CN109521731B - 一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法 - Google Patents

一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，包括以下步骤：识别连续加工区域；在连续加工区域中，对离散的指令点进行局部插值，将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线；调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向，使得加工路径达到G2连续性；通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构。本发明方法实时性好，生成的加工轨迹满足G2连续性和精度要求，能够有效地提高加工效率。

Description

一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法
技术领域
本发明涉及数控系统中参数样条曲线的拟合及拟合精度的控制，属于数控加工技术领域。
背景技术
在复杂工件的数控加工中，CAM系统通常将CAD系统设计生成的复杂图形转化为由大量微小线段构成的数控加工路径。如果数控系统按照生成的加工路径直接进行插补，由于频繁的加/减速控制，会引起机床振动，降低加工效率和加工质量。一些高档数控系统如FANUC和SIEMENS提出了纳米平滑与压缩器技术，其目的是对离散的小线段进行平滑处理以形成光滑的样条曲线，从而实现高速高精加工，但这些技术都作为商业机密并未公开。因此，如何在满足轮廓误差和机床动态性能等的前提下，将折线加工路径转化为光滑的样条曲线，是数控系统运动轨迹平滑技术的重要研究内容。
近年来，国内外学者针对轨迹平滑技术做了大量研究，如利用C样条拟合方法，将折线加工路径转化为C1连续的样条曲线，其具有连续的切线方向，能够保证机床各驱动轴速度的连续，但由于加速度和加加速度存在频繁突变，会对机床产生冲击，引起振动。因此，提出了一种使用三次Bézier曲线，以曲线张力能量最小为优化函数，曲线间一阶、二阶连续为限制条件的全局插值方法，生成了G2连续加工路径。算法所构造的G2/C2样条曲线，不仅具有连续的切线方向，而且具有连续的曲率，能够保证机床各驱动轴速度和加速度的连续，有效地抑制了机床的振动。为了进一步提高样条曲线的光滑性，提出了一种利用五次Bézier样条、九次和七次校正多项式，生成具有C3连续性加工轨迹的算法。对于上述所有算法，无论是插值方式，还是拟合方式，都只能保证离散指令点到样条曲线的最短距离满足轮廓误差，却不能保证由相邻离散指令点构成的小线段到样条曲线的最远距离不超过设定值。同时，因为拟合与全局插值方式需要进行迭代处理或求解复杂非线性方程组，计算量会随离散指令点的增多而增加，实时性和局部性较差。
发明内容
为了提高加工路径的光滑性和精度，在分析现有样条拟合方法不足的基础上，本发明的目的是提供一种刀具轨迹平滑算法，通过对连续微小线段加工区域中离散指令点进行局部插值、样条曲线调整和样条曲线重构，生成满足G2连续性和精度要求的加工轨迹，有效地提高加工效率。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，包括以下步骤：
识别连续加工区域；
在连续加工区域中，对离散的指令点进行局部插值，将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线；
调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向，使得加工路径达到G2连续性；
通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构。
所述二次有理Bézier曲线的调整包括以下步骤：
假设Ci(u)和Ci+1(u)是相邻的两条二次有理Bézier曲线，Pi-1、Qi、Pi、Qi+1、Pi+1为控制点，wi、wi+1为权值，且在连接点Pi处，具有相同的切矢，向量
Figure BDA0001411770060000021
和
Figure BDA0001411770060000022
之间的夹角为α，向量
Figure BDA0001411770060000023
和
Figure BDA0001411770060000024
之间的夹角为β。
2-1)为了构造出G2连续的加工轨迹，需要将直线QiQi+1绕点Pi进行旋转，使得到的直线与原直线QiQi+1的夹角为θ，与直线Pi-1Qi、Pi+1Qi+1的交点分别为点
Figure BDA0001411770060000025
新的控制点
Figure BDA0001411770060000026
与原曲线控制点之间存在以下关系，
Figure BDA0001411770060000027
Figure BDA0001411770060000028
将上式化简后，参数λ、μ可以由下式确定，
Figure BDA0001411770060000029
