CN116107262A - 一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法 - Google Patents

一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法 Download PDF

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CN116107262A CN202310136348.2A CN202310136348A CN116107262A CN 116107262 A CN116107262 A CN 116107262A CN 202310136348 A CN202310136348 A CN 202310136348A CN 116107262 A CN116107262 A CN 116107262A
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Abstract

本发明属于数控加工技术领域，提出一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法。对名义路径进行插补，根据伺服系统瞬态误差响应，预测各插补点处的瞬态跟踪误差；以各插补点轮廓误差作为样条路径重构初始条件，与名义路径等参数对重构的样条路径进行插补；依据瞬态跟踪误差与插补指令之间的解析关系，获得重构的样条路径控制点实际刀位线性化表达；定义实际刀位与名义路径上对应根点之间有向距离为轮廓误差矢量，依据轮廓误差矢量与重构的样条路径控制点之间的解析关系，建立轮廓误差预补偿模型；以轮廓误差最小为优化目标，以重构的样条路径控制点为优化变量，采用最小二乘算法重构出整体样条路径，从而实现轮廓误差的精确预补偿。

Description

一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法
技术领域
本发明涉及数控加工技术领域，尤其涉及一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法。
背景技术
目前，我国航空航天、能源动力等领域的复杂曲面结构件多由数控加工而成，由于各驱动轴的开环增益不同，导致各轴的协同运动不能跟随参考指令，特别是在高速加工中受带宽限制，闭环系统难以精确跟踪快速变化的位置指令，从而不可避免地产生轮廓误差。因此，轮廓误差控制对于保证最终产品的加工精度至关重要。轮廓误差预补偿法在不改变机床内部结构及不降低加工效率的前提下，可以有效改善零件的加工精度，因而受到了学者和业界的广泛关注。
对现有技术的文献检索发现，专利“基于数控加工路径最小化修正的轮廓误差预补偿方法，CN 110032142 A”发明了一种适用于五轴的轮廓误差预补偿方法，通过建立以刀位点补偿量最小为优化目标、以轮廓误差为边界约束条件的二次规划模型获得优化的补偿量，然后利用优化的补偿量对名义刀位点序列进行修正，实现轮廓误差的预补偿。专利“一种基于插补数据的多轴加工轮廓误差预补偿方法，CN 112731865 A”发明了一种迭代数控加工轮廓误差预补偿方法，利用轮廓误差矢量对不满足精度要求的G代码段中的指令插补点进行修正，从而改善轮廓精度。此外，文献“Generalized Taylor series expansion forfree-form two-dimensional contour error compensation,,International Journalof Machine Tools&Manufacture,2012”，提出了一种自由曲面二维轮廓误差补偿的广义泰勒级数展开法，该方法利用泰勒展开法建立了补偿量与轮廓误差之间的解析关系，进而对插补点进行修正，实现了对轮廓误差的预补偿。现有的各种轮廓误差预补偿方法，其补偿思想多基于轮廓误差矢量或优化得到的补偿量对刀具路径上的离散刀位点进行逐点镜像修正，能够有效减小数控轮廓误差，但缺乏对加工路径的整体控制，轮廓精度提升受限。当前，针对给定数控加工装备和名义加工路径的旨在减小轮廓误差的加工路径全局解析重构方法还尚未涉及。
发明内容
本发明针对现有轮廓误差预补偿技术的不足，发明了基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法。与现有的镜像补偿等离散方法不同，所提方法旨在解析重构出零轮廓误差条件下的整体刀具路径，从而有效提升数控加工轮廓精度。该方法通过解析建立全局加工路径的轮廓误差预补偿模型，从而将复杂的轮廓误差预补偿问题转化为实际样条路径控制点的重构求解问题，实现对轮廓误差矢量的全局优化调整。
