CN110488747A - 基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法属于复杂曲面零件高质高效铣削加工技术领域，涉及一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法。该方法根据曲面及刀具特征，利用等残余高度法生成刀具轨迹；建立五轴机床逆运动学关系。将工件坐标系下的刀轴矢量转换为机床旋转进给轴的转角值，用有限差分法计算机床旋转进给轴角速度和角加速度。依据干涉判断准则，借助C空间方法计算刀触点处刀轴可行空间，判断刀轨曲线的凹凸性，并确定刀轨曲线上关键刀轴矢量。在各个区间内以角加速度最小为目标优化刀轴矢量。该方法能有效减少加工过程中机床旋转进给轴的角加速度，实现加工过程的平稳，提高表面加工质量，减小加工轮廓误差。

Description

基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法

技术领域

本发明属于复杂曲面零件高质高效铣削加工技术领域，涉及一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法。

背景技术

复杂曲面零件因具有更优的使用性能而广泛应用在航空航天、船舶、汽车等先进装备领域，随着高端装备领域的迅速发展，对高性能曲面零件加工的精度要求也越来越高。五轴机床因具有更灵活的刀具运动空间而广泛应用在复杂曲面加工中，但相比于三轴机床，五轴机床增加了两个旋转自由度，使加工过程中刀轴方向的控制更加困难。在复杂曲面加工过程中，刀轴矢量规划不合理会影响曲面加工质量，尤其是曲面曲率变化较大位置，极易造成相邻刀轴矢量之间夹角过大的问题。当进给速度较大时，使机床旋转进给轴角速度激增，极易超出机床约束，从而影响加工平稳性，使加工表面产生振痕。为了避免上述问题的发生，最常见的方法是降低刀具进给速度，使刀具经过相邻刀触点的时间增加，因此旋转进给轴角速度和角加速度会随之降低，但该方法会影响加工效率。另一种方法是在不影响加工效率的前提下，以加工刀具轨迹为基础，进一步优化刀轴矢量，使相邻刀触点的刀轴矢量光顺。

耿聪等人的文献“五轴联动刀轴矢量平滑插补算法”，机械工程学报，2013，49(3)，180-185，依据刀具姿态曲线的二阶连续性提出了一种能够保证加工中旋转轴速度、加速度连续的刀轴矢量平滑插补算法，但文中刀轴矢量插补算法并没有考虑刀轴矢量光顺性。马建伟等人的专利“基于机床旋转进给轴运动学特性的刀轴矢量光顺方法”，专利公开号CN201810100426.2。该专利通过选择刀轴矢量优化区间，然后以减小机床旋转进给轴运动学参数为目标，进行刀轴矢量局部优化，最终实现加工表面质量的提高。然而，当待优化区间过多时，局部优化方法计算费时费力，且不利于刀轴矢量整体光顺。

发明内容

本发明针对现有技术缺陷，发明了一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法。该方法根据曲面几何特征以及刀具特征，利用等残余高度法生成曲面加工刀具轨迹，建立五轴机床逆运动学变换关系。将工件坐标系下的刀轴矢量转换为机床旋转进给轴的转角值，用有限差分法计算机床旋转进给轴角速度和角加速度。依据干涉判断准则，借助C空间方法计算刀触点处刀轴可行空间，判断刀轨曲线的凹凸性，以此划分区间，并确定刀轨曲线上关键刀轴矢量。最后，在各个区间内以角加速度最小为目标优化刀轴矢量，得到刀轨上各个区间段中刀触点位置优化后的刀轴矢量。对相邻区间段衔接位置处刀轴矢量进行调整，保证相邻刀触点之间的角速度波动小。为避免优化后刀轴矢量前倾过大不利于加工问题，在曲率急变区域判断是否插值刀轴矢量使刀轨曲线段较对称分布，从而保证各区间刀轴矢量光顺。该方法能有效减少加工过程中机床旋转进给轴的角加速度，实现加工过程的平稳，提高表面加工质量，减小加工轮廓误差，为复杂曲面高精、高效加工提供技术支撑。

