CN111708327B - 一种具有g2连续性的ph样条过渡线性路径加工方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种具有G2连续性的PH样条过渡线性路径加工方法，本发明包括以下步骤：从前瞻区读入一部分路径，根据约束条件设计全局过渡方案，形成短线段与PH样条组成的混合路径；分别使用七段S型速度规划和常数速度规划，对混合路径进行进给率规划；插补时，采用线性插补和参数插补的混合方案。本发明设计的基于G2连续性的PH样条的过渡方法，能在前瞻范围内实现转角过渡的全局优化，可根据线性路径和参数路径使用对应进给率规划和插补方案，充分利用PH样条弧长可精确计算的优势，提高加工精度和效率。

Description

一种具有G2连续性的PH样条过渡线性路径加工方法
技术领域
本发明属于数控加工领域，涉及基于五次Pythagorean-hodograph样条的尖角过渡方法和混合曲线的插补方法，用以提高G01命令加工的质量和速度，具体地说是一种线性路径的尖角过渡和插补技术。
背景技术
数控加工中的曲线加工的路径一般分为线性路径和自由曲线路径。由于自由曲线路径插补方法不完善，很多机床仍然使用短线段和圆弧逼近待加工路径。特别是短线段逼近的路径，又叫线性路径，逼近时会在线段连接处产生尖角。这些尖角并不是必须的，它们的存在不仅会在工件表面造成毛刺，还造成加工设备频繁停顿，而导致加工时间延长。
针对线性路径中尖角的这些缺点，有三种处理尖角的方法：直接过渡、转接过渡和曲线拟合。直接过渡方法简单易于实现，但在过渡时可能会导致运动学参数，如加速度和加加速度，超过机床机械性能的限制。曲线拟合方法是将连续短线段拟合成参数曲线，如样条曲线等。这种方法有两个明显的缺点。首先，要保证路径G2连续性，需要将线性路径拟合为高阶的参数曲线，如3阶或5阶的样条曲线。然而，高阶的曲线可能会在密集的离散点处产生波动。其次，拟合曲线要达到给定精度，需要较大的计算量，不适合进行实时加工。因此，一般在连续短线段的尖角处插入光滑曲线进行转接过渡，比如圆弧过渡。但圆弧过渡仅能保证速率的连续，即G1连续性。因此，需要研究能够保证G2连续性的参数曲线如五次样条、B样条曲线和贝塞尔曲线，进行转接过渡。然而，这些转接曲线的参数一般没有物理意义，不能与弧长建立直接的联系。因此，不得不使用泰勒一阶插补或预测校正法进行插补，实时性能不高，且容易造成插补时切向速率波动较大。
发明内容
针对以上常用方法的不足之处，本发明提供一种最优的基于G2连续的Pythagorean-hodograph样条(下称PH样条)的线性路径过渡方案，构建短线段与PH样条组成的混合曲线，利用七段S型曲线规划进给率，并在插补时充分考虑PH样条的特性，使用牛顿拉普森方法计算PH样条参数值，再带入PH样条参数方程获取插补位置。
本发明为实现上述目标，所采用的技术方案如下：
步骤1：针对任意一个典型尖角∠APcB，建立基于贝塞尔曲线的PH样条，所需控点有六个，分别为线段
Figure GDA0004174359240000011
上的点P0,P1,P2，线段/>
Figure GDA0004174359240000012
上的点P3,P4,P5。为确保所设计的贝塞尔曲线为PH样条，令P1和P2重合，P3和P4重合，/>
Figure GDA0004174359240000021
步骤2：控点如上的PH样条，其控点表达式还可以设计为：
Figure GDA0004174359240000022
Figure GDA0004174359240000023
Figure GDA0004174359240000024
其中，T1为向量
Figure GDA0004174359240000025
的单位方向向量，N为/>
Figure GDA0004174359240000026
的单位法向向量。如果上述控点为PH样条的控点，根据几何关系有：
Figure GDA0004174359240000027
τ＝2(17+18cosθ),φ＝36h1(1+cosθ),/>
Figure GDA0004174359240000028
θ为
Figure GDA0004174359240000029
的补角。由此可以推导出/>
Figure GDA00041743592400000210
注意当τ＝0时的情况，此时θ＝arcos(-17/18)，相应的/>
Figure GDA00041743592400000211
步骤3：由以上步骤构建的PH样条，其曲率最大值仅与尖角角度有关，所以弧长越短，加工效率越高。根据PH样条的性质，二维PH样条的弧长
Figure GDA00041743592400000212
其中α(s)＝α0(1-s)2+α2s2，β(s)＝β2s2，s∈[0,1]。针对线性路径，前瞻读入包括N个尖角的短线段簇，为获取最优的加工效率，建立如下优化问题：
Figure GDA00041743592400000213
Figure GDA00041743592400000214
该优化问题可使用线性规划方法进行求解。
步骤4：根据步骤3的计算结果，控点可以计算进一步转换为
P2＝P1＝P0+h2·T1
P3＝P4＝P5-h2·T2
P0＝Pc-h1·T1
P5＝Pc+h1·T2
其中，T1和T2分别为向量
Figure GDA00041743592400000215
和/>
Figure GDA00041743592400000216
