CN107703883A

CN107703883A - 建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置

Info

Publication number: CN107703883A
Application number: CN201711111516.3A
Authority: CN
Inventors: 王桂荣
Original assignee: China Jiliang University
Current assignee: China Jiliang University
Priority date: 2017-11-10
Filing date: 2017-11-10
Publication date: 2018-02-16
Anticipated expiration: 2037-11-10
Also published as: CN107703883B

Abstract

本发明提供了一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置，涉及轮廓控制技术领域，该方法包括：计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离；运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；根据最短距离确定轮廓误差公式。本实施例提供的建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置，对于直线电机的轮廓运动控制，通过对轮廓误差公式进行推导，提出一种新的轮廓误差计算模型，可以提高轮廓误差计算精度。

Description

建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置

技术领域

本发明涉及轮廓控制技术领域，尤其是涉及一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置。

背景技术

高精度轮廓加工在现代加工行业中发挥着重要作用，很大程度上反映国家制造业技术的发展水平。多轴直线电机具有简单的传动机构、响应快和噪声低等优点被运用在高性能轮廓加工行业中。因此，设计性能优良的直线电机轮廓运动控制器来实现高精度的轮廓控制一直是研究领域的热门。

多轴运动轮廓控制发展经过3个阶段：单轴无耦合控制、交叉耦合控制、基于任务坐标系的轮廓运动控制。在二维Frenet任务坐标系之后建立了三维Frenet任务坐标系，但该方法不能保证除了直线、圆之外的复杂曲线得到精确的轮廓误差；在上述基础上提出基于局部任务坐标系下的轮廓运动控制，但该方法是根据位置误差来估计轮廓误差从而得到的轮廓误差只是一个近似值；之后还建立了基于两维电机的轮廓误差模型并提出了正交全局任务坐标系。轮廓运动控制的关键在于实时控制的轮廓误差计算模型的精确性。

针对现有对轮廓误差模型的精确性问题，目前尚未提出有效的解决方案。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置，以提高精度。

第一方面，本发明实施例提供了一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法，包括：计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离；运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；根据最短距离确定轮廓误差公式。

结合第一方面，本发明实施例提供了第一方面的第一种可能的实施方式，其中，计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离的步骤，包括：

当运动轨迹为直线时，直线表示为Z(x,y)＝AX+BY+C；P₀(x₀,y₀)是直线外的任意一点，P_a(x,y)为点P₀(x₀,y₀)到直线最短距离的交点；

直线Z(x,y)的法向量可以表示为n_z＝(A,B)；其中A＝Z_x(x,y)，B＝Z_y(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

结合第一方面，本发明实施例提供了第一方面的第二种可能的实施方式，其中，计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离的步骤，包括：

当运动轨迹为圆弧时，圆弧表示为P₀(x₀,y₀)是圆弧外的任意一点，P₀(x₀,y₀)与圆弧相交于点p_a(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到圆弧的最短距离表示为：

其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则

结合第一方面的第一种或第二种可能的实施方式，本发明实施例提供了第一方面的第三种可能的实施方式，其中，根据最短距离确定轮廓误差公式的步骤，包括：

根据最短距离的表达式(1)或(2)，确定轮廓误差公式表示为：

结合第一方面，本发明实施例提供了第一方面的第四种可能的实施方式，还包括：计算跟踪误差公式；P_a(x,y)是实际运动点，P_c(x,y)是轮廓误差点，P_d(x,y)是期望运动点，则点P_a(x,y)所运动的路程为：

假设x(t)的反函数为t_x(x)，则可以得到则r_m可以表示为从0时刻运动到t时刻实际位置点运动的路程在期望轮廓上的投影，即表达式为

r_m＝s(t_x(x(t))) (3)

是r_c(x,y)在x轴方向上的分量，由此可得P_c的横坐标表达为

把式(4)代入式(3)可得跟踪误差公式：

结合第一方面的第四种可能的实施方式，本发明实施例提供了第一方面的第五种可能的实施方式，还包括：根据轮廓误差公式和跟踪误差公式构建全局任务坐标系下的动力学方程。

结合第一方面的第五种可能的实施方式，本发明实施例提供了第一方面的第六种可能的实施方式，还包括：根据动力学方程、轮廓误差公式和跟踪误差公式设计全局任务坐标系下的自适应鲁棒控制器。

