CN111983975A - 一种参数增量补偿的样条曲线插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，包括以下步骤：首先，基于二阶Runge‑Kutta法计算从当前插补点到下一插补点的参数增量预估值，利用后向差分法将参数增量中的导数进行近似替代；其次，比较曲线上预估插补点所对应弧长与理想进给速度下的插补点所对应弧长，利用曲率圆近似计算补偿弧长和参数增量补偿值；最后，根据参数增量值确定下一插补点的曲线参数值，实现最小进给速度波动的曲线插补。本发明避免了迭代计算，对抑制进给速度波动，提高插补加工质量具有一定现实意义。

Description

一种参数增量补偿的样条曲线插补方法

技术领域

本发明属于数控加工的插补技术领域，涉及一种参数增量补偿的样条曲线插补方法。

背景技术

数控插补技术作为数控系统的核心技术之一，其技术优劣直接影响数控加工水平的高低，也直接影响关乎数控系统的性能指标。传统的直线/圆弧插补以细小的直线或圆弧段组成连续微段路径进行加工，会造成加工运动频繁地加减速，不仅致使加工效率严重受限，还会影响加工零件质量。而对于现代加工制造系统，加工过程的高精度是工件加工的最重要的目标，样条曲线轨迹参数插补技术因可以克服直线/圆弧插补的缺陷得到广泛研究。同时，又由于参数曲线的弧长与曲线参数的关系很难给出，造成传统算法如二阶泰勒展开法和四阶Runge-Kutta法计算得出的插补点与理想插补点不一致，会导致实际进给速度与理想进给速度的不同而引起进给速度波动。因此研究最小进给速度波动的样条曲线参数插补方法对数控加工的高质高效具有重要的现实意义。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，该方法包括以下步骤：步骤1：基于二阶Runge-Kutta法计算从当前插补点到下一插补点的参数增量预估值，并利用后向差分法将参数增量中的导数进行近似替代；步骤2：比较曲线上预估插补点所对应弧长与理想进给速度下的插补点所对应弧长，利用曲率圆近似计算补偿弧长并由此计算参数增量补偿值；步骤3：根据参数增量值确定下一插补点的曲线参数值，实现最小进给速度波动的曲线插补。方法具体步骤如下：

步骤1：第一步计算参数增量预估值

记当前的插补点参数为u_k，利用二阶Runge-Kutta法计算下一插补点参数的预估值

为：

式中T为插补周期，k₁、k₂分别为：k₁＝u′_k，

将上二式代入式(1)，整理得到节点参数的增量预估值

为：

第二步利用后向差分对式(2)的导数近似替代：

将式(3)代入(2)，得到新的参数增量预估值为：

步骤2：第一步利用曲率圆计算弧长补偿值

记当前插补点的进给速度为v_k，理想的轨迹为参数曲线弧长v_kT。由于实际刀具轨迹为以上参数预估值计算得到的进给速度下的弦长

为保证实际插补进给速度和理想进给速度相等，设样条曲线参数方程为C＝C(u)，下一插补点参数u_k+1应该满足：

||C(u_k+1)-C(u_k)||＝v_kT (5)

以当前插补点C(u_k)的曲率半径ρ_k为圆的半径作曲率圆，令理想刀具轨迹弦长为v_kT，其所对应的曲率圆弧长

为：

其中θ为该弦对应的圆心角，满足

即圆心角θ为：

将式(7)代入式(6)，进一步得到理想刀具轨迹对应的参数曲线弧长的近似值s_k为：

根据式(8)以及理想的曲线弧长得到弧长补偿值：

Δs＝s_k-v_kT (9)

第二步计算参数增量的补偿值

利用一阶泰勒展开式在插补点参数预估值处展开得：

其中l为补偿的弧长所对应的刀具轨迹弦长；根据第一步的方法，可知Δs≈ρ_Δα(11)

其中ρ_Δ为预估插补点

处的曲率半径，α为曲率圆上弦长l对应的圆心角，由式(11)求出弦长l为：

将式(12)代入式(10)得并整理得到参数增量补偿值δ：

步骤3：结合式(4)和式(13)确定第k+1个插补周期的插补增量Δu为：

将当前插补点参数u_k结合式(14)确定下一插补点参数值u_k+1：

u_k+1＝u_k+Δu (15)