本发明的技术方案如下：一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法，根据数控机床各驱动轴的运动极限及加工弓高差对名义路径进行运动规划；采用插补算法对名义路径进行插补，并根据伺服系统的瞬态误差响应，预测出各插补点处的瞬态跟踪误差，获得各插补点的轮廓误差估计；以所获得的各插补点轮廓误差作为新的样条路径重构的初始条件，以与运动规划后的名义路径等参数采样的方式对重构的样条路径进行插补；依据预测的瞬态跟踪误差与名义路径的插补指令之间的解析关系，获得关于重构的样条路径控制点的实际刀位的线性化表达；通过定义实际刀位与名义路径上对应的根点之间的有向距离为轮廓误差矢量，依据轮廓误差矢量与重构的样条路径控制点之间的解析关系，建立轮廓误差预补偿模型；以整条加工路径上轮廓误差最小为优化目标，以重构的样条路径控制点为优化变量，采用最小二乘算法重构出整体样条路径，从而实现轮廓误差的精确预补偿。
所述的基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法，包括以下步骤：
步骤1、名义路径总的分段数为N，将名义路径进行分段；第NH段名义路径的回溯点数h对应的参数长度为
Figure BDA0004085804190000021
NH＞1，则分段区间对应参数的起点及终点由式(1)得到
Figure BDA0004085804190000031
Figure BDA0004085804190000032
其中，
Figure BDA0004085804190000033
为第NH段名义路径起始位置对应参数、
Figure BDA0004085804190000034
为第NH段结束位置对应参数；
Figure BDA0004085804190000035
步骤2、采用NURBS曲线描述第NH段名义路径，NURBS曲线的表达式为
Figure BDA0004085804190000036
其中，u为归一化的名义路径参数，且u∈[0,1]；ωi(i＝0,1,...,n)为对应控制顶点的权重因子；Θi为名义路径曲线控制多边形的控制顶点，i＝0,1,...,n，n为总的控制点数目；k为NURBS样条曲线的阶次，Ni,k(u)为NURBS样条基函数；
Figure BDA0004085804190000037
步骤3、根据机床各轴的运动极限及加工弓高允差，对第NH段名义路径进行运动规划，然后基于插补算法对名义路径进行插补，生成插补序列CL＝{CLt|CLt＝(Px,t,Py,t,Pz,t),t＝1,...,l}，Px,t,Py,t,Pz,t分别代表插补点t处的x,y,z坐标，插补周期为Ts，l表示总插补点数目；
步骤4、跟踪误差预测；
基于比例控制器控制的位置闭环伺服驱动系统在阻尼比ξ∈[0.707,1]时，将单轴进给驱动系统简化为一阶惯性系统，其传递函数G(s)如下：
Figure BDA0004085804190000041
其中，Tτ表示为时间常数，τ表示x,y,z方向；s为复数；
已知插补点CLt＝(Px,t,Py,t,Pz,t)和插补周期Ts，则机床各轴速度表示为
Figure BDA0004085804190000042
将式(2)带入式(4)得到
Figure BDA0004085804190000043
将名义路径的插补指令CLt作为斜坡信号，以时间间隔Ts连续输送至三个方向的单轴进给驱动系统，瞬态跟踪误差表示为；
Figure BDA0004085804190000044
其中，
Figure BDA0004085804190000058
Θτi为单轴进给驱动系统的样条轨迹控制点；
从而得到实际刀位CLrt：
Figure BDA0004085804190000051
Prx,t、Pry,t、Prz,t分别表示实际刀位点的x、y、z坐标；
步骤5、轮廓误差预测；
根据式(7)，得到名义路径的实际刀位CLrt＝[Prx,t,Pry,t,Prz,t]，该实际刀位点与名义路径对应的最近点为Pf，根据轮廓误差定义，矢量CLrt-Pf与Pf处的切矢垂直，即(CLrt-Pf)·dP(uf)/du＝0，其中，uf为Pf对应的参数，通过迭代求解的方法确定uf，则最近点
Figure BDA0004085804190000052
步骤6、建立轮廓误差预补偿模型；
根据步骤2，得到第NH段重构的实际样条路径的数学表达式为
Figure BDA0004085804190000053
其中，
Figure BDA0004085804190000054
为重构的实际样条路径曲线控制多边形的控制顶点，
Figure BDA0004085804190000055