Figure BDA0001411770060000031
相邻样条曲线连接点处的切线方向经过改变后，由新的控制点
Figure BDA0001411770060000032
和旧的权值wi、wi+1构成了两条新的二次有理Bézier曲线
Figure BDA0001411770060000033
其起点和终点处新的曲率值由下式确定，
Figure BDA0001411770060000034
Figure BDA0001411770060000035
Figure BDA0001411770060000036
Figure BDA0001411770060000037
其中，0表示起点，1表示终点；ki(0)、ki(1)与ki+1(0)、ki+1(1)分别表示样条曲线Ci(u)和Ci+1(u)两端点处的曲率；
Figure BDA0001411770060000038
与
Figure BDA0001411770060000039
分别表示样条曲线
Figure BDA00014117700600000310
和
Figure BDA00014117700600000311
两端点处的曲率；
2-2)为了保证加工轨迹的G2连续性，需要调整
Figure BDA00014117700600000312
曲线的权值wi，令其起点处的曲率值等于前一Ci-1(u)曲线终点处的曲率值，可得下式，
Figure BDA00014117700600000313
将上式化简后，可以求得调整后
Figure BDA00014117700600000314
曲线的权值
Figure BDA00014117700600000315
如下式所示，
Figure BDA00014117700600000316
调整后
Figure BDA00014117700600000317
曲线终点处的曲率值kl由下式得到，
Figure BDA00014117700600000318
2-3)为了保证加工轨迹的G2连续性，需要调整
Figure BDA00014117700600000319
曲线的权值wi+1，令其终点处的曲率值等于ki+1(1)，可得下式，
Figure BDA00014117700600000320
将上式化简后，可以求得调整后
Figure BDA0001411770060000041
曲线的权值
Figure BDA0001411770060000042
如下式所示，
Figure BDA0001411770060000043
调整后
Figure BDA0001411770060000044
曲线起点处的曲率值kr由下式得到，
Figure BDA0001411770060000045
2-4)为了使相邻两样条曲线在连接点Pi处具有相同的曲率值，令kl＝kr，可得下式，
Figure BDA0001411770060000046
将上式化简后，旋转的角度θ可以由下式得到，
θ＝arctan(-B/A)
其中，
A＝cosα+s2cosβ+s0+s1s2
B＝sinα-s2sinβ
Figure BDA0001411770060000047
Figure BDA0001411770060000048
Figure BDA0001411770060000049
然后，由2-1)，得到参数λ和μ。最后，由2-1)、2-2)、2-3)，求得调整后二次有理Bézier曲线的控制点
Figure BDA00014117700600000410
和权值
Figure BDA00014117700600000411
从而构造出G2连续的加工轨迹。
所述通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构包括以下步骤：
3-1)识别不满足精度要求的曲线。对于标准型二次有理Bézier曲线，肩点S处的切矢平行于直线P0P2，因此，曲线C(u)上到线段P0P2距离最大的点为S＝C(1/2)。设二次有理Bézier曲线Ci(u)的肩点S到线段Pi-1Pi的距离为d，系统设置的最大轮廓误差为δ，如果d＞δ，那么曲线Ci(u)不满足精度要求；否则，为满足精度要求；
3-2)基于公差带的曲线重构。
所述基于公差带的曲线重构包括以下步骤：
4-1)对于不满足精度要求的样条曲线Ci(u)，建立直线Pi-1Pi的平行线
Figure BDA0001411770060000051
令它们之间的距离为δ，直线
Figure BDA0001411770060000052
与线段Pi-1Qi、PiQi相交于点
Figure BDA0001411770060000053
此时，直线Pi-1Pi、
Figure BDA0001411770060000054
和它们之间的部分便构成了误差为δ的公差带；
4-2)为了使得重构后的曲线既满足精度要求，又满足G2连续性，需要在数据点Pi-1、Pi之间构造两条样条曲线，并使得它们在连接点处具有相同的曲率值。
假设第一条重构曲线Cil(u)的控制点为Pi-1、Qil、
Figure BDA0001411770060000055
权值为wl；第二条重构曲线Cir(u)的控制点为Pi、Qir、
Figure BDA0001411770060000056