本发明具有以下技术效果：本发明克服了传统算法如二阶泰勒展开法和四阶Runge-Kutta法计算得出的插补点与理想插补点不一致，进而会导致实际进给速度与理想进给速度的不同而引起进给速度波动的问题。本发明通过利用后向差分，避免二阶Runge-Kutta法产生的求导运算负担，为后续计算带来便利；两次运用曲率圆近似计算求取参数增量补偿值，以获得下一插补点参数的最终值，避免了迭代运算并提高参数曲线插补的精度，对抑制进给速度波动、提高插补加工质量具有一定现实意义。

附图说明

图1为计算方法流程图；

图2为“WM”形非均匀有理B样条曲线图；

图3为利用曲率圆近似计算的方法图；

图4为采用本发明计算方法的速度波动图；其中，A轴为曲线参数，B轴为进给速度波动率；

图5为采用四阶Runge-Kutta法计算方法的速度波动图；其中，A轴为曲线参数，B轴为进给速度波动率；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式：

图1为本发明的方法流程图，具体包括以下步骤：

步骤1：1.1，计算参数增量预估值

记当前的插补点参数为u_k，利用二阶Runge-Kutta法计算下一插补点参数的预估值

为：

式中T为插补周期，k₁、k₂分别为：k₁＝u′_k，

将上二式代入式(1)，整理得到节点参数的增量预估值

为：

1.2，利用后向差分对式(2)的导数近似替代：

将式(3)代入(2)，得到新的参数增量预估值为：

步骤2：2.1，利用曲率圆计算弧长补偿值

记当前插补点的进给速度为v_k，理想的轨迹为参数曲线弧长v_kT。由于实际刀具轨迹为以上参数预估值计算得到的进给速度下的弦长

为保证实际插补进给速度和理想进给速度相等，设样条曲线参数方程为C＝C(u)，下一插补点参数u_k+1应该满足：

||C(u_k+1)-C(u_k)||＝v_kT (5)

以当前插补点C(u_k)的曲率半径ρ_k为圆的半径作曲率圆，令理想刀具轨迹弦长为v_kT，其所对应的曲率圆弧长

为：

其中θ为该弦对应的圆心角，满足

即圆心角θ为：

将式(7)代入式(6)，进一步得到理想刀具轨迹对应的参数曲线弧长的近似值s_k为：

根据式(8)以及理想的曲线弧长得到弧长补偿值：

Δs＝s_k-v_kT (9)

2.2，计算参数增量的补偿值

利用一阶泰勒展开式在插补点参数预估值处展开得：

其中l为补偿的弧长所对应的刀具轨迹弦长；根据第一步的方法，可知

Δs≈ρ_Δα (11)

其中ρ_Δ为预估插补点

处的曲率半径，α为曲率圆上弦长l对应的圆心角，由式(11)求出弦长l为：

将式(12)代入式(10)得并整理得到参数增量补偿值δ：

步骤3：结合式(4)和式(13)确定第k+1个插补周期的插补增量Δu为：

将当前插补点参数u_k结合式(14)确定下一插补点参数值u_k+1：

u_k+1＝u_k+Δu (15)

以“WM”形非均匀有理B样条曲线插补为例，说明本发明的实施过程。样条曲线参数为：次数：2；节点向量：{0，0，0，0.15，0.3，0.5，0.7，0.85，1，1，1}；控制点：{[0，0]，[10，-10]，[14，-4]，[17，-9]，[25，10]，[30，-5]，[33，0]，[40，10]}；权因子：{1，2，1.5，3，2.5，3.5，3.5，1}；几何曲线如图2所示。

如图1所示是本发明计算方法的整体流程图，实施例的具体步骤如下：

第1步计算参数增量预估值：令u₁＝0，k＝1，k为当前插补点序号；采用公式(1)计算下一插补点参数的预估值

将式(3)代入式(2)得出参数增量的预估值

本实施例中，插补周期T＝2ms；

第2步计算参数增量补偿值：首先利用曲率圆计算弧长补偿值，其原理图如图3所示。点a为当前插补点，进给速度为v_k，理想的轨迹为参数曲线弧长||ab||＝v_kT。但实际刀具轨迹为弦

这造成了实际进给速度与理想进给速度不相等并导致进给速度波动。假设样条曲线参数方程为C＝C(u)，为保证实际进给速度和理想进给速度相同，下一插补点参数u_k+1应满足式(5)，即弦长

