_i}^2\⟨C^{\′}\left(u\right){|}_{u_i},C^{\′\′}\left(u\right){|}_{u_i}\⟩/{\left|\right|C^{\′}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|}^4\end{array}\right.$

步骤四：当前插补点P_i={x_i,y_i,z_i}至下一个插补参数值初值对应的曲线上的点的距离为使用一种基于冗余系数的牛顿迭代法修正下一个插补参数如下：

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{do}:\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|\\ F\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|-(1-\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}\\ F^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\frac{\&lang;C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i,C^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)\&rang;}{\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|}\\ \end{array}\right.,j=\mathrm{0,1,2},...\\ \mathrm{until}:{\mathrm{\&tau;L}}_i<{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}<L_i,\mathrm{then}:u_{i+1}=u_{i+1}^{\left(j\right)}\end{array}\right.$

其中ε、τ为冗余系数。ε控制着算法的收敛速度，τ控制着割线段相对于被插补曲线的位置，两个系数需要相互协调才能保证迭代算法迅速收敛，一般取ε=0.01、τ=0.9能使算法在2次迭代内结束。迭代算法结束后，下一个插补参数的终值为u_i+1，对应的曲线上的点为C(u_i+1)。

步骤五：当前插补点P_i={x_i,y_i,z_i}至点C(u_i+1)的单位方向向量为：

${\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i(C\left(u_{i+1}\right)-P_i)/\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-P_i\left|\right|$

该方向向量决定刀具在当前插补周期内的移动方向。

步骤六：下一个无速度波动插补点为：

$P_{i+1}=\{x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1}\}=P_i+L_i{\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i$

步骤七：如果u_i+1≤1则增加插补周期数为i=i+1，返回步骤二；否则参数曲线直接插补完成，生成的P_i={x_i,y_i,z_i}(i=0,1,2,...)为插补过程生成的无速度波动误差插补点。

插补过程几何误差计算：第i个插补周期的插补参数u_i处的曲线上的点为C(u_i)，对应的无速度波动插补点为P_i，曲率半径为ρ_i，以及主法矢为经过割线法插补得到的下一个无速度波动插补点为P_i+1，根据图2可推导在第i个插补周期的径向误差和弓高误差分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i^r=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-P_i|\left|\right|\\ e_i^c=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-\frac{P_i+P_{i+1}}{2}|\left|\right|\end{array}\right.$

其中，各步骤中的符号‘||·||’为直线长度计算，符号‘<·，·>为向量的数量积计算。

本发明的一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，其优点和功效是：插补过程生成的插补点不会产生速度波动，完全消除了速度波动带来的不利影响，如降低加工精度、引发颤振、增加进给速度规划难度等。本发明能使插补过程的速度规划变得更加简单，提高插补几何精度和计算速度，适合于高速高精度数控系统。

附图说明

图1是本发明的方法流程图；

图2是本发明在一个插补周期内的方法示意图；

图3是实施示例1：二次横8字型NURBS曲线；

图4是二次横8字型NURBS曲线插补进给速度曲线；

图5是二次横8字型NURBS曲线插补迭代次数曲线；

图6是二次横8字型NURBS曲线插补径向误差曲线；

图7是二次横8字型NURBS曲线插补弓高误差曲线；

图8是实施示例2：三次蝴蝶型NURBS曲线；

图9是三次蝴蝶型NURBS曲线插补进给速度曲线；

图10是三次蝴蝶型NURBS曲线插补迭代次数曲线；

图11是三次蝴蝶型NURBS曲线插补径向误差曲线；

图12是三次蝴蝶型NURBS曲线插补弓高误差曲线；

图中符号、代号说明如下：

i(i=0,1,2,...)为插补周期数；

j(i=0,1,2)为基于冗余系数的牛顿法迭代次数；

u_i(i=0,1,2,...)为第i个插补周期的插补参数；

C(u_i)(i=0,1,2,...)为第i个插补周期的插补参数对应的曲线上的点；

P_i(i=0,1,2,...)为本发明方法插补生成的无速度波动插补点；

(i=0,1,2,...)为插补移动方向向量；

(i=0,1,2,...)为第i个插补周期的插补参数处的曲线主法矢；

具体实施方式

NURBS曲线是参数曲线的典型代表，以NURBS曲线为例对本发明进行具体操作。令NURBS曲线的次数为p，控制定点数为n，节点矢量为U={u_j}(0≤j≤m)，控制顶点为A={a_j}(a_j={x_j,y_j,z_j},0≤j≤n)，权值矢量为W={w_j}(0≤j≤n)，则该NURBS曲线可以表示为：