权值为wr；点Qil、Qir、
Figure BDA0001411770060000057
分别在线段Pi-1Qi、PiQi、QilQir上，且它们满足如下关系，
Figure BDA0001411770060000058
Figure BDA0001411770060000059
Figure BDA00014117700600000510
4-3)样条曲线Cil(u)在点Pi-1处G2连续。令ki(0)＝kil(0)，可得下式，
Figure BDA00014117700600000511
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k0，如下式所示，
Figure BDA00014117700600000512
4-4)样条曲线Cir(u)在点Pi处G2连续。令ki(1)＝kir(1)，可得下式，
Figure BDA00014117700600000513
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k2，如下式所示，
Figure BDA0001411770060000061
4-5)Cil(u)和Cir(u)在点
Figure BDA00014117700600000610
处G2连续。令kil(1)＝kir(0)，可得下式，
Figure BDA0001411770060000062
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k1，如下式所示，
Figure BDA0001411770060000063
4-6)令点Qil、Qir分别与点
Figure BDA0001411770060000064
重合，点
Figure BDA0001411770060000065
位于线段
Figure BDA0001411770060000066
上，由此，可以得到下式，
Figure BDA0001411770060000067
Figure BDA0001411770060000068
由k0、k2和4-5)可以求得k1，再由4-2)，便能够确定控制点Qil、Qir和
Figure BDA0001411770060000069
的位置。最后，根据4-3)、4-4)，可以得到两条重构曲线的权值wl、wr。此时，便完成了样条曲线的重构，重构后的曲线被严格限制在公差带内，且满足G2连续性。
本发明具有以下有益效果及优点：
1.本发明方法能够构造出G2连续的二次有理Bézier曲线，其具有连续的切线方向和曲率，能够有效地提高数控机床的加工效率。
2.本发明方法采用建立公差带的方式，对不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构，将其严格限制在公差带内，不仅能够保证离散指令点到样条曲线的最短距离满足轮廓误差，也能够保证由相邻离散指令点构成的小线段到样条曲线的最远距离满足轮廓误差。
3.本发明方法采用局部插值和调整的方式进行轨迹平滑，具有较好的局部性，即某段样条曲线的调整不会影响加工轨迹的整体形状。又因为其不涉及迭代处理和复杂数值计算，算法效率高。因此，本发明方法具有较好的实时性，能够实现在线轨迹平滑处理。
附图说明
图1为本发明方法的流程图；
图2为连续微小线段加工区域识别的示意图；
图3为二次有理Bézier曲线局部插值的示意图；
图4为二次有理Bézier曲线调整的示意图；
图5为二次有理Bézier曲线重构的示意图；
具体实施方式
下面结合实施案例对本发明做进一步的详细说明。
本发明是一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，根据双弓高误差限制，从由离散小线段构成的加工路径中识别出连续微小线段加工区域。对于连续微小线段加工区域，首先，对离散的指令点进行局部插值，将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线；然后，调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向，使得加工路径达到G2连续性；最后，通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构。
本发明提供了一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，包括以下步骤：
1.加工区域的识别，根据双弓高误差判断条件，从由离散小线段构成的加工路径中识别出连续微小线段加工区域。
2.二次有理Bézier曲线的局部插值，对连续微小线段加工区域中的离散指令点进行局部插值，将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线。
3.二次有理Bézier曲线的调整，调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向，使得加工路径达到G2连续性。
4.二次有理Bézier曲线的重构，根据离散数据点建立公差带，在满足G2连续的条件下，对不满足轮廓误差要求的二次有理Bézier曲线进行重构，将其严格限制在公差带内。
