CN107589720A - 一种等效平面交叉耦合控制方法 - Google Patents

一种等效平面交叉耦合控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明一种等效平面交叉耦合控制方法属于多轴数控加工技术领域，涉及一种基于等效平面的用于提高三轴数控系统轮廓跟踪控制精度的三轴交叉耦合控制方法。该方法通过切向逆推及牛顿法，寻找实际刀位点到理想轮廓的近似垂足点，进而过近似垂足点处曲线切线及实际刀位点建立等效平面，将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的二维轮廓误差标量。并在等效平面内对带符号的轮廓误差标量进行PID控制，将等效平面内的两轴控制量耦合为实际空间三轴控制量，从而提高三轴轮廓跟踪精度。该方法可提高轮廓控制器设计的灵活性，将三维轮廓误差控制等效为两轴轮廓误差控制问题，可实现利用二维轮廓控制器对三维轮廓跟踪误差的等价控制。

Description

一种等效平面交叉耦合控制方法
技术领域
本发明属于精密高效智能化多轴数控加工技术领域，涉及一种用于提高三轴数控系统空间曲线轮廓跟踪精度的等效平面交叉耦合控制方法。
背景技术
多轴联动轮廓跟踪是数控系统在进行曲面零件加工过程中需完成的主要功能。在多轴联动轮廓跟踪运动过程中，由于单轴伺服控制系统随动误差、多轴控制系统动态失匹及外部扰动等因素存在，会导致实际运动轨迹与理想运动轨迹间产生偏差，即轮廓误差。由于该误差的存在，导致数控机床运动精度下降，影响加工精度，因此，研究轮廓误差的控制方法，对实现精密高效加工具有重要意义。目前，交叉耦合控制是用于轮廓误差抑制的主要方法，然而，虽两轴交叉耦合控制方法有较多报道，但三轴交叉耦合控制器的设计方法较少，且大部分现有两轴交叉耦合控制无法推广应用到三轴轮廓跟踪中。鉴于复杂曲面零件往往需要三个进给轴进行空间联动实现加工，三轴交叉耦合控制方法需求迫切。
现有技术文献1“Analysis and Design of Integrated Control for Multi-Axis Motion Systems”，Yeh等，IEEE Transactions on Control Systems Technology，2003，11(3)：375-382，该文献通过切线近似的方法估计空间轮廓误差矢量，将轮廓误差矢量的模作为所设计的交叉耦合控制器的被控对象，然而，此时被控对象由于是矢量的模，故恒为正值，导致控制算法设计灵活性受限。文献2“A two-layered cross couplingcontrol scheme for a three-dimensional motion control system”，Zhang等，International Journal of Machine Tools&Manufacture，2015，98：12-20，该文献建立一种两层交叉耦合控制结构，在底层对平面两轴轮廓误差进行控制，在顶层对第三轴的引入产生的轮廓误差进行控制，然而该方法未将实际空间轮廓误差作为被控对象，主要适用于对二维轮廓精度要求更高的场合。
发明内容
本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种用于提高三轴数控系统轮廓跟踪精度的等效平面交叉耦合控制方法，该方法根据空间曲线与实际运动位置几何信息，通过切向逆推及牛顿法，寻找实际刀位点到理想轮廓的近似垂足点，进而过近似垂足点处曲线切线及实际刀位点建立等效平面，将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的二维轮廓误差标量，并在等效平面内对带符号的轮廓误差标量进行PID控制，将等效平面内的两轴控制量耦合为实际空间三轴控制量，降低三轴轮廓误差，提高三轴轮廓跟踪精度。
本发明的技术方案是一种等效平面交叉耦合控制方法，其特性在于，该方法通过寻找实际刀位点到理想轮廓的近似垂足点，过近似垂足点处曲线切线及实际刀位点建立等效平面，将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的二维轮廓误差标量，并在等效平面内对带符号的轮廓误差标量进行PID控制，将等效平面内的两轴控制量耦合为实际空间三轴控制量，从而提高三轴轮廓跟踪精度；方法具体步骤如下：
第一步建立等效平面
设从参数曲线插补器中获得的理想轮廓参数方程为C＝C(u)，u为曲线参数，理想刀位点为R＝[rx,ry,rz]，理想刀位点处曲线参数为ur，实际刀位点为P＝[px,py,pz]；定义曲线上C(u)点处的切向误差dt(u)为向量C(u)-P在C(u)点处切矢方向上的投影，计算为：
其中C′(u)为C(u)对曲线参数u的一阶导矢，|| ||表示欧几里得范数；
由于轮廓误差定义为实际刀位点到理想轮廓的垂直距离，当C(u)恰好为理想轮廓上距离实际刀位点P最近的垂足点时，切向误差dt(u)必为零；通过求解方程dt(u)＝0找到P到理想轮廓近似垂足点处参数uf，以为建立等效平面奠定基础；首先，通过切向逆推计算逆推点参数ub：
其次，将参数ub作为牛顿法初值，利用牛顿法求取方程dt(u)＝0的解uN：