本发明的技术方案是一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法，该方法根据曲面几何特征以及刀具特征，利用等残余高度法生成曲面加工刀具轨迹；建立五轴机床逆运动学变换关系，将工件坐标系下的刀轴矢量转换为机床旋转进给轴的转角值，利用有限差分法计算机床旋转进给轴角速度和角加速度；依据干涉判断准则，借助C空间方法计算刀触点处刀轴可行空间，然后判断刀轨曲线的凹凸性，以此划分刀轨曲线区间，并确定刀轨曲线上关键刀轴矢量；最后，在刀轨各个区间内以角加速度最小为目标优化刀轴矢量，在此基础上，对相邻区间段衔接位置处刀轴矢量进行调整，确保整条刀轨上刀轴矢量平滑光顺。方法的具体步骤如下：

步骤1：基于等残留高度法生成加工刀具轨迹

取复杂曲面为S(u,v)，曲面上刀具轨迹曲线为r(ξ)，根据曲面几何特征，计算曲面的单位法向量N与刀轨曲线单位切向量T的几何信息如下

式中，S_u(u,v)和S_v(u,v)是曲面的一阶偏导数，r′(ξ)为刀轨曲线一阶导数。

曲面S(u,v)沿刀轨曲线r(ξ)的加工刀触点坐标为P_C，以刀触点P_C为原点，分别以刀轨曲线单位切向量T为X_L轴，单位法向量N为Z_L轴以及两者叉积K为Y_L轴，建立局部坐标系P_CX_LY_LZ_L。根据球头刀加工特点，结合曲面特征计算刀触点与刀尖点之间的关系

P_C＝P+R·V-R·N (2)

式中，R为球头刀刀具半径，P为刀尖点坐标，V为单位刀轴矢量。

以球头刀为加工刀具，采用等残留高度方法生成刀轨r(ξ)的行距，对于平面而言，根据行距与残余高度之间的关系，设定残余高度h后，相应的行距计算公式为

式中，L表示两相邻刀轨之间的行距，R表示球头刀刀具半径。

若加工曲面为一个凸曲面，假设曲面曲率半径为ρ，则残余高度与行距之间的关系计算如下

通常情况下，残余高度h<<ρ，于是上式可以简化为

若加工曲面为凹曲面，曲面曲率半径为ρ，残余高度与行距之间的关系如下

因此，凹曲面行距计算公式可简化为

对于加工曲面上一条刀轨，合理设定弦高误差ε，结合曲线曲率特征，走刀步长L_S可以根据公式计算

根据行距与走刀步长计算公式(3)-(8)，可以计算出曲面S(u,v)上刀触点坐标P_C，根据局部坐标系P_CX_LY_LZ_L的单位向量[0,0,1]，给定前倾角α和倾斜角β，从而得到刀轴矢量在局部坐标系下的表示形式为

式中，表示局部坐标系下刀轴矢量，Rot(N,β)和Rot(K,α)表示绕N轴和K轴的旋转矩阵。

步骤2：坐标系变换与机床逆运动学变换

借助CAM软件得到曲面加工刀位文件，其中，包括工件坐标系下刀尖点坐标P[x,y,z]^T以及刀轴矢量V[i^*,j^*,k^*]^T。根据AC双转台数控机床结构特点，工件坐标系下刀轴矢量V＝[i^*j^*k^*0]^T可由机床坐标系下单位向量V_M＝[0 0 1 0]^T通过正向运动学绕A轴和C轴旋转得到，如公式(10)所示：

V＝Rot(Z,θ_C)·Rot(X,θ_A)·V_M (10)

式中，θ_A和θ_C分别表示单位向量V_M绕机床A轴和C轴旋转的角度，机床坐标系变换到工件坐标系下的旋转矩阵可以表示为

从公式(11)得到工件坐标系下刀轴矢量为

由公式(11)-(12)建立刀轴矢量在机床坐标系与工件坐标系之间的逆运动学转换关系为

由公式(13)将工件坐标系下优化后的刀轴矢量序列_optV＝{_optV₁,…,_optV_n}转换到机床坐标系下，得到优化后刀轴矢量在机床坐标系下的机床转角值。

