CN105843174A - 一种样条曲线插补参数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种样条曲线插补参数计算方法属于精密高效数控加工技术领域，特别涉及一种样条曲线插补过程中减小速度波动的插补点曲线参数计算方法。该方法首先将各插补周期的指令参数值写成关于时间的函数，并利用二阶Runge‑Kutta法计算下一插补周期的指令参数初始值；其次，通过比较利用参数初始值计算得到的进给速度与理想进给速度，计算参数补偿值；最后，根据参数初始值和参数补偿值，确定下一插补点曲线参数值，实现速度波动小的样条曲线实时插补；本发明可实现在不进行迭代计算的前提下有效抑制曲线插补过程中的速度波动，对提高样条曲线插补加工质量具有实用价值。

Description

一种样条曲线插补参数计算方法

技术领域

本发明属于精密高效数控加工技术领域，特别涉及一种样条曲线插补过程中减小速度波动的插补点曲线参数计算方法。

背景技术

具有复杂面形结构的复杂曲面零件在航空航天、能源动力等领域应用越来越广。随着高端装备领域迅速发展，制造业对该类复杂曲面零件的加工质量、加工效率要求不断提高。鉴于复杂曲面零件加工刀轨多为具有复杂几何特征的曲线，采用传统的直线、圆弧插补数控加工时，存在诸多缺陷，如利用微小直线、圆弧段代替曲线时产生的逼近误差，刀位文件庞大，存在一阶不连续点导致的频繁加减速等，不利于该类复杂曲面零件的精密高效加工。因此，随着计算机辅助制造技术的发展，参数样条曲线插补技术可克服直线、圆弧插补的上述缺陷，故得到了广泛关注。在样条曲线插补过程中，由于曲线参数和曲线弧长具有非线性对应关系，故插补周期内理想运行距离对应的曲线参数精确增量值获取困难，从而导致实际计算参数对应的插补点与理想插补点不一致，诱发实际进给速度与理想进给速度产生偏差，即速度波动。因此，研究样条曲线插补过程中，速度波动小的插补参数计算方法对实现精密、可靠的曲线插补数控加工具有重要意义。

文献“Parametric interpolator versus linear interpolator for precision CNCmachining”，Yang等，Computer-Aided Design，1994，26(3)：225-234，该文献提出一种二阶泰勒技术展开参数计算方法，然而，该方法需要计算曲线的二阶导失，且存在较大舍入误差；文献“A real-time predictor-corrector interpolator forCNC machining”，Tsai等，Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125(3)：449-460，该文献提出一种基于参数预估-校正的闭环曲线插补参数计算方法，然而，该方法计算曲线参数时，需要进行迭代循环，直到满足精度条件时才能输出参数值，计算时间无法预测，不利于实时插补。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种样条曲线插补参数计算方法，该方法基于二阶Runge-Kutta法和参数补偿的样条曲线插补参数计算方法，在避免迭代计算、避免大幅增大计算量的情况下，有效抑制曲线插补过程中的进给速度波动，提高曲线插补质量。

本发明的技术方案是一种样条曲线插补参数计算方法，其特性在于，该方法，首先将各插补周期的指令参数值写成关于时间的函数，并利用二阶Runge-Kutta法计算下一插补周期的指令参数初始值；其次，通过比较利用参数初始值计算得到的进给速度与理想进给速度，计算参数补偿值；最后，根据参数初始值和参数补偿值，确定下一插补点曲线参数值，实现速度波动小的样条曲线实时插补；方法具体步骤如下：

第一步计算插补参数初始值

将插补参数u写成时间t的函数：

u＝u(t) (1)

则参数u对时间t的导数为：

$\frac{du}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{du}{ds}{|}_{u=u_i}\·\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}}{\frac{ds}{du}{|}_{u=u_i}}---\left(2\right)$