第二方面，本发明实施例还提供一种建立直线电机轮廓误差计算模型的装置，包括：计算模块，用于计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离；运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；确定模块，用于根据最短距离确定轮廓误差公式。

结合第二方面，本发明实施例提供了第二方面的第一种可能的实施方式，其中，计算模块还用于：

则点P₀(x₀,y₀)到直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

结合第二方面，本发明实施例提供了第二方面的第二种可能的实施方式，其中，计算模块还用于：

当运动轨迹为圆弧时，圆弧表示为P₀(x₀,y₀)是圆弧外的任意一点，P₀(x₀,y₀)与圆弧相交于点pa(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到圆弧的最短距离表示为：

其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则

本发明实施例带来了以下有益效果：本实施例提供的建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置，对于直线电机的轮廓运动控制，通过对轮廓误差公式进行推导，提出一种新的轮廓误差计算模型，可以提高轮廓误差计算精度。

本公开的其他特征和优点将在随后的说明书中阐述，或者，部分特征和优点可以从说明书推知或毫无疑义地确定，或者通过实施本公开的上述技术即可得知。

为使本公开的上述目的、特征和优点能更明显易懂，下文特举较佳实施例，并配合所附附图，作详细说明如下。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例提供的一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法的流程示意图；

图2为本发明实施例提供的直线模型示意图；

图3为本发明实施例提供的圆弧模型示意图；

图4为本发明实施例提供的笛卡尔坐标系下的期望轨迹示意图；

图5为本发明实施例提供C1与C2轮廓在拐点处的局部轮廓放大图；

图6为本发明实施例提供的C1与C2误差对比示意图；

图7为本发明实施例提供的一种建立直线电机轮廓误差计算模型的装置。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

目前多轴运动轮廓控制存在精度问题，基于此，本发明实施例提供的一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法及装置，可以提高轮廓误差计算精度。针对现有对轮廓误差模型的精确性问题，本发明提起一种新的轮廓误差计算模型方案，并对其有效性和一般性进行证明，从而也验证了此模型的精确性。

为便于对本实施例进行理解，首先对本发明实施例所公开的一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法进行详细介绍。

实施例1

如图1所示的全局任务坐标系的示意图，在笛卡尔坐标系中建立GTCF(Orthogonalglobal task coordinate，全局任务坐标系)，GTCF只与期望轮廓几何形状有关，可以分解为r_c和r_m。r_c对应于轮廓误差，用来约束实际位置点在期望轮廓上运动；r_m对应于运动路程，使实际位置点跟踪期望轮廓上的运动点。

本发明实施例提供了一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法，图1是本发明一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法的流程示意图，包括如下步骤：

步骤S102，计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离。运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动。

轮廓误差是实际轮廓和定义的期望轮廓之间的几何偏差。因此，在运动中被量化为当前时刻的实际位置和期望轮廓之间的最短距离。

当运动轨迹为直线时，参见图2所示的直线模型(Straight-line model)示意图，假设运动轨迹为x-y平面上的一条直线。直线表示为Z(x,y)＝AX+BY+C；P₀(x₀,y₀)是直线外的任意一点，P_a(x,y)为点P₀(x₀,y₀)到直线最短距离的交点；

则点P₀(x₀,y₀)到直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

当运动轨迹为圆弧时，参见图3所示的圆弧模型(Round model)示意图，假设运动轨迹是x-y平面上的一个圆弧。圆弧表示为P₀(x₀,y₀)是圆弧外的任意一点，P₀(x₀,y₀)与圆弧相交于点p_a(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到圆弧的最短距离表示为：

其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则

步骤S104，根据最短距离确定轮廓误差公式。

通过上述两个|P₀P_a|的表达式，在形式上是完全一致的，则轮廓误差公式表示为

本实施例提供的上述方法，对于直线电机的轮廓运动控制，通过对轮廓误差公式进行推导，提出一种新的轮廓误差计算模型，可以提高轮廓误差计算精度。

首先对公式(3)的一般性进行验证。在笛卡尔坐标系中，R_c的方向被定义为

如图1所示，在期望轮廓上的g(x,y)＝0则

在期望轮廓点处对应的单位法向矢量为

根据轮廓误差定义可知

将r_c(x,y)在点P_c处进行泰勒级数展开，可得

把式(8)代入式(9)得

其中O(ε_c)表示所有的高阶部分。

通过上述验证可得：在笛卡尔坐标系中任意一点P_a(x,y)，假设其与期望轮廓g(x,y)＝0之间的轮廓误差为ε_c，则由式(10)得到r_c(x,y)是轮廓误差ε_c的一阶近似值。