的单位方向向量。
步骤5：将优化出的N对
Figure GDA0004174359240000031
的值代入步骤4确立的控点公式，得到N个尖角的过渡PH样条对应的控点，建立读入前瞻到缓冲区的短线段与PH样条的混合曲线。
步骤6：计算第k个尖角的过渡PH样条的曲率最大值
Figure GDA0004174359240000032
混合样条的PH曲线部分使用恒定速率进行进给率规划，该恒定速率为：
Figure GDA0004174359240000033
与PH相邻的两条短线段的首末速率对分别确定为
Figure GDA0004174359240000034
和/>
Figure GDA0004174359240000035
两条短线段的长度分别为
Figure GDA0004174359240000036
已知起点速度、终点的速度和线段长度后，短线段部分可以使用七段S型速率进行进给率规划，又PH样条的长度为
Figure GDA0004174359240000037
由短线段和PH样条的长度，可以确定混合路径的总长度，因此，比较已经加工的长度与混合路径的总长度，可以判断当前所处的位置是处于短线段还是PH样条上。
步骤7：分类型执行插补算法。如果当前插补位置在短线段则执行线性插补方法；如果当前位置在PH样条上则执行如下PH插补方法：
Figure GDA0004174359240000038
总体而言，通过本发明构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得以下有益成果：
1.采用5次PH样条对短线段路径中的尖角实现光滑过渡，避免在加工过程中在尖角处出现停顿，保证了过渡曲线的G2连续性。
2.在前瞻过程中，为确定多个尖角的全局最优PH样条过渡曲线方案，以最短弧长作为优化目标，增加约束条件，防止出现奇异现象。
3.速度规划使用不同的方式，进行实时速度规划，即短线段部分使用七段S型进给率规划方法，PH样条部分根据理论曲率最大值公式确定最小过渡速率，使用常数速率规划。
4.短线段部分和PH样条过渡部分使用不同的插补方案以适应不同的路径，线段部分采用线性插补，PH样条曲线部分使用参数插补。
附图说明
图1为PH样条过渡模型。
图2为前瞻到缓冲区的线性路径的部分尖角。
图3为本发明实施的加工轮廓。
图4为加工实例时的速度曲线。
图5为加工实例时的加速度曲线。
图6为加工实例时的加加速度曲线。
具体实施方式
下面结合附图及实施实例对本发明作进一步详细的说明
从整个线性路径中读入N个尖角转角到前瞻缓冲区，对于如图1所示的任意一个尖角∠APcB，建立PH样条过渡模型，该模型基于5次贝塞尔控制多边形，所需控点有六个，分别为线段
Figure GDA0004174359240000041
上的点P0,P1,P2，线段/>
Figure GDA0004174359240000042
上的点P3,P4,P5。
根据PH样条的定义，如果多项式C(s)＝(x(s),y(s))为PH样条，有多项式σ(s)，满足
Figure GDA0004174359240000043
其中，/>
Figure GDA0004174359240000044
为确保所设计的贝塞尔曲线为PH样条，令P1和P2重合，P3和P4重合，/>
Figure GDA0004174359240000045
同时还要确保构造的过渡PH样条本身是G2连续性的，且与相邻的短线段之间的连接也能保持G2连续性，控点可表示为：
Figure GDA0004174359240000046
Figure GDA0004174359240000047
Figure GDA0004174359240000048
因此，我们可以确定α(s)和β(s)的表达式为：
α(s)＝α0(s)(1-s)2+α2s2，β(s)＝β2s2
根据几何关系，有
Figure GDA0004174359240000049
τ＝2(17+18cosθ),φ＝36h1(1+cosθ),/>
Figure GDA00041743592400000410
θ为/>
Figure GDA00041743592400000413
的补角。由此可以推导出/>
Figure GDA00041743592400000411
此时，需要注意当τ＝0时的情况，此时θ＝arcos(-17/18)，相应的/>
Figure GDA00041743592400000412
此时对于需要构建的PH过渡样条，集中在如何求取h1和h2，但是受到尖角过渡误差和每个尖角的两条边的长度的限制，如图2所示。在这里我们应用最优化方法进行全局求解，优化模型如下：
Figure GDA0004174359240000051
Figure GDA0004174359240000052
上述优化过程可得到最优的
Figure GDA0004174359240000053
和/>
Figure GDA0004174359240000054
既保证符合过渡误差等约束条件，又可使过渡弧长最短。
因而，在前瞻缓冲区带有N个尖角的路径，N条PH过渡路径的控点可设计为：
Figure GDA0004174359240000055
Figure GDA0004174359240000056
Figure GDA0004174359240000057
Figure GDA0004174359240000058
