CN110865610B - 一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法：步骤1，将G01轨迹点读入数控系统内存之中；步骤2，针对步骤1获得的G01轨迹段，设计满足弦误差约束的G⁴连续插值轨迹；步骤3，针对步骤2获得的光滑化轨迹，设计了两种已知条件下加加速度光滑、时间最优的速度曲线计算方法，并给出了各运动轴动态性能约束下的速度规划方法。本发明生成的轨迹严格满足弦误差约束且通过G01点，相比G²拐角过渡轨迹和G³插值轨迹，能进一步降低拐角处的曲率极值，减轻拐角处的速度波动，有助于降低机床的冲击。设计的速度规划方法，能保证加工效率并提升机床振动抑制的水平，为高速高精加工的数控系统插补器开发提供了重要手段。

Description

一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法

技术领域

本发明涉及数控加工技术领域，具体涉及一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法。

背景技术

数控系统中刀具轨迹连续和进给速度规划方法是实现高精度、高稳定性加工的关键环节。计算机辅助制造(CAM)系统生成的刀具轨迹是分段线性轨迹，仅具有G⁰连续，在加工轨迹拐角处时机构往往会产生较大的振动，影响加工表面质量。为了降低机床在加工过程中的冲击，提高加工工件的表面质量，应该保证刀具轨迹具有G^k(k≥2)连续性。高阶几何连续性的刀具轨迹有助于提升轨迹的光顺性和轨迹拐角处的速度限制，同时能够减小进给速度的波动和加速度的波动，提高加工表面质量。另一方面，具有高阶光滑的进给速度曲线是保证各动态轴运动学变量连续性(包括加速度、加加速度和加加加速度)的必要条件，能抑制运动轴加减速时伺服激励产生的冲击。

针对这些加工需求，非专利文献《A real-time look-ahead interpolationmethodology with curvature-continuous B-spline transition scheme for CNCmachining of short line segments》采用了三次B样条曲线实现了G²连续的轨迹拐角过渡，但轨迹没有经过G01点，加工时会引入较大的拟合轮廓误差，该方法在速度规划环节采用了五段式的加加速度有界的速度模式，不能保证加减速过程的时间最优性。非专利文献《A realtime curvature-smooth interpolation scheme and motion planning for CNCmachining of short line segments》采用了对称的五次Bezier样条生成了G³连续的插值轨迹，但轨迹拐角处的光顺性仍存在较大的提升空间，在速度规划环节该方法采用了加加速度连续的速度模式，相比加加速度有界的速度模式，能减小机床的振动，但加加速度的变化率不连续，速度曲线的光滑性有待提升。总的来说，现有的轨迹光滑和速度规划方法在抑制机床振动方面上仍存在不足之处。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：现有的轨迹光滑方法在抑制机床振动上仍存在不足，本发明在保证加工效率的前提下，为提升数控加工中机床振动的抑制水平，提出一种G⁴连续的插值轨迹计算方法，以及时间最优且加加速度光滑的速度规划方法。

本发明通过下述技术方案实现：

一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，包括以下步骤：

步骤1，将G01轨迹点读入数控系统的内存之中；

步骤2，针对步骤1获得的G01轨迹段，设计满足弦误差约束的G⁴连续插值轨迹；

步骤3，针对步骤2获得的G⁴连续插值轨迹，在各运动轴加速性能约束下进行时间最优且加加速度光滑的进给速度规划。

进一步地，所述步骤2中，具体包括以下步骤：

步骤2-1，建立G01轨迹拐角处G⁴连续过渡曲线的几何模型；

轨迹拐角P_i-1P_iP_i+1处的过渡曲线由对称的九次Bezier曲线组成，过渡曲线的数学形式如式1所示：

式(1)中

A_i表示控制点，前五个控制点A₀,A₁,A₂,A₃,A₄与后五个控制点A₅,A₆,A₇,A₈,A₉分别对称分布于线段P_i-1P_i和P_iP_i+1上，其中A_i与A_9-i关于∠P_{i- 1}P_iP_i+1的角平分线对称(i＝0…4)，如图1所示；令