实施例2

本发明实施例提供了一种建立直线电机跟踪误差模型的方法。

已证明r_c(x,y)是轮廓误差的一阶近似值，接下来构造全局任务坐标系中的另外一个坐标轴r_m(x,y)—跟踪误差。如图1所示，P_a(x,y)是实际运动点，P_c(x,y)是轮廓误差点，P_d(x,y)是期望运动点，则点P_a(x,y)所运动的路程为

在有限的区间内，x(t),y(t)中有存在反函数，假设x(t)的反函数为t_x(x)，则可以得到则r_m可以表示为从0时刻运动到t时刻，实际位置点运动的路程在期望轮廓上的投影，即表达式为

r_m＝s(t_x(x(t))) (12)

从图1中可得，是r_c(x,y)在x轴方向上的分量，由此可得P_c的横坐标表达为

把式(13)代入式(12)可得

对期望轮廓上的点有g(x,y)＝0则式(14)可写成

r_m(x(t),y(t))＝s(t_x(x(t))) (15)

对任意点，r_m(x(t),y(t))可表示为从起始出发沿着期望轮廓的方向所走过的长度值。为了进一步对曲线坐标r_m的方向分析，由式(14)求出其方向

其中，

对于期望轮廓上的点有g(x,y)＝0，则式(16)可写成

对式(11)求导可得

因为t＝t_x(x)是x＝x(t)的反函数，所以x′(t)t′_x(x)＝1，即x′(t)＝1/t′_x(x)。结合上式(17)和式(18)可得

由此可证得r_m的方向矢量是期望轮廓上的切向矢量，即在期望轮廓上点(x,y)对应的r_c与r_m正交。

实施例3

在上述实施例1和2的基础上，本发明实施例构建了全局任务坐标系下的动力学方程。

下面以两维直线电机系统作为被控对象，忽略高频情况下的动力学，在笛卡尔坐标系下的动力模型为

其中q＝[x(t)y(t)]^T,分别是2×1位置、速度以及加速度矢量。M＝diag[M₁ M₂]和K＝diag[K₁ K₂]分别是2×2惯性和粘滞摩擦系数对角矩阵。和F_l(q)是2×1库仑摩擦力和定位力矢量，U是2×1控制输入矢量。光滑的摩擦力模型被用来对做补偿即AG_f,A＝diag[A₁ A₂]表示的是2×2库伦摩擦力系数矩，的和是光滑函数矢量，用来近似库仑摩擦。可用F_e表示库仑摩擦力和定位力等建模误差，即

根据上节所提的r_c,r_m及任务空间r＝[r_c r_m]^T可得

把上式代入式(20)中，转换成全局任务坐标系下的动力学方程为

其中

A_t＝J^-TA,u_t＝J^-Tu,F_t＝J^-TF_e

实施例4

在上述实施例的基础上，本发明实施例提供一种自适应鲁棒轮廓控制器设计。首先介绍全局任务坐标系下的自适应鲁棒控制方法。

全局任务空间中，期望轮廓坐标是r_d＝[r_cd r_md]^T，r_cd是期望轮廓误差。假设系统所期望进给速率为v_d(t)，则实际轨迹坐标表示为r_t＝[r_c r_m]^T。

定义一个滑模面，该函数表达式为

其中e_r＝r_t-r_d，K_r＝diag[K₁ K₂](K_r为正定矩阵)。

定义一个半正定函数

对其函数导得

其中

设计的简易自适应鲁棒控制器如下：

其中u_a是模型补偿部分用来实现完美跟踪，u_s1为一个名义镇定部分，u_s2为鲁棒控制项。K₀为u_s1中对角正定的反馈控制矩阵，K_p为u_s2中的对角正定矩阵。

即上式改写为

通常取K＝K₀+K_p为足够大的常数矩阵才能满足上式。

由于建模误差F_e是有界的，通常根据经验对其赋值。但依据经验对其赋值将会导致ΔF_t一直存在，从而影响系统的轮廓误差性能。因此对F_e进行在线估计，在鲁棒控制中利用非连续投影Proj(·)来构造参数自适应律