为了计算弧长补偿值||bc||，先计算弧长||ac||。以当前插补点a的曲率半径ρ_k为圆的半径作曲率圆，弦长

在曲率圆上用弦长

替代，弦

所对应的圆心角为θ。根据式(6)(7)计算出弧长||ad||，基于弧长近似，这里就有||ac||≈||ad||，从而求出弧长补偿值||bc||。将下一插补点参数u_k在点b参数处一阶泰勒展开，即式(10)。为求增量补偿值，需计算弦长

根据以上所述的圆弧近似法，利用式(11)(12)求得弦长

将式(12)所求弦长值代入式(10)可得增量补偿值δ。

第3步计算下一插补点参数u_k+1：先将第一步中计算得到的参数增量的预估值

和第二步中计算得到的参数增量补偿值δ代入式(14)，求出参数增量值Δu_k；从而根据式(15)确定下一插补点参数值u_k+1；最后判断是否完成整个曲线的插补，若完成，则结束插补，否则重复第一步。

由计算得出的曲线上各点处实际进给速度与理想进给速度的偏差，即进给速度波动。为说明本发明的实施效果，将本发明与传统四阶Runge-Kutta法的进给速度波动率相比较，如图4和5所示。由图4可以看出最大的进给速度波动率为0.000000216％，进给速度波动率可以忽略不计；由图5可以看出最大波动率为0.008528％，本方法的速度波动率远小于传统方法。

本发明针对样条曲线参数插补过程中的进给速度波动问题，发明了基于二阶Runge-Kutta法及圆弧近似计算的参数增量补偿的一种样条曲线参数插补方法，避免了迭代计算，有效抑制了进给速度波动，对提高插补加工质量具有一定现实意义。

Claims (4)

1.一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：步骤1：基于二阶Runge-Kutta法计算从当前插补点到下一插补点的参数增量预估值，并利用后向差分法将参数增量中的导数进行近似替代；步骤2：比较样条曲线上预估插补点所对应弧长与理想进给速度下的插补点所对应弧长，利用曲率圆近似计算补偿弧长并计算参数增量补偿值；步骤3：根据参数增量值确定下一插补点的曲线参数值，实现最小进给速度波动的曲线插补。

2.根据权利要求1所述的一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，其特征在于，步骤1的方法包括如下步骤：

步骤1.1，计算参数增量预估值

记当前的插补点参数为u_k，利用二阶Runge-Kutta法计算下一插补点参数的预估值

为：

式中T为插补周期，k₁、k₂分别为：k₁＝u′_k，

整理得到节点参数的增量预估值

为：

步骤1.2，利用后向差分对式(2)的导数近似替代：

将式(3)代入(2)，得到新的参数增量预估值为：

3.根据权利要求2所述的一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，其特征在于，步骤2的方法包括如下步骤：

步骤2.1，利用曲率圆计算弧长补偿值

记当前插补点的进给速度为v_k，理想的轨迹为参数曲线弧长v_kT，由于实际刀具轨迹为以上参数预估值计算得到的进给速度下的弦长

为保证实际插补进给速度和理想进给速度相等，设样条曲线参数方程为C＝C(u)，下一插补点参数u_k+1应该满足：

||C(u_k+1)-C(u_k)||＝v_kT (5)

以当前插补点C(u_k)的曲率半径ρ_k为圆的半径作曲率圆，令理想刀具轨迹弦长为v_kT，其所对应的曲率圆弧长

为：

其中θ为该弦对应的圆心角，满足

即圆心角θ为：

将式(7)代入式(6)，进一步得到理想刀具轨迹对应的参数曲线弧长的近似值s_k为：

根据式(8)以及理想的曲线弧长得到弧长补偿值Δs：

Δs＝s_k-v_kT (9)

步骤2.2，计算参数增量的补偿值

利用一阶泰勒展开式在插补点参数预估值处展开得：

其中l为补偿的弧长所对应的刀具轨迹弦长；根据第一步的方法，可知

Δs≈ρ_Δα (11)其中ρ_Δ为预估插补点

处的曲率半径，α为曲率圆上弦长l对应的圆心角，由式(11)求出弦长l为：

将式(12)代入式(10)得并整理得到参数增量补偿值δ：

4.根据权利要求3所述的一种参数增量补偿的样条曲线插补方法，其特征在于，步骤3的方法包括如下步骤：

结合式：

和式

确定第k+1个插补周期的插补增量Δu为：

将当前插补点参数u_k结合式(14)确定下一插补点参数值u_k+1：

u_k+1＝u_k+Δu (15)

Images