其中α,β,γ,

为控制点比，控制点比取值如下式(2)所示，以保证九次Bezier曲线在参数域u∈[0,0.5]内具有单调增加的曲率：

式(2)中，θ为直线A₄P_i与A₄A₅之间的夹角；

步骤2-2，确定G⁴连续过渡轨迹的保形条件；

将G01序列表示为P_i，i＝0…N，由于P_i到第五个控制点A₄之间的距离是h_i，则P_i与第一个控制点A₀之间的长度为

设定L_i表示P_i-1与P_i之间的距离，相邻过渡曲线的位置应满足式(3)-式(5)所示条件：

μ_i-1h_i-1+μ_ih_i≤L_i,i＝2…N-1 (3)，

μ₁h₁≤L₁ (4)，

μ_N-1h_N-1≤L_N (5)，

设δ_i为P_i处逼近误差的上界，当G⁴连续过渡曲线与G01点之间的逼近误差满足约束时，h_i需满足式(6)：

其中，i＝1…N-1；

步骤2-3，针对G01轨迹点序列P，给出逼近误差约束序列Δ下的G⁴连续过渡轨迹的计算方法GetG4TranPath(P,Δ)；

设G01序列P＝{P_i}_i＝0…N，逼近误差上界序列Δ＝{δ_i}_i＝1…N-1，采用GetG4TranPath(P,Δ)算法计算逼近误差约束下保形的G⁴连续过渡轨迹，描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组记为{P,h}，其中h＝{h_i}_i＝1…N-1；

步骤2-4，给出弦误差约束下G⁴连续插值轨迹的计算方法InterG4；

设G01点列P＝{P_i}_i＝0…N，弦误差约束为δ，迭代精度ε，通过迭代的方式调整过渡轨迹，最终获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4。

进一步地，所述步骤2-3中，描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组计算方法，包括以下步骤：

步骤2-3a，计算

令i＝2；

步骤2-3b，若i<N-1，计算

否则，进入步骤2-3d；

步骤2-3c，令i＝i+1，返回步骤2-3b；

步骤2-3d，计算

步骤2-3e，输出G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组{P,h}。

进一步地，所述步骤2-4中，获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4，包括以下步骤：

步骤2-4a，令k＝1，

步骤2-4b，记

；执行GetG4TranPath(P^(k),Δ^(k))，计算G01点列P^(k)的过渡轨迹，该过渡轨迹的特征参数序列组记为{P^(k),h^(k)}，其中

步骤2-4c，计算第k步迭代时过渡曲线的中点

其中，

是

的角平分线单位矢量，i＝1…N-1；

步骤2-4d，若

则进入步骤2-4e；否则输出轨迹特征参数{P^(k),h^(k)}序列组，终止算法；

步骤2-4e，令

取

令k＝k+1，返回步骤2-4b。

进一步地，所述步骤3中，具体包括以下步骤：

步骤3-1，设计15段式的加加速度光滑的加速过程的速度曲线；

沿时间增加方向上依次分为15个连续时间段，加速过程的时间段节点由四个参数t₁,t₂,t₃,t₄描述。设最大速度、加速度、加加速度分别为V_m、A_m、J_m，加加速度关于时间的变化率的最大值为S_m，加加速度关于时间的二阶变化率的最大值为C_m；

若加速阶段的起始速度表示为v_s，则加速阶段的速度增量Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)和行进距离D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)分别以如下式(7)和式(8)表示：

Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)＝C_mt₁(t₁+t₂)(2t₁+t₂+t₃)(4t₁+2t₂+t₃+t₄)， (7)，

步骤3-2，给出已知起始速度v_s和加速距离d条件下的速度曲线的计算方法CompVD(v_s,d)；

步骤3-3，给出速度由v_s加速到v_e时的速度曲线的计算方法CompVV(v_s,v_e)；

步骤3-4，给出速度从v_s经历加减速变化到v_e、行进距离为d的速度曲线的计算方法CompAD(v_s,v_e,d)；

步骤3-5，进行时间最优进给模式的速度规划。

进一步地，所述步骤3-2，速度曲线的计算方法CompVD(v_s,d)，包括以下步骤：

步骤3-2a，若

进入步骤3-2b；否则进入步骤3-2c；

步骤3-2b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m都可达；

求解关于t₄的二次方程：

得到t₄；

情况1.2：

S_m和J_m可达；

t₄＝0，解方程

得到t₃，

情况1.3：

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解方程

得到t₂；

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达，

解关于t₄的方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m可达；

t₁＝S_m/C_m，t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况3：

情况3.1：

仅A_m可达；

解方程

得到t₄；

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

步骤3-2c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m均可达；

解关的方程

得到t₄；

情况1.2：

J_m可达；

t₂＝t₄＝0,解方程

得到t₃；

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

A_m可达；

解方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁。

进一步地，所述步骤3-3，速度曲线的计算方法CompVV(v_s,v_e)，包括以下步骤：

步骤3-3a，设v^*＝|v_e-v_s|，如果

则进步骤3-3b；否则进入步骤3-3c；

步骤3-3b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m均可达；

则

情况1.2：

S_m和J_m可达；

则

情况1.3：当

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达；

则

情况2.2：

S_m可达；

解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

情况3：

情况3.1：

A_m可达；

则

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

步骤3-3c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m可达；

则

情况1.2：

J_m可达；

则

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

情况2：

情况2.1：

A_m可达；

则

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

进一步地，所述步骤3-4中，速度曲线的计算方法CompAD(v_s,v_e,d)，包括以下步骤：

步骤3-4a，调用步骤3-3中的计算方法CompVV(v_s,v_e)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)，计算相应的进行距离d_min＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，若d_min>d，v_e不可达，算法终止。

