CN105676786A - 一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法 - Google Patents

Abstract

一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法，属于五轴数控加工技术领域。该方法针对已根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位，解决一般刀位点处刀轴矢量的细化插值问题。首先依据逆向运动学变换方程，求解出机床坐标系下关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角；再利用有限差分法给出每一细化插值刀位点处各旋转轴角速度的逼近计算公式；然后建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，并给出求解方法，获得细化插值刀位点处各旋转轴的旋转角；最后正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量。该方法使各旋转轴角速度变化最小且平稳光滑，改善了五轴数控机床在加工复杂曲面零件时的运动学和动力学性能。

Description

一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法

技术领域

本发明涉及一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法，属于五轴数控加工技术领域。

背景技术

五轴数控加工是现代工业中的标志性加工技术，在汽车、航空航天、船舶、模具等行业的精密复杂曲面加工中占据着主导地位。五轴数控机床两个旋转自由度的引入在提高了加工灵活性的同时，也增加了刀具姿态控制的难度。对任意刀触点而言，它所对应的刀轴矢量必须存在于该点的可行加工空间，以避免加工过程中可能出现的局部或全局加工干涉，但实际上刀触点处刀轴矢量的选取又受到其相邻刀触点甚至整条刀触轨迹的刀轴矢量变化的限制。如果相邻刀轴矢量变化过于剧烈，就可能出现实际加工过程中机床旋转轴的角速度超出机床本身运动学性能限制的情形，导致加工过程失稳、破坏加工表面的完整性。因此，对于五轴数控加工中刀轴矢量的选取，不仅要从几何学层面考虑刀具的加工干涉碰撞，还必须考虑刀具姿态变化对五轴数控机床旋转轴角速度变化的影响。朱志浩等人发明的专利“五轴联动刀轴矢量平面插补算法”(专利号：ZL201110027530.1)利用圆弧插补代替线性插补以光顺刀轴矢量的变化，减少由于线性插补所造成的非线性误差，但并未考虑机床两旋转轴角速度的变化。任军学等人发明的专利“基于五轴无干涉刀轴控制线的叶轮加工刀轴矢量控制方法”(专利号：ZLCN201310379304.9)是在工件坐标系中，对离散的刀轴矢量进行曲线插值，实现了刀轴矢量形式上的光顺，但不能保证所插值刀轴矢量的单位化；文献“WangN,etal.Automaticgenerationofgouge-freeandangular-velocity-compliantfive-axistoolpath.ComputAidedDes2007；39(10):841-852”得到了满足干涉约束和工件坐标系下角速度限制的刀轴矢量。由于工件坐标系到机床坐标系的非线性逆向运动学变换，上述工件坐标系中形式上光顺的刀轴矢量并不一定对应着机床坐标系下两旋转轴角速度的光顺变化。文献“自由曲面五轴加工刀轴矢量的运动学优化方法，罗明等，机械工程学报，2009,45(9)：158-163”和“复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量优化方法研究，周波等，机械工程学报，2013,49(7)：184-192”虽然在机床坐标系下考虑刀轴矢量规划，但也只是将各旋转轴的角速度控制在机床本身的角速度限制范围内，并未实现角速度的光顺变化。文献“CastagnettiC,etal.Thedomainofadmissibleorientationconcept:anewmethodforfive-axistoolpathoptimization.ComputAidedDes2008；40(9):938-950”提出的刀轴矢量规划方法最小化了相邻刀触点间各旋转轴旋转角度的差值，但并未考虑在运动时间下旋转角的变化率即角速度。到目前为止，在机床坐标系下考虑机床各旋转轴角速度平滑特性的五轴数控加工刀轴矢量插值方法还未在相关文献和专利中出现。

发明内容

为克服现有五轴数控加工刀轴矢量插值方法在旋转轴角速度控制方面的不足，本发明提供了一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法。

