WO2019047458A1

WO2019047458A1 - 一种五轴双样条曲线插补速度规划方法

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Publication number: WO2019047458A1
Application number: PCT/CN2018/071689
Authority: WO
Inventors: 贾振元; 马建伟; 宋得宁; 陈思宇; 贺广智; 王福吉; 刘巍
Original assignee: 大连理工大学
Priority date: 2017-09-11
Filing date: 2018-01-07
Publication date: 2019-03-14
Also published as: CN107608313B; US20200004228A1; US11188056B2; CN107608313A

Abstract

一种五轴双样条曲线插补速度规划方法，涉及一种五轴数控机床物理轴驱动性能约束下的速度敏感区间恒速双样条曲线插补速度规划方法。本方法在对刀尖点轨迹曲线（1）进行等弧长离散的基础上，计算五轴机床各物理轴位置对刀尖点轨迹弧长参数的一阶到三阶微分，从而获得物理轴运动与刀具轨迹间关系。以轴驱动性能极限条件为约束，以平衡加工运行平稳性和加工效率为目标，优化求取速度敏感区间。通过双向扫描，确定各速度敏感区间的速度值及升、降速起始点曲线参数。本方法可有效平衡五轴曲线插补加工效率和加工质量，且算法计算效率高，实时性好。

Description

一种五轴双样条曲线插补速度规划方法

技术领域

本发明属于精密高效智能化多轴数控加工技术领域，涉及一种五轴数控机床物理轴驱动性能约束下的双样条曲线插补速度规划方法。

背景技术

目前，曲线插补技术因相比于传统直线、圆弧插补技术具有加工轨迹与理想模型逼近精度高、加工过程运动平稳、加工代码易于存储与传输等优势，受到了广泛关注和研究。在曲线插补加工过程中，曲线上各位置处进给速度的规划是实现高质高效加工的前提。若进给速度规划过高，易导致各物理轴实际速度、加速度、加加速度等超出相应的许用极限，从而诱发运动突变、机床震颤等现象，影响加工精度和加工质量。若进给速度规划过低，则虽可满足轴驱动性能约束，但易由于速度过于保守而降低加工效率。因此，根据数控机床物理轴运动性能许用极限条件，进行曲线插补进给速度的自适应合理规划，对实现精密高效加工具有重要意义。虽然针对三轴曲线插补的进给速度规划方法已有较多研究，但面向五轴双样条曲线插补的进给速度规划策略仍鲜有报道。在五轴双样条曲线插补过程中，五轴刀具轨迹由一条表示刀尖点运动的曲线和一条表示刀轴上刀尖外另一点运动的曲线共同确定。因除三个直线轴运动外，引入了两个旋转轴运动以实现刀轴方向的连续变化，导致五轴双样条曲线插补加工过程中物理轴运动和刀尖点运动间具有极强的非线性关联关系，为刀尖点运动进给速度的合理规划提出了巨大挑战。如何以五个物理轴驱动性能极限为约束条件，规划双样条曲线插补加工过程中的刀尖点进给速度，已成为五轴数控曲线插补技术亟需解决的难题之一。

现有技术文献1“Feedrate interpolation with axis jerk constraints on 5-axis NURBS and G1tool path”，Beudaert等，International Journal of Machine Tools and Manufacture，2012，57：73-82，该文献通过对五轴刀具轨迹进行等时间步长离散，在每个离散点处依据驱动性能约束求取该点对应的位移区间，进而通过二分迭代规划时间最优的进给速度。然而，该方法所规划进给速度在插补过程中实时变化，即速度波动频繁，虽最大程度上提高了加工效率，但不利于加工表面质量的提高，此外，该方法进行速度插补时，需要复杂的迭代算法，实时性差。文献2“A smooth curve evolution approach to the feedrate planning on five-axis toolpath with geometric and kinematic constraints”，Sun等，International Journal of Machine Tools and Manufacture，2015，97：86-97，该文献利用曲线演化的思想，基于进给速度的比例调节，对五轴曲线插补过程中进给速度轮廓进行迭代规划，以满足轴驱动性能约束条件。然而，该方法计算量大，属离线方法，难以应用到实时插补过程中。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种计算效率高的物理轴驱动性能约束下速度敏感区间恒速五轴双样条曲线插补速度规划方法，该方法通过对待插补曲线轮廓进行等弧长离散，获得各物理轴位置对弧长参数的各阶微分；进而以轴驱动性能极限条件为约束，以平衡加工质量和加工效率为目标，优化求取速度敏感区间；通过双向扫描，确定各速度敏感区间的速度值及升、降速起始点曲线参数，在敏感区间采用所确定的恒定进给速度，在非敏感区间利用S形加减速模式规划平滑进给速度。该方法可有效平衡五轴曲线插补加工效率和加工质量，且算法计算负担轻，实时性好。

本发明采用的技术方案是一种五轴双样条曲线插补速度规划方法，其特性在于，该方法在对刀尖点轨迹进行等弧长离散的基础上，计算各物理轴位置对弧长参数的一阶到三阶微分，从而获得物理轴运动与刀具轨迹间关联关系；以轴驱动性能极限条件为约束，以平衡加工运行平稳性和加工效率为目标，优化求取速度敏感区间；通过双向扫描，确定各速度敏感区间的速度值及升、降速起始点曲线参数，在敏感区间采用所确定的恒定进给速度，在非敏感区间利用S形加减速模式规划平滑进给速度；方法具体步骤如下：

第一步建立物理轴运动与刀具轨迹间关联关系

设待插补双样条曲线中的刀尖点运动轨迹曲线方程为C _P＝C _P(u)，刀轴上除刀尖外另一点运动轨迹曲线方程为C _Q＝C _Q(u)，首先对刀尖点运动轨迹曲线进行等弧长离散，设弧长步长为δ _s，离散后第i个离散点对应的曲线参数为u _d,i，则利用二阶泰勒级数展开，第i+1个离散点对应的曲线参数u _d,i+1由如下递推公式计算：

其中，|| ||表示欧几里得范数，C′ _P(u _d，i)和C″ _P(u _d，i)分别为C _P(u)对参数u在u _d,i处的一阶和二阶导矢；

令R＝[R _x,R _y,R _z] ^T表示刀尖点，O＝[O _