如图1所示，本发明提出了一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，解决了加工路径光滑性和精度的问题，方法由加工区域的识别、二次有理Bézier曲线的局部插值、二次有理Bézier曲线的调整和二次有理Bézier曲线的重构4个部分组成，提高了加工的效率。
根据双弓高误差判断条件，从由离散小线段构成的加工路径中识别出连续微小线段加工区域。
对连续区内的离散数据点进行局部插值，将由指令点构成的折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线加工路径。
通过调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值及其连接点处的切线方向，使得加工路径达到G2连续。
根据离散数据点建立公差带，在满足G2连续的条件下，对不满足轮廓误差要求的二次有理Bézier曲线进行重构，将其严格限制在公差带内。
本发明的具体步骤如下：
1.连续微小线段加工区域的识别
如图2所示，Pi-1、Pi和Pi+1为相邻的三个数据点，l1和l2为小线段的段长，θ为小线段间的拐角，双弓高误差由下式确定，
δ1＝R(1-cosφ1)
δ2＝R(1-cosφ2)＝R(1-cos(π-θ-φ1))
Figure BDA0001411770060000081
其中，δ1、δ2分别为小线段Pi-1Pi和PiPi+1的弓高误差，φ1为OPi-1和OPi夹角的一半。φ2为OPi和OPi+1夹角的一半。R表示曲率半径。
如果δ1或δ2大于设定的最大弓高误差值δmax，则Pi为断点。那么，两个断点连同它们之间的数据点就构成了一个连续微小线段加工区域。
2.二次有理Bézier曲线的局部插值
标准型二次有理Bézier曲线的参数形式如下式所示，
Figure BDA0001411770060000091
其中，R0、R1、R2为控制点，w1为权值，u为参变量，且u∈[0,1]。
由图3可知，当已知控制点R0、R2，以及两点处的切矢T0、T2时，可以得到控制点R1，再给定一点S就能求得权值w1，从而唯一确定该曲线。
令点M为线段R0R2的中点，点S0为线段R1M和∠R1R0R2的角平分线的交点，点S2为R1M和∠R1R2R0的角平分线的交点，则点S＝(S0+S2)/2。
当u＝1/2时，点S＝C(1/2)被称为肩点，将u＝1/2代入曲线参数公式，可得下式，
Figure BDA0001411770060000092
设s是点R1和点M之间线性插值的参数，那么，存在某个s使得下式成立，
S＝(1-s)M+sR1
根据上述两个S的关系式，权值w1可以由下式得到，
Figure BDA0001411770060000093
由此，便确定了该二次有理Bézier曲线。
3.二次有理Bézier曲线的调整
如图4所示，假设Ci(u)和Ci+1(u)是相邻的两条二次有理Bézier曲线，Pi-1、Qi、Pi、Qi+1、Pi+1为控制点，wi、wi+1为权值，且在连接点Pi处，具有相同的切矢，向量
Figure BDA0001411770060000094
和
Figure BDA0001411770060000095
之间的夹角为α，向量
Figure BDA0001411770060000096
和
Figure BDA0001411770060000097
之间的夹角为β。
(1)为了构造出G2连续的加工轨迹，需要将直线QiQi+1绕点Pi进行旋转，使得到的直线与原直线QiQi+1的夹角为θ，与直线Pi-1Qi、Pi+1Qi+1的交点分别为点
Figure BDA0001411770060000098
新的控制点
Figure BDA0001411770060000099
与原曲线控制点之间存在以下关系，
Figure BDA00014117700600000910
Figure BDA00014117700600000911
将上式化简后，参数λ、μ可以由下式确定，
Figure BDA0001411770060000101
Figure BDA0001411770060000102
相邻样条曲线连接点处的切线方向经过改变后，由新的控制点
Figure BDA0001411770060000103
和旧的权值wi、wi+1构成了两条新的二次有理Bézier曲线
Figure BDA0001411770060000104
其起点和终点处新的曲率值由下式确定，
Figure BDA0001411770060000105
Figure BDA0001411770060000106
Figure BDA0001411770060000107
Figure BDA0001411770060000108
其中，0表示起点，1表示终点；ki(0)、ki(1)与ki+1(0)、ki+1(1)分别表示样条曲线Ci(u)和Ci+1(u)两端点处的曲率；
Figure BDA0001411770060000109
与
Figure BDA00014117700600001010
分别表示样条曲线