本发明采用的技术方案是：一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法，首先依据所使用五轴数控机床的逆向运动学变换方程，求解出机床坐标系下关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角；再利用有限差分法给出每一细化插值刀位点处各旋转轴角速度的逼近计算公式；然后建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，并给出该目标函数最优解的直接矩阵方程求解方法，获得细化插值刀位点处各旋转轴的旋转角；最后正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量；采用的具体步骤为：

(a)建立五轴数控机床的逆向运动学变换方程，计算关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角：设根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位为其中为刀心点，为工件坐标系ξ^(w)下的刀轴矢量，即刀轴矢量从工件坐标系ξ^(w)到机床坐标系ξ^(m)的逆向运动变换表示为：

A^(m)＝T_r(ξ^(w)→ξ^(m))·A^(w)(1)

通常工件坐标系ξ^(w)与机床坐标系ξ^(m)具有相同的初始位相，即T_r(ξ^(w)→ξ^(m))仅为平移变换，建立工件坐标系ξ^(w)下刀轴矢量A^(w)与机床坐标系ξ^(m)下刀轴矢量A^(m)之间的变换关系：

A^(m)＝T_r(A,Φ^A)·T_r(C,Φ^C)·[001]^T＝A^(w)，(2)

即 ${\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T---\left(3\right)$

式2、式3中Φ^A、Φ^C分别为机床A、C轴的旋转角；反解式3得到关键刀轴矢量A^(w)对应的机床A、C轴的旋转角，计算公式为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}^A=\arccos \left(a_z^{\left(w\right)}\right)\\ {\mathrm{\Φ}}^C=a\tan 2(a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)})\end{array}\right.---\left(4\right)$

利用式4将工件坐标系ξ^(w)下的关键刀轴矢量A^(w)逆向变换到机床坐标系ξ^(m)下；

(b)建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘目标函数：设细化插值刀位点为其中刀轴矢量A^(w)所对应的A、C轴的旋转角为当刀具从p_i运动到p_i+1时，A轴的角速度ω_A利用有限差分法逼近表示为：

${\mathrm{\ω}}_A=\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f---\left(5\right)$

式5中L_i为p_i与p_i+1之间刀具的运动距离，f为刀具进给率；根据最小二乘原理，建立以A轴角速度变化最小为目标的优化目标函数：

$\mathrm{\Θ}=\underset{i}{\Σ}{\left(\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f\right)}^2---\left(6\right)$

(c)给出求解优化目标函数的直接矩阵方程求解方法：式6中优化目标函数取得极值的条件为将式6展开并进行公式推导，转化为矩阵方程：

$M^{A,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{A,\mathrm{\ω}}=B^{A,\mathrm{\ω}}---\left(7\right)$

式7中M^A,ω为(n-m)×(n-m)的系数矩阵，B^A,ω和分别为m个已知关键刀位点处A轴旋转角和n-m个未知细化插值刀位点处A轴旋转角所构成的列向量；对于五轴数控机床的另一旋转轴C轴，采用相同推导方法也获得如下矩阵方程：

$M^{C,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{C,\mathrm{\ω}}=B^{C,\mathrm{\ω}}---\left(8\right)$

式7、式8的矩阵方程由式9统一求解，式9为：

Φ_f＝G^T(GG^T)^-1(H^TH)H^TB(9)

式9中GH＝M，M为M^A,ω或M^C,ω，G和H分别是(n-m)×s和s×(n-m)的矩阵且秩都为s；式9矩阵方程的解Φ_f就是优化后细化插值刀位点处A、C轴的旋转角 ${\{{\mathrm{\Φ}}_i^A,{\mathrm{\Φ}}_i^C\}}_{i=1}^n;$

(d)正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量：将优化后A、C轴的旋转角带入下式：

$A^{\left(w\right)}={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T={\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T---\left(10\right)$