Figure BDA0004085804190000056
为总的控制点数目；
Figure BDA0004085804190000057
为对应控制顶点的权重因子；
以与名义路径等参数采样的方式对重构的实际样条路径进行插补，根据伺服系统的瞬态误差响应，对瞬态跟踪误差进行预测，得到各插补点处的瞬态跟踪误差为；
Figure BDA0004085804190000061
根据式(8)和式(9)得到预补偿后的实际刀位的数学表达式为；
Figure BDA0004085804190000062
其中，
Figure BDA0004085804190000063
定义轮廓误差矢量为预补偿后的实际刀位
Figure BDA0004085804190000064
到名义路径对应的最近点Pf之间的有向距离，则轮廓误差矢量为；
Figure BDA0004085804190000065
为使预补偿后的实际刀位落在名义路径上，从而达到预补偿后轮廓误差为零的目的，式(11)满足的条件为
Figure BDA0004085804190000071
步骤7、控制点求解；
根据步骤6进一步得到满足插补点处轮廓误差为0的条件为
εTε＝0                          (13)
为抑制第NH段名义路径的轮廓误差以提高零件轮廓性能，最小化所有插补点轮廓误差的平方和Ω，即
Figure BDA0004085804190000072
为获得满足条件的控制点，对重构的样条路径第g个控制点进行求导，得到下式：
Figure BDA0004085804190000073
其中，
Figure BDA0004085804190000081
um、uj分别代表第m个和第j个插补点对应的参数值；
式(15)改写为：
((N*)TN*)Θ*＝γ   (16)
其中，
Figure BDA0004085804190000082
Figure BDA0004085804190000083
Figure BDA0004085804190000091
控制点通过下式求解：
Θ*＝((N*)TN*)-1Υ   (17)
步骤8、局部控制点修正及样条路径分段拼接；
为保证前一段样条路径与当前样条路径在拼接点处的连续性，重新对重构的样条路径控制点进行修正；根据C2连续性条件及德布尔-考克斯算法，第NH段刀具名义路径的控制点由下式得到；
Figure BDA0004085804190000092
其中，
Figure BDA0004085804190000093
为第NH段重构路径重新参数化后的第k+1个参数，第NH-1和NH段位移曲线的B样条表达形式为；
Figure BDA0004085804190000101
重复以上步骤，直至所有分段样条路径控制点优化完成。
特别的，当权重因子ω＝1时，名义路径可用k次B样条曲线进行表示。
本发明的有益效果：本发明提出的基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法，能过有效降低数控加工路径的轮廓误差，与现有技术相比，补偿效果明显。本发明所提方法解析重构出零轮廓误差条件下的整体刀具路径，从而有效提升数控加工轮廓精度。该方法通过解析建立全局加工路径的轮廓误差预补偿模型，从而将复杂的轮廓误差预补偿问题转化为实际样条路径控制点的重构求解问题，实现对轮廓误差矢量的全局优化调整。
附图说明
图1是本发明一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法的示意图。
图2是NURBS曲线表示的加工路径图。其中，X轴表示加工路径的x轴坐标，Y轴表示加工路径的y轴坐标，Z轴表示加工路径的z轴坐标，单位均为mm。
图3是数控加工路径补偿前的轮廓误差图。其中X轴表示加工时间t，单位为s；Y轴表示相应的轮廓误差绝对值，单位为mm。
图4是基于传统的轮廓误差预补偿法补偿后的轮廓误差图。其中X轴表示加工时间t，单位为s；Y轴表示相应的轮廓误差绝对值，单位为mm。
图5是本发明所提方法补偿后的轮廓误差图。其中X轴表示加工时间t，单位为s；Y轴表示相应的轮廓误差绝对值，单位为mm。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。
