CN102681489A - 多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，它通过多轴参数模型预测控制和非线性自适应模糊PID控制的复合模式控制模式实现对多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工误差的控制，同时通过构建一种轮廓误差模型、速度误差模型和加速度误差模型来提高误差模型计算效率；通过新型性能优化指标，使系统的跟踪误差、轮廓误差、速度误差和加速度误差最小，以提高多轴伺服控制系统的控制性能；通过、简化的计算模型求解多轴参数模型预测控制增量以满足控制系统的实时性；采用非线性自适应模糊PID控制方法来提高多轴联动数控系统鲁棒性。本发明有效地提高了多轴联动数控系统的运动平稳性和轮廓加工精度。

Description

多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法

技术领域

本发明涉及数控技术领域，尤其涉及一种多轴联动数控系统技术，具体地说是一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法。

背景技术

多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度是保证数控机床加工精度的关键要素之一。随着先进制造技术的发展，高速高精度数控机床对数控系统的运动平稳性和轮廓误差控制提出更高要求。对数控系统来说，除插补阶段的前瞻处理和速度规划对数控系统的运动平稳性和轮廓精度产生影响外，多轴联动协同控制对数控系统的运动平稳性和轮廓加工精度产生较大影响。

数控系统运动平稳性主要表现在两个方面：一是采用柔性加减速控制模型进行速度规划；二是采用具有前瞻处理功能的插补技术，改善高速运动的平稳性。选择合适的加减速控制模型是实现机床平稳运行的前提，具有前瞻处理功能的速度规划方法有利于提高系统的运动平稳性。但是这些方法的研究仅局限于插补阶段的理论分析和计算，按照选择的理想加减速模型进行几何分析和计算，并没有结合伺服控制系统的动力学模型进行综合考虑。因此，数控系统的运动平稳性还应考虑伺服控制过程，构成一个有机系统进行分析和研究，确保伺服轴运动能够尽可能地跟随插补阶段的理论计算值，有利于减小轮廓误差和速度波动，提高数控系统的轮廓精度和运动平稳性。

轮廓误差控制主要表现在多轴和单轴的位置伺服控制方面。多轴联动数控系统的加工误差来源于两个方面：单轴的跟踪误差和多轴的轮廓误差。较之单轴跟踪误差对零件加工精度产生的影响，轮廓误差产生的影响更大。因此，减小轮廓误差已成为高速高精度多轴联动数控系统研究的重要方向之一。在位置伺服控制过程中，轮廓误差控制方法主要有：跟踪误差控制、交叉耦合控制和优化控制等三种方法。多环控制结构已广泛应用于工业运动控制领域，PID控制方法是一种广泛应用的控制方法。另外一种比较流行的控制方法是前馈控制方法，多用于高速数控机床中消除伺服位置滞后的现象。在前馈控制方法中，零相位误差跟踪控制器作为前馈跟踪控制器，提高了系统的快速响应速度，实现系统的准确跟踪。虽然这些方法对数控系统单个轴的控制具有良好的定位能力和跟踪性能，但是这种非耦合的控制方法由于受到动态响应性能不匹配和系统增益不一致等因素的影响，并不能保证系统具有良好的轮廓精度。为了解决这一问题，采用交叉耦合控制方法减小系统的轮廓误差。另外，变增益、模糊控制、鲁棒控制、自适应控制和神经网络控制也纷纷应用于交叉耦合控制器。然而，采用交叉耦合控制方式解决复杂的轮廓加工精度难题对于控制工程师来说仍然是一个具有挑战性的任务。为了提高数控系统的轮廓加工精度，优化控制方法也用在交叉耦合控制中。优化控制方法主要优点体现在：一方面在于模型预测控制的性能指标函数中容易引入输入信号量，通过实时优化性能指标可以准确地推导出控制信号量，同时可根据跟踪误差和轮廓误差的性能要求进行控制性能指标的改进；另一方面，优化控制方法还可以考虑动力学模型的误差和干扰等因素。

目前数控系统的速度规划和伺服控制过程是相互独立进行的，并没有形成一个有机整体，通常多轴联动数控位置伺服控制中仅考虑控制跟踪误差和轮廓误差，并没有对速度误差和加速度误差采取有效的控制措施，系统的运动平稳性得不到有效保证。因此，将多轴联动数控系统的插补过程和位置伺服控制过程作为一个有机整体进行综合考虑，将插补阶段的理论计算和多轴联动的位置伺服控制进行有机结合，使伺服轴的实际运动尽可能地按照理论规划的轨迹运动，从而保证多轴联动数控系统的运动平稳性和轮廓加工精度。

发明内容

本发明的目的是针对现有多轴数控系统的速度规划和伺服控制过程是相互独立进行的，这种控制方法易导致运动的平稳性差，并影响轮廓精度的问题，提出一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，它通过多轴联动数控系统插补过程和位置伺服控制作为一个系统，将插补阶段的理论计算和多轴联动位置伺服控制有机结合，保证运动尽可能地按照速度规划的轨迹进行运动，从而保证多轴联动数控系统运动的平稳性和轮廓精度。

本发明的技术方案是：

一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，其特征是它包括以下步骤：

（1）建立多轴伺服控制系统模型为：

P_i(k)=p_i(k)+p_i′(k)  i=x,y,z    (1)

j＝1,…,n_i，s＝1,…,m_i。

（2）建立误差估计模型；所述的误差估计模型包括跟踪误差估计模型、轮廓误差估计模型、速度误差估计模型和加速度误差估计模型，分别对误差估计模型进行建模；

（3）采用多轴参数模型预测控制和非线性自适应模糊PID控制复合模式控制方法，由多轴参数模型预测控制得到三个轴的控制输入信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)，由非线性自适应模糊PID控制得到输入信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)，多轴控制系统在输入控制信号和误差补偿控制信号的共同作用下进行复合控制，以实现对多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓误差控制，其中u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)分别表示多轴的线性模型的控制输入信号，u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)分别表示非线性模型的控制输入信号。

所述各误差估计模型的建立方法为：

（a）轮廓误差估计模型：以当前控制采样周期的实际输出位置到当前周期期望输出位置和上一周期的期望输出位置构成的直线的最短距离作为当前采样周期的轮廓误差的估算值，得到当前采样周期的轮廓误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_x=x_{p,i}-x_{r,i}^{\′}\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)e_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_y=y_{p,i}-y_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)e_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_z=z_{p,i}-z_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)e_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中ε_x、ε_y和ε_z分别表示x、y和z轴的轮廓误差，Δw_x=x_r，i-x_r，i-1，Δw_y=y_r，i-y_r，i-1，Δw_z=z_r，i-z_r，i-1，e_x=x_p，i-x_r，i、e_y=y_p，i-y_r，i和e_z=z_p，i-z_r，i分别表示x、y和z轴的跟踪误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1,z_r，i-1)和R_i(x_r，i,y_r，i，z_r,i)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1，y_p，i-1，z_p，i-1)和P_i(x_p，i,y_p，i,z_p，i)分别为控制系统的实际输出位置。

（b）速度误差估计模型：根据当前控制周期理论速度和系统每个伺服控制轴的实际速度得到速度误差估计模型，多轴的速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=v_{p,x}-v_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_y=v_{p,y}-v_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_z=v_{p,z}-v_{r,z}=\frac{(z_{p,i}-x_{r,i})-(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})}{T}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中δ_x、δ_y和δ_z分别表示x、y和z轴的速度误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1，z_r，i-1)和R_i(x_r，i,y_r，i,z_r，i)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1,y_p，i-1,z_p，i-1)和Pi(x_p，i,y_p，i，z_p，i)分别为控制系统的实际输出位置，T为控制采样周期。

（c）加速度误差估计模型：根据当前控制周期理论加速度和系统每个伺服控制轴的实际加速度得到加速度误差估计模型，多轴的加速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_x=a_{p,x}-a_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-2(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})+(x_{p,i-2}-x_{r,i-2})}{T^2}\\ {\mathrm{\γ}}_y=a_{p,y}-a_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-2(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})+(y_{p,i-2}-y_{r,i-2})}{T^2}\\ {\mathrm{\γ}}_z=a_{r,z}-a_{p,z}=\frac{(z_{p,i}-z_{r,i})-2(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})+(z_{p,i-2}-z_{r,i-2})}{T^2}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中γ_x、γ_y和γ_z分别表示x、y和z轴的加速度误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1，z_r，i-1)、R_i(x_r，i,y_r，i,z_r，i)和R_i+1(x_r，i+1,y_r，i+1,z_r，i+1)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1，y_p，i-1,z_p，i-1)、P_i(x_p，i,y_p，i，z_p，i)和P_i+1(x_p，i+1，y_p，i+1,z_p，i+1)分别为控制系统的实际输出位置，T为控制采样周期。

所述的多轴联动参数模型预测控制是通过多轴参数模型预测控制对多轴位置伺服控制系统模型中的线性模型进行控制，得到系统参数模型预测控制的三个轴的控制输入信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)；所述的非线性自适应误差补偿控制是通过非线性自适应模糊PID控制对非线性模型进行控制得到误差补偿控制的输入信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)；所述的非线性自适应变论域模糊PID控制相结合的复合模式控制策略对对多轴位置伺服控制系统模型复合控制。

所述多轴联动参数模型预测控制包括以下步骤：

（a）建立多轴参数预测模型为：

P_im(k+1)=P_iA_i+B_iΔU_i+B_i0ΔU_i(k-1)    (19)

式中P_im(k+1)=[p_im(k+1),…,p_im(k+N)]^T为未来的参数模型预测输出；

ΔU_i=[Δu_i(k),Δu_i(k+1),…,Δu_i(k+M-1)]^T为当前和未来的控制增量向量；

ΔU_i(k-1)=[Δu_i(k-m_i+1),Δu_i(k-m_i+2),…,Δu_i(k-1)]^T为过去的控制增量向量；

为增量参数预测模型的输出项系数；

$P_i=\left[\begin{array}{cccc}{p}_i\left(k\right)& p_i(k-1)& \·\·\·& P_i(k-n_i)\\ p_i(k+1)& p_i\left(k\right)& \·\·\·& p_i(k-n_i+1)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ p_i(k+N-1)& p_i(k+N-2)& \·\·\·& p_i(k-n_i+N-1)\end{array}\right]$