得到细化插值刀位点处考虑机床各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量。

本发明的有益效果是：该方法针对已根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位，解决一般刀位点处刀轴矢量的细化插值问题。首先依据所使用五轴数控机床的逆向运动学变换方程，求解出机床坐标系下关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角，同时利用有限差分法给出每一细化插值刀位点处各旋转轴角速度的逼近计算公式；然后根据各旋转轴分治优化的基本思想，建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，并给出该优化目标函数最优解的直接矩阵方程求解方法，以获得细化插值刀位点处各旋转轴的旋转角；以此为基础，正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量，以保证机床各旋转轴角速度的平滑变化。将五轴数控机床各旋转轴分治优化处理，避免了同时优化两旋转轴的复杂性；所给出的目标函数最优解的直接矩阵方程求解方法，仅涉及稀疏线性矩阵方程的求解，优化过程快速而且鲁棒；在机床坐标系下直接优化机床两旋转轴的角速度，在保证刀轴矢量单位化模长的同时，所得优化结果也可直接用于驱动机床各旋转轴，并且能够保证各旋转轴角速度变化最小且变化平稳光滑，从而可有效地改善五轴数控机床在加工复杂曲面零件时的运动学和动力学性能。

附图说明

图1是一种五轴数控加工中考虑机床各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法的流程图。

图2是关键刀触点和刀轴矢量。

图3是工件坐标系和机床坐标系。

图4是传统方法确定的刀轴矢量。

图5本申请中发明方法优化后的刀轴矢量。

具体实施方式

一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法的流程图如图1所示。下面以A-C双摆头型五轴数控机床为例，参照附图和实施步骤对本发明的具体实施过程进行详细描述：

(a)将工件坐标系ξ^(w)下关键刀轴矢量逆向变换到机床坐标系ξ^(m)下，得到其所对应的机床A、C轴的旋转角度。设根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位为其中为刀心点，为工件坐标系ξ^(w)下的刀轴矢量，即一般情况下，关键刀位至少应包括五个(m≥5)，即刀具轨迹的首末刀位、进入和离开干涉区域的刀位以及干涉区域中的一个刀位，如图2所示。由于坐标系间的平移变换不改变矢量，故刀轴矢量从工件坐标系ξ^(w)到机床坐标系ξ^(m)的逆向运动变换可表示为：

A^(m)＝T_r(ξ^(w)→ξ^(m))·A^(w)

在加工坐标系ξ^(m)下，刀轴矢量A^(m)可表示为

$A^{\left(m\right)}={\[a_x^{\left(m\right)},a_y^{\left(m\right)},a_z^{\left(m\right)}\]}^T=T_r(A,{\mathrm{\Φ}}^A)\·T_r(C,{\mathrm{\Φ}}^C)\·{\[001\]}^T={\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T$

式中，Φ^A、Φ^C为机床A、C轴的旋转角。根据图3中所示的局部坐标系ξ^(l)和工件坐标系ξ^(w)之间的运动变换关系，工件坐标系ξ^(w)下的刀轴矢量A^(w)可表示为：

$A^{\left(w\right)}={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T=T\sin \mathrm{\α}cos\mathrm{\β}+B\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+Ncos\mathrm{\α}$

式中，α，β分别为刀具在局部坐标系ξ^(l)中的后跟角和侧偏角，T为被加工曲面r(u,v)上切削点处沿进给方向的单位切矢量，N为被加工曲面r(u,v)上刀触点处的单位法矢量，B为刀触点处的加工行距方向，分别表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}T=c^{\′}\left(\mathrm{\σ}\right)/\left|\right|c^{\′}\left(\mathrm{\σ}\right)\left|\right|\\ N=\frac{\∂r(u,v)}{\∂u}\×\frac{\∂r(u,v)}{\∂v}/\left|\right|\frac{\∂r(u,v)}{\∂u}\×\frac{\∂r(u,v)}{\∂v}\left|\right|\\ B=T\×N\end{array}\right.$