其中是F_e的在线估计值，这样能保证在一定范围内。

以下简述现有的局部任务坐标系模型的建立。在局部任务坐标系中，设期望位置点为q_d＝[x_d y_d]^T，实际位置点q＝[x y]^T，其误差e＝q_d-q。则系统动力学方程表示为

又根据局部任务坐标和笛卡尔坐标间的转换关系可得

把式(30)代入(29)可得

其中u_t＝Tu，F_t＝TF_e，M_q＝TM，K_q＝TK，A_q＝TA

定义一个滑模函数

定义一个半正定函数

对其求导可得

则鲁棒控制器设计为

把式(35)代入式(34)可得

其中为误差估计值。

同样要使建模误差F_e有界，对其估计值进行界定

实施例5

本发明实施例对上述实施例提供的全局任务坐标系下的自适应鲁棒控制器和现有的局部任务坐标系自适应鲁棒控制器进行仿真对比。

C1：为所设计的全局任务坐标系下的自适应鲁棒控制器；

C2：传统的局部任务坐标系自适应鲁棒控制器。

仿真中所用的期望轮廓为圆形，半径为0.05m，角速度为πrad/s，其表达式为

如图4所示的笛卡尔坐标系下的期望轨迹(Desired contour curve)示意图。分别让C1和C2控制系统跟踪圆形轨迹。模型的参数初始值为θ＝[M₁,M₂,B₁,B₂,A₁,A₂]＝[0.115,0.55,0.26,0.4,0.1,0.15]C1和C2中的光滑函数和被选择为在C1系统模型中K_r＝[6000,0；0,4800],K＝[2400,0；0,1500]；在C2系统模型中Λ＝[300,0；0,100]，K＝[40,0；0,10]。

在全局空间中轮廓任务坐标轴与跟踪任务坐标轴正交从而实现高度解耦控制。而局部空间中在正交情况下没有实现完全分解，在此基础上建立的轮廓误差是通过单轴跟踪误差来近似得到。通过仿真分析：运行10s后，C1与C2轮廓在拐点处的局部轮廓放大图如图5所示，在拐点处C1的实际轮廓比C2的实际轮廓更贴近期望轮廓；C1与C2误差对比如图6所示，C2采用局部任务坐标系，轮廓误差精度与C1相比有明显差距，且C1的跟踪误差精度也远高于C2控制器下的跟踪误差。

表1为仿真实验运行10s后的性能结果数据，在0.5-10s的控制时间内C1控制器的各项误差值都小于C2。从以上仿真结果体现出所提出的全局任务坐标系的优越性。(表中|e·|_max是起始时刻到终止时刻这个时间段中误差绝对值的最大值)

表1 C1与C2误差结果表

对于直线电机的轮廓运动控制，本发明实施例提出新的轮廓误差计算模型，在此基础上建立全局任务坐标系。在全局空间中精确计算出轮廓误差，并把轮廓控制方向与跟踪控制方向高度解耦。同时，结合自适应鲁棒控制算法有效解决直线电机系统动力学模型中不可避免的建模误差和强耦合等影响。在仿真条件下，所设计的基于GTCF的ARC方法已获得了良好的轮廓性能。与传统基于LTCF的ARC方法已进行了比较，仿真验证了所提的GTCF方法对高精度轮廓控制的有效性。

实施例6

本发明实施例提供了一种建立直线电机轮廓误差计算模型的装置，参见图7所示的建立直线电机轮廓误差计算模型的装置的结构示意图，包括：计算模块71和确定模块72，各模块的功能如下：

计算模块71，用于计算运动轨迹外的动点到运动轨迹的最短距离；运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；

确定模块72，用于根据最短距离确定轮廓误差公式。

其中，计算模块还用于：当运动轨迹为直线时，直线表示为Z(x,y)＝AX+BY+C；P₀(x₀,y₀)是直线外的任意一点，P_a(x,y)为点P₀(x₀,y₀)到直线最短距离的交点；

则点P₀(x₀,y₀)到直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

其中，计算模块还用于：当运动轨迹为圆弧时，圆弧表示为P₀(x₀,y₀)是圆弧外的任意一点，P₀(x₀,y₀)与圆弧相交于点p_a(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到圆弧的最短距离表示为：

其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则

所属领域的技术人员可以清楚地了解到，为描述的方便和简洁，上述描述的建立直线电机轮廓误差计算模型的装置的具体工作过程，可以参考前述方法实施例中的对应过程，在此不再赘述。