$C\left(u\right)=\{x\left(u\right),y\left(u\right),z\left(u\right)\}=\frac{\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{j,p}\left(u\right)a_j{w}_j}{\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{j,p}\left(u\right)w_j}---\left(1\right)$

其中u(0≤u≤1)为曲线参数，N_j,p(u)为基函数，使用如下递推方法计算：

曲线的主法矢按如下方法计算：

$\stackrel{\&RightArrow;}{n\left(u\right)}=\frac{C^{\&prime;}\left(u\right)}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|}\&times;\frac{C^{\&prime;}\left(u\right)\&times;C^{\&prime;\&prime;}\left(u\right)}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\&times;C^{\&prime;\&prime;}\left(u\right)\left|\right|}---\left(2\right)$

曲线的曲率半径按如下计算：

$\mathrm{\&rho;}\left(u\right)=\frac{{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|}^3}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\&times;C^{\&prime;\&prime;}\left(u\right)\left|\right|}---\left(3\right)$

本发明涉及一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，现以NURBS曲线为参数曲线对象，操作流程图如图1，每个插补周期内的操作示意图如图2，具体操作步骤如下：

步骤一：第0个插补点参数为u₀=0，代入式（1）得第0个插补点为P₀=C(u₀)={x₀,y₀,z₀}。

步骤二：第i个插补周期的指令进给速度为V_i，插补周期为T_c，计算指令插补步长为L_i=V_iT_c。

步骤三：使用Taylor二阶展开法计算下一个插补参数值的初值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{i+1}^{\left(0\right)}=u_i+\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}{T}_c+\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}\frac{{T_c}^2}{2}\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}=V_i/\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|\\ \frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}=-{V_i}^2\&lang;C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i},C^{\&prime;\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\&rang;/{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|}^4\end{array}\right.$

步骤四：将带入式（1）得到计算其与当前插补点P_i的距离为使用基于冗余系数的牛顿迭代法修正下一个插补参数如下：

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{do}:\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|\\ F\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|-(1-\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}\\ F^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\frac{\&lang;C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i,C^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)\&rang;}{\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|}\\ \end{array}\right.,j=\mathrm{0,1,2},...\\ \mathrm{until}:{\mathrm{\&tau;L}}_i<{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}<L_i,\mathrm{then}:u_{i+1}=u_{i+1}^{\left(j\right)}\end{array}\right.$

其中ε、τ为冗余系数，取ε=0.01、τ=0.9。迭代算法结束后，下一个插补参数的终值为u_i+1，代入式（1）得C(u_i+1)。

步骤五：当前插补点P_i={x_i,y_i,z_i}至点C(u_i+1)的单位方向向量为：

${\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i(C\left(u_{i+1}\right)-P_i)/\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-P_i\left|\right|$

该方向向量决定刀具在当前插补周期内的移动方向。

步骤六：下一个无速度波动插补点为：

$P_{i+1}=\{x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1}\}=P_i+L_i{\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i$

步骤七：如果u_i+1≤1则增加插补周期数为i=i+1，返回步骤二；否则参数曲线直接插补完成，生成的P_i={x_i,y_i,z_i}(i=0,1,2,")为插补过程生成的无速度波动误差插补点。

插补过程几何误差计算：第i个插补周期的插补参数为u_i，使用式（2）计算曲线主法矢为使用式（3）计算曲线的曲率半径为ρ_i，则在第i个插补周期的径向误差和弓高误差分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i^r=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-P_i|\left|\right|\\ e_i^c=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-\frac{P_i+P_{i+1}}{2}|\left|\right|\end{array}\right.$