步骤3：机床旋转进给轴角速度与角加速度计算

记加工曲面为S(u,v)，其上一条刀轨r(ξ)上共有n个刀触点，P_Ci表示第i个刀触点。任意刀触点P_Ci处刀位文件为{P,V}＝{x,y,z,i^*,j^*,k^*}，由步骤2机床逆运动学变换可得到任意刀触点处机床AC旋转轴旋转角度θ_A和θ_C。

复杂曲面五轴数控加工中旋转进给轴角速度ω^Γ和角加速度a^Γ为

式中，θ^Γ表示机床AC旋转进给轴的转角位置，θ_ξ和θ_ξξ分别表示五轴加工机床旋转进给轴转角变量对加工轨迹曲线参数ξ的一阶、二阶导数，和分别表示加工轨迹曲线参数ξ对加工时间t的一阶、二阶导数。

由于实际过程中，刀触点为离散点，故采用离散方法求解机床旋转进给轴角速度和角加速度。假设加工过程中刀具进给速度v保持不变，第i个刀触点P_Ci对应的机床A、C旋转进给轴角速度和角加速度为

式中，表示第i个刀触点处机床AC旋转轴的旋转角度值，和分别表示第i个刀触点处机床AC旋转轴角速度和角加速度，L_i表示曲面上刀触点P_Ci到相邻刀触点P_Ci+1的距离。

整条刀轨上机床旋转进给轴合成角速度和角加速度计算公式如下

步骤4：基于最小角加速度的刀轴矢量全局优化方法

对于刀轨曲线r(ξ)，首先根据局部干涉与全局干涉判断准则，借助C空间遍历求解法计算刀轴矢量可行空间Ω，根据坐标变换原理，可以刀轴可行矢量空间转换到不同坐标系下，以此为约束，进行后续刀轴矢量优化。

假设刀轨曲线方程为f(x)，若曲线在区间[x₁,x₂]上是连续的，根据刀轨曲线的凹凸性，可通过曲线区间端点值与区间中点值大小进行判断。曲线满足公式(18)-(19)时，则为凸曲线

f″(x)<0 (19)

曲线满足公式(20)-(21)时，则为凹曲线

f″(x)>0 (21)

然而，对一个曲面而言，加工刀轨曲线大多数时候并不能用方程明确表示，为了判断曲线凹凸性，需要借助离散方法进行判断。假设刀轨上n个刀触点的刀位文件信息{{P,V}₁,{P,V}₂,…,{P,V}_n}，根据公式(2)得到刀触点坐标P_Ci＝(xc_i,yc_i,zc_i)，利用有限差分法求解导数，可知曲线的一阶导数可表示为

曲线二阶导数为

依据公式(22)-(23)计算刀轨曲线上一阶、二阶导数，根据二阶导数可判断出刀轨曲线凹凸性。在凹曲线与凸曲线衔接位置有f″(x_i)＝0，称为拐点，由此可得到刀轨曲线拐点对应的刀触点序列。

假设一条刀轨上有m个拐点，在刀轨始末端点和拐点处设置关键刀轴矢量V[V_fir,V₁,…,V_m,V_end]，将刀轨曲线分为m+1个区间段[e_i,f_i]。以刀轴矢量可行空间为约束，在每个区间段中优化刀轴矢量，从而实现刀轴矢量全局优化。

在各区间段[e_i,f_i]内优化刀轴矢量时，首先构造刀轴矢量优化的目标函数，

式中ω_i为第i个刀触点位置处角速度值，V_i表示第i个刀触点位置的刀轴矢量，Ω_i为第i个刀触点位置的刀轴矢量可行刀轴空间。

以刀轨刀触点区间[e,f]为例，在刀触点P_Ce处刀轴矢量为V_e，在刀触点P_Cf处刀轴矢量为V_f，计算区间[e,f]内各刀触点位置的刀轴矢量V_i为

式中，θ_Q表示刀轴矢量V_e与V_f之间的夹角。

对相邻区间段[e_i,f_i]和[e_i+1,f_i+1]之间的衔接区域，可能存在角速度的突变，采用刀轴匀化思想对衔接区域局部的刀轴矢量采用公式(25)再优化，以满足相邻区间刀轴矢量光顺过渡，从而保证整条刀轨上刀轴矢量光顺过渡。