步骤3-4b，记(t₁,t₂,t₃,t₄)和(t₆,t₇,t₈,t₉)分别是依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,V_m)和CompVV(v_e,V_m)计算得到的时间参数；记D_a为v_s加速到V_m的所需距离，D_d为V_m减速到v_e的所需距离；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)。

步骤3-4c，若D_a+D_d≤d，则V_m可达；计算t₅＝(d-D_a-D_d)/V_m，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法。

步骤3-4d，若D_a+D_d>d，则V_m不可达；令t₅＝0，v₀＝V_m，v₁＝v_e，设迭代精度为∈，执行如下步骤：

①记v₂＝(v₀+v₁)/2；

②依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,v₂)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_e,v₂)计算时间参数(t₆,t₇,t₈,t₉)；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)；

③若|D_a+D_d-d|<∈，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法；

④若D_a+D_d≤d，v₂可达，令v₀＝max{v₀,v₁}，v₁＝v₂，返回步骤①；

⑤若D_a+D_d＞d，v₂不可达，令v₁＝min{v₀,v₁}，v₀＝v₂，返回步骤①。

进一步地，所述步骤3-5中，进行时间最优进给模式的速度规划方法如下：

步骤3-5a：关键点处进给速度约束条件满足式(9)所示：

在式(9)中，T_s是细插补采样周期，τ是细插补误差，κ_i是轨迹在P_i点的曲率，κ″_i和κ′″_i分别是曲线在P_i处曲率对弧长的二阶、三阶导数，V_m是机床的最大编程速度，A_m，J_m，S_m，C_m分别是最大切向加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率，且设法向最大加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率分别等于各自的切向分量；记A_Λ,J_Λ,S_Λ,C_Λ分别为各轴最大的加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率，这里Λ∈{x,y,z}；取A_m＝min{A_x,A_y,A_z}，J_m＝min{J_x,J_y,J_z}，S_m＝min{S_x,S_y,S_z}，C_m＝min{C_x,C_y,C_z}；

步骤3-5b：对于每个前瞻段{P_i}_i＝0…N生成的G⁴连续插值轨迹，采用如下步骤计算时间最优且加加速度光滑的速度曲线：

①计算前瞻段中的各个G01点P_i的曲率κ_i、曲率对弧长的二阶导数k″_i、曲率对弧长的三阶导数k′″_i，相邻G01点间的弧长L_i(i＝0…N-1)；

②通过双向速度扫描策略，得到前瞻段各个G01点P_i的速度v_i；设每个G01点P_i处向前搜索过程得到的速度为

向后搜索过程得到的速度为

③根据相邻G01点之间的速度v_i和弧长L_i信息，依据步骤3-4的方法、由CompAD(v_s,v_e,d)计算加减速过程的速度曲线。

进一步地，计算时间最优且加加速度光滑的速度曲线的步骤②中，具体采用以下方法步骤：

(a)设

(b)根据式(9)计算P_i的速度约束

若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，从而得到P_i的最大进给速度：

此时，取

(c)令i＝i+1，若i<N-1，则返回步骤(b)；

(d)设i＝N-1，则

(e)若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，得到

则P_i处的进给速度：

(f)令i＝i-1，若i≥1，则返回步骤(e)。

本发明具有如下的优点和有益效果：

1、本发明提供了一种基于机床振动抑制的刀具轨迹差值方法，该方法生成的G⁴连续插值轨迹严格满足弦误差约束且通过G01点，降低了加工轨迹的轮廓误差。相比G²拐角过渡轨迹和G³插值轨迹，能进一步降低拐角处的曲率极值，提升拐角处的最大限制速度，减轻加减速过程的速度波动，有助于抑制机床的振动；

2、本发明还在上述刀具轨迹差值方法的基础上提出了一种时间最优且加加速度光滑的速度规划方法，该方法在保证加工效率的同时，提升进给速度曲线的“柔性”，降低加减速过程轴激励产生的冲击，进一步抑制加工过程中的机床振动，有助于提升加工工件的表面质量。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明实施例的进一步理解，构成本申请的一部分，并不构成对本发明实施例的限定。在附图中：