式中，c(σ)为刀触点轨迹。对A-C双摆头型五轴数控机床而言，机床坐标系ξ^(m)和工件坐标系ξ^(w)具有相同的初始方向，即满足：

${\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T$

反解上式，就可得到机床坐标系ξ^(m)下关键刀轴矢量A^(w)所对应的A、C轴的旋转角：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}^A=\arccos \left(a_z^{\left(w\right)}\right)\\ {\mathrm{\Φ}}^C=a\tan 2(a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)})\end{array}\right.$

(b)建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘目标函数。为了简化角速度优化问题的求解，A、C旋转轴将被分治优化处理。下面，以A轴为例说明优化模型的构建和后续的求解过程。设细化插值刀位点为其中刀轴矢量A^(w)所对应的A、C轴的旋转角为为了避免计算A轴角速度时复杂的偏导计算过程，本发明采用有限差分法表示刀具运动到每一刀触点处时A轴的旋转角速度。当刀具从p_i运动到p_i+1时，A轴的角速度ω_A可利用有限差分法逼近表示为：

${\mathrm{\ω}}_A=\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f$

式中，L_i为p_i与p_i+1之间刀具的运动距离，f为刀具进给率。根据最小二乘原理，就可建立以A轴角速度变化最小为目标的优化目标函数：

$\mathrm{\Θ}=\underset{i}{\Σ}{\left(\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f\right)}^2$

(c)建立求解上述优化目标函数最优解的矩阵方程。上述优化目标函数取得极值的条件是将该式展开可得：

$\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂{\mathrm{\Φ}}_i^A}=L_{i-1}^2{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-(L_i^2+L_{i-1}^2){\mathrm{\Φ}}_i^A+L_i^2{\mathrm{\Φ}}_{i-1}^A=0$

将上式中已在第(1)步中获得的A轴旋转角的相关项移到上述方程右侧，经整理可得到如下关于n-m个细化插值刀位点处未知A轴旋转角的矩阵方程：

$M^{A,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{A,\mathrm{\ω}}=B^{A,\mathrm{\ω}}$

式中，M^A,ω为(n-m)×(n-m)的系数矩阵，B^A,ω和分别为m个已知关键刀位点处A轴旋转角和n-m个未知细化插值刀位点处A轴旋转角所构成的列向量。对于A-C双摆头型五轴数控机床的另一旋转轴C轴，也可以获得如下的类似矩阵方程：

$M^{C,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{C,\mathrm{\ω}}=B^{C,\mathrm{\ω}}$

(d)上述矩阵方程可由公式Φ_f＝G^T(GG^T)^-1(H^TH)H^TB统一求解。式中，GH＝M，M为M^A,ω或M^C,ω，G和H分别是(n-m)×s和s×(n-m)的矩阵且秩都为s。上述矩阵方程的解Φ_f就是优化后细化插值刀位点处A、C轴的旋转角

(5)正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量。将优化后A、C轴的旋转角带入下式：

$A^{\left(w\right)}={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T={\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T$

就可得到细化插值刀位点处考虑机床各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量，从而可有效地改善五轴数控机床在加工复杂曲面零件时的运动学和动力学性能。图4为传统方法确定的刀轴矢量，图5为采用本发明方法插值的刀轴矢量。通过对比可以看到，采用本发明方法后，刀轴矢量变化更为光顺。

Claims (1)

1.一种五轴数控加工中考虑各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量插值方法，其特征在于：首先依据所使用五轴数控机床的逆向运动学变换方程，求解出机床坐标系下关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角；再利用有限差分法给出每一细化插值刀位点处各旋转轴角速度的逼近计算公式；然后建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘优化目标函数，并给出该目标函数最优解的直接矩阵方程求解方法，获得细化插值刀位点处各旋转轴的旋转角；最后正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量；采用的具体步骤为：

(a)建立五轴数控机床的逆向运动学变换方程，计算关键刀轴矢量所对应的各旋转轴的旋转角：设根据切削特性和刀具可行空间设定的关键刀位为其中为刀心点，为工件坐标系ξ^(w)下的刀轴矢量，即刀轴矢量从工件坐标系ξ^(w)到机床坐标系ξ^(m)的逆向运动变换表示为：