最后，判断牛顿法是否收敛，若|dt(uN)|<|dt(ub)|，说明牛顿法收敛，令垂足点参数uf＝uN，否则，在ub处重新利用切向逆推计算垂足点参数，据此，垂足点参数为uf计算为：
过实际刀位点P和近似垂足点C(uf)处曲线切线建立等效平面，等效平面法向量nE为：
其中×表示向量外积；
以等效平面与原始空间直角坐标系XY平面交线作为等效平面水平轴XE，以垂直于XE的方向作为等效平面竖直轴YE，二者计算方法为：
第二步等效平面内轮廓误差计算与交叉耦合控制
在等效平面内计算带有正负号的轮廓误差估计值，实际刀位点P到近似垂足点C(uf)的XE向随动误差ex,E及YE向随动误差ey,E为：
计算等效平面内轮廓误差估计值
其中Cx,E、Cy,E分别为等效平面内XE和YE向交叉耦合增益，计算为：
θ为C′(uf)与XE的夹角，且
以带有正负号的等效平面内轮廓误差估计值为控制对象，进行PID控制，得到t时刻交叉耦合控制量Uc(t)为：
其中kp、ki、kd分别为比例、积分、微分增益；
根据交叉耦合控制量Uc(t)，计算XE向控制量Δx,E、YE向控制量Δy,E：
第三步空间三轴控制量计算
根据等效平面水平轴、竖直轴与原始空间直角坐标系X、Y、Z轴关系，计算等效平面两轴到空间各轴的耦合增益：
其中，kx,x为XE轴到X轴耦合增益，kx,y为XE轴到Y轴耦合增益，ky,x为YE轴到X轴耦合增益，ky,y为YE轴到Y轴耦合增益，ky,z为YE轴到Z轴耦合增益；
进而计算X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz：
将X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz分别加入到X、Y、Z进给轴位置环控制量中，实现等效平面交叉耦合控制，从而降低三维空间轮廓误差。
本发明的有益效果是发明了等效平面交叉耦合控制方法，将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的轮廓误差标量，可提高轮廓控制器设计的灵活性；将三维轮廓误差控制等效为两轴轮廓误差控制问题，可实现利用二维轮廓控制器对三维轮廓跟踪误差的等价控制。
附图说明
图1—方法整体流程图；
图2—直角坐标系中曲线刀轨几何模型图；
图3—利用本发明方法和不利用本发明方法得到的轮廓误差图；其中，A轴为加工时间，单位为s，B轴为轮廓误差，单位为mm；曲线1表示不利用本发明方法得到的轮廓误差，曲线2表示利用本发明方法得到的轮廓误差。
具体实施方式
结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。
在曲线插补加工过程中，由于单轴随动误差及多轴动态失匹等因素存在，导致实际运动轨迹与理想轨迹产生偏差，即轮廓误差。为降低三轴轮廓误差，提高加工精度，发明一种等效平面交叉耦合控制方法。
附图1为方法整体流程图，附图2为直角坐标系中曲线刀轨几何模型图，以附图2所示刀轨为例，详细说明本发明具体实施过程。
根据附图1所示方法整体流程，对附图2所示曲线刀轨轮廓跟踪运动控制过程中的三维空间轮廓误差进行等效平面交叉耦合控制，具体步骤为：
第一步建立等效平面：根据发明内容中第一步所述方法，基于切向逆推及牛顿法，寻找实际刀位点P到理想刀轨轮廓C(u)的近似垂足点C(uf)，并利用公式(5)计算等效平面法向量nE，利用公式(6)计算等效平面水平轴XE及等效平面竖直轴YE；
第二步等效平面内轮廓误差计算与交叉耦合控制：利用公式(8)计算等效平面内带有正负号的三维轮廓误差标量估计值并在对其进行PID控制的基础上，利用公式(11)计算等效平面内XE向控制量Δx,E、YE向控制量Δy,E；
第三步空间三轴控制量计算：根据公式(12)计算等效平面两轴到空间各轴的耦合增益，进而利用公式(13)计算三维空间X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz，将X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz分别加入到X、Y、Z进给轴位置环控制量中，在每一个插补周期执行上述三个步骤，实现等效平面交叉耦合控制。
附图3所示为利用本发明方法和不利用本发明方法得到的轮廓误差图；其中，A轴为加工时间，单位为s，B轴为轮廓误差，单位为mm；曲线1表示不利用本发明方法得到的轮廓误差，曲线2表示利用本发明方法得到的轮廓误差；可见，不利用本发明方法得到的轮廓误差最大值约为0.4mm，利用本发明方法得到的轮廓误差最大值约为0.07mm，利用本发明等效平面交叉耦合控制方法将三维空间轮廓误差最大值降低了82.5％；因此，本发明方法可有效降低三轴加工过程中的轮廓误差，提高空间轮廓跟踪精度。
本发明面向曲线插补过程中由于伺服滞后及外界扰动等因素存在轮廓误差，且三维空间轮廓误差较二维平面轮廓误差控制困难的问题，发明一种等效平面交叉耦合控制方法，可将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的轮廓误差标量，不仅有利于轮廓控制器的灵活设计，更可实现利用二维轮廓控制器对三维轮廓跟踪误差的等价控制。