$B_i=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{i,1}& 0& \·\·\·& 0\\ b_{i,2}& b_{i,1}& \·\·\·& 0\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,M}& b_{i,M-1}& \·\·\·& b_{i,1}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,N}& b_{i,N-1}& \·\·\·& b_{i,N-M+1}\end{array}\right],$

上述的多轴参数预测模型可分解成三个分量：第一个分量P_iA_i取决于过去和未来的输出量，第j步中包含未来输出量可通过第j-1步求得，或者用参考轨迹p_ir(k+j)近似代替p_i(k+j)；第二个分量B_iΔU取决于当前和未来的控制输入增量；最后一个分量B_i0ΔU_i(k-1)取决于过去的控制输入增量；

（b）构建性能优化指标，包括：最小跟踪误差；最小的轮廓误差；最小的速度误差；最小的加速度误差；最小的输入信号量波动；有加权系数的二次型性能优化指标写成矩阵形式，可表示为：

$J=E\left\{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[E_i^T{Q}_i{E}_i+{{\mathrm{\Φ}}_i}^T{R}_i{\mathrm{\Φ}}_i+{{\mathrm{\Ω}}_i}^T{N}_i{\mathrm{\Ω}}_i+{{\mathrm{\Γ}}_i}^T{K}_i{\mathrm{\Γ}}_i+{U_i}^T{\mathrm{\Λ}}_i{\mathrm{\ΔU}}_i]\right\},i=x,y,z---\left(20\right)$

其中E_i=P_im(k+1)-P_ir(k+1)为第i轴的跟踪误差，Φ_i为第i轴的轮廓误差，Ω_i为第i轴的速度误差项，Γ_i为第i轴的加速度误差，ΔU_i(k)为第i轴的当前和未来的控制输入增量，Λ_i=diag(λ_i1,λ_i2,…,λ_iM)控制输入增量的加权系数，Q_i=diag(q_i1,q_i2,…,q_iN)为跟踪误差项的加权系数，R_i=diag(r_i1,r_i2,…,r_iN)为轮廓误差项的加权系数，N_i=diag(n_i1，n_i2，…,n_iN)为速度误差项的加权系数，K_i=diag(k_i1,k_i2，…,k_iN)为加速度误差项的加权系数；Φ_i、Ω_i和Γ_i由轮廓误差估计模型、速度误差估计模型和加速度误差估计模型分别求得，表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_x=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)E_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_y=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)E_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_z=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)E_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array},\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_x=\frac{E_x-E_x(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_y=\frac{E_y-E_y(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_z=\frac{E_z-E_z(k-1)}{T}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Γ}}_x=\frac{E_x-{2E}_x(k-1)+E_x(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_y=\frac{E_y-{2E}_y(k-1)+E_y(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_z=\frac{E_z-{2E}_z(k-1)+E_z(k-2)}{T^2}\end{array}\right.$

（c）计算多轴参数预测模型最优控制率，控制增量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[B_x^T{Q}_{x1}{B}_x+{\mathrm{\Λ}}_x]}^{-1}{B}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[B_y^T{Q}_{y1}{B}_y+{\mathrm{\Λ}}_y]}^{-1}{B}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[B_z^T{Q}_{z1}{B}_z+{\mathrm{\Λ}}_z]}^{-1}{B}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}\end{array}\right.---\left(21\right)$

式中：

$Q_{x1}=Q_x+N_{x1}+K_{x1}+\frac{{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{y1}=Q_y+N_{y1}+K_{y1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_x+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{z1}=Q_z+N_{z1}+K_{z1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_y+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)}^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_1=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_y-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_2=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{R}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{{\mathrm{\Δw}}_y\mathrm{\Δw}}_x{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_3=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2){\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$N_{x1}=\frac{N_x}{T^2},$ $N_{y1}=\frac{N_y}{T^2},$ $N_{z1}=\frac{N_z}{T^2},$ $K_{x1}=\frac{K_x}{T^4},$ $K_{y1}=\frac{K_y}{T^4},$ $K_{z1}=\frac{K_z}{T^4}.$

（d）最优控制率实时简化计算，根据多轴参数模型预测控制的控制规律，当前和未来M步的控制增量之间满足如下关系：

${\mathrm{\Δu}}_i(k+j)=(1-{\mathrm{\η}}_i^{M-j}){\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)---\left(22\right)$

其中η_i为输入柔化系数，η_i∈(0,1)，j=0,1,…,M-1，M为控制时域长度；系统当前和未来时刻的控制输入增量为：

${\mathrm{\ΔU}}_i={\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right){[\mathrm{1,1}-{\mathrm{\η}}_i^{M-j},\·\·\·,1-{\mathrm{\η}}_i]}^T---\left(23\right)$

得到系统的控制输入增量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[F_x^T{Q}_{x1}{F}_x+{\mathrm{\λ}}_x{s}^{T}s]}^{-1}{F}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[F_y^T{Q}_{y1}{F}_y+{\mathrm{\λ}}_s{s}^{T}s]}^{-1}{F}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[F_z^T{Q}_{z1}{F}_z+{\mathrm{\λ}}_z{s}^{T}s]}^{-1}{F}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.---\left(24\right)$

式中：λ_i为控制增量加权系数，F_i=B_is,s=[1,1-η^M-j,…,1-η]^T。

所述的非线性自适应模糊PID控制方法主要由模糊控制器、非线性自适应PID控制和变论域调整因子三部分组成：

（a）模糊控制器用于得到模糊控制器的精确输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}]e_i\left(k\right)+{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}e\left(j\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)---\left(30\right)$

式中误差e_i(k)和误差变化Δe_i(k)的量化因子分别为k_ei和k_Δei，两个子模糊控制器的控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子分别为k_ui和k_Δui。

（b）非线性自适应PID控制，用于对多轴联动伺服控制系统的参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行补偿控制，由PID控制器误差补偿的控制信号量为：

$u_{i2}\left(k\right)=K_{\mathrm{Pi}}{e}_i\left(k\right)+K_{\mathrm{Ii}}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}e\left(j\right)+K_{\mathrm{Di}}\mathrm{\Δ}{e}_i\left(k\right)---\left(31\right)$

式中e_i(k)为t=k时刻第i轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差，i＝x,y,z.得到各种增益为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{Pi}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\\ K_{\mathrm{Ii}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\\ K_{\mathrm{Di}}=(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\end{array}\right.---\left(32\right)$

式中：非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di与模糊控制器的输入变量的量化因子k_ei和k_Δei、比例因子k_ui和k_Δui以及调整因子ρ之间满足非线性解析关系。

（c）变论域调整因子,得到变化因子为：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δei}}=\frac{2{\mathrm{\ρK}}_{\mathrm{Di}}{k}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ})[K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}]}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}}{{2\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}}{(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(33\right)$

通过这种方法进行PID增益自适应调整，必然引起k_ei、k_Δei、k_ui和k_Δui因子的变化，从而导致模糊变量的论域发生变化；其变论域自适应调整因子实现步骤如下：

①计算参数模型预测输出与实际输出之间的误差。计算多轴联动位置伺服控制系统各伺服控制轴的参数模型预测输出p_im(k)，获取系统实际输出p_i(k)，确定它们之间的偏差e_i(k)；

②计算误差输入变量论域变化因子；设误差变量的论域变化因子为θ_i，以误差输入模糊变量E_i为自变量，其论域变化因子θ_i为因变量，根据θ_i和E_i的变化规律，构造论域变化因子的变化规律为：

${\mathrm{\θ}}_i={\left(\frac{\left|E_i\right|}{E_{i\max }}\right)}^v---\left(34\right)$

其中|E_i|/E_imax∈[0,1]，y>0，[-E_imax,E_imax]为误差变量的初始论域，θ_i∈[0,1]；根据|E_i|/E_imax值及其误差输入模糊变量E_i的变化，自适应选择不同的v值，得到变结构参数的论域变化因子θ_i；

③确定误差输入变量新论域；根据选择的v值，通过式（15）计算得到误差模糊变量新论域为[-θ_iE_imax,θ_iE_imax]；

④计算误差输入变量的量化因子。根据量化因子的定义，得到新论域中的量化因子为：

$k_{\mathrm{ei}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_i\×E_{i\max }}{e_{i\max }}---\left(35\right)$

其中e_imax为误差输入量精确量的最大值；根据式（16）计算得到的误差输入变量的量化因子k_ei；

⑤确定误差变化量化因子和输出比例因子；以非线性PID设置的初始比例增益K′_Pi、初始的积分增益K′_Ii和初始的微分增益K′_Di为常量，以误差输入变量的量化因子k_ei为自变量，由式（15）得到k_Δei、k_ui和k_Δui值：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δ\ϵ}}=\frac{K_{\mathrm{Di}}^{\′}{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\α}}_i}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}^{\′}}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(36\right)$

其中为常量；为了提高多轴联动位置伺服控制系统的控制性能，动态自适应调整系统的调整因子ρ，根据系统的误差和误差的变化，可设计一个修正函数α(k)，得到调整因子ρ的表达式为：

ρ(k)=ρ(k-1)+α(k)    (37)

其中α(k)为修正函数，ρ(k)∈(0,1)；

⑥计算非线性PID增益。由式（13）得到自适应变化的非线性PID的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di。

本发明的有益效果是：

（1）本发明采用多轴参数模型预测控制和非线性自适应模糊PID控制相结合的复合模式控制方法，通过提出的新型性能优化指标函数，在理论方法上保证系统在运动过程中具有最小的跟踪误差、轮廓误差、速度误差和加速度误差，提高伺服控制系统的控制性能、抗干扰能力和鲁棒性，从而有效提高多轴联动数控系统的运动平稳性和轮廓加工精度。

（2）本发明所使用的复合模式控制方法，将多轴联动数控系统的插补过程和位置伺服控制过程作为一个有机整体进行综合考虑，尤其对复杂形状零件的数控加工控制，相比于单轴的位置跟踪控制和多轴交叉耦合轮廓误差控制方法，在减小系统运动速度和加速度波动以及轮廓误差方面具有更好的控制效果。

（3）本发明中所使用的控制方法，通过实时优化性能指标可准确地推导出系统控制输入量，同时还可以考虑系统模型误差和干扰等因素，进行主动控制，与常用的多轴联动控制方法相比，可得到更平稳的输出量和更高的轮廓精度。