其中，上述公式中的符号‘||·||’为直线长度计算，符号‘<·，·>’为向量的数量积计算，符号‘×’为向量的向量积计算。

为了更直观的验证本发明的实际效果，下面给出两个具体的NURBS曲线实例来进行实际效果验证。

实施示例1：

图3是一个二次横8字型NURBS曲线，其曲线参数如下：

节点值：0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1；

权值：1,25,25,1,25,25,1；

控制点：(0,0),(-120,-120),(-120,120),(0,0),(120,-120),(120,120),(0,0)；

将曲线参数带入上面所述的各实施步骤完成NURBS曲线的直接插补，插补结果如图4～7所示。图4是平滑的插补进给速度曲线，通过几何误差和动力学特性的约束使插补进给速度在某些高曲率区域低速通过以保证插补精度以及动力学要求。图5是基于冗余余量的牛顿迭代法求去合理的插补割线段的迭代次数，当冗余余量系数ε=0.01,τ=0.9时，迭代次数最大为2次（0次代表不需要进行迭代，插补参数迭代初值即符合要求），因此迭代算法能快速的求出插补割线段。图6和图7是插补过程中产生的径向误差和弓高误差，当几何误差约束为1μm的时候，由图中可以看到，割线法插补方法产生的最大径向误差和最大弓高误差为0.035μm和0.11μm，远小于几何误差允许的最大值，插补精度高。由于实时插补过程是按本专利发明的基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法进行插补，因此插补过程中产生的速度波动率为0，完全消除了速度波动带来的不利影响。

实施示例2：

图8是一个三次蝴蝶型NURBS曲线，其曲线参数如下：

节点值：0,0,0,0,0.0083,0.0150,0.0361,0.0855,0.1293,0.1509,0.1931,0.2273,0.2435,0.2561,0.2692,0.2889,0.3170,0.3316,0.3482,0.3553,0.3649,0.3837,0.4005,0.4269,0.4510,0.4660,0.4891,0.5000,0.5109,0.5340,0.5489,0.5731,0.5994,0.6163,0.6351,0.6447,0.6518,0.6683,0.6830,0.7111,0.7307,0.7439,0.7565,0.7729,0.8069,0.8491,0.8707,0.9145,0.9639,0.9850,0.9917,1,1,1,1；

权值：1,1,1,1.2,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,5,3,1,1.1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.1,1,3,5,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1.2,1,1,1；

控制点：(54.493,52.139),(55.507,52.139),(56.082,49.615),(56.780,44.971),(69.575,51.358),(77.786,58.573),(90.526,67.081),(105.973,63.801),(100.400,47.326),(94.567,39.913),(92.369,30.485),(83.440,33.757),(91.892,28.509),(89.444,20.393),(83.218,15.446),(87.621,4.830),(80.945,9.267),(79.834,14.535),(76.074,8.522),(70.183,12.550),(64.171,16.865),(59.993,22.122),(55.680,36.359),(56.925,24.995),(59.765,19.828),(54.493,14.940),(49.220,19.828),(52.060,24.994),(53.305,36.359),(48.992,22.122),(44.814,16.865),(38.802,12.551),(32.911,8.521),(29.152,14.535),(28.040,9.267),(21.364,4.830),(25.768,15.447),(19.539,20.391),(17.097,28.512),(25.537,33.750),(16.602,30.496),(14.199,39.803),(8.668,47.408),(3.000,63.794),(18.465,67.084),(31.197,58.572),(39.411,51.358),(52.204,44.971),(52.904,49.614),(53.478,52.139),(54.492,52.139)；