本发明的显著效果和益处是提出了一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法，有效解决采用刀轴矢量局部优化方法存在待优化区间过多的问题，避免直接全局优化易产生无解的现象，对提高曲面加工精度，改善加工表面质量具有重要意义。在刀轴矢量优化过程中，以机床旋转进给轴角加速度最小为目标，通过刀轨曲线凹凸性对刀轨曲线分区处理，在刀轨曲线拐点位置设置关键刀轴矢量，分区域进行刀轴矢量优化，并采用匀化思想对相邻区间衔接区域刀轴矢量再优化，实现刀轴矢量全局优化。该方法能有效减少加工过程中机床旋转进给轴的角加速度，实现加工过程的平稳，提高表面加工质量，减小加工轮廓误差。方法适用于各种复杂特征曲面的五轴精密高效加工，可以改善机床旋转进给轴突变的情况，高效平稳实现复杂曲面五轴数控加工，对提高曲面加工质量，减小加工误差具有重要意义。

附图说明

图1—刀轴矢量全局优化方法整体流程图。

图2a)表示机床旋转进给轴角速度与刀轨累积弧长之间的关系图，图2b)表示机床旋转进给轴角加速度与刀轨累积弧长之间的关系图。其中，横坐标表示刀轨累积弧长，纵坐标分别表示机床旋转轴合成角速度与合成角加速度。

图3表示根据曲线凹凸性进行刀轨区间分区结果图。

图4表示刀轨曲率突变区间内插入刀轴矢量后刀轨区间分区结果图。

图5a)表示刀轴矢量优化后机床旋转进给轴角速度与刀轨累积弧长之间的关系图；图5b)表示刀轴矢量优化后机床旋转进给轴角加速度与刀轨累积弧长之间的关系图。

图6a)表示刀轴矢量优化前加工表面粗糙度，图6b)表示刀轴矢量优化后加工表面粗糙度。其中，Ra为加工表面粗糙度。

图7—在三维形貌测量机测量刀轴矢量优化前后加工表面轮廓对比图。

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式

复杂曲面五轴数控加工过程中，合理规划刀轴矢量可避免机床旋转进给轴运动突变而影响加工表面质量，对改善运动平稳性、提高曲面加工表面质量具有重要意义，针对刀轴矢量局部优化方法存在优化区间过多难以实现刀轴矢量优化的问题，发明了一种基于机床旋转轴角加速度最小的曲面加工刀矢全局优化方法，方法的流程如附图1所示。

以AC双转台五轴数控机床中直径为6mm球头铣刀铣削类正弦曲面零件为例，借助UG软件与MATLAB数学工具，详细说明本发明的具体实施过程。

首先，利用UG软件进行类正弦面建模，在UG加工环境下设置主轴转速为3000r/min，进给速度为250mm/min，加工方式采用行切，利用等残余高度法，通过设置残余高度为0.02mm生成加工刀具轨迹。在生成刀轴矢量时，根据刀轨曲线几何特点以前倾角5°，倾斜角0°设置初始刀轴矢量。从而得到曲面加工刀位文件{P,V}＝{x,y,z,i^*,j^*,k^*}。

其次，利用步骤2中公式(13)计算各个刀触点位置对应机床旋转进给轴角度值，以刀轨累积弧长为横坐标，以机床旋转进给轴角度值为纵坐标，得到刀轨累积弧长与旋转进给轴角度曲线。进而根据步骤3中公式(16)-(17)计算机床旋转进给轴角速度和角加速度值，如附图2所示。其中，最大角速度为1010°/s，最大角加速度为6110°/s²。