图1为本发明G⁴连续过渡曲线的控制多边形；

图2为本发明相邻的G⁴连续过渡曲线的示意图；

图3为本发明生成G⁴插值轨迹的示意图；

图4为本发明15段式加速阶段的运动变量曲线；

图5为本发明前瞻插补器和运动控制器的系统架构示意图；

图6为本发明实施例中“海豚”模型轨迹点三维图；

图7为本发明实施例中针对“海豚”模型计算得到G⁴连续插值轨迹图；

图8为本发明实施例中G⁴连续插值轨迹在各G01轨迹段处的弦误差；

图9为本发明实施例中针对G⁴连续轨迹计算得到的速度曲线；

图10为本发明实施例中速度规划对应的加速度曲线；

图11为本发明实施例中速度规划对应的加加速度曲线；

图12为本发明实施例中速度规划对应的加加速度关于时间的变化率曲线；

图13为本发明实施例中速度规划对应的加加速度关于时间的二阶变化率曲线。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，下面结合实施例和附图，对本发明作进一步的详细说明，本发明的示意性实施方式及其说明仅用于解释本发明，并不作为对本发明的限定。

实施例1

本实施例了一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，具体步骤为：

(一)步骤1，将G01轨迹点读入数控系统的内存之中。

(二)步骤2，针对步骤1获得的G01轨迹段，设计满足弦误差约束的G⁴连续插值轨迹，具体操作方法如下所示：

步骤2-1，建立G01轨迹拐角处G⁴连续过渡曲线的几何模型

轨迹拐角P_i-1P_iP_i+1处的过渡曲线由对称的九次Bezier曲线组成，如图1所示，过渡曲线的数学形式如式1所示：

式(1)中

A_i表示控制点，满足

其中α,β,γ,

为控制点比(CPR)，控制点比取值如下式(2)所示，以保证九次Bezier曲线在参数域u∈[0,0.5]内具有单调增加的曲率：

式(2)中，θ为直线A₄P_i与A₄A₅之间的夹角。

步骤2-2，确定G⁴连续过渡轨迹的保形条件

如图2所示，将G01序列表示为P_i，i＝0…N，由于P_i到第五个控制点A₄之间的距离是h_i，则P_i与第一个控制点A₀之间的长度为

为了避免轨迹自交和Z形拐折，相邻过渡曲线的控制多边形不允许相交，设定L_i表示P_i-1与P_i之间的距离，相邻过渡曲线应满足式(3)-式(5)所示条件：

μ_i-1h_i-1+μ_ih_i≤L_i,i＝2…N-1 (3)，

μ₁h₁≤L₁ (4)，

μ_N-1h_N-1≤L_N (5)，

设δ_i为P_i处逼近误差的上界，当G⁴连续过渡曲线与G01点之间的逼近误差满足约束时，h_i需满足式(6)：

其中，i＝1…N-1。

步骤2-3，针对G01轨迹点序列P，给出逼近误差约束序列Δ下的G⁴连续过渡轨迹的计算方法GetG4TranPath(P,Δ)

设G01序列P＝{P_i}_i＝0…N，逼近误差上界序列Δ＝{δ_i}_i＝1…N-1，采用GetG4TranPath(P,Δ)算法计算逼近误差约束下保形的G⁴连续过渡轨迹，描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组记为{P,h}，其中h＝{h_i}_i＝1…N-1。上述描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组计算方法，如图2所示，具体步骤为：

步骤2-3a，计算

令i＝2；

步骤2-3b，若i<N-1，计算

否则，进入步骤2-3d；

步骤2-3c，令i＝i+1，返回步骤2-3b；

步骤2-3d，计算

步骤2-3e，输出G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组{P,h}。

步骤2-4，给出弦误差约束下G⁴连续插值轨迹的计算方法InterG4

设G01点列P＝{P_i}_i＝0…N，弦误差约束为δ，迭代精度ε，通过迭代的方式调整过渡轨迹，最终获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4。获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4，如图3所示，具体步骤为：

步骤2-4a，令k＝1，P_i ^(k)＝P_i，i＝0…N；

步骤2-4b，记

执行GetG4TranPath(P^(k),Δ^(k))，计算G01点列P^(k)的过渡轨迹，该过渡轨迹的特征参数序列组记为{P^(k),h^(k)}，其中

步骤2-4c，计算第k步迭代时过渡曲线的中点

其中，

是

的角平分线单位矢量，i＝1…N-1；

步骤2-4d，若

则进入步骤2-4e；否则输出轨迹特征参数{P^(k),h^(k)}序列组，终止算法；

步骤2-4e，令

取

令k＝k+1，返回步骤2-4b。

(三)步骤3，针对步骤2获得的G⁴连续插值轨迹，在各运动轴加速性能约束下进行时间最优且加加速度光滑的进给速度规划，具体步骤为：

步骤3-1，设计15段式的加加速度光滑的加速过程的速度曲线

如图4所示，沿时间增加方向上依次分为15个连续时间段，加速过程的时间段节点由四个参数t₁,t₂,t₃,t₄描述；设最大速度、加速度、加加速度分别为V_m、A_m、J_m，加加速度关于时间变化率的最大值为S_m，加加速度关于时间的二阶变化率最大值为C_m；

若加速阶段的起始速度表示为v_s，则加速阶段的速度增量Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)和行进距离D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)分别以如下式(7)和式(8)表示：

Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)＝C_mt₁(t₁+t₂)(2t₁+t₂+t₃)(4t₁+2t₂+t₃+t₄)， (7)，

步骤3-2，给出已知起始速度v_s和加速距离d条件下的速度曲线的计算方法CompVD(v_s,d)，具体步骤为：

步骤3-2a，若

进入步骤3-2b；否则进入步骤3-2c；

步骤3-2b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m都可达；

求解关于t₄的二次方程：

得到t₄；

情况1.2：

S_m和J_m可达；

t₄＝0，解方程

得到t₃，

情况1.3：

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解方程

得到t₂；

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达，

解关于t₄的方程

得到t₄；

解关于t₄的方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m可达；

t₁＝S_m/C_m，t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况3：

情况3.1：

仅A_m可达；

解方程

得到t₄；

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

步骤3-2c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m均可达；

解关的方程

得到t₄；

情况1.2：

J_m可达；

t₂＝t₄＝0,解方程

得到t₃；

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

A_m可达；

解方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁。

步骤3-3，给出速度由v_s加速到v_e时的速度曲线的计算方法CompVV(v_s,v_e)，具体步骤为：

步骤3-3a，设v^*＝|v_e-v_s|，如果

则进步骤3-3b；否则进入步骤3-3c；

步骤3-3b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m均可达；

则

情况1.2：

S_m和J_m可达；

则

情况1.3：当

仅S_m可达；

解关于t₂的一元三次方程

得到t₂。

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达；

则

情况2.2：

S_m可达；

解关于t₂的一元三次方程

得到t₂。

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；则

情况3：

情况3.1：

仅A_m可达；则

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；则

步骤3-3c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m可达；

则

情况1.2：

J_m可达；

则

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；则

情况2：

情况2.1：

A_m可达；则

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；则

步骤3-4，给出速度从v_s经历加减速变化到v_e、行进距离为d的速度曲线的计算方法CompAD(v_s,v_e,d)，具体步骤为：

步骤3-4a，调用步骤3-3中的计算方法CompVV(v_s,v_e)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)，计算相应的进行距离d_min＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，若d_min>d，v_e不可达，算法终止。

步骤3-4b，记(t₁,t₂,t₃,t₄)和(t₆,t₇,t₈,t₉)分别是依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,V_m)和CompVV(v_e,V_m)计算得到的时间参数；记D_a为v_s加速到V_m的所需距离，D_d为V_m减速到v_e的所需距离；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)。

步骤3-4c，若D_a+D_d≤d，则V_m可达；计算t₅＝(d-D_a-D_d)/V_m，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法。

步骤3-4d，若D_a+D_d>d，则V_m不可达；令t₅＝0，v₀＝V_m，v₁＝v_e，设迭代精度为∈，执行如下步骤：

①记v₂＝(v₀+v₁)/2；

②依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,v₂)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_e,v₂)计算时间参数(t₆,t₇,t₈,t₉)；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)；

③若|D_a+D_d-d|<∈，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法；

④若D_a+D_d≤d，v₂可达，令v₀＝max{v₀,v₁}，v₁＝v₂，返回步骤①；

⑤若D_a+D_d＞d，v₂不可达，令v₁＝min{v₀,v₁}，v₀＝v₂，返回步骤①。

步骤3-5，进行时间最优进给模式的速度规划，具体步骤为：

步骤3-5a：关键点处进给速度约束条件满足式(9)所示：

式(9)中，设T_s是细插补采样周期，τ是细插补误差，κ_i是轨迹在P_i点的曲率，κ″_i和κ′″_i分别是曲线在P_i处曲率对弧长的二阶、三阶导数，V_m是机床最大编程速度，A_m,J_m,S_m,C_m分别是最大切向加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率，且设法向最大加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率分别等于各自的切向分量；记A_Λ,J_Λ,S_Λ,C_Λ分别为各轴最大的加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率，根据具体需求，S_Λ和C_Λ分别可取为0.1J_Λ/T_s～J_Λ/T_s和0.1S_Λ/T_s～S_Λ/T_s，Λ∈{x,y,z}；取A_m＝min{A_x,A_y,A_z}，J_m＝min{J_x,J_y,J_z}，S_m＝min{S_x,S_y,S_z}，C_m＝min{C_x,C_y,C_z}。因此在每个关键点位置处各轴运动学变量严格满足动态性能约束。