通过以下实例的详细描述和相关参考附图，说明本发明的特点和优点。

附图说明

图1传统的轮廓误差模型图。

图2轮廓误差估算模型图。

图3多轴联动位置伺服控制系统复合模式控制策略框图。

图4非线性自适应模糊PID控制框图。

图5多轴联动位置伺服控制流程图。

图6数控加工运动轨迹图

图7多轴联动复合模式控制的跟踪误差图

图8多轴复合模式控制的x和y轴的速度图

图9多轴复合模式控制的x和y轴的加速度图

图10多轴合模式控制轮廓误差图

图11PID控制的跟踪误差图

图12PID控制x和y轴的速度图

图13PID控制x和y轴的加速度图

图14PID控制轮廓误差图

具体实施方式

以一个实例说明本发明具体的实施方式如下：

如图1-14所示。

一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，它包括以下步骤：

（1）建立多轴伺服控制系统模型。由于受到环境变化和外部干扰等因素的影响，多轴联动位置伺服控制系统具有一定的非线性、不确定性和时变性等特点。仅以线性模型作为伺服控制系统的数学模型，必然存在模型误差。由于控制系统的非线性、不确定性和时变性难以用一个精确的数学模型加以描述，因此为了准确地描述多轴联动位置伺服控制系统的数学模型，将系统模型分解为：已知的线性模型和未知的非线性模型两个部分。因此三轴联动数控位置伺服控制系统的数学模型可表示为：

P_i(k)=p_i(k)+p_i′(k)  i=x,y,z    (1)

其中

n_i和m_i分别为各个轴的系统阶次和输入阶次，p_i′(k)为控制系统未知的非线性模型部分，i代表x、y和z轴。

（2）建立误差估计模型。多轴联动数控系统的误差估计模型主要由跟踪误差模型、轮廓误差模型、速度误差模型和加速度误差模型等四个部分组成。

1）建立轮廓误差估计模型。轮廓误差一般是指刀具的实际位置距离指令位置在轨迹法线方向的偏差。跟踪误差是指刀具的实际位置和指令理论位置之间的偏差。传统的轮廓误差模型是根据刀具路径的理论几何模型来构建的，如直线、圆弧、样条曲线、自由曲线和任意曲线等形状。以任意曲线为例，传统的轮廓误差模型如图1所示，R′R为刀具的理论轮廓曲线，P′P为刀具的实际轮廓曲线，点R为指令位置，点P为实际位置，直线T′T为当前时刻的指令位置的切线，ε为轮廓误差，E为跟踪误差，Ex和Ey为跟踪误差在x轴和y轴上的分量。

图1中所表示的任意平面曲线的轮廓误差估计模型表示为：

ε(t)=f[E(t),ρ(t),θ(t)]    (2)

其中ε(t)为轮廓误差，ρ(t)为R点的曲率半径，θ(t)为曲线T′T与x轴的夹角，E(t)为跟踪误差。

现代数控系统支持多样化的插补数据类型，如直线、圆弧、参数样条曲线、B样条曲线和NURBS曲线等数据类型。经过插补器插补，输出的数据为一系列微小的线段类型的数据。因此，被加工零件的理论几何形状经过插补处理后丢失了原始的理论几何模型，数控位置伺服控制系统期望输出指令由一系列的微线段组成。因此，在伺服控制过程中，若以被加工零件的理论几何形状的数学模型作为计算依据，需要从离散的微线段还原为被加工零件的理想数学模型，再从复杂的理想模型求解轮廓误差估计模型，算法复杂，计算量大，很难满足数控系统的实时性要求。另外，由于被加工零件的理论几何模型数据经过插补后已经丢失，还原其原始的几何模型必然存在模型误差，如果控制不当，可能会产生较大的误差。为有效地估算理想轨迹和实际刀具运动轨迹之间的轮廓误差，以离散刀具轨迹数据求解轮廓误差估计模型的思想，不需要逆向求解被加工零件几何形状的数学模型，算法简单，计算量小，很好地满足系统实时性要求。轮廓误差估计模型的思想为：以当前控制采样周期的实际输出位置到当前周期期望输出位置和上一周期的期望输出位置构成的直线的最短距离作为当前采样周期的轮廓误差的估算值。这种方法建立的轮廓误差估计模型适用于任何类型的插补数据，具有统一的轮廓误差估计模型，可有效地减小误差建模工作量。

设R_i-2(x_r，i-2,y_r，i-2,z_r，i-2)，R_i-1(x_r，i-1,y_r，i-1,z_r，i-1)、R_i(x_r，i,y_r，i,z_r，i)和R_i+1(x_r，i+1,y_r，i+1,z_r，i+1)为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-2(x_p，i-2，y_p，i-2,z_p，i-2)、P_i-1(x_p，i-1，y_p，i-1,z_p，i-1)、P_i(x_p，i,y_p，i，z_p，i)和P_i+1(x_p，i+1，y_p，i+1,z_p，i+1)为控制系统的实际输出位置，R′_i(x′_r，i，y′_r，i,z′_r,i)为实际输出位置P_i到理想输出线段R_i-1R_i的垂足，

为跟踪误差，

为轮廓误差。多轴联动数控数控系统轮廓误差估算模型如图2所示。

设当前控制采样周期的期望输出长度为|R_i-1R_i|，实际输出长度为|P_i-1P_i|，实际输出位置为P_i，线段的方向矢量表示为：

其中Δw_x=x_r，i-x_r，i-1，Δw_y=y_r，i-y_r，i-1，Δw_z=z_r，i-z_r，i-1。

将轮廓误差ε向三个坐标轴进行分解，轮廓误差用矢量形式表示为：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\ϵ}}=({\mathrm{\ϵ}}_x,{\mathrm{\ϵ}}_y,{\mathrm{\ϵ}}_z)---\left(4\right)$

其中ε_x=x_p，i-x′_r,i，ε_y=y_p，i-y′_r，i，ε_z=z_p,i-z′_r，i，分别表示x、y和z轴的轮廓误差。

伺服控制轴的跟踪误差用矢量形式表示为：

$\stackrel{\→}{e}=(e_x,e_y,e_z)---\left(5\right)$

其中e_x=x_p，i-x_r，i，e_y=y_p，i-y_r，i，e_z=z_p，i-z_r，i，分别表示x、y和z轴的跟踪误差。

以t为参数，线段的参数方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}x=x_{r,i}+{\mathrm{\Δw}}_{x}t\\ y=y_{r,i}+{\mathrm{\Δw}}_{y}t\\ z=z_{r,i}+{\mathrm{\Δw}}_{z}t\end{array}\right.---\left(6\right)$

过点P_i作一个平面且垂直于线段R_i-1R_i，则该平面方程表示为：

Δw_x(x-x_p，i)+Δw_y(y-y_p,i)+Δw_z(z-z_p，i)=0    (7)

联立式（6）和（7）求解，得到R′_i点的坐标为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)x_{r,i}+\mathrm{\Δ}{w}_x^2{x}_{p,i}+{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ y_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)y_{r,i}+\mathrm{\Δ}{w}_y^2{y}_{p,i}+{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x+{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ z_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)z_{r,i}+\mathrm{\Δ}{w}_z^2{z}_{p,i}+{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x+{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{e}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.---\left(8\right)$

由式（4）和（8）得到当前采样周期的轮廓误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_x=x_{p,i}-x_{r,i}^{\′}\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)e_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_y=y_{p,i}-y_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)e_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_z=z_{p,i}-z_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)e_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

2）建立速度误差模型。设伺服控制系统的控制采样周期为T，当前控制周期内的理论速度为

实际速度为

当前控制周期的理论轨迹为

实际轨迹为

实际速度和理论速度之间的误差为

得到当前控制周期的理论速度在x、y和z轴上的分量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{r,x}=\frac{x_{r,i}-x_{r,i-1}}{T}\\ v_{r,y}=\frac{y_{r,i}-y_{r,i-1}}{T}\\ v_{r,z}=\frac{z_{r,i}-z_{r,i-1}}{T}\end{array}\right.---\left(10\right)$

当前控制周期的实际速度在三个轴上的分量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{p,x}=\frac{x_{p,i}-x_{p,i-1}}{T}\\ v_{p,y}=\frac{y_{p,i}-y_{p,i-1}}{T}\\ v_{p,z}=\frac{z_{p,i}-z_{p,i-1}}{T}\end{array}\right.---\left(11\right)$

由式（10）和（11）分别得到多轴联动运动数伺服控制系统的每个轴的速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=v_{p,x}-v_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_y=v_{p,y}-v_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_z=v_{p,z}-v_{r,z}=\frac{(z_{p,i}-x_{r,i})-(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})}{T}\end{array}\right.---\left(12\right)$

3）建立加速度误差模型。设伺服控制系统的控制周期为T，在当前控制周期内的理论加速度为

实际加速度为

实际加速度和理论加速度之间的误差为

点R_i的坐标为(x_r，i,y_r，i，z_r，i)，点P_i的坐标为(x_p，i,y_p，i,z_p，i)，点R_i-1的坐标为(x_r，i-1，y_r，i-1,z_r，i-1)，点P_i-1的坐标为(x_p，i-1，y_p，i-1,z_p，i-1)，点R_i-2的坐标为(x_r，i-2，y_r，i-2,z_r，i-2)，点P_i-2的坐标为(x_p，i-2，y_p，i-2,z_p，i-2)，得到当前控制周期的理论加速度在三个轴上的分量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_{r,x}=\frac{v_{r_i,x}-v_{r_{i-1},x}}{T}=\frac{x_{r,i}-{2x}_{r,i-1}+x_{r,i-2}}{T^2}\\ v_{r,y}=\frac{v_{r_i,y}-v_{r_{i-1},y}}{T}=\frac{y_{r,i}-{2y}_{r,i-1}+y_{r,i-2}}{T^2}\\ v_{r,z}=\frac{v_{r_i,z}-v_{r_{i-1},z}}{T}=\frac{z_{r,i}-{2z}_{r,i-1}+z_{r,i-2}}{T^2}\end{array}\right.---\left(13\right)$