本发明提出的一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法的示意图如图1所示。首先根据数控机床各驱动轴的运动极限及加工弓高差对名义路径进行运动规划，进而采用插补算法对名义路径进行插补，并根据伺服系统的瞬态误差响应，预测出各插补点处的瞬态跟踪误差，由此实现对各插补点的轮廓误差估计。进一步，以所获得的各插补点轮廓误差作为新的样条路径重构的初始条件，以与名义路径等参数采样的方式对重构的样条路径进行插补，依据瞬态跟踪误差与输入名义路径的插补指令之间的解析关系，获得关于样条路径控制点的实际刀位的线性化表达。通过定义实际刀位与名义路径上对应的根点之间的有向距离为轮廓误差矢量，依据轮廓误差矢量与重构的样条路径控制点之间的解析关系，建立轮廓误差预补偿模型。最后，以整条加工路径上轮廓误差最小为优化目标，以重构的实际样条路径的控制点为优化变量，采用最小二乘算法重构出整体样条路径，从而实现轮廓误差的精确预补偿。
实施案例为一个两轴样条路径，如图2所示。初始进给率值为20mm/s,分轴加速度约束范围为[-300mm/s2,300mm/s2]，分轴跃度约束范围为[-6000mm/s3,6000/s3],弓高差为0.002mm,采样时间为4ms。
步骤1、路径总的分段数为N，将名义路径进行自适应分段，设第NH(NH＞1)段路径的回溯点数h对应的参数长度
Figure BDA0004085804190000111
则分段区间对应参数的起点及终点可由式(1)得到
Figure BDA0004085804190000112
其中，
Figure BDA0004085804190000113
为第NH段名义路径起始位置对应参数、
Figure BDA0004085804190000114
为第NH段结束位置对应参数；
Figure BDA0004085804190000115
步骤2、利用NURBS曲线对第NH段名义路径进行描述，特别的，当权重因子ω＝1时，名义路径可用k次B样条曲线进行表示。k次B样条曲线曲线的表达式为
Figure BDA0004085804190000121
其中，u为归一化的名义路径参数，且u∈[0,1]；Θi为名义路径曲线控制多边形的控制顶点，i＝0,1,...,n，n为总的控制点数目；
Figure BDA0004085804190000122
步骤3、根据机床各轴的运动极限及加工弓高允差，对第NH段名义路径进行运动规划，然后基于插补算法对名义路径进行插补，生成插补序列CL＝{CLt|CLt＝(Qx,t,Qy,t,Qz,t),t＝1,...,l}，插补周期为Ts，l表示总插补点数目；
步骤4、跟踪误差预测；
基于比例控制器控制的位置闭环伺服驱动系统在阻尼比ξ∈[0.707,1]时，可将驱动系统简化为一阶惯性系统，其传递函数G(s)如下：
Figure BDA0004085804190000123
其中，Tτ表示为时间常数；
已知插补点CLt＝(Px,t,Py,t,Pz,t)和插补周期Ts，则机床各轴速度表示为
Figure BDA0004085804190000124
将式(2)带入式(4)得到
Figure BDA0004085804190000125
将名义路径的插补指令CLt作为斜坡信号，以时间间隔Ts连续输送至三个方向的单轴进给驱动系统，其瞬态跟踪误差表示为
Figure BDA0004085804190000131
其中，
Figure BDA0004085804190000136
Θτi为单轴进给驱动系统的样条轨迹控制点；
从而得到实际刀位CLrt：
Figure BDA0004085804190000132
步骤5、轮廓误差预测；
根据式(7),可得到名义路径的实际刀位CLrt＝[Prx,t,Pry,t,Prz,t]，设该实际刀位点与名义路径对应的最近点为Pf，根据轮廓误差定义，矢量CLrt-Pf与Pf处的切矢垂直，即(CLrt-Pf)·dP(uf)/du＝0，其中uf为Pf对应的参数，通过迭代求解的方法确定uf，则最近点
Figure BDA0004085804190000133
步骤6、轮廓误差预补偿模型的建立；
根据步骤2，可得到第NH段重构的实际样条路径的数学表达式为
Figure BDA0004085804190000134
以与名义路径等参数的方式对重构的实际样条路径进行插补，根据伺服系统的瞬态误差响应，对瞬态跟踪误差进行预测，可以得到各插补点处的瞬态跟踪误差为；
Figure BDA0004085804190000135
根据式(8)和式(9)得到预补偿后的实际刀位的数学表达式为；
Figure BDA0004085804190000141
定义轮廓误差矢量为与补偿后的实际刀位到名义路径对应的最近点Pf之间的有向距离，则轮廓误差矢量为
Figure BDA0004085804190000142
为使预补偿后的实际刀位落在名义路径上，从而达到预补偿后轮廓误差为零的目的，式(11)需满足的条件为
Figure BDA0004085804190000143
步骤7、控制点求解；
根据步骤6进一步可以得到满足插补点处轮廓误差为0的条件为