步骤3-5b：对于每个前瞻段{P_i}_i＝0…N生成的G⁴连续插值轨迹，采用如下步骤计算时间最优且加加速度光滑的速度曲线：

①计算前瞻段中的各个G01点P_i的曲率κ_i、曲率对弧长的二阶导数κ″_i、曲率对弧长的三阶导数κ′″_i，相邻G01点间的弧长L_i(i＝0…N-1)。

②通过双向速度扫描策略，得到前瞻段各个G01点P_i的速度v_i；设每个G01点P_i处向前搜索过程得到的速度为

向后搜索过程得到的速度为

具体搜索方法如下所示：

(a)设

(b)根据式(9)计算P_i的速度约束

若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，从而得到P_i的最大进给速度：

此时，取

(c)令i＝i+1，若i<N-1，则返回步骤(b)；

(d)设i＝N-1，则

(e)若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，得到

则P_i处的进给速度：

(f)令i＝i-1，若i≥1，则返回步骤(e)。

③根据相邻G01点之间的速度v_i和弧长L_i信息，依据步骤3-4的方法，由CompAD(v_s,v_e,d)计算加减速过程的速度曲线。

实施例2

基于实施例1提供的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，具体应用案例如下三个环节所示：

(一)将“海豚”模型轨迹点{P_i}_i＝0…219读入数控系统的内存之中，该模型的G01轨迹点如图6所示；

(二)从内存中读取G01轨迹段{P_i}_i＝0…219，设计满足弦误差约束的G⁴连续插值轨迹。设轨迹的弦误差约束为δ＝0.04mm，计算精度为ε＝10^-4mm，用步骤2-4提供的算法InterG4计算“海豚”模型的G⁴连续插值轨迹，通过4次迭代生成的轨迹曲线记为：

根据式(2)确定{P_i ⁽⁴⁾}序列各个拐角处的CPR值，根据CPR值计算{P_i ⁽⁴⁾}序列各个拐角处的九次Bezier曲线的控制点，最终得到九次Bezier曲线与直线段交替分布的光滑轨迹，即G⁴连续插值轨迹。计算得到的轨迹如图7所示；图10给出了该模型的G⁴连续加工轨迹的弦误差，可以看出该方法生成的G⁴连续加工轨迹严格满足给定的弦误差约束。

(二)针对G⁴连续插值轨迹，在各运动轴加速性能约束下进行时间最优且加加速度光滑的进给速度规划。机床加工加减速性能参数为：C_m＝5×10⁷mm/s⁵，S_m＝2×10⁵mm/s⁴，J_m＝10³mm/s³，A_m＝150mm/s²，V_m＝20mm/s，细插补误差约束上限为τ＝1μm，插补周期T_s＝1ms。首先计算G⁴连续轨迹在各个G01点P_i的曲率κ_i、曲率对弧长的二阶导数κ″_i、曲率对弧长的三阶导数κ′″_i，相邻G01点间的弧长L_i(i＝0…218)；根据步骤3-5中的双向速度扫描策略，可以得到各个G01点P_i的速度v_i(i＝0…219)；再根据相邻G01点之间的速度v_i和弧长L_i信息，采用步骤3-4中的CompAD(v_i,v_i+1,L_i)方法计算加减速曲线。计算得到的速度曲线如图9所示；图10-图13是规划的进给速度对应的加速度、加加速度、加加速度关于时间的变化率、加加速度关于时间的二阶变化率曲线，从图中可知速度规划严格满足机床的动态性能约束。

以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，将G01轨迹点读入数控系统的内存之中；

步骤2，针对步骤1获得的G01轨迹段，设计满足弦误差约束的G⁴连续插值轨迹，具体包括以下步骤：

步骤2-1，建立G01轨迹拐角处G⁴连续过渡曲线的几何模型；

轨迹拐角P_i-1P_iP_i+1处的过渡曲线由对称的九次Bezier曲线组成，过渡曲线的数学形式如式1所示：

式(1)中

A_i表示控制点，前五个控制点A₀,A₁,A₂,A₃,A₄与后五个控制点A₅,A₆,A₇,A₈,A₉分别对称分布于线段P_i-1P_i和P_iP_i+1上，其中A_i与A_9-i关于∠P_i-1P_iP_i+1的角平分线对称(i＝0…4)；设

其中

为控制点比；

步骤2-2，确定G⁴连续过渡轨迹的保形条件；

将G01序列表示为P_i，i＝0…N，由于P_i到第五个控制点A₄之间的距离是h_i，则P_i与第一个控制点A₀之间的长度为

设定L_i表示P_i-1与P_i之间的距离，相邻过渡曲线的位置应满足式(3)-式(5)所示条件：

μ_i-1h_i-1+μ_ih_i≤L_i,i＝2…N-1 (3)，

μ₁h₁≤L₁ (4)，

μ_N-1h_N-1≤L_N (5)，

设δ_i为P_i处逼近误差的上界，当G⁴连续过渡曲线与G01点之间的逼近误差满足约束时，h_i需满足式(6)：

其中，i＝1…N-1；

步骤2-3，针对G01轨迹点序列P，给出逼近误差约束序列Δ下的G⁴连续过渡轨迹的计算方法GetG4TranPath(P,Δ)；

设G01序列P＝{P_i}_i＝0…N，逼近误差上界序列Δ＝{δ_i}_i＝1…N-1，采用GetG4TranPath(P,Δ)算法计算逼近误差约束下保形的G⁴连续过渡轨迹，描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组记为{P,h}，其中h＝{h_i}_i＝1…N-1；