其中，s为曲线弧长，t_i为第i个插补周期时的总插补时间，u_i为第i个插补周期的指令参数值；令第i个插补周期的理想进给速度为v_i，则：

$\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}=v_i---\left(3\right)$

设样条曲线参数方程为C＝C(u)，则：

$\frac{ds}{du}{|}_{u=u_i}=\left|\right|C^{\′}\left(u_i\right)\left|\right|---\left(4\right)$

其中，C′(u_i)为曲线在参数u＝u_i位置处的一阶导失；将公式(3)、(4)代入公式(2)得：

$\frac{du}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{v_i}{\left|\right|C^{\′}\left(u_i\right)\left|\right|}---\left(5\right)$

因此，利用二阶Runge-Kutta法展开公式(1)得到下一个，即第(i+1)个插补周期的指令插补参数初始值u_s,i+1为：

$u_{s,i+1}=u_i+\frac{Ts}{2}(k_1+k_2)---\left(6\right)$

其中，Ts为插补周期，

第二步计算插补参数补偿值

为保证实际插补进给速度和理想进给速度相等，第(i+1)个插补周期的指令参数值u_i+1应满足：

$\frac{\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-C\left(u_i\right)\left|\right|}{Ts}=v_i---\left(7\right)$

该插补点的插补参数补偿值Δu_i+1应满足：

Δu_i+1＝u_i+1-u_s,i+1 (8)

根据一阶泰勒级数展开，可得到：

C(u_i+1)＝C(u_s,i+1)+C′(u_s,i+1)Δu_i+1 (9)

将公式(9)代入公式(7)得：

$\left|\right|C\left(u_{s,i+1}\right)+C^{\′}\left(u_{s,i+1}\right){\mathrm{\Δu}}_{i+1}-C\left(u_i\right)|{|}^2=v_i^2{\mathrm{Ts}}^2---\left(10\right)$

整理得：

${\mathrm{A\Δu}}_{i+1}^2+{\mathrm{B\Δu}}_{i+1}+D=0---\left(11\right)$

其中，A＝||C′(u_s,i+1)||²，B＝2(C′(u_s,i+1),(C(u_s,i+1)-C(u_i))),

解方程(11)得插补参数的两个根Δu_i+1,1和Δu_i+1,2分别为：

${\mathrm{\Δ}}_{u_{i+\mathrm{1,1}}}=\frac{-B+\sqrt{B^2-4\mathrm{AD}}}{2A}---\left(12\right)$

${\mathrm{\Δu}}_{i+1,2}=\frac{-B-\sqrt{B^2-4AD}}{2A}---\left(13\right)$

由于因此Δu_i+1,1≈0，Δu_i+1,2≈-B/A；因此，为保证插补过程的稳定性，当方程(11)有实数根，即判别式B²-4AD≥0时，取绝对值较小的Δu_i+1,1作为插补参数补偿值Δu_i+1；当方程(11)无实数根，即判别式B²-4AD<0时，令参数补偿值Δu_i+1为零；因此，参数补偿值Δu_i+1的计算方法为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{i+1}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-B+\sqrt{B^2-4AD}}{2A},& B^2-4AD\&GreaterEqual;0\\ 0,& B^2-4AD<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

第三步根据插补参数初始值u_s,i+1和插补参数补偿值Δu_i+1确定第(i+1)个插补周期的插补参数值u_i+1：

u_i+1＝u_s,i+1+Δu_i+1 (15)

利用该参数值作为数控系统插补过程中第i个插补周期的输入指令进行实际插补加工；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令i＝i+1，返回第一步。

本发明的有益效果是：建立了基于二阶Runge-Kutta法和参数补偿的样条曲线插补参数计算方法，可有效抑制曲线插补过程中的进给速度波动；参数计算过程中无需迭代循环，对高速精密实时参数曲线插补具有重要意义。