εTε＝0   (13)
为抑制第NH段路径的轮廓误差以提高零件轮廓性能，最小化所有插补点轮廓误差的平方和Ω，则有
Figure BDA0004085804190000144
为获得满足条件的控制点，对第g个控制点进行求导，得到下式：
Figure BDA0004085804190000145
其中，
Figure BDA0004085804190000151
um、uj分别代表第m个和第j个插补点对应的参数值；
那么式(15)改写为：
((N*)TN*)Θ*＝Υ   (16)
其中，
Figure BDA0004085804190000152
Figure BDA0004085804190000153
Figure BDA0004085804190000154
控制点可以通过下式求解：
Θ*＝((N*)TN*)-1Υ   (17)
步骤8、局部控制点修正及样条路径分段拼接；
为保证前一段样条路径与当前样条路径在拼接点处的连续性，需要重新对控制点进行修正。根据C2连续性条件及德布尔-考克斯算法，第NH段刀具路径的控制点可以由下式得到
Figure BDA0004085804190000161
其中，第NH-1和NH段位移曲线的B样条表达形式为
Figure BDA0004085804190000162
步骤9、重复以上步骤，直至所有分段样条路径控制点优化完成。
如图3所示，为数控加工路径补偿前的轮廓误差图，其轮廓误差最大值为0.0727mm。图4为基于传统的轮廓误差预补偿法补偿后的轮廓误差图，经过现有技术进行补偿后，轮廓误差最大值为0.0194mm；图5为本发明所提方法补偿后的轮廓误差图，，轮廓误差最大值为0.0117mm，同图4相比可以改善10.5％左右。

Claims (2)

1.一种基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法，其特征在于，根据数控机床各驱动轴的运动极限及加工弓高差对名义路径进行运动规划；采用插补算法对名义路径进行插补，并根据伺服系统的瞬态误差响应，预测出各插补点处的瞬态跟踪误差，获得各插补点的轮廓误差估计；以所获得的各插补点轮廓误差作为新的样条路径重构的初始条件，以与运动规划后的名义路径等参数采样的方式对重构的样条路径进行插补；依据预测的瞬态跟踪误差与名义路径的插补指令之间的解析关系，获得关于重构的样条路径控制点的实际刀位的线性化表达；通过定义实际刀位与名义路径上对应的根点之间的有向距离为轮廓误差矢量，依据轮廓误差矢量与重构的样条路径控制点之间的解析关系，建立轮廓误差预补偿模型；以整条加工路径上轮廓误差最小为优化目标，以重构的样条路径控制点为优化变量，采用最小二乘算法重构出整体样条路径，从而实现轮廓误差的精确预补偿。
2.根据权利要求1所述的基于数控加工路径全局解析重构的轮廓误差预补偿方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、名义路径总的分段数为N，将名义路径进行分段；第NH段名义路径的回溯点数h对应的参数长度为
Figure FDA0004085804180000011
NH＞1，则分段区间对应参数的起点及终点由式(1)得到
Figure FDA0004085804180000012
其中，
Figure FDA0004085804180000013
为第NH段名义路径起始位置对应参数、
Figure FDA0004085804180000014
为第NH段结束位置对应参数；
Figure FDA0004085804180000015
步骤2、采用NURBS曲线描述第NH段名义路径，NURBS曲线的表达式为
Figure FDA0004085804180000021
其中，u为归一化的名义路径参数，且u∈[0,1]；ωi(i＝0,1,...,n)为对应控制顶点的权重因子；Θi为名义路径曲线控制多边形的控制顶点，i＝0,1,...,n，n为总的控制点数目；k为NURBS样条曲线的阶次，Ni,k(u)为NURBS样条基函数；
Figure FDA0004085804180000022
步骤3、根据机床各轴的运动极限及加工弓高允差，对第NH段名义路径进行运动规划，然后基于插补算法对名义路径进行插补，生成插补序列CL＝{CLt|CLt＝(Px,t,Py,t,Pz,t),t＝1,...,l}，Px,t,Py,t,Pz,t分别代表插补点t处的x,y,z坐标，插补周期为Ts，l表示总插补点数目；
步骤4、跟踪误差预测；
基于比例控制器控制的位置闭环伺服驱动系统在阻尼比ξ∈[0.707,1]时，将单轴进给驱动系统简化为一阶惯性系统，其传递函数G(s)如下：