然后，根据步骤4判断刀轨曲线凹凸性，利用公式(22)-(23)计算刀轨曲线一阶、二阶导数，计算出刀轨曲线上的极点与凹凸性分界点对应刀轨曲线的刀触点序号分别为{80,133,145}和{39,95,141,168}。从而根据刀轨曲线凹凸性进行刀轨曲线的分区，得到结果如附图3所示，为避免优化后刀轴矢量前倾过大不利于加工问题，在曲率急变区域插值刀轴矢量使刀轨曲线段较对称分布，得到导轨曲线分区结果如附图4所示。在各个区间内，根据公式(25)进行刀轴矢量优化，最后以误差匀化思想对区间衔接区域刀轴矢量再优化，从而实现整条刀轨上刀轴矢量的光顺。

以刀触点序号为{1-8}为例说明，刀轴矢量优化前刀触点位置的刀轴矢量为{(0,-03281,0.9447),(0,-0.6063,0.7952),(0,-0.7259,0.6878),(0,-0.7870,0.6169),(0,-0.8267,0.5626),(0,-0.8500,0.5268),(0,-0.8679,0.4968),(0,-0.8804,0.4742)}，相应的机床旋转进给轴转角为{(-19.1507,180),(-37.3222,180),(-46.5477,180),(-51.9082,180),(-55.7644,180),(-58.2102,180),(-60.2138,180),(-61.6904,180)}。根据提出的刀轴矢量优化方法，可得到优化后刀触点处刀轴矢量为{(0,-03281,0.9447),(0,-0.3512,0.9363),(0,-0.3737,-0.9276),(0,-0.3952,0.9186),(0,-0.4185,0.9082),(0,-0.4390,0.8985),(0,-0.4611,0.8874),(0,-0.4816,0.8764)}，相应的转角为{(-19.1507,180),(-20.5602,180),(-21.9411,180),(-23.2801,180),(-24.7359,180),(-26.0394,180),(-27.4562,180),(-28.7914,180)}。

由公式(16)-(17)计算机床旋转进给轴角速度与角加速度曲线，如附图5所示，与附图2对比可知刀轴矢量全局优化后，机床旋转进给轴角速度和角加速度均较刀轴矢量优化前有所降低。刀轴矢量优化后，旋转进给轴最大角速度从1010°/s降低到900°/s，降低10.9％，最大角加速度从6110°/s²降低到4590°/s²，降低24.8％。由仿真分析可知，刀轴矢量优化后，机床旋转进给轴角速度和角加速度明显减小，理论上对加工表面质量具有改善作用。

为了验证基于角加速度最小的刀轴矢量全局优化方法的有效性，针对具有急变曲率特征的类正弦面进行加工试验验证。实验中将刀轴矢量优化前后加工效果进行对比，并采用接触式粗糙度轮廓仪(PGI 840)测量刀轴矢量优化前后加工表面粗糙度，如附图6所示。从图中可以看出刀轴矢量优化后不会破坏刀具与工件接触状态，其粗糙度值由加工残余高度决定；为了反映加工轮廓信息，采用Alicona三维形貌测量仪对曲面上曲率较大位置进行扫描，测量其表面轮廓，将扫描结果进行截面分析，得到其截面扫描图形轮廓曲线。

为了将测得的截面轮廓进行对比，将测量数据点在MATLAB中进行拟合得到曲面加工后轮廓，如附图7所示。从附图7中可看出刀轴矢量优化后加工表面轮廓较理想表面更加接近，最大加工误差由0.7mm减小到0.2mm。测量结果与实验结果较好吻合，说明利用本发明的基于机床旋转轴角加速度最小的刀轴矢量全局优化方法，可使机床旋转进给轴平稳运行，明显改善曲率急变处的加工轮廓质量，对实际工程中变曲率曲面零件高质高效加工提供指导作用。

Claims (1)