步骤2-4，给出弦误差约束下G⁴连续插值轨迹的计算方法InterG4；

设G01点列P＝{P_i}_i＝0…N，弦误差约束为δ，迭代精度ε，通过迭代的方式调整过渡轨迹，最终获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4；

还包括步骤3，针对步骤2获得的G⁴连续插值轨迹，在各运动轴加速性能约束下进行时间最优且加加速度光滑的进给速度规划；所述步骤3中，具体包括以下步骤：

步骤3-1，设计15段式的加加速度光滑的加速过程的速度曲线；

沿时间增加方向上依次分为15个连续时间段，加速过程的时间段节点由四个参数t₁,t₂,t₃,t₄描述；设最大速度、加速度、加加速度分别为V_m、A_m、J_m，加加速度关于时间的变化率的最大值为S_m，加加速度关于时间的二阶变化率最大值为C_m；

若加速阶段的起始速度表示为v_s，则加速阶段的速度增量Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)和行进距离D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)分别以如下式(7)和式(8)表示：

Δv(t₁,t₂,t₃,t₄)＝C_mt₁(t₁+t₂)(2t₁+t₂+t₃)(4t₁+2t₂+t₃+t₄)， (7)，

步骤3-2，给出已知起始速度v_s和加速距离d条件下的速度曲线的计算方法CompVD(v_s,d)；

步骤3-3，给出速度由v_s加速到v_e时的速度曲线的计算方法CompVV(v_s,v_e)；

步骤3-4，给出速度从v_s经历加减速变化到v_e、行进距离为d的速度曲线的计算方法CompAD(v_s,v_e,d)；

步骤3-5，进行时间最优进给模式的速度规划。

2.根据权利要求1所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤2-3中，描述G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组计算方法，包括以下步骤：

步骤2-3a，计算

令i＝2；

步骤2-3b，若i<N-1，计算

否则，进入步骤2-3d；

步骤2-3c，令i＝i+1，返回步骤2-3b；

步骤2-3d，计算

步骤2-3e，输出G⁴连续过渡轨迹的特征参数序列组{P,h}。

3.根据权利要求2所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤2-4中，获得保形且满足弦误差约束条件的G⁴连续插值轨迹的方法InterG4，包括以下步骤：

步骤2-4a，令k＝1，P_i ^(k)＝P_i，i＝0…N；

i＝1…N-1；

步骤2-4b，记P^(k)＝{P_i ^(k)}_i＝0…N，

执行GetG4TranPath(P^(k),Δ^(k))，计算G01点列P^(k)的过渡轨迹，该过渡轨迹的特征参数序列组记为{P^(k),h^(k)}，其中

步骤2-4c，计算第k步迭代时过渡曲线的中点

其中，

是

的角平分线单位矢量，i＝1…N-1；

步骤2-4d，若

则进入步骤2-4e；否则输出轨迹特征参数{P^(k),h^(k)}序列组，终止算法；

步骤2-4e，令

i＝1…N-1；

取

i＝1…N-1；令k＝k+1，返回步骤2-4b。

4.根据权利要求1所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤3-2，速度曲线的计算方法CompVD(v_s,d)，包括以下步骤：

步骤3-2a，若

进入步骤3-2b；否则进入步骤3-2c；

步骤3-2b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m都可达；

求解关于t₄的二次方程：

得到t₄；

情况1.2：

S_m和J_m可达；

t₄＝0，解方程

得到t₃，

情况1.3：

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解方程

得到t₂；

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达，

t₃＝0；解关于t₄的方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m可达；

t₁＝S_m/C_m，t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况3：

情况3.1：

仅A_m可达；

t₂＝t₃＝0，解方程

得到t₄；

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解关于t₁的一元四次方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

步骤3-2c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m均可达；

t₂＝0，

解关的方程

得到t₄；

情况1.2：

J_m可达；

t₂＝t₄＝0,解方程

得到t₃；

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁；

情况2：

情况2.1：

A_m可达；

t₂＝t₃＝0，解方程

得到t₄；

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

t₂＝t₃＝t₄＝0，解方程D(v_s,t₁,0,0,0)＝d，得到t₁。

5.根据权利要求4所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤3-3，速度曲线的计算方法CompVV(v_s,v_e)，包括以下步骤：