Figure FDA0004085804180000023
其中，Tτ表示为时间常数，τ表示x,y,z方向；s为复数；
已知插补点CLt＝(Px,t,Py,t,Pz,t)和插补周期Ts，则机床各轴速度表示为
Figure FDA0004085804180000031
将式(2)带入式(4)得到
Figure FDA0004085804180000032
将名义路径的插补指令CLt作为斜坡信号，以时间间隔Ts连续输送至三个方向的单轴进给驱动系统，瞬态跟踪误差表示为；
Figure FDA0004085804180000033
其中，
Figure FDA0004085804180000034
Θτi为单轴进给驱动系统的样条轨迹控制点；
从而得到实际刀位CLrt：
Figure FDA0004085804180000035
Prx,t、Pry,t、Prz,t分别表示实际刀位点的x、y、z坐标；
步骤5、轮廓误差预测；
根据式(7)，得到名义路径的实际刀位CLrt＝[Prx,t,Pry,t,Prz,t]，该实际刀位点与名义路径对应的最近点为Pf，根据轮廓误差定义，矢量CLrt-Pf与Pf处的切矢垂直，即(CLrt-Pf)·dP(uf)/du＝0，其中，uf为Pf对应的参数，通过迭代求解的方法确定uf，则最近点
Figure FDA0004085804180000041
步骤6、建立轮廓误差预补偿模型；
根据步骤2，得到第NH段重构的实际样条路径的数学表达式为
Figure FDA0004085804180000042
其中，
Figure FDA0004085804180000043
为重构的实际样条路径曲线控制多边形的控制顶点，
Figure FDA0004085804180000044
Figure FDA0004085804180000047
为总的控制点数目；
Figure FDA0004085804180000045
为对应控制顶点的权重因子；
以与名义路径等参数采样的方式对重构的实际样条路径进行插补，根据伺服系统的瞬态误差响应，对瞬态跟踪误差进行预测，得到各插补点处的瞬态跟踪误差为；
Figure FDA0004085804180000046
根据式(8)和式(9)得到预补偿后的实际刀位的数学表达式为；
Figure FDA0004085804180000051
其中，
Figure FDA0004085804180000052
定义轮廓误差矢量为预补偿后的实际刀位
Figure FDA0004085804180000053
到名义路径对应的最近点Pf之间的有向距离，则轮廓误差矢量为；
Figure FDA0004085804180000054
为使预补偿后的实际刀位落在名义路径上，从而达到预补偿后轮廓误差为零的目的，式(11)满足的条件为
Figure FDA0004085804180000055
步骤7、控制点求解；
根据步骤6进一步得到满足插补点处轮廓误差为0的条件为εTε＝0(13)为抑制第NH段名义路径的轮廓误差以提高零件轮廓性能，最小化所有插补点轮廓误差的平方和Ω，即
Figure FDA0004085804180000061
为获得满足条件的控制点，对重构的样条路径第g个控制点进行求导，得到下式：
Figure FDA0004085804180000062
其中，
Figure FDA0004085804180000063
um、uj分别代表第m个和第j个插补点对应的参数值；
式(15)改写为：
((N*)TN*)Θ*＝Υ    (16)
其中，
Figure FDA0004085804180000064
Figure FDA0004085804180000071
Figure FDA0004085804180000072
控制点通过下式求解：
Θ*＝((N*)TN*)-1Υ    (17)
步骤8、局部控制点修正及样条路径分段拼接；
为保证前一段样条路径与当前样条路径在拼接点处的连续性，重新对重构的样条路径控制点进行修正；根据C2连续性条件及德布尔-考克斯算法，第NH段刀具名义路径的控制点由下式得到；
Figure FDA0004085804180000081
Figure FDA0004085804180000082
Figure FDA0004085804180000083
其中，
Figure FDA0004085804180000084
为第NH段重构路径重新参数化后的第k+1个参数，第NH-1和NH段位移曲线的B样条表达形式为
Figure FDA0004085804180000085
重复以上步骤，直至所有分段样条路径控制点优化完成。
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