1.一种基于机床旋转轴角加速度最小的刀矢全局优化方法，其特征在于，该方法根据曲面几何特征以及刀具特征，利用等残余高度法生成曲面加工刀具轨迹；建立五轴机床逆运动学变换关系，将工件坐标系下的刀轴矢量转换为机床旋转进给轴的转角值，利用有限差分法计算机床旋转进给轴角速度和角加速度；依据干涉判断准则，借助C空间方法计算刀触点处刀轴可行空间，然后判断刀轨曲线的凹凸性，以此划分刀轨曲线区间，并确定刀轨曲线上关键刀轴矢量；最后，在刀轨各个区间内以角加速度最小为目标优化刀轴矢量，对相邻区间段衔接位置处刀轴矢量进行调整，确保整条刀轨上刀轴矢量平滑光顺；

方法的具体步骤如下：

步骤1：基于等残留高度法生成加工刀具轨迹

取复杂曲面为S(u,v)，曲面上刀具轨迹曲线为r(ξ)，根据曲面几何特征，计算曲面的单位法向量N与刀轨曲线单位切向量T的几何信息如下

式中，S_u(u,v)和S_v(u,v)是曲面的一阶偏导数，r′(ξ)为刀轨曲线一阶导数；

曲面S(u,v)沿刀轨曲线r(ξ)的加工刀触点坐标为P_C，以刀触点P_C为原点，分别以刀轨曲线单位切向量T为X_L轴，单位法向量N为Z_L轴以及两者叉积K为Y_L轴，建立局部坐标系P_CX_LY_LZ_L；根据球头刀加工特点，结合曲面特征计算刀触点与刀尖点之间的关系

P_C＝P+R·V-R·N(2)

式中，R为球头刀刀具半径，P为刀尖点坐标，V为单位刀轴矢量；

以球头刀为加工刀具，采用等残留高度方法生成刀轨r(ξ)的行距，对于平面而言，根据行距与残余高度之间的关系，设定残余高度h后，相应的行距计算公式为

式中，L表示两相邻刀轨之间的行距，R表示球头刀刀具半径；

若加工曲面为一个凸曲面，假设曲面曲率半径为ρ，则残余高度与行距之间的关系计算如下

通常情况下，残余高度h<<ρ，于是上式简化为：

若加工曲面为凹曲面，曲面曲率半径为ρ，残余高度与行距之间的关系如下：

因此，凹曲面行距计算公式可简化为：

对于加工曲面上一条刀轨，合理设定弦高误差ε，结合曲线曲率特征，走刀步长L_S可以根据公式(8)计算：

根据行距与走刀步长计算公式(3)-(8)，计算出曲面S(u,v)上刀触点坐标P_C，根据局部坐标系P_CX_LY_LZ_L的单位向量[0,0,1]，给定前倾角α和倾斜角β，从而得到刀轴矢量在局部坐标系下的表示形式为

式中，表示局部坐标系下刀轴矢量，Rot(N,β)和Rot(K,α)表示绕N轴和K轴的旋转矩阵；

步骤2：坐标系变换与机床逆运动学变换

借助CAM软件得到曲面加工刀位文件，其中包括工件坐标系下刀尖点坐标P[x,y,z]^T以及刀轴矢量V[i^*,j^*,k^*]^T；根据AC双转台数控机床结构特点，工件坐标系下刀轴矢量V＝[i^*j^*k^*0]^T可由机床坐标系下单位向量V_M＝[0 0 1 0]^T通过正向运动学绕A轴和C轴旋转得到，公式(10)为：

V＝Rot(Z,θ_C)·Rot(X,θ_A)·V_M (10)

式中，θ_A和θ_C分别表示单位向量V_M绕机床A轴和C轴旋转的角度，机床坐标系变换到工件坐标系下的旋转矩阵表示为：

从公式(11)得到工件坐标系下刀轴矢量为：

由公式(11)-(12)建立刀轴矢量在机床坐标系与工件坐标系之间的逆运动学转换关系为：

由公式(13)将工件坐标系下优化后的刀轴矢量序列_optV＝{_optV₁,…,_optV_n}转换到机床坐标系下，得到优化后刀轴矢量在机床坐标系下的机床转角值；

步骤3：机床旋转进给轴角速度与角加速度计算

记加工曲面为S(u,v)，其上一条刀轨r(ξ)上共有n个刀触点，P_Ci表示第i个刀触点；任意刀触点P_Ci处刀位文件为{P,V}＝{x,y,z,i^*,j^*,k^*}，由步骤2机床逆运动学变换可得到任意刀触点处机床AC旋转轴旋转角度θ_A和θ_C；