当前控制周期内的实际加速度在三个轴上的分量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_{p,x}=\frac{v_{p_i,x}-v_{p_{i-1},x}}{T}=\frac{x_{p,i}-{2x}_{p,i-1}+x_{p,i-2}}{T^2}\\ v_{p,y}=\frac{v_{p_i,y}-v_{p_{i-1},y}}{T}=\frac{y_{p,i}-{2y}_{p,i-1}+y_{p,i-2}}{T^2}\\ v_{p,z}=\frac{v_{p_i,z}-v_{p_{i-1},z}}{T}=\frac{z_{p,i}-{2z}_{p,i-1}+z_{p,i-2}}{T^2}\end{array}\right.---\left(14\right)$

联立式（13）和式（14），分别得到多轴联动数控伺服控制系统的每个轴的加速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_x=a_{p,x}-a_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-2(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})+(x_{p,i-2}-x_{r,i-2})}{T}\\ {\mathrm{\γ}}_y=a_{p,y}-a_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-2(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})+(y_{p,i-2}-y_{r,i-2})}{T}\\ {\mathrm{\γ}}_z=a_{r,z}-a_{p,z}=\frac{(z_{p,i}-z_{r,i})-2(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})+(z_{p,i-2}-z_{r,i-2})}{T}\end{array}\right.---\left(15\right)$

（3）多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓误差控制。多轴联动数控系统的运动平稳性和轮廓加工精度除了与插补阶段所采用的加减速控制模型和前瞻处理方式有关外，还与位置伺服控制紧密相关。如果在位置控制过程中控制不当，将会产生速度和加速度波动，同时会产生较大的跟踪误差和轮廓误差，影响系统的运动平稳性和轮廓加工精度。

传统的广义预测控制算法难以满足多轴联动伺服控制系统的实时性要求。为满足系统对控制算法的实时性要求，提出一种多轴联动参数模型预测控制和非线性自适应变论域模糊PID控制相结合的复合模式控制策略，以多轴参数模型预测控制作为伺服控制系统的主体控制，以自适应非线性模糊PID控制作为系统的误差补偿控制，可有效地提高系统的控制性能和鲁棒性。

采用多轴参数模型预测控制对三轴数控系统进行控制时，通过多轴参数模型优化计算得到三个轴的控制输入信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)，控制输入信号一方面作为多轴参数预测模型的输入量，通过多轴参数预测模型计算得到模型预测输出量p_mx(k)、p_my(k)和p_mz(k)，另一方面作为被控对象的一部分输入信号，得到系统的实际输出量p_x(k)、p_y(k)和p_z(k)，多轴参数模型预测输出量p_mx(k)、p_my(k)、p_mz(k)和系统实际输出量p_x(k)、p_y(k)和p_z(k)之间的误差和误差的变化作为自适应模糊PID控制的输入信号，通过非线性自适应模糊PID控制得到输入信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)，多轴控制系统在输入控制信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)和误差补偿控制信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)的共同作用下进行复合控制。其复合模式控制策略结构如图3所示。

1）多轴联动参数模型预测控制

（a）参数预测模型。多轴联动数控位置伺服控制系统中线性模型部分的数学模型可表达式为：

$p_i\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}{p}_i(k-j)+\underset{s=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{is}}{u}_i(k-s),i=x,y,z---\left(16\right)$

其中u_i和p_i分别为系统的输入和输出量，n_i和m_i分别为系统阶次和输入阶次。式（16）中的参数模型不能无偏差地跟踪参考输入轨迹，为解决这一问题，引入积分因子，考虑到系统的干扰性，模型中加入干扰项，得到参数模型的表达式为：

$p_i\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}{p}_i(k-j)+\underset{s=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{is}}{u}_i(k-s)+\mathrm{\ζ}\left(k\right)/\mathrm{\Δ},i=x,y,z---\left(17\right)$

其中ζ(k)为系统受到的干扰，Δ=1-z^-1为差分算子。

对式（17）进行差分运算，得到增量式的多轴参数预测模型为：

$p_i\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{n_i+1}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{\mathrm{ij}}{p}_i(k-j)+\underset{s=1}{\overset{m_i}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{is}}\mathrm{\Δ}{u}_i(k-s)+\mathrm{\ζ}\left(k\right),i=x,y,z---\left(18\right)$

其中A_i1=1+a_i1，A_ij=a_i，j-a_i，j-1(j=2,…,n_i)， $A_{i,n_i+1}=-a_{i,n_i}.$

设N为预测时域长度，M为预测控制长度，满足m_i≥N≥M，p_im(k+j)表示第i轴在k时刻第j步参数模型预测输出。式（18）忽略干扰项，由过去和未来两部分组成，将其展开并分解，得到过去已知项和将来未知项，可表示为：

$p_{\mathrm{im}}(k+1)=A_{i,1}{p}_i\left(k\right)+A_{i,2}{p}_i(k-1)+\·\·\·+A_{i,n_i+1}{p}_i(k-n_i)+$

$b_{i,1}{\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)+b_{i,2}{\mathrm{\Δu}}_i(k-1)+\·\·\·+b_{i,m_i}{\mathrm{\Δu}}_i(k-m_i+1)$

$p_{\mathrm{im}}(k+2)=A_{i,1}{p}_i(k+1)+A_{i,2}{p}_i\left(k\right)+\·\·\·+A_{i,n_i+1}{p}_i(k-n_i+1)+$

$b_{i,1}{\mathrm{\Δu}}_i(k+1)+b_{i,2}{\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)+b_{i,3}{\mathrm{\Δu}}_i(k-1)+\·\·\·+b_{i,m_i}{\mathrm{\Δu}}_i(k-m_i+2)$

$\begin{array}{cc}\·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\end{array}$

$p_{\mathrm{im}}(k+N)=A_{i,1}{p}_i(k+N-1)+A_{i,2}{p}_i(k+N-2)+\·\·\·+A_{i,n_i+1}{p}_i(k-n_i+N-1)+$

$b_{i,1}{\mathrm{\Δu}}_i(k+N-1)+\·\·\·+b_{i,p}{\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)+b_{i,p+1}{\mathrm{\Δu}}_i(k-1)+\·\·\·+b_{i,m_i}{\mathrm{\Δu}}_i(k-m_i+p)$

将上式写成矩阵形式：

P_im(k+1)=P_iA_i+B_iΔU_i+B_i0ΔU_i(k-1)    (19)

其中P_im(k+1)=[p_im(k+1),…,p_im(k+N)]^T为未来的参数模型预测输出；

ΔU_i=[Δu_i(k),Δu_i(k+1),…,Δu_i(k+M-1)]^T为当前和未来的控制增量向量；

ΔU_i(k-1)=[Δu_i(k-m_i+1),Δu_i(k-m_i+2),…,Δu_i(k-1)]^T为过去的控制增量向量；

为增量参数预测模型的输出项系数；

$P_i=\left[\begin{array}{cccc}{p}_i\left(k\right)& p_i(k-1)& \·\·\·& P_i(k-n_i)\\ p_i(k+1)& p_i\left(k\right)& \·\·\·& p_i(k-n_i+1)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ p_i(k+N-1)& p_i(k+N-2)& \·\·\·& p_i(k-n_i+N-1)\end{array}\right]$

$B_i=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{i,1}& 0& \·\·\·& 0\\ b_{i,2}& b_{i,1}& \·\·\·& 0\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,M}& b_{i,M-1}& \·\·\·& b_{i,1}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,N}& b_{i,N-1}& \·\·\·& b_{i,N-M+1}\end{array}\right],$

i=x,y,z。

通过多轴参数预测模型表达式可知，参数模型预测输出可分解成三个分量：第一个分量P_iA_i取决于过去和未来的输出量，第j步中包含未来输出量可通过第j-1步求得，或者用参考轨迹p_ir(k+j)近似代替p_i(k+j)；第二个分量B_iΔU取决于当前和未来的控制输入增量；最后一个分量B_i0ΔU_i(k-1)取决于过去的控制输入增量。

（b）性能优化指标。对于多轴联动数控位置伺服控制系统，除控制系统中各轴的模型预测输出和期望值之间的偏差外，为提高系统的轮廓加工精度，还应该考虑多轴协同运动而产生的轮廓误差；为提高系统的运动平稳性，应将系统的运动速度误差和加速度误差作为系统的控制性能指标加以考虑；同时，为防止控制输入信号产生过大的波动而影响系统输出产生波动，还应对输入信号量的波动进行有效控制。因此，为提高多轴联动数控位置伺服控制系统的运动平稳性和轮廓加工精度，在进行性能优化时，应综合考虑多种因素，提出一种新型的性能优化指标，主要由五个部分组成：最小跟踪误差；最小的轮廓误差；最小的速度误差；最小的加速度误差；最小的输入信号量波动。

因此，含有加权系数的二次型性能优化指标写成矩阵形式，可表示为：

$J=E\left\{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[E_i^T{Q}_i{E}_i+{{\mathrm{\Φ}}_i}^T{R}_i{\mathrm{\Φ}}_i+{{\mathrm{\Ω}}_i}^T{N}_i{\mathrm{\Ω}}_i+{{\mathrm{\Γ}}_i}^T{K}_i{\mathrm{\Γ}}_i+{U_i}^T{\mathrm{\Λ}}_i{\mathrm{\ΔU}}_i]\right\},i=x,y,z---\left(20\right)$

其中E_i=P_im(k+1)-P_ir(k+1)为第i轴的跟踪误差，Φ_i为第i轴的轮廓误差，Ω_i为第i轴的速度误差项，Γ_i为第i轴的加速度误差，ΔU_i(k)为第i轴的当前和未来的控制输入增量，Λ_i=diag(λ_i1,λ_i2,…,λ_iM)控制输入增量的加权系数，Q_i=diag(q_i1,q_i2,…,q_iN)为跟踪误差项的加权系数，R_i=diag(r_i1,r_i2,…,r_iN)为轮廓误差项的加权系数，N_i=diag(n_i1，n_i2，…,n_iN)为速度误差项的加权系数，K_i=diag(k_i1,k_i2，…,k_iN)为加速度误差项的加权系数；Φ_i、Ω_i和Γ_i由轮廓误差估计模型、速度误差估计模型和加速度误差估计模型分别求得，表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_x=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)E_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_y=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)E_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_z=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)E_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.,$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_x=\frac{E_x-E_x(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_y=\frac{E_y-E_y(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_z=\frac{E_z-E_z(k-1)}{T}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Γ}}_x=\frac{E_x-{2E}_x(k-1)+E_x(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_y=\frac{E_y-{2E}_y(k-1)+E_y(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_z=\frac{E_z-{2E}_z(k-1)+E_z(k-2)}{T^2}\end{array}\right.$