附图说明

图1——计算方法整体流程图；

图2——“倒尖八”形非均匀有理B样条曲线几何模型图；

图3——采用本计算方法的速度波动图；其中，A轴表示样条曲线参数，B轴表示进给速度波动值，单位为％；

图4——采用二阶泰勒级数展开法插补参数计算方法的速度波动图；其中，A轴表示样条曲线参数，B轴表示进给速度波动值，单位为％；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

参数样条曲线插补过程中，由于曲线参数与弧长具有非线性对应关系，若不采用耗时无法确定的迭代方法计算插补参数，极易引起实际进给速度与理想速度产生偏差，即速度波动，影响零件加工表面质量。据此，发明一种样条曲线插补参数计算方法。

以“倒尖八”形非均匀有理B样条曲线插补为例，详细说明本发明实施过程，整体流程参见附图1。“倒尖八”形非均匀有理B样条曲线参数为：阶数：2；控制点：{(0,0)；(-50,-50)；(-50,50)；(0,0)；(50,-50)；(50,50)；(0,0)}；权因子：{5,5,10,1,10,5,5}；节点向量：{0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1}；其几何模型如附图2所示；

附图1是方法整体流程图，如附图1所示，实施例的具体步骤如下：

第一步计算插补参数初始值：首先，令u₁＝0，i＝1，i为当前插补点序号；采用公式(6)计算下一插补点即第(i+1)个插补点的样条曲线插补参数初始值u_s,i+1；本实例中，插补周期Ts＝0.002s，理想进给速度v_i恒为100mm/s；

第二步计算插补参数补偿值：将第一步中计算得到的插补参数初始值u_s,i+1代入公式(14)中，计算该插补点处的指令插补参数补偿值Δu_i+1；

第三步根据插补参数初始值u_s,i+1和插补参数补偿值Δu_i+1确定第(i+1)个插补周期的插补参数值u_i+1：将第一步中计算得到的插补参数初始值u_s,i+1和第二步中计算得到的插补参数补偿值Δu_i+1代入公式(15)，从而确定下一插补点曲线参数值u_i+1，并利用该参数值作为数控系统输入指令进行实际插补加工；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令i＝i+1，返回第一步。

利用上述方法进行曲线插补加工，计算得到曲线各位置处实际插补进给速度与理想进给速度的偏差，即速度波动值如附图3所示，可见，最大进给速度波动值为0.00000388％，几乎将速度波动完全消除；为说明本发明实施效果，将本发明方法与传统二阶泰勒级数展开法的速度波动值进行对比，采用传统二阶泰勒级数展开法进行曲线插补加工，得到曲线上各位置处速度波动值如附图4所示，可见，最大速度波动为0.1746％，远大于本方法的速度波动值。

通过将本发明基于二阶Runge-Kutta法和参数补偿的插补参数计算方法与传统二阶泰勒级数展开法对比可见，本发明插补参数计算方法的加工进给速度波动值远小于传统方法，可以在不进行迭代计算的情况下有效降低速度波动，提高曲线插补加工质量。

本发明针对样条曲线插补过程中，由于曲线参数与弧长具有非线性对应关系所导致的进给速度波动问题，发明了基于二阶Runge-Kutta法和参数补偿的一种样条曲线插补参数计算方法，用来在不进行迭代计算的前提下有效抑制曲线插补过程中的速度波动，对提高样条曲线插补加工质量具有重大实用意义。

Claims (1)

1.一种样条曲线插补参数计算方法，其特性在于，该方法首先将各插补周期的指令参数值写成关于时间的函数，并利用二阶Runge-Kutta法计算下一插补周期的指令参数初始值；其次，通过比较利用参数初始值计算得到的进给速度与理想进给速度，计算参数补偿值；最后，根据参数初始值和参数补偿值，确定下一插补点曲线参数值，实现速度波动小的样条曲线实时插补；方法具体步骤如下：

第一步计算插补参数初始值

将插补参数u写成时间t的函数：

u＝u(t) (1)