复杂曲面五轴数控加工中旋转进给轴角速度ω^Γ和角加速度a^Γ为

式中，θ^Γ表示机床AC旋转进给轴的转角位置，θ_ξ和θ_ξξ分别表示五轴加工机床旋转进给轴转角变量对加工轨迹曲线参数ξ的一阶、二阶导数，和分别表示加工轨迹曲线参数ξ对加工时间t的一阶、二阶导数；

由于实际过程中，刀触点为离散点，故采用离散方法求解机床旋转进给轴角速度和角加速度；假设加工过程中刀具进给速度v保持不变，第i个刀触点P_Ci对应的机床A、C旋转进给轴角速度和角加速度为：

式中，表示第i个刀触点处机床AC旋转轴的旋转角度值，和分别表示第i个刀触点处机床AC旋转轴角速度和角加速度，L_i表示曲面上刀触点P_Ci到相邻刀触点P_Ci+1的距离；

整条刀轨上机床旋转进给轴合成角速度和角加速度计算公式为：

步骤4：基于最小角加速度的刀轴矢量全局优化方法

对于刀轨曲线r(ξ)，首先根据局部干涉与全局干涉判断准则，借助C空间遍历求解法计算刀轴矢量可行空间Ω，根据坐标变换原理，可以刀轴可行矢量空间转换到不同坐标系下，以此为约束，进行后续刀轴矢量优化；

假设刀轨曲线方程为f(x)，若曲线在区间[x₁,x₂]上是连续的，根据刀轨曲线的凹凸性，可通过曲线区间端点值与区间中点值大小进行判断；曲线满足公式(18)-(19)时，则为凸曲线；

f″(x)<0 (19)

曲线满足公式(20)-(21)时，则为凹曲线；

f″(x)>0 (21)

然而，对一个曲面而言，加工刀轨曲线大多数时候并不能用方程明确表示，为了判断曲线凹凸性，需要借助离散方法进行判断；假设刀轨上n个刀触点的刀位文件信息{{P,V}₁,{P,V}₂,…,{P,V}_n}，根据公式(2)得到刀触点坐标P_Ci＝(xc_i,yc_i,zc_i)，利用有限差分法求解导数，可知曲线的一阶导数表示为：

曲线二阶导数为：

依据公式(22)-(23)计算刀轨曲线上一阶、二阶导数，根据二阶导数可判断出刀轨曲线凹凸性；在凹曲线与凸曲线衔接位置有f″(x_i)＝0，称为拐点，由此得到刀轨曲线拐点对应的刀触点序列；

假设一条刀轨上有m个拐点，在刀轨始末端点和拐点处设置关键刀轴矢量V[V_fir,V₁,…,V_m,V_end]，将刀轨曲线分为m+1个区间段[e_i,f_i]；以刀轴矢量可行空间为约束，在每个区间段中优化刀轴矢量，从而实现刀轴矢量全局优化；

在各区间段[e_i,f_i]内优化刀轴矢量时，首先构造刀轴矢量优化的目标函数，

式中ω_i为第i个刀触点位置处角速度值，V_i表示第i个刀触点位置的刀轴矢量，Ω_i为第i个刀触点位置的刀轴矢量可行刀轴空间；

以刀轨刀触点区间[e,f]为例，在刀触点P_Ce处刀轴矢量为V_e，在刀触点P_Cf处刀轴矢量为V_f，计算区间[e,f]内各刀触点位置的刀轴矢量V_i为

式中，θ_Q表示刀轴矢量V_e与V_f之间的夹角；

对相邻区间段[e_i,f_i]和[e_i+1,f_i+1]之间的衔接区域，可能存在角速度的突变，采用刀轴匀化思想对衔接区域局部的刀轴矢量，采用公式(25)再优化，以满足相邻区间刀轴矢量光顺过渡，从而保证整条刀轨上刀轴矢量光顺过渡。