将曲线参数带入上面所述的各实施步骤完成NURBS曲线的直接插补，插补结果如图9～12所示。图9是平滑的插补进给速度曲线，通过几何误差和动力学特性的约束使插补进给速度在某些高曲率区域低速通过以保证插补精度以及动力学要求。图10是基于冗余余量的牛顿迭代法求去合理的插补割线段的迭代次数，当冗余余量系数ε=0.01,τ=0.9时，迭代次数最大为2次（0次代表不需要进行迭代，插补参数迭代初值即符合要求），因此迭代算法能快速的求出插补割线段。图11和图12是插补过程中产生的径向误差和弓高误差，当几何误差约束为1μm的时候，由图中可以看到，割线法插补方法产生的最大径向误差和最大弓高误差为0.1μm和0.5μm，远小于几何误差允许的最大值，插补精度高。由于实时插补过程是按本专利发明的基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法进行插补，因此插补过程中产生的速度波动率为0，完全消除了速度波动带来的不利影响。

Claims (1)

1.一种基于割线法的无速度波动参数曲线直接插补方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：参数曲线为C(u)={x(u),y(u),z(u)}，u为曲线参数，0≤u≤1；插补开始时，设第0个插补点参数为u₀=0，第0个插补点为P₀=C(u₀)={x₀,y₀,z₀}；

步骤二：第i个插补周期的指令进给速度为V_i，插补周期为T_c，计算指令插补步长为L_i=V_iT_c；

步骤三：使用Taylor二阶展开法计算下一个插补参数值的初值如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{i+1}^{\left(0\right)}=u_i+\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}{T}_c+\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}\frac{{T_c}^2}{2}\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dt}}{|}_{u_i}=V_i/\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|\\ \frac{d^{2}u}{{\mathrm{dt}}^2}{|}_{u_i}=-{V_i}^2\&lang;C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i},C^{\&prime;\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\&rang;/{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right){|}_{u_i}\left|\right|}^4\end{array}\right.$

步骤四：当前插补点P_i={x_i,y_i,z_i}至下一个插补参数值初值对应的曲线上的点的距离为使用一种基于冗余系数的牛顿迭代法修正下一个插补参数如下：

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{do}:\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|\\ F\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|-(1-\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}\\ F^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)=\frac{\&lang;C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i,C^{\&prime;}\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)\&rang;}{\left|\right|C\left(u_{i+1}^{\left(j\right)}\right)-P_i\left|\right|}\\ \end{array}\right.,j=\mathrm{0,1,2},...\\ \mathrm{until}:{\mathrm{\&tau;L}}_i<{\mathrm{\&Delta;L}}_{i+1}^{\left(j\right)}<L_i,\mathrm{then}:u_{i+1}=u_{i+1}^{\left(j\right)}\end{array}\right.$

其中ε、τ为冗余系数，ε控制着算法的收敛速度，τ控制着割线段相对于被插补曲线的位置，两个系数需要相互协调才能保证迭代算法迅速收敛，取ε=0.01、τ=0.9能使算法在2次迭代内结束；迭代算法结束后，下一个插补参数的终值为u_i+1，对应的曲线上的点为C(u_i+1)；

步骤五：当前插补点P_i={x_i,y_i,z_i}至点C(u_i+1)的单位方向向量为：

${\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i(C\left(u_{i+1}\right)-P_i)/\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-P_i\left|\right|$

该方向向量决定刀具在当前插补周期内的移动方向；

步骤六：下一个无速度波动插补点为：

$P_{i+1}=\{x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1}\}=P_i+L_i{\stackrel{\&RightArrow;}{d}}_i$

步骤七：如果u_i+1≤1则增加插补周期数为i=i+1，返回步骤二；否则参数曲线直接插补完成，生成的P_i={x_i,y_i,z_i}(i=0,1,2,...)为插补过程生成的无速度波动误差插补点；

插补过程几何误差计算：第i个插补周期的插补参数u_i处的曲线上的点为C(u_i)，对应的无速度波动插补点为P_i，曲率半径为ρ_i，以及主法矢为经过割线法插补得到的下一个无速度波动插补点为P_i+1，推导在第i个插补周期的径向误差和弓高误差分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i^r=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-P_i|\left|\right|\\ e_i^c=|{\mathrm{\&rho;}}_i-||C\left(u_i\right)+{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&RightArrow;}{n}}_i-\frac{P_i+P_{i+1}}{2}|\left|\right|\end{array}\right.$

其中，各步骤中的符号‘||·||’为直线长度计算，符号‘<·，·>’为向量的数量积计算。