对带有N个过渡PH样条的混合路径进行实时的进给率规划，这些PH样条的曲率极值是唯一并且可以精确得到
Figure GDA0004174359240000059
针对混合路径的PH曲线部分使用恒定速率进行规划，该恒定速率为：
Figure GDA00041743592400000510
当各个过渡样条上的进给率确定后，与之相邻的前一条短线段的起始和终止速率可以确定为
Figure GDA00041743592400000511
相邻的后一条短线段的起始和终止速率/>
Figure GDA00041743592400000512
两条短线段的长度分别为
Figure GDA00041743592400000513
已知线段的首末速率和长度后，即可对线段实施成熟的规划算法，如七段S型速度规划等。
按照规划好的进给率曲线，就可以分别针对混合路径进行实时插补。如果当前插补位置在短线段则执行线性插补方法；如果当前位置在PH样条上则执行如下PH插补方法：
Figure GDA0004174359240000061
如图3所示为本发明加工用的测试实例。在加工本实例时，插补周期T＝1ms，弓高误差δ＝0.005mm，最大速度Fmax＝100mm/s，最大加速度Amax＝500mm/s2，最大加加速度Jmax＝10000mm/s3，过渡误差ε＝0.5mm。
图4、图5、图6分别为使用本发明加工时的速度、加速度和加加速度曲线。

Claims (3)

1.一种具有G2连续性的PH样条过渡线性路径加工方法，包括以下步骤：
根据前瞻缓冲区的容量读入一部分线性路径，根据尖角处的角度、尖角两侧线段长度、尖角过渡误差的约束条件设计基于PH样条全局过渡方案，形成短线段与PH样条组成的混合路径并确定短线段和PH样条的长度，其中PH样条的弧长是参数值的多项式函数，可以准确获得；根据设备的运动学条件、弓高误差和PH样条的理论曲率公式确定刀具加工PH样条部分时的最低转角速率、短线段起点速率和终点速率，考虑上一步骤确定的短线段和PH样条的长度，确定所构建的混合路径总长度，比较已加工路径的长度和混合路径总长度，确定当前位置处于短线段上还是PH样条上，当处于短线段时使用七段S型速率、处于PH样条时用恒定速率对进给率进行规划；
在插补时，根据当前位置所处路径的路径类型，针对不同的路径采用混合插补方案，即短线段部分使用线性插补方法，PH样条部分使用参数插补方法；
所述尖角处PH样条过渡方案为：在尖角∠APcB的两条边上设置控点，控点位置根据约束条件确定，这些条件包括：尖角顶点到PH样条上参数值为0.5的路径点距离，以及构成尖角的两条短线段，即
Figure FDA0004229602560000011
和/>
Figure FDA0004229602560000012
的长度；
每个尖角处都需要六个控制点，分别为线段
Figure FDA0004229602560000013
上的点P0，P1，P2和线段/>
Figure FDA0004229602560000014
上的点P3，P4，P5，其中，P1与P2重合，P3和P4重合，/>
Figure FDA0004229602560000015
其中，/>
Figure FDA0004229602560000016
τ＝2(17+18cosθ),φ＝36h1(1+cosθ),/>
Figure FDA0004229602560000017
θ为/>
Figure FDA0004229602560000018
的补角，当τ＝0时，θ＝arcos(-17/18)，相应的/>
Figure FDA0004229602560000019
单个尖角处的过渡曲线根据控点个数写为多项式形式：
Figure FDA00042296025600000110
对于读入前瞻缓冲区的N个尖角数据，通过全局最优的方式获取h1和h2的值，该最优模型如下：
Figure FDA00042296025600000111
Figure FDA00042296025600000112
其中，Lm(m＝1,…,N+1)为尖角的边长，ε为预定义的尖角处的过渡误差，Ck′(s)＝dC/ds为PH样条曲线对参数的导数，
Figure FDA0004229602560000021
为二范数，/>
Figure FDA0004229602560000022
为第k个尖角对应的角度。
2.根据权利要求1所述的一种具有G2连续性的PH样条过渡线性路径加工方法，其特征在于，读入前瞻缓冲区的N个尖角过渡PH样条的曲率极值，都出现在参数为0.5的位置处，且都仅与尖角的角度补角有关，曲率极值的理论表达式为：
Figure FDA0004229602560000023
过渡PH样条处的转角速率可以写为
Figure FDA0004229602560000024
其中，Fmax为机床最大速度，Amax为最大加速度，δ为预定义的弓高误差，T为插补周期，混合曲线中所有线段部分的起始和终点速率也根据转角处的速率确定。
3.根据权利要求2所述的一种具有G2连续性的PH样条过渡线性路径加工方法，其特征在于，短线段部分采用线性插补，PH样条部分使用参数插补，即：
Figure FDA0004229602560000025
其中，q为插补次数，根据PH样条的弧长为多项式的性质，该积分方程能够转化为多项式方程，然后使用牛顿拉普森迭代方法求解出参数s。
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