则参数u对时间t的导数为：

$\frac{du}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{du}{ds}{|}_{u=u_i}\&CenterDot;\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}}{\frac{ds}{du}{|}_{u=u_i}}---\left(2\right)$

其中，s为曲线弧长，t_i为第i个插补周期时的总插补时间，u_i为第i个插补周期的指令参数值；令第i个插补周期的理想进给速度为v_i，则：

$\frac{ds}{dt}{|}_{t=t_i}=v_i---\left(3\right)$

设样条曲线参数方程为C＝C(u)，则：

$\frac{ds}{du}{|}_{u=u_i}=\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_i\right)\left|\right|---\left(4\right)$

其中，C′(u_i)为曲线在参数u＝u_i位置处的一阶导失；将公式(3)、(4)代入公式(2)得：

$\frac{du}{dt}{|}_{t=t_i}=\frac{v_i}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_i\right)\left|\right|}---\left(5\right)$

因此，利用二阶Runge-Kutta法展开公式(1)得到下一个，即第(i+1)个插补周期的指令插补参数初始值u_s,i+1为：

$u_{s,i+1}=u_i+\frac{Ts}{2}(k_1+k_2)---\left(6\right)$

其中，Ts为插补周期，

第二步计算插补参数补偿值

为保证实际插补进给速度和理想进给速度相等，第(i+1)个插补周期的指令参数值u_i+1应满足：

$\frac{\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-C\left(u_i\right)\left|\right|}{Ts}=v_i---\left(7\right)$

该插补点的插补参数补偿值Δu_i+1应满足：

Δu_i+1＝u_i+1-u_s,i+1 (8)

根据一阶泰勒级数展开，可得到：

C(u_i+1)＝C(u_s,i+1)+C′(u_s,i+1)Δu_i+1 (9)

将公式(9)代入公式(7)得：

$\left|\right|C\left(u_{s,i+1}\right)+C^{\&prime;}\left(u_{s,i+1}\right){\mathrm{\&Delta;u}}_{i+1}-C\left(u_i\right)|{|}^2=v_i^2{\mathrm{Ts}}^2---\left(10\right)$

整理得：

${\mathrm{A\&Delta;u}}_{i+1}^2+{\mathrm{B\&Delta;u}}_{i+1}+D=0---\left(11\right)$

其中，A＝||C′(u_s,i+1)||²，B＝2(C′(u_s,i+1),(C(u_s,i+1)-C(u_i)))，

解方程(11)得插补参数的两个根Δu_i+1,1和Δu_i+1,2分别为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{i+1,1}=\frac{-B+\sqrt{B^2-4AD}}{2A}---\left(12\right)$

${\mathrm{\&Delta;u}}_{i+1,2}=\frac{-B-\sqrt{B^2-4AD}}{2A}---\left(13\right)$

由于因此Δu_i+1,1≈0，Δu_i+1,2≈-B/A；因此，为保证插补过程的稳定性，当方程(11)有实数根，即判别式B²-4AD≥0时，取绝对值较小的Δu_i+1,1作为插补参数补偿值Δu_i+1；当方程(11)无实数根，即判别式B²-4AD<0时，令参数补偿值Δu_i+1为零；因此，参数补偿值Δu_i+1的计算方法为：

${\mathrm{\&Delta;u}}_{i+1}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-B+\sqrt{B^2-4AD}}{2A},& B^2-4AD\&GreaterEqual;0\\ 0,& B^2-4AD<0\end{array}\right.---\left(14\right)$

第三步根据插补参数初始值u_s,i+1和插补参数补偿值Δu_i+1确定第(i+1)个插补周期的插补参数值u_i+1：

u_i+1＝u_s,i+1+Δu_i+1 (15)

利用该参数值作为数控系统插补过程中第i个插补周期的输入指令进行实际插补加工；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令i＝i+1，返回第一步。