Figure BDA00014117700600001011
和
Figure BDA00014117700600001012
两端点处的曲率；
(2)为了保证加工轨迹的G2连续性，需要调整
Figure BDA00014117700600001013
曲线的权值wi，令其起点处的曲率值等于前一Ci-1(u)曲线终点处的曲率值，可得下式，
Figure BDA00014117700600001014
将上式化简后，可以求得调整后
Figure BDA00014117700600001015
曲线的权值
Figure BDA00014117700600001016
如下式所示，
Figure BDA00014117700600001017
调整后
Figure BDA00014117700600001018
曲线终点处的曲率值kl由下式得到，
Figure BDA00014117700600001019
(3)为了保证加工轨迹的G2连续性，需要调整
Figure BDA00014117700600001020
曲线的权值wi+1，令其终点处的曲率值等于ki+1(1)，可得下式，
Figure BDA0001411770060000111
将上式化简后，可以求得调整后
Figure BDA0001411770060000112
曲线的权值
Figure BDA0001411770060000113
如下式所示，
Figure BDA0001411770060000114
调整后
Figure BDA0001411770060000115
曲线起点处的曲率值kr由下式得到，
Figure BDA0001411770060000116
(4)为了使相邻两样条曲线在连接点Pi处具有相同的曲率值，令kl＝kr，可得下式，
Figure BDA0001411770060000117
其中，ki-1(1)表示样条曲线Ci-1(u)的终点曲率值；
将上式化简后，旋转的角度θ可以由下式得到，
θ＝arctan(-B/A)
其中，
A＝cosα+s2cosβ+s0+s1s2
B＝sinα-s2sinβ
Figure BDA0001411770060000118
Figure BDA0001411770060000119
Figure BDA00014117700600001110
然后，由(1)，得到参数λ和μ。最后，由(1)、(2)、(3)，求得调整后二次有理Bézier曲线的控制点和权值，从而构造出G2连续的加工轨迹。
4.二次有理Bézier曲线的重构
(1)识别不满足精度要求的曲线。如图3所示，对于标准型二次有理Bézier曲线，肩点S处的切矢平行于直线P0P2，因此，曲线C(u)上到线段P0P2距离最大的点为S＝C(1/2)。设二次有理Bézier曲线Ci(u)的肩点S到线段Pi-1Pi的距离为d，系统设置的最大轮廓误差为δ，如果d＞δ，那么曲线Ci(u)不满足精度要求；
(2)基于公差带的曲线重构。
1)如图5所示，对于不满足精度要求的样条曲线Ci(u)，建立直线Pi-1Pi的平行线
Figure BDA0001411770060000121
令它们之间的距离为δ，直线
Figure BDA0001411770060000122
与线段Pi-1Qi、PiQi相交于点
Figure BDA0001411770060000123
此时，直线Pi- 1Pi、
Figure BDA0001411770060000124
和它们之间的部分便构成了误差为δ的公差带；
2)为了使得重构后的曲线既满足精度要求，又满足G2连续性，需要在数据点Pi-1、Pi之间构造两条样条曲线，并使得它们在连接点处具有相同的曲率值。
假设第一条重构曲线Cil(u)的控制点为Pi-1、Qil、
Figure BDA0001411770060000125
权值为wl；第二条重构曲线Cir(u)的控制点为Pi、Qir、
Figure BDA0001411770060000126
权值为wr；点Qil、Qir、
Figure BDA0001411770060000127
分别在线段Pi-1Qi、PiQi、QilQir上，且它们满足如下关系，
Figure BDA0001411770060000128
Figure BDA0001411770060000129
Figure BDA00014117700600001210
3)样条曲线Cil(u)在点Pi-1处G2连续。令ki(0)＝kil(0)，可得下式，
Figure BDA00014117700600001211
根据上式和2)中的关系式，可以得到系数k0，如下式所示，
Figure BDA00014117700600001212
4)样条曲线Cir(u)在点Pi处G2连续。令ki(1)＝kir(1)，可得下式，
Figure BDA00014117700600001213
根据上式和2)中的关系式，可以得到系数k2，如下式所示，
Figure BDA00014117700600001214
5)Cil(u)和Cir(u)在点
Figure BDA0001411770060000131
处G2连续。令kil(1)＝kir(0)，可得下式，
Figure BDA0001411770060000132