（c）计算多轴参数预测模型最优控制率。式（20）分别对控制输入增量ΔU_x、ΔU_y和ΔU_z求偏导，既i＝x,y,z，根据式（12）速度误差物理意义，为简化计算，取E_i(k-1)和E_i(k-2)分别为t=k-1和t=k-2时刻的理论位置和期望位置之间的误差e_i1和e_i2，得到控制增量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[B_x^T{Q}_{x1}{B}_x+{\mathrm{\Λ}}_x]}^{-1}{B}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[B_y^T{Q}_{y1}{B}_y+{\mathrm{\Λ}}_y]}^{-1}{B}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[B_z^T{Q}_{z1}{B}_z+{\mathrm{\Λ}}_z]}^{-1}{B}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.---\left(21\right)$

其中：

$Q_{x1}=Q_x+N_{x1}+K_{x1}+\frac{{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{y1}=Q_y+N_{y1}+K_{y1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_x+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{z1}=Q_z+N_{z1}+K_{z1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_y+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)}^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_1=\frac{({\mathrm{\Δ}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_y-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_2=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{R}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{{\mathrm{\Δw}}_y\mathrm{\Δw}}_x{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_3=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2){\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$N_{x1}=\frac{N_x}{T^2},$ $N_{y1}=\frac{N_y}{T^2},$ $N_{z1}=\frac{N_z}{T^2},$ $K_{x1}=\frac{K_x}{T^4},$ $K_{y1}=\frac{K_y}{T^4},$ $K_{z1}=\frac{K_z}{T^4}.$

（d）最优控制率实时简化计算。式（21）中的控制矩阵为一个M×M维矩阵，在计算最优控制率时需要求解逆矩阵，逆矩阵求解过程计算量大，运算时间长，如果在线求解逆矩阵，无法满足多轴伺服控制系统对实时性的要求。因此，为满足系统的实时性要求，结合模型预测控制中的最优控制率的求解规律，提出一种实时简化计算模型求解预测模型的控制增量，可避免在线求解逆矩阵，保证系统的实时性要求。

根据多轴参数模型预测控制的控制规律，当前和未来M步的控制增量之间满足如下关系：

${\mathrm{\Δu}}_i(k+j)=(1-{\mathrm{\η}}_i^{M-j}){\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)---\left(22\right)$

其中η_i为输入柔化系数，η_i∈(0,1)，j=0,1,…,M-1，M为控制时域长度。

系统当前和未来时刻的控制输入增量为：

${\mathrm{\ΔU}}_i={\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right){[\mathrm{1,1}-{\mathrm{\η}}_i^{M-j},\·\·\·,1-{\mathrm{\η}}_i]}^T---\left(23\right)$

将式（23）代入式（21），J分别对未知控制增量ΔU_x、ΔU_y和ΔU_z求偏导，得到系统的控制输入增量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[F_x^T{Q}_{x1}{F}_x+{\mathrm{\λ}}_x{s}^{T}s]}^{-1}{F}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[F_y^T{Q}_{y1}{F}_y+{\mathrm{\λ}}_y{s}^{T}s]}^{-1}{F}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[F_z^T{Q}_{z1}{F}_z+{\mathrm{\λ}}_z{s}^{T}s]}^{-1}{F}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中λ_i为控制增量加权系数，F_i=B_is,s=[1,1-η^M-j,…,1-η]^T。

B_i为N×M维矩阵，s为M×1阶矩阵，因此[F_i ^TQ_i1F_i+λ_is^Ts]为标量，避免

求解逆矩阵，减少求解控制增量的运算量，提高控制算法的运算速度，很好地满足控制系统的实时性要求。

2)非线性自适应误差补偿控制。当采用多轴参数模型预测控制对多轴联动数控位置伺服控制系统的线性模型进行控制时，一旦控制系统受到非线性、不确定性、时变性或受到其它干扰等因素的影响，系统的实际输出与参数模型预测输出之间必然存在偏差，这种偏差必须进行有效的控制，才能保证系统控制性能和鲁棒性。由于在线实时辨识的预测控制算法比较复杂，运算量大，难以满足系统的实时性要求，为克服传统预测控制算法的不足，保证系统的实时性要求，提出一种非线性自适应模糊PID控制对多轴数控系统的误差进行补偿控制，可提高系统的控制效果、抗干扰能力和鲁棒性。

（a）自适应误差补偿控制。PID控制是一种最常用最简单的控制方法，具有结构简单、稳定性好等特点，在实际控制过程中得到广泛应用。但是对复杂的非线性系统，采用PID控制很难得到令人满意的控制效果。为了对多轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行有效控制，以多轴联动数控系统的伺服控制误差为控制目标，提出一种误差补偿的自适应非线性模糊PID控制方法。这种控制方法主要由模糊控制、PID控制和变论域调整因子三部分组成。通过模糊控制得到PID控制的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di；通过PID控制可以得到非线性误差补偿的控制输入信号u_2i(k)；通过变论域调整因子可实现非线性自适应误差补偿控制。非线性自适应误模糊PID控制结构框图如图4所示。

（b）模糊控制器设计。模糊控制器主要由两个平行的子模糊控制器组成，分别输出控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)，因此，它是一个六维输入变量和六维输出变量的多输入多输出控制器。以多轴联动参数模型预测输出p_im(k)和系统的实际输出p_i(k)之间的误差e_i(k)以及误差的变化Δe_i(k)作为输入变量，i＝x,y,z；以控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)作为输出变量。设误差e_i(k)和误差变化Δe_i(k)的量化因子分别为k_ei和k_Δei，两个子模糊控制器的控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子分别为k_ui和k_Δui，经过模糊化处理得到输入模糊变量为：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{ei}}e\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)\end{array}\right.---\left(25\right)$

根据两个子模糊控制器的模糊规则进行模糊推理，分别得到两个子模糊控制器模糊输出量，以解析形式表示：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_i\left(k\right)={\mathrm{\ρE}}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔU}}_i\left(k\right)={\mathrm{\ρE}}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)\end{array}\right.---\left(26\right)$

其中ρ为调整因子，通过清晰化处理得到控制量为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{ui}}{U}_i\left(k\right)\\ {{\mathrm{\Δ}}^{\′}u}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δui}}{\mathrm{\ΔU}}_i\left(k\right)\end{array}\right.---\left(27\right)$

联立式（25）、（26）和（27）求解，得到：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{ui}}[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}{e}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δei}}{\mathrm{\Δe}}_i\left(k\right)]\\ {\mathrm{\Δu}}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δui}}[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}{e}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δei}}{\mathrm{\Δe}}_i\left(k\right)]\end{array}\right.---\left(28\right)$

模糊控制器输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=u_i^{\′}\left(k\right)+\underset{j=0}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Δu}}_i^{\′}\left(k\right)---\left(29\right)$

由式（28）和（29）得到模糊控制器的精确输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}]e_i\left(k\right)+{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}e\left(j\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)---\left(30\right)$

（c）非线性自适应PID控制。非线性自适应PID控制对多轴联动伺服控制系统的参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行补偿控制，由PID控制器误差补偿的控制信号量为：

$u_{i2}\left(k\right)=k_{\mathrm{Pi}}{e}_i\left(k\right)+k_{\mathrm{Ii}}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i\left(j\right)+k_{\mathrm{Di}}\mathrm{\Δ}{e}_i\left(k\right)---\left(31\right)$

其中e_i(k)为t=k时刻第i轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差，i＝x,y,z。

由式（30）和（31）可得：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{Pi}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\\ K_{\mathrm{Ii}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\\ K_{\mathrm{Di}}=(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\end{array}\right.---\left(32\right)$

由式（32）可知，非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di与模糊控制器的输入变量的量化因子k_ei和k_Δei、比例因子k_ui和k_Δui以及调整因子ρ之间满足非线性解析关系。通过自适应调整k_ei、k_Δei、k_ui、k_Δui和ρ等参数值，可使PID控制器的比例增益、积分增益和微分增益自适应变化，从而实现系统对多轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行非线性自适应模糊PID控制。

（d）变论域自动调整因子。为满足系统实时性要求和提高系统的鲁棒性，提出一种变论域自适应调整参数因子算法，实现误差补偿的非线性自适应模糊PID控制。以误差e_i(k)的量化因子k_ei为自变量，误差变化Δe_i(k)的量化因子k_Δei、控制输入信号u_i′(k)的比例因子k_ui和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子k_Δui为因变量，非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di为常量，由式（32）可得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δei}}=\frac{2{\mathrm{\ρK}}_{\mathrm{Di}}{k}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ})[K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}]}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}}{{2\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}}{(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(33\right)$

由式（33）可知，以误差e_i(k)的量化因子k_ei为自变量，输入变量的量化因子和输出变量的比例因子与PID控制增益K_Pi、K_Ii和K_Di之间满足非线性关系。因此，自适应调整因子实现思想可描述为：设定非线性PID的初始比例增益K′_Pi、初始积分增益K′_Ii和初始微分增益K′_Di，以误差e_i(k)的量化因子k_ei为自变量，由式（33）求解得到因子k_Δei、k_ui和k_Δui的值，代入式（32），得到非线性PID控制自适应变化的增益K_Pi、K_Ii和K_Di值。

通过这种方法进行PID增益自适应调整，必然引起k_ei、k_Δei、k_ui和k_Δui因子的变化，从而导致模糊变量的论域发生变化。其变论域自适应调整因子实现步骤如下：

①计算参数模型预测输出与实际输出之间的误差。计算多轴联动位置伺服控制系统各伺服控制轴的参数模型预测输出p_im(k)，获取系统实际输出p_i(k)，确定它们之间的偏差e_i(k)。

②计算误差输入变量论域变化因子。设误差变量的论域变化因子为θ_i，以误差输入模糊变量E_i为自变量，其论域变化因子θ_i为因变量，根据θ_i和E_i的变化规律，构造论域变化因子的变化规律为：

${\mathrm{\θ}}_i={\left(\frac{\left|E_i\right|}{E_{i\max }}\right)}^v---\left(34\right)$

其中|E_i|/E_imax∈[0,1]，v>0，[-E_imax,E_imax]为误差变量的初始论域，θ_i∈[0,1]。根据|E_i|/E_imax值及其误差输入模糊变量E_i的变化，自适应选择不同的v值，得到变结构参数的论域变化因子θ_i。