Claims (1)

1.一种等效平面交叉耦合控制方法，其特性在于，该方法通过寻找实际刀位点到理想轮廓的近似垂足点，过近似垂足点处曲线切线及实际刀位点建立等效平面，将三维轮廓误差矢量解耦成等效平面内的二维轮廓误差标量，并在等效平面内对带符号的轮廓误差标量进行PID控制，将等效平面内的两轴控制量耦合为实际空间三轴控制量，从而提高三轴轮廓跟踪精度；方法具体步骤如下：
第一步建立等效平面
设从参数曲线插补器中获得的理想轮廓参数方程为C＝C(u)，u为曲线参数，理想刀位点为R＝[rx,ry,rz]，理想刀位点处曲线参数为ur，实际刀位点为P＝[px,py,pz]；定义曲线上C(u)点处的切向误差dt(u)为向量C(u)-P在C(u)点处切矢方向上的投影，计算为：
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其中C′(u)为C(u)对曲线参数u的一阶导矢，|| ||表示欧几里得范数；
由于轮廓误差定义为实际刀位点到理想轮廓的垂直距离，当C(u)恰好为理想轮廓上距离实际刀位点P最近的垂足点时，切向误差dt(u)必为零；通过求解方程dt(u)＝0找到P到理想轮廓近似垂足点处参数uf，以为建立等效平面奠定基础；首先，通过切向逆推计算逆推点参数ub：
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其次，将参数ub作为牛顿法初值，利用牛顿法求取方程dt(u)＝0的解uN：
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最后，判断牛顿法是否收敛，若|dt(uN)|<|dt(ub)|，说明牛顿法收敛，令垂足点参数uf＝uN，否则，在ub处重新利用切向逆推计算垂足点参数，据此，垂足点参数为uf计算为：
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过实际刀位点P和近似垂足点C(uf)处曲线切线建立等效平面，等效平面法向量nE为：
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其中×表示向量外积；
以等效平面与原始空间直角坐标系XY平面交线作为等效平面水平轴XE，以垂直于XE的方向作为等效平面竖直轴YE，二者计算方法为：
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第二步等效平面内轮廓误差计算与交叉耦合控制
在等效平面内计算带有正负号的轮廓误差估计值，实际刀位点P到近似垂足点C(uf)的XE向随动误差ex,E及YE向随动误差ey,E为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
计算等效平面内轮廓误差估计值
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其中Cx,E、Cy,E分别为等效平面内XE和YE向交叉耦合增益，计算为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
θ为C′(uf)与XE的夹角，且
以带有正负号的等效平面内轮廓误差估计值为控制对象，进行PID控制，得到t时刻交叉耦合控制量Uc(t)为：
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其中kp、ki、kd分别为比例、积分、微分增益；
根据交叉耦合控制量Uc(t)，计算XE向控制量Δx,E、YE向控制量Δy,E：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第三步空间三轴控制量计算
根据等效平面水平轴、竖直轴与原始空间直角坐标系X、Y、Z轴关系，计算等效平面两轴到空间各轴的耦合增益：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>E</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，kx,x为XE轴到X轴耦合增益，kx,y为XE轴到Y轴耦合增益，ky,x为YE轴到X轴耦合增益，ky,y为YE轴到Y轴耦合增益，ky,z为YE轴到Z轴耦合增益；
进而计算X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将X轴控制量Δx、Y轴控制量Δy、Z轴控制量Δz分别加入到X、Y、Z进给轴位置环控制量中，实现等效平面交叉耦合控制，从而降低三维空间轮廓误差。
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Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108490874A (zh) * 2018-03-06 2018-09-04 浙江工业大学 一种双轴运动控制系统的非线性pid交叉耦合控制方法
CN110443199A (zh) * 2019-08-06 2019-11-12 暨南大学 一种基于二维几何轮廓的点云姿态识别方法