根据上式和2)中的关系式，可以得到系数k1，如下式所示，
Figure BDA0001411770060000133
6)令点Qil、Qir分别与点
Figure BDA0001411770060000134
重合，点
Figure BDA0001411770060000135
位于线段
Figure BDA0001411770060000136
上，由此，可以得到下式，
Figure BDA0001411770060000137
Figure BDA0001411770060000138
由k0、k2和5)可以求得k1，再由2)，便能够确定控制点Qil、Qir和
Figure BDA0001411770060000139
的位置。最后，根据3)、4)，可以得到两条重构曲线的权值wl、wr。此时，便完成了样条曲线的重构，重构后的曲线被严格限制在公差带内，且满足G2连续性。

Claims (2)

1.一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，其特征在于包括以下步骤：
识别连续加工区域；
在连续加工区域中，对离散的指令点进行局部插值，将折线加工路径转化为G1连续的二次有理Bézier曲线；
调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向，使加工路径达到G2连续性；
通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构；
所述通过建立公差带，将不满足精度要求的二次有理Bézier曲线进行重构包括以下步骤：
3-1)识别不满足精度要求的曲线：对于标准型二次有理Bézier曲线，肩点S处的切矢平行于直线P0P2，因此，曲线C(u)上到线段P0P2距离最大的点为S＝C(1/2)；设二次有理Bézier曲线即样条曲线Ci(u)的肩点S到线段Pi-1Pi的距离为d，数控系统设置的最大轮廓误差为δ，如果d＞δ，那么曲线Ci(u)不满足精度要求；
3-2)基于公差带的曲线重构；
所述基于公差带的曲线重构包括以下步骤：
4-1)对于不满足精度要求的样条曲线Ci(u)，建立直线Pi-1Pi的平行线
Figure FDA0002935556660000016
令它们之间的距离为δ，直线
Figure FDA0002935556660000018
与线段Pi-1Qi、PiQi相交于点
Figure FDA0002935556660000017
此时，直线Pi-1Pi、
Figure FDA0002935556660000015
和它们之间的部分便构成了误差为δ的公差带；
4-2)为了使得重构后的曲线既满足精度要求，又满足G2连续性，在数据点Pi-1、Pi之间构造两条样条曲线，并使得它们在连接点处具有相同的曲率值；
假设第一条重构曲线Cil(u)的控制点为Pi-1、Qil、
Figure FDA0002935556660000013
权值为wl；第二条重构曲线Cir(u)的控制点为Pi、Qir、
Figure FDA0002935556660000014
权值为wr；点Qil、Qir、
Figure FDA0002935556660000012
分别在线段Pi-1Qi、PiQi、QilQir上，且它们满足如下关系，
Figure FDA0002935556660000011
Figure FDA0002935556660000021
Figure FDA0002935556660000022
4-3)样条曲线Cil(u)在点Pi-1处G2连续；令ki(0)＝kil(0)，可得下式，
Figure FDA0002935556660000023
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k0，如下式所示，
Figure FDA0002935556660000024
4-4)样条曲线Cir(u)在点Pi处G2连续；令ki(1)＝kir(1)，可得下式，
Figure FDA0002935556660000025
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k2，如下式所示，
Figure FDA0002935556660000026
4-5)Cil(u)和Cir(u)在点
Figure FDA00029355566600000215
处G2连续；令kil(1)＝kir(0)，可得下式，
Figure FDA0002935556660000027
根据上式和4-2)中的关系式，可以得到系数k1，如下式所示，
Figure FDA0002935556660000028
4-6)令点Qil、Qir分别与点
Figure FDA0002935556660000029
重合，点
Figure FDA00029355566600000214
位于线段
Figure FDA00029355566600000210
上，得到下式，
Figure FDA00029355566600000211
Figure FDA00029355566600000212