本发明实施方式还提供了一种机器可读存储介质，该机器可读存储介质存储有机器可执行指令，机器可执行指令在被处理器调用和执行时，机器可执行指令促使处理器实现上述实施方式的方法。

所属领域的技术人员可以清楚地了解到，为描述的方便和简洁，上述描述的系统和装置的具体工作过程，可以参考前述方法实施方式中的对应过程，在此不再赘述。

在本发明所提供的几个实施例中，应该理解到，所揭露的系统、装置和方法，可以通过其它的方式实现。以上所描述的装置实施例仅仅是示意性的，例如，所述单元的划分，仅仅为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，又例如，多个单元或组件可以结合或者可以集成到另一个系统，或一些特征可以忽略，或不执行。另一点，所显示或讨论的相互之间的耦合或直接耦合或通信连接可以是通过一些通信接口，装置或单元的间接耦合或通信连接，可以是电性，机械或其它的形式。

所述作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部单元来实现本实施例方案的目的。

另外，在本发明实施方式的描述中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

所述功能如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本发明各个实施方式所述方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、移动硬盘、只读存储器(ROM，Read-Only Memory)、随机存取存储器(RAM，Random Access Memory)、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。

最后应说明的是：以上实施方式，仅为本发明的具体实施方式，用以说明本发明的技术方案，而非对其限制，本发明的保护范围并不局限于此，尽管参照前述实施方式对本发明进行了详细的说明，本领域技术人员应当理解：任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，其依然可以对前述实施方式所记载的技术方案进行修改或可轻易想到变化，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改、变化或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明实施方式技术方案的精神和范围，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims

1.一种建立直线电机轮廓误差计算模型的方法，其特征在于，包括：

计算运动轨迹外的动点到所述运动轨迹的最短距离；所述运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；

根据所述最短距离确定轮廓误差公式。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算运动轨迹外的动点到所述运动轨迹的最短距离的步骤，包括：

当所述运动轨迹为直线时，所述直线表示为Z(x,y)＝AX+BY+C；P₀(x₀,y₀)是所述直线外的任意一点，P_a(x,y)为点P₀(x₀,y₀)到所述直线最短距离的交点；

则点P₀(x₀,y₀)到所述直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算运动轨迹外的动点到所述运动轨迹的最短距离的步骤，包括：

当所述运动轨迹为圆弧时，所述圆弧表示为P₀(x₀,y₀)是所述圆弧外的任意一点，P₀(x₀,y₀)与所述圆弧相交于点p_a(x,y)；

则点P₀(x₀,y₀)到所述圆弧的最短距离表示为：

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其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则

4.根据权利要求2或3所述的方法，其特征在于，所述根据所述最短距离确定轮廓误差公式的步骤，包括：

根据所述最短距离的表达式(1)或(2)，确定轮廓误差公式表示为：

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，还包括：计算跟踪误差公式；P_a(x,y)是实际运动点，P_c(x,y)是轮廓误差点，P_d(x,y)是期望运动点，则点P_a(x,y)所运动的路程为：

<mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>v</mi> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>v</mi> <mo>&prime;</mo> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow>

r_m＝s(t_x(x(t))) (3)

是r_c(x,y)在x轴方向上的分量，由此可得P_c的横坐标表达为

把式(4)代入式(3)可得跟踪误差公式：

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，还包括：

根据所述轮廓误差公式和所述跟踪误差公式构建全局任务坐标系下的动力学方程。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，还包括：根据所述动力学方程、所述轮廓误差公式和所述跟踪误差公式设计全局任务坐标系下的自适应鲁棒控制器。

8.一种建立直线电机轮廓误差计算模型的装置，其特征在于，包括：

计算模块，用于计算运动轨迹外的动点到所述运动轨迹的最短距离；所述运动轨迹至少包括以下之一：直线运动或圆弧运动；

确定模块，用于根据所述最短距离确定轮廓误差公式。

9.根据权利要求8所述的装置，其特征在于，所述计算模块还用于：

则点P₀(x₀,y₀)到所述直线Z(x,y)＝AX+BY+C的距离表示为：

10.根据权利要求8所述的装置，其特征在于，所述计算模块还用于：

则点P₀(x₀,y₀)到所述圆弧的最短距离表示为：

其中

其中g_x和g_y分别为g(x,y)的一阶偏导数，则