Families Citing this family (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2019090487A1 (zh) * 2017-11-07 2019-05-16 大连理工大学 数控机床高动态大范围任意轮廓误差单目六维测量方法
CN111459016B (zh) * 2020-03-31 2023-05-05 浙江博尼时尚控股集团有限公司 一种裁床切割机轨迹轮廓跟踪控制方法
CN111624943B (zh) * 2020-05-15 2023-07-07 西安航空职业技术学院 一种位置环交叉耦合机器人轮廓控制方法
CN113219840B (zh) * 2021-06-09 2022-02-01 西安文理学院 三轴运动平台自适应滑模交叉耦合轮廓控制方法

Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20110029100A1 (en) * 2009-07-31 2011-02-03 Johnson Controls Technology Company Systems and methods for improved start-up in feedback controllers
CN106125674A (zh) * 2016-08-03 2016-11-16 大连理工大学 一种高精度实时轮廓误差估计方法
CN106354092A (zh) * 2016-09-24 2017-01-25 大连理工大学 一种随动与轮廓误差自适应实时补偿方法
CN106843146A (zh) * 2017-03-09 2017-06-13 大连理工大学 一种自适应变增益轮廓误差补偿方法

Family Cites Families (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
TWI329246B (en) * 2007-03-23 2010-08-21 Univ Chung Yuan Christian Measuring method and system for cnc machine
KR101126808B1 (ko) * 2010-03-02 2012-03-23 경북대학교 산학협력단 다축 제어 기계의 오차 평가 방법 및 장치
CN102566500B (zh) 2011-11-24 2013-09-18 山东理工大学 基于直线段逼近节点的数控系统轮廓误差控制方法
CN104898564B (zh) 2015-05-04 2017-06-23 大连理工大学 一种降低三轴联动轮廓误差的方法
CN106200553B (zh) 2016-08-03 2018-07-13 大连理工大学 随动与轮廓误差在线协同补偿方法
CN106125673B (zh) 2016-08-03 2018-06-15 大连理工大学 基于空间圆弧近似的轮廓误差实时估计方法

Patent Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US20110029100A1 (en) * 2009-07-31 2011-02-03 Johnson Controls Technology Company Systems and methods for improved start-up in feedback controllers
CN106125674A (zh) * 2016-08-03 2016-11-16 大连理工大学 一种高精度实时轮廓误差估计方法
CN106354092A (zh) * 2016-09-24 2017-01-25 大连理工大学 一种随动与轮廓误差自适应实时补偿方法
CN106843146A (zh) * 2017-03-09 2017-06-13 大连理工大学 一种自适应变增益轮廓误差补偿方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
DAILIN ZHANG等: "A two-layeredcrosscouplingcontrolschemeforathree-dimensionalmotion control system", 《INTERNATIONAL JOURNAL OF MACHINE TOOLS&MANUFACTURE》 *
SYH-SHIUH YEH等: "Analysis and Design of Integrated Control for Multi-Axis Motion Systems", 《IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY》 *

Cited By (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108490874A (zh) * 2018-03-06 2018-09-04 浙江工业大学 一种双轴运动控制系统的非线性pid交叉耦合控制方法
CN108490874B (zh) * 2018-03-06 2020-01-10 浙江工业大学 一种双轴运动控制系统的非线性pid交叉耦合控制方法
CN110443199A (zh) * 2019-08-06 2019-11-12 暨南大学 一种基于二维几何轮廓的点云姿态识别方法
CN110443199B (zh) * 2019-08-06 2021-10-15 暨南大学 一种基于二维几何轮廓的点云姿态识别方法

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