由k0、k2和4-5)求得k1，再由4-2)，确定控制点Qil、Qir和
Figure FDA00029355566600000213
的位置；最后，根据4-3)、4-4)，得到两条重构曲线的权值wl、wr；此时，便完成了样条曲线的重构，重构后的曲线被限制在公差带内，且满足G2连续性。
2.根据权利要求1所述的一种基于公差带的G2连续Bézier刀具轨迹平滑算法，其特征在于所述调整相邻两条二次有理Bézier曲线的权值和连接点处的切线方向包括以下步骤：
假设Ci(u)和Ci+1(u)是相邻的两条二次有理Bézier曲线，Pi-1、Qi、Pi、Qi+1、Pi+1为控制点，wi、wi+1为权值，且在连接点Pi处，具有相同的切矢，向量
Figure FDA0002935556660000031
和
Figure FDA0002935556660000032
之间的夹角为α，向量
Figure FDA0002935556660000033
和
Figure FDA0002935556660000034
之间的夹角为β；
2-1)将直线QiQi+1绕点Pi进行旋转，使得到的直线与原直线QiQi+1的夹角为θ，与直线Pi- 1Qi、Pi+1Qi+1的交点分别为点
Figure FDA0002935556660000035
新的控制点
Figure FDA0002935556660000036
与原曲线控制点之间存在以下关系，
Figure FDA0002935556660000037
Figure FDA0002935556660000038
将上式化简后，参数λ、μ由下式确定，
Figure FDA0002935556660000039
Figure FDA00029355566600000310
相邻二次有理Bézier曲线连接点处的切线方向经过改变后，由新的控制点
Figure FDA00029355566600000311
和旧的权值wi、wi+1构成了两条新的二次有理Bézier曲线
Figure FDA00029355566600000312
其起点和终点处新的曲率值由下式确定，
Figure FDA00029355566600000313
Figure FDA00029355566600000314
Figure FDA00029355566600000315
Figure FDA00029355566600000316
其中，0表示起点，1表示终点；ki(0)、ki(1)与ki+1(0)、ki+1(1)分别表示样条曲线Ci(u)和Ci+1(u)两端点处的曲率；
Figure FDA00029355566600000317
与
Figure FDA00029355566600000318
分别表示样条曲线
Figure FDA00029355566600000319
和
Figure FDA00029355566600000320
两端点处的曲率；
2-2)调整
Figure FDA0002935556660000041
曲线的权值wi，令其起点处的曲率值等于前一Ci-1(u)曲线终点处的曲率值，得下式，
Figure FDA0002935556660000042
将上式化简后，求得调整后
Figure FDA0002935556660000043
曲线的权值
Figure FDA0002935556660000044
如下式所示，
Figure FDA0002935556660000045
调整后
Figure FDA0002935556660000046
曲线终点处的曲率值kl由下式得到，
Figure FDA0002935556660000047
2-3)调整
Figure FDA0002935556660000048
曲线的权值wi+1，令其终点处的曲率值等于ki+1(1)，可得下式，
Figure FDA0002935556660000049
将上式化简后，可以求得调整后
Figure FDA00029355566600000410
曲线的权值
Figure FDA00029355566600000411
如下式所示，
Figure FDA00029355566600000412
调整后
Figure FDA00029355566600000413
曲线起点处的曲率值kr由下式得到，
Figure FDA00029355566600000414
2-4)为了使相邻两样条曲线在连接点Pi处具有相同的曲率值，令kl＝kr，得下式，
Figure FDA00029355566600000415
将上式化简后，旋转的角度θ由下式得到，
θ＝arctan(-B/A)
其中，
A＝cosα+s2 cosβ+s0+s1s2
B＝sinα-s2 sinβ
Figure FDA0002935556660000051
Figure FDA0002935556660000052
Figure FDA0002935556660000053
然后，由2-1)，得到参数λ和μ；最后，由2-1)、2-2)、2-3)，求得调整后二次有理Bézier曲线的控制点和权值，从而构造出G2连续的加工轨迹。
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