③确定误差输入变量新论域。根据选择的v值，通过式（34）计算得到误差模糊变量新论域为[-θ_iE_imax,θ_iE_imax]。

④计算误差输入变量的量化因子。根据量化因子的定义，得到新论域中的量化因子为：

$k_{\mathrm{ei}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_i\×E_{i\max }}{e_{i\max }}---\left(35\right)$

其中e_imax为误差输入量精确量的最大值。根据式（35）计算得到的误差输入变量的量化因子k_ei。

⑤确定误差变化量化因子和输出比例因子。以非线性PID设置的初始比例增益K′_Pi、初始的积分增益K′_Ii和初始的微分增益K′_Di为常量，以误差输入变量的量化因子k_ei为自变量，由式（33）得到k_Δei、k_ui和k_Δui值：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δ\ϵi}}=\frac{K_{\mathrm{Di}}^{\′}{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\α}}_i}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}^{\′}}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(36\right)$

其中为常量。为了提高多轴联动位置伺服控制系统的控制性能，动态自适应调整系统的调整因子ρ，根据系统的误差和误差的变化，可设计一个修正函数α(k)，得到调整因子ρ的表达式为：

ρ(k)=ρ(k-1)+α(k)    (37)

其中α(k)为修正函数，ρ(k)∈(0,1)。

⑥计算非线性PID增益。由式（32）得到自适应变化的非线性PID的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di。

综上所述，本发明的多轴联动位置伺服控制系统采用多轴参数模型预测控制和非线性自适应模糊PID控制相结合的复合模式控制策略，以多轴参数模型预测控制对多轴联动位置伺服控制系统的线性模型进行控制，以非线性自适应模糊PID控制算法对参数模型预测输出与实际输出之间的误差进行补偿控制，复合模式控制策略将两种控制方法得到的控制量作为多轴位置伺服控制系统的输入信号量，实现多轴联动数控系统位置伺服控制，提高多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度。一个控制采样周期的多轴联动位置伺服控制流程如图5所示。

实例：

一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法包括以下步骤：

（1）建立多轴伺服控制系统模型。为了准确地描述多轴联动位置伺服控制系统的数学模型，将系统模型分解为：已知的线性模型和未知的非线性模型两个部分。对线性模型进行系统辨识，得到线性系统的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(k\right)=0.4761x(k-1)+0.2502x(k-2)-0.0612x(k-3)+\\ 0.0351u(k-1)+0.2684u(k-2)+0.1772u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_x\left(k\right)\\ y\left(k\right)=0.0736y(k-1)+0.4329y(k-2)-0.1520y(k-3)+\\ 0.1075u(k-1)+0.4084u(k-2)+0.1992u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_y\left(k\right)\\ z\left(k\right)=0.6137z(k-1)+0.0467z(k-2)-0.0186z(k-3)+\\ 0.0205u(k-1)+0.2537u(k-2)+0.1253u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_z\left(k\right)\end{array}\right.$

系统的干扰信号变化范围为ξ_i(k)∈[-0.8,+0.8]（i＝x,y,z），单位为μm。多轴联动位置伺服控制系统的实际输出以表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(k\right)=0.4761x(k-1)+0.2502x(k-2)-0.0612x(k-3)+\\ 0.0351u(k-1)+0.2684u(k-2)+0.1772u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_x\left(k\right)\\ y\left(k\right)=0.0736y(k-1)+0.4329y(k-2)-0.1520y(k-3)+\\ 0.1075u(k-1)+0.4084u(k-2)+0.1992u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_y\left(k\right)\\ z\left(k\right)=0.6137z(k-1)+0.0467z(k-2)-0.0186z(k-3)+\\ 0.0205u(k-1)+0.2537u(k-2)+0.1253u(k-3)+{\mathrm{\ξ}}_z\left(k\right)\end{array}\right.$

（2）建立误差估计模型。在当前采用周期内，根据每个轴的光电编码器得到当前采用周期的各个轴实际输出值，建立多轴联动数控系统的跟踪误差模型、轮廓误差模型、速度误差模型和加速度误差模型。

（3）对多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓误差进行控制，以多轴控制系统在输入控制信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)和误差补偿控制信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)的共同作用下进行复合控制。

1）多轴联动参数模型预测控制

（a）建立参数预测模型，得到的多轴预测控制模型为：

P_im(k+1)=P_iA_i+B_iΔU_i+B_i0ΔU_i(k-1)  i=x,y,z

（b）建立性能优化指标，得到的性能优化指标由五个部分组成：最小跟踪误差；最小的轮廓误差；最小的速度误差；最小的加速度误差；最小的输入信号量波动。含有加权系数的二次型性能优化指标写成矩阵形式，可表示为：

$J=E\left\{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[E_i^T{Q}_i{E}_i+{{\mathrm{\Φ}}_i}^T{R}_i{\mathrm{\Φ}}_i+{{\mathrm{\Ω}}_i}^T{N}_i{\mathrm{\Ω}}_i+{{\mathrm{\Γ}}_i}^T{K}_i{\mathrm{\Γ}}_i+{U_i}^T{\mathrm{\Λ}}_i{\mathrm{\ΔU}}_i]\right\},i=x,y,z$

（c）计算多轴参数预测模型最优控制率，得到控制增量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[B_x^T{Q}_{x1}{B}_x+{\mathrm{\Λ}}_x]}^{-1}{B}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[B_y^T{Q}_{y1}{B}_y+{\mathrm{\Λ}}_y]}^{-1}{B}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[B_z^T{Q}_{z1}{B}_z+{\mathrm{\Λ}}_z]}^{-1}{B}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.$

（d）最优控制率实时简化计算，分别得到系统各个伺服轴的控制输入增量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[F_x^T{Q}_{x1}{F}_x+{\mathrm{\λ}}_x{s}^{T}s]}^{-1}{F}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[F_y^T{Q}_{y1}{F}_y+{\mathrm{\λ}}_y{s}^{T}s]}^{-1}{F}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[F_z^T{Q}_{z1}{F}_z+{\mathrm{\λ}}_z{s}^{T}s]}^{-1}{F}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.$

2)非线性自适应误差补偿控制，对系统的实际输出与参数模型预测输出之间的偏差进行控制。

（b）模糊控制器设计。模糊控制器主要由两个平行的子模糊控制器组成，分别输出控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)。以多轴联动参数模型预测输出p_im(k)和系统的实际输出p_i(k)之间的误差e_i(k)以及误差的变化Δe_i(k)作为输入变量，i＝x,y,z；以控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)作为输出变量。误差e_i(k)和误差变化Δe_i(k)的量化因子分别为k_ei和k_Δei，两个子模糊控制器的控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子分别为k_ui和kΔ_ui，经过模糊化处理得到输入模糊变量为：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{ei}}e\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)\end{array}\right.$

得到两个子模糊控制器模糊输出量为：

$\left\{\begin{array}{c}{U}_i\left(k\right)={\mathrm{\ρE}}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)\\ {\mathrm{\ΔU}}_i\left(k\right)={\mathrm{\ρE}}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\ΔE}}_i\left(k\right)\end{array}\right.$

其中ρ为调整因子，通过清晰化处理得到控制量为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{ui}}{U}_i\left(k\right)\\ {{\mathrm{\Δ}}^{\′}u}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δui}}{\mathrm{\ΔU}}_i\left(k\right)\end{array}\right.$

得到：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{ui}}[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}{e}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δei}}{\mathrm{\Δe}}_i\left(k\right)]\\ {\mathrm{\Δu}}_i^{\′}\left(k\right)=k_{\mathrm{\Δui}}[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}{e}_i\left(k\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δei}}{\mathrm{\Δe}}_i\left(k\right)]\end{array}\right.$

模糊控制器输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=u_i^{\′}\left(k\right)+\underset{j=0}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Δu}}_i^{\′}\left(k\right)$

得到模糊控制器的精确输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}]e_i\left(k\right)+{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}e\left(j\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)$

（c）非线性自适应PID控制。非线性自适应PID控制对多轴联动伺服控制系统的参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行补偿控制，由PID控制器误差补偿的控制信号量为：

$u_{i2}\left(k\right)=k_{\mathrm{Pi}}{e}_i\left(k\right)+k_{\mathrm{Ii}}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i\left(j\right)+k_{\mathrm{Di}}\mathrm{\Δ}{e}_i\left(k\right)$

其中e_i(k)为t=k时刻第i轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差，i＝x,y,z。

$\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{Pi}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\\ K_{\mathrm{Ii}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\\ K_{\mathrm{Di}}=(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\end{array}\right.$

非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di与模糊控制器的输入变量的量化因子k_ei和k_Δei、比例因子k_ui和kΔ_ui以及调整因子ρ之间满足非线性解析关系。通过自适应调整k_ei、k_Δei、k_ui、k_Δui和ρ等参数值，可使PID控制器的比例增益、积分增益和微分增益自适应变化，从而实现系统对多轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行非线性自适应模糊PID控制。

（d）变论域自动调整因子。为满足系统实时性要求和提高系统的鲁棒性，提出一种变论域自适应调整参数因子算法，实现误差补偿的非线性自适应模糊PID控制。以误差e_i(k)的量化因子k_ei为自变量，误差变化Δe_i(k)的量化因子k_Δei、控制输入信号u_i′(k)的比例因子k_ui和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子k_Δui为因变量，非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di为常量，得到可得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δei}}=\frac{2{\mathrm{\ρK}}_{\mathrm{Di}}{k}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ})[K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}]}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}}{{2\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}}{(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.$

通过这种方法进行PID增益自适应调整，必然引起k_ei、k_Δei、k_ui和k_Δui因子的变化，从而导致模糊变量的论域发生变化。其变论域自适应调整因子实现步骤如下：

①计算参数模型预测输出与实际输出之间的误差。计算多轴联动位置伺服控制系统各伺服控制轴的参数模型预测输出p_im(k)，获取系统实际输出p_i(k)，确定它们之间的偏差e_i(k)。

②计算误差输入变量论域变化因子。设误差变量的论域变化因子为θ_i，以误差输入模糊变量E_i为自变量，其论域变化因子θ_i为因变量，根据θ_i和E_i的变化规律，构造论域变化因子的变化规律为：