步骤3-3a，设v^*＝|v_e-v_s|，如果

则进步骤3-3b；否则进入步骤3-3c；

步骤3-3b，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

S_m、J_m和A_m均可达；

则

情况1.2：

S_m和J_m可达；

则

t₄＝0；

情况1.3：当

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t₂；

情况1.4：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

t₂＝t₃＝t₄＝0；

情况2：

情况2.1：

S_m和A_m可达；

则

t₃＝0,

情况2.2：

S_m可达；

t₃＝t₄＝0，解关于t₂的一元三次方程

得到t_2；

情况2.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

t₂＝t₃＝t₄＝0；

情况3：

情况3.1：

A_m可达；

则

t₂＝t₃＝0,

情况3.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

t₂＝t₃＝t₄＝0；

步骤3-3c，根据如下所示情况计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)：

情况1：

情况1.1：

J_m和A_m可达；

则

t₂＝0,

情况1.2：

J_m可达；

则

t₂＝t₄＝0,

情况1.3：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

t₂＝t₃＝t₄＝0；

情况2：

情况2.1：

A_m可达；

则

t₂＝t₃＝0,

情况2.2：

S_m、J_m和A_m均不可达；

则

t₂＝t₃＝t₄＝0。

6.根据权利要求5所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤3-4中，给定初速度v_s、末速度v_e、行进距离为d的速度曲线的计算方法CompAD(v_s,v_e,d)，包括以下步骤：

步骤3-4a，调用步骤3-3中的计算方法CompVV(v_s,v_e)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)，计算相应的进行距离d_min＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)；若d_min>d，v_e不可达，算法终止；

步骤3-4b，记(t₁,t₂,t₃,t₄)和(t₆,t₇,t₈,t₉)分别是依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,V_m)和CompVV(v_e,V_m)计算得到的时间参数；记D_a为v_s加速到V_m的所需距离，D_d为V_m减速到v_e的所需距离；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)；

步骤3-4c，若D_a+D_d≤d，则V_m可达；计算t₅＝(d-D_a-D_d)/V_m，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法；

步骤3-4d，若D_a+D_d>d，则V_m不可达；令t₅＝0，v₀＝V_m，v₁＝v_e，设迭代精度为∈，执行如下步骤：

①记v₂＝(v₀+v₁)/2；

②依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_s,v₂)计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；依据步骤3-3的方法、由CompVV(v_e,v₂)计算时间参数(t₆,t₇,t₈,t₉)；计算D_a＝D(v_s,t₁,t₂,t₃,t₄)，D_d＝D(v_e,t₆,t₇,t₈,t₉)；

③若|D_a+D_d-d|<∈，输出时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆,t₇,t₈,t₉)，终止算法；

④若D_a+D_d≤d，v₂可达，令v₀＝max{v₀,v₁}，v₁＝v₂，返回步骤①；

⑤若D_a+D_d＞d，v₂不可达，令v₁＝min{v₀,v₁}，v₀＝v₂，返回步骤①。

7.根据权利要求6所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，所述步骤3-5中，进行时间最优进给模式的速度规划方法如下：

步骤3-5a：关键点处进给速度约束条件满足式(9)所示：

式(9)中，设T_s是细插补采样周期，τ是细插补误差，κ_i是轨迹在P_i点的曲率，κ″_i和κ″′_i分别是曲线在P_i处曲率对弧长的二阶、三阶导数，V_m是机床的最大编程速度，A_m,J_m,S_m,C_m分别是最大切向加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率，且设法向最大加速度、加加速度、加加速度的变化率、加加速度的二阶变化率分别等于各自的切向分量；

步骤3-5b：对于每个前瞻段{P_i}_i＝0…N生成的G⁴连续插值轨迹，采用如下步骤计算时间最优且加加速度光滑的速度曲线：

①计算前瞻段中的各个G01点P_i的曲率κ_i、曲率对弧长的二阶导数κ″_i、曲率对弧长的三阶导数κ″′_i，相邻G01点间的弧长L_i(i＝0…N-1)；

②通过双向速度扫描策略，得到前瞻段各个G01点P_i处的速度v_i；设每个G01点P_i处向前搜索过程中得到的速度为

向后搜索过程得到的速度为

③根据相邻G01点之间的速度v_i和弧长L_i信息，依据步骤3-4的方法，由CompAD(v_s,v_e,d)计算加减速过程的速度曲线。

8.根据权利要求7所述的一种基于机床振动抑制的刀具轨迹插值和速度规划方法，其特征在于，步骤②中，具体采用以下方法步骤：

(a)设

i＝0；

(b)根据式(9)计算P_i的速度约束

若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，从而得到P_i的最大进给速度：

此时，取

(c)令i＝i+1，若i<N-1，则返回步骤(b)；

(d)设i＝N-1，则

(e)若

则

否则，依据步骤3-2的方法、由

计算时间参数(t₁,t₂,t₃,t₄)；并用式(7)计算Δv，得到

则P_i处的进给速度：

(f)令i＝i-1，若i≥1，则返回步骤(e)。

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