A^(m)＝T_r(ξ^(w)→ξ^(m))·A^(w)(1)

通常工件坐标系ξ^(w)与机床坐标系ξ^(m)具有相同的初始位相，即仅为平移变换，建立工件坐标系ξ^(w)下刀轴矢量A^(w)与机床坐标系ξ^(m)下刀轴矢量A^(m)之间的变换关系：

A^(m)＝T_r(A,Φ^A)·T_r(C,Φ^C)·[001]^T＝A^(w)，(2)

即 ${\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T---\left(3\right)$

式2、式3中Φ^A、Φ^C分别为机床A、C轴的旋转角；反解式3得到关键刀轴矢量A^(w)对应的机床A、C轴的旋转角，计算公式为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}^A=\arccos \left(a_z^{\left(w\right)}\right)\\ {\mathrm{\Φ}}^C=a\tan 2(a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)})\end{array}\right.---\left(4\right)$

利用式4将工件坐标系ξ^(w)下的关键刀轴矢量A^(w)逆向变换到机床坐标系ξ^(m)下；

(b)建立各旋转轴以角速度变化最小为目标的最小二乘目标函数：设细化插值刀位点为其中刀轴矢量A^(w)所对应的A、C轴的旋转角为当刀具从p_i运动到p_i+1时，A轴的角速度ω_A利用有限差分法逼近表示为：

${\mathrm{\ω}}_A=\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f---\left(5\right)$

式5中L_i为p_i与p_i+1之间刀具的运动距离，f为刀具进给率；根据最小二乘原理，建立以A轴角速度变化最小为目标的优化目标函数：

$\mathrm{\Θ}=\underset{i}{\Σ}{\left(\frac{{\mathrm{\Φ}}_{i+1}^A-{\mathrm{\Φ}}_i^A}{L_i}f\right)}^2---\left(6\right)$

(c)给出求解优化目标函数的直接矩阵方程求解方法：式6中优化目标函数取得极值的条件为将式6展开并进行公式推导，转化为矩阵方程：

$M^{A,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{A,\mathrm{\ω}}=B^{A,\mathrm{\ω}}---\left(7\right)$

式7中M^A,ω为(n-m)×(n-m)的系数矩阵，和分别为m个已知关键刀位点处A轴旋转角和n-m个未知细化插值刀位点处A轴旋转角所构成的列向量；对于五轴数控机床的另一旋转轴C轴，采用相同推导方法也获得如下矩阵方程：

$M^{C,\mathrm{\ω}}{\mathrm{\Φ}}_f^{C,\mathrm{\ω}}=B^{C,\mathrm{\ω}}---\left(8\right)$

式7、式8的矩阵方程由式9统一求解，式9为：

Φ_f＝G^T(GG^T)^-1(H^TH)H^TB(9)

式9中GH＝M，M为M^A,ω或M^C,ω，G和H分别是(n-m)×s和s×(n-m)的矩阵且秩都为s；式9矩阵方程的解Φ_f就是优化后细化插值刀位点处A、C轴的旋转角 ${\{{\mathrm{\Φ}}_i^A,{\mathrm{\Φ}}_i^C\}}_{i=1}^n;$

(d)正向合成细化插值刀位点处的刀轴矢量：将优化后A、C轴的旋转角带入下式：

$A^{\left(w\right)}={\[a_x^{\left(w\right)},a_y^{\left(w\right)},a_z^{\left(w\right)}\]}^T={\[{\mathrm{sin\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,-{\mathrm{cos\Φ}}^C{\mathrm{sin\Φ}}^A,{\mathrm{cos\Φ}}^A\]}^T---\left(10\right)$

得到细化插值刀位点处考虑机床各旋转轴角速度平滑特性的刀轴矢量。