${\mathrm{\θ}}_i={\left(\frac{\left|E_i\right|}{E_{i\max }}\right)}^v$

其中|E_i|/E_imax∈[0,1]，v>0，[-E_imax,E_imax]为误差变量的初始论域，θ_i∈[0,1]。根据|E_i|/E_imax值及其误差输入模糊变量E_i的变化，自适应选择不同的v值，得到变结构参数的论域变化因子θ_i。

③确定误差输入变量新论域。根据选择的v值，通过式（34）计算得到误差模糊变量新论域为[-θ_iE_imax,θ_iE_imax]。

④计算误差输入变量的量化因子。根据量化因子的定义，得到新论域中的量化因子为：

$k_{\mathrm{ei}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_i\×E_{i\max }}{e_{i\max }}$

其中e_imax为误差输入量精确量的最大值。得到的误差输入变量的量化因子k_ei。

⑤确定误差变化量化因子和输出比例因子。以非线性PID设置的初始比例增益K′_Pi、初始的积分增益K′_Ii和初始的微分增益K′_Di为常量，以误差输入变量的量化因子k_ei为自变量，得到k_Δei、k_ui和k_Δui值：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δ\ϵi}}=\frac{K_{\mathrm{Di}}^{\′}{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\α}}_i}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}^{\′}}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.$

其中

为常量。为了提高多轴联动位置伺服控制系统的控制性能，动态自适应调整系统的调整因子ρ，根据系统的误差和误差的变化，可设计一个修正函数α(k)，得到调整因子ρ的表达式为：

ρ(k)=ρ(k-1)+α(k)

其中α(k)为修正函数，ρ(k)∈(0,1)。

⑥计算非线性PID增益，得到自适应变化的非线性PID的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di。

以图6的数控加工运动轨迹为例，分别采用本发明所使用的多轴联动复合模式控制和PID控制两种控制方法，得到的跟踪误差、输出速度、加速度和轮廓误差分别如图8、图9、图10、图11、图12、图13和图14所示。结果表明，与PID控制方法相比，本发明的多轴联动复合模式控制方法得到速度波动和加速度波动明显地减小，跟踪误差更小，轮廓精度显著地提高，因此，本发明所提出的多轴参数模型预测与自适应模糊PID非线性控制相结合的复合控制方法具有更好的控制性能，数控系统具有更高运动平稳性和轮廓精度。

Claims (5)

1.一种多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，其特征是它包括以下步骤：

（1）建立多轴伺服控制系统模型为：

P(k)=p(k)+p′(k)    (1)

j=1,…,n_i，s=1,…,m_i。

（2）建立误差估计模型；所述的误差估计模型包括跟踪误差估计模型、轮廓误差估计模型、速度误差估计模型和加速度误差估计模型，分别对误差估计模型进行建模；

（3）采用多轴参数模型预测控制和非线性自适应模糊PID控制复合模式控制方法，由多轴参数模型预测控制得到多轴的控制输入信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)，由非线性自适应模糊PID控制得到的输入信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)，多轴控制系统在输入控制信号和误差补偿控制信号的共同作用下进行复合控制，以实现对多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓误差控制，其中u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)分别表示多轴的线性模型的控制输入信号，u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)分别表示非线性模型的控制输入信号。

2.根据权利要求1所述的多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，其特征所述各误差估计模型的建立方法为：

（a）轮廓误差估计模型：以当前控制采样周期的实际输出位置到当前周期期望输出位置和上一周期的期望输出位置构成的直线的最短距离作为当前采样周期的轮廓误差的估算值，得到当前采样周期的轮廓误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_x=x_{p,i}-x_{r,i}^{\′}\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)e_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_y=y_{p,i}-y_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)e_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{e}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\ϵ}}_z=z_{p,i}-z_{r,i}^{\′}=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)e_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{e}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{e}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中ε_x、ε_y和ε_z分别表示x、y和z轴的轮廓误差，Δw_x=x_r，i-x_r，i-1，Δw_y=y_r，i-y_r，i-1，Δw_z=z_r，i-z_r，i-1，e_x=x_p，i-x_r，i、e_y=y_p，i-y_r，i和e_z=z_p，i-z_r，i分别表示x、y和z轴的跟踪误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1,z_r，i-1)和Ri(x_r，i,y_r，i，z_r,i)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1，y_p，i-1,z_p，i-1)和P_i(x_p，i,y_p，i，z_p，i)分别为控制系统的实际输出位置。

（b）速度误差估计模型：根据当前控制周期理论速度和系统每个伺服控制轴的实际速度得到速度误差估计模型，多轴的速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_x=v_{p,x}-v_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_y=v_{p,y}-v_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})}{T}\\ {\mathrm{\δ}}_z=v_{p,z}-v_{r,z}=\frac{(z_{p,i}-x_{r,i})-(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})}{T}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中δ_x、δ_y和δ_z分别表示x、y和z轴的速度误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1，z_r，i-1)和R_i(x_r，i,y_r，i,z_r,i)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1,y_p，i-1,z_p，i-1)和P_i(x_p，i,y_p，i，z_p，i)分别为控制系统的实际输出位置，T为控制采样周期。

（c）加速度误差估计模型：根据当前控制周期理论加速度和系统每个伺服控制轴的实际加速度得到加速度误差估计模型，多轴的加速度误差估计模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_x=a_{p,x}-a_{r,x}=\frac{(x_{p,i}-x_{r,i})-2(x_{p,i-1}-x_{r,i-1})+(x_{p,i-2}-x_{r,i-2})}{T^2}\\ {\mathrm{\γ}}_y=a_{p,y}-a_{r,y}=\frac{(y_{p,i}-y_{r,i})-2(y_{p,i-1}-y_{r,i-1})+(y_{p,i-2}-y_{r,i-2})}{T^2}\\ {\mathrm{\γ}}_z=a_{r,z}-a_{p,z}=\frac{(z_{p,i}-x_{r,i})-2(z_{p,i-1}-z_{r,i-1})+(z_{p,i-2}-z_{r,i-2})}{T^2}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中γ_x、γ_y和γ_z分别表示x、y和z轴的加速度误差，R_i-1(x_r，i-1，y_r，i-1，z_r，i-1)、R_i(x_r，i,y_r，i,z_r，i)和R_i+1(x_r，i+1,y_r，i+1,z_r，i+1)分别为数控伺服控制系统期望输出位置指令，P_i-1(x_p，i-1，y_p，i-1,z_p，i-1)、P_i(x_p，i,y_p，i，z_p，i)和P_i+1(x_p，i+1，y_p，i+1,z_p，i+1)分别为控制系统的实际输出位置，T为控制采样周期。

3.根据权利要求1所述的多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工精度控制方法，其特征所述的多轴联动参数模型预测控制是通过多轴参数模型预测控制对多轴位置伺服控制系统模型中的线性模型进行控制，得到系统参数模型预测控制的三个轴的控制输入信号u_x(k)、u_y(k)和u_z(k)；所述的非线性自适应误差补偿控制是通过非线性自适应模糊PID控制对非线性模型进行控制得到误差补偿控制的输入信号u′_x(k)、u′_y(k)和u_z′(k)；所述的非线性自适应变论域模糊PID控制相结合的复合模式控制策略对对多轴位置伺服控制系统模型复合控制。

4.根据权利要求3所述的多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工误差控制方法，其特征是所述多轴联动参数模型预测控制包括以下步骤：

（a）建立多轴参数预测模型为：

P_im(k+1)=P_iA_i+B_iΔU_i+B_i0ΔU_i(k-1)    (19)

式中P_im(k+1)=[p_im(k+1),…,p_im(k+N)]^T为未来的参数模型预测输出；

ΔU_i=[Δu_i(k),Δu_i(k+1),…,Δu_i(k+M-1)]^T为当前和未来的控制增量向量；

ΔU_i(k-1)=[Δu_i(k-m_i+1),Δu_i(k-m_i+2),…,Δu_i(k-1)]^T为过去的控制增量向量；

为增量参数预测模型的输出项系数；

$P_i=\left[\begin{array}{cccc}{p}_i\left(k\right)& p_i(k-1)& \·\·\·& P_i(k-n_i)\\ p_i(k+1)& p_i\left(k\right)& \·\·\·& p_i(k-n_i+1)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ p_i(k+N-1)& p_i(k+N-2)& \·\·\·& p_i(k-n_i+N-1)\end{array}\right]$

$B_i=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{i,1}& 0& \·\·\·& 0\\ b_{i,2}& b_{i,1}& \·\·\·& 0\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,M}& b_{i,M-1}& \·\·\·& b_{i,1}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ b_{i,N}& b_{i,N-1}& \·\·\·& b_{i,N-M+1}\end{array}\right],$

上述的多轴参数预测模型可分解成三个分量：第一个分量P_iA_i取决于过去和未来的输出量，第j步中包含未来输出量可通过第j-1步求得，或者用参考轨迹p_ir(k+j)近似代替p_i(k+j)；第二个分量B_iΔU取决于当前和未来的控制输入增量；最后一个分量B_i0ΔU_i(k-1)取决于过去的控制输入增量；

（b）构建性能优化指标，包括：最小跟踪误差；最小的轮廓误差；最小的速度误差；最小的加速度误差；最小的输入信号量波动；有加权系数的二次型性能优化指标写成矩阵形式，可表示为：

$J=E\left\{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}[E_i^T{Q}_i{E}_i+{{\mathrm{\Φ}}_i}^T{R}_i{\mathrm{\Φ}}_i+{{\mathrm{\Ω}}_i}^T{N}_i{\mathrm{\Ω}}_i+{{\mathrm{\Γ}}_i}^T{K}_i{\mathrm{\Γ}}_i+{U_i}^T{\mathrm{\Λ}}_i{\mathrm{\ΔU}}_i]\right\},i=x,y,z---\left(20\right)$

其中E_i=P_im(k+1)-P_ir(k+1)为第i轴的跟踪误差，Φ_i为第i轴的轮廓误差，Ω_i为第i轴的速度误差项，Γ_i为第i轴的加速度误差，ΔU_i(k)为第i轴的当前和未来的控制输入增量，Λ_i=diag(λ_i1,λ_i2,…,λ_iM)控制输入增量的加权系数，Q_i=diag(q_i1,q_i2,…,q_iN)为跟踪误差项的加权系数，R_i=diag(r_i1,r_i2,…,r_iN)为轮廓误差项的加权系数，N_i=diag(n_i1，n_i2，…,n_iN)为速度误差项的加权系数，K_i=diag(k_i1,k_i2,…,k_iN)为加速度误差项的加权系数；Φ_i、Ω_i和Γ_i由轮廓误差估计模型、速度误差估计模型和加速度误差估计模型分别求得，表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_x=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)E_x-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_y=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2)E_y{-\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{E}_z}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\\ {\mathrm{\Φ}}_z=\frac{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)E_z-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{E}_x-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{E}_y}{{\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2}\end{array}\right.,$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Ω}}_x=\frac{E_x-E_x(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_y=\frac{E_y-E_y(k-1)}{T}\\ {\mathrm{\Ω}}_z=\frac{E_z-E_z(k-1)}{T}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Γ}}_x=\frac{E_x-{2E}_x(k-1)+E_x(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_y=\frac{E_y-{2E}_y(k-1)+E_y(k-2)}{T^2}\\ {\mathrm{\Γ}}_z=\frac{E_z-{2E}_z(k-1)+E_z(k-2)}{T^2}\end{array}\right.$

（c）计算多轴参数预测模型最优控制率，控制增量表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[B_x^T{Q}_{x1}{B}_x+{\mathrm{\Λ}}_x]}^{-1}{B}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[B_y^T{Q}_{y1}{B}_y+{\mathrm{\Λ}}_y]}^{-1}{B}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[B_z^T{Q}_{z1}{B}_z+{\mathrm{\Λ}}_z]}^{-1}{B}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.---\left(21\right)$

式中：

$Q_{x1}=Q_x+N_{x1}+K_{x1}+\frac{{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{y1}=Q_y+N_{y1}+K_{y1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_y^2{R}_x+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2{R}_y+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_{z1}=Q_z+N_{z1}+K_{z1}+\frac{{\mathrm{\Δw}}_x^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_x+{\mathrm{\Δw}}_y^2{\mathrm{\Δw}}_z^2{R}_y+{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2)}^2{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_1=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_y-{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_2=\frac{({\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2){\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{R}_x-{\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{{\mathrm{\Δw}}_y\mathrm{\Δw}}_x{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{R}_z}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$Q_3=\frac{({\mathrm{\Δw}}_z^2+{\mathrm{\Δw}}_x^2){\mathrm{\Δw}}_y{\mathrm{\Δw}}_z{R}_y+({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2){\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_y{R}_z-{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_z{\mathrm{\Δw}}_x{\mathrm{\Δw}}_y{R}_x}{{({\mathrm{\Δw}}_x^2+{\mathrm{\Δw}}_y^2+{\mathrm{\Δw}}_z^2)}^2}$

$N_{x1}=\frac{N_x}{T^2},$ $N_{y1}=\frac{N_y}{T^2},$ $N_{z1}=\frac{N_z}{T^2},$ $K_{x1}=\frac{K_x}{T^4},$ $K_{y1}=\frac{K_y}{T^4},$ $K_{z1}=\frac{K_z}{T^4}.$

（d）最优控制率实时简化计算，根据多轴参数模型预测控制的控制规律，当前和未来M步的控制增量之间满足如下关系：

${\mathrm{\Δu}}_i(k+j)=(1-{\mathrm{\η}}_i^{M-j}){\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right)---\left(22\right)$

其中η_i为输入柔化系数，η_i∈(0,1)，j=0,1,…,M-1，M为控制时域长度；系统当前和未来时刻的控制输入增量为：

${\mathrm{\ΔU}}_i={\mathrm{\Δu}}_i\left(k\right){[\mathrm{1,1}-{\mathrm{\η}}_i^{M-j},\·\·\·,1-{\mathrm{\η}}_i]}^T---\left(23\right)$

得到系统的控制输入增量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔU}}_x={[F_x^T{Q}_{x1}{F}_x+{\mathrm{\λ}}_x{s}^{T}s]}^{-1}{F}_x^T[Q_{x1}(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+Q_2(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{x1}+2K_{x1})e_{x1}-K_{x1}{e}_{x2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_y={[F_y^T{Q}_{y1}{F}_y+{\mathrm{\λ}}_s{s}^{T}s]}^{-1}{F}_y^T[Q_{y1}(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ Q_1(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ (N_{y1}+{2K}_{y1})e_{y1}-K_{y1}{e}_{y2}]\\ {\mathrm{\ΔU}}_z={[F_z^T{Q}_{z1}{F}_z+{\mathrm{\λ}}_z{s}^{T}s]}^{-1}{F}_z^T[Q_{z1}(P_{\mathrm{rz}}-P_z-B_{0z}{\mathrm{\ΔU}}_z(k-1))+\\ Q_2(P_{\mathrm{rx}}-P_x-B_{0x}{\mathrm{\ΔU}}_x(k-1))+Q_3(P_{\mathrm{ry}}-P_y-B_{0y}{\mathrm{\ΔU}}_y(k-1))+\\ (N_{z1}+{2K}_{z1})e_{z1}-K_{z1}{e}_{z2}]\end{array}\right.---\left(24\right)$

式中：λ_i为控制增量加权系数，F_i=B_is,s=[1,1-η^M-j,…,1-η]^T。

5.根据权利要求3所述的多轴联动数控系统运动平稳性和轮廓加工误差控制方法，其特征是所述的非线性自适应模糊PID控制方法主要由模糊控制器、非线性自适应PID控制和变论域调整因子三部分组成：

（a）模糊控制器用于得到模糊控制器的精确输出量为：

$u_{\mathrm{fi}}\left(k\right)=[{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}]e_i\left(k\right)+{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\underset{j=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}e\left(j\right)+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\mathrm{\Δe}\left(k\right)---\left(30\right)$

式中误差e_i(k)和误差变化Δe_i(k)的量化因子分别为k_ei和k_Δei，两个子模糊控制器的控制输入信号u_i′(k)和控制输入信号增量Δu_i′(k)的比例因子分别为k_ui和k_Δui。

（b）非线性自适应PID控制，用于对多轴联动伺服控制系统的参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差进行补偿控制，由PID控制器误差补偿的控制信号量为：

$u_{i2}\left(k\right)=K_{\mathrm{Pi}}{e}_i\left(k\right)+K_{\mathrm{Ii}}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_i\left(j\right)+K_{\mathrm{Di}}\mathrm{\Δ}{e}_i\left(k\right)---\left(31\right)$

式中e_i(k)为t=k时刻第i轴参数模型预测输出和系统实际输出之间的误差，i＝x,y,z.得到各种增益为：

$\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{Pi}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{ei}}+(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\\ K_{\mathrm{Ii}}={\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{\Δui}}{k}_{\mathrm{ei}}\\ K_{\mathrm{Di}}=(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ui}}{k}_{\mathrm{\Δei}}\end{array}\right.---\left(32\right)$

式中：非线性PID控制器的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di与模糊控制器的输入变量的量化因子k_ei和k_Δei、比例因子k_ui和k_Δui以及调整因子ρ之间满足非线性解析关系。

（c）变论域调整因子,得到变化因子为：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δei}}=\frac{2{\mathrm{\ρK}}_{\mathrm{Di}}{k}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ})[K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}]}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{K_{\mathrm{Pi}}\±\sqrt{K_{\mathrm{Pi}}^2-4K_{\mathrm{Ii}}{K}_{\mathrm{Di}}}}{{2\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}}{(1-\mathrm{\ρ})k_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(33\right)$

通过这种方法进行PID增益自适应调整，必然引起k_ei、k_Δei、k_ui和k_Δui因子的变化，从而导致模糊变量的论域发生变化；其变论域自适应调整因子实现步骤如下：

①计算参数模型预测输出与实际输出之间的误差。计算多轴联动位置伺服控制系统各伺服控制轴的参数模型预测输出p_im(k)，获取系统实际输出p_i(k)，确定它们之间的偏差e_i(k)；

②计算误差输入变量论域变化因子；设误差变量的论域变化因子为θ_i，以误差输入模糊变量E_i为自变量，其论域变化因子θ_i为因变量，根据θ_i和E_i的变化规律，构造论域变化因子的变化规律为：

${\mathrm{\θ}}_i={\left(\frac{\left|E_i\right|}{E_{i\max }}\right)}^v---\left(34\right)$

其中|E_i|/E_imax∈[0,1]，v>0，[-E_imax,E_imax]为误差变量的初始论域，θ_i∈[0,1]；根据|E_i|/E_imax值及其误差输入模糊变量E_i的变化，自适应选择不同的v值，得到变结构参数的论域变化因子θ_i；

③确定误差输入变量新论域；根据选择的v值，通过式（15）计算得到误差模糊变量新论域为[-θ_iE_imax,θ_iE_imax]；

④计算误差输入变量的量化因子。根据量化因子的定义，得到新论域中的量化因子为：

$k_{\mathrm{ei}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_i\×E_{i\max }}{e_{i\max }}---\left(35\right)$

其中e_imax为误差输入量精确量的最大值；根据式（16）计算得到的误差输入变量的量化因子k_ei；

⑤确定误差变化量化因子和输出比例因子；以非线性PID设置的初始比例增益K′_Pi、初始的积分增益K′_Ii和初始的微分增益K′_Di为常量，以误差输入变量的量化因子k_ei为自变量，由式（15）得到k_Δei、k_ui和k_Δui值：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{\Δ\ϵi}}=\frac{K_{\mathrm{Di}}^{\′}{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}{(1-\mathrm{\ρ}){\mathrm{\α}}_i}\\ k_{\mathrm{ui}}=\frac{{\mathrm{\α}}_i}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\\ k_{\mathrm{\Δui}}=\frac{K_{\mathrm{Ii}}^{\′}}{{\mathrm{\ρk}}_{\mathrm{ei}}}\end{array}\right.---\left(36\right)$

其中

为常量；为了提高多轴联动位置伺服控制系统的控制性能，动态自适应调整系统的调整因子ρ，根据系统的误差和误差的变化，可设计一个修正函数α(k)，得到调整因子ρ的表达式为：

ρ(k)=ρ(k-1)+α(k)    (37)

其中α(k)为修正函数，ρ(k)∈(0,1)；

⑥计算非线性PID增益。由式（13）得到自适应变化的非线性PID的比例增益K_Pi、积分增益K_Ii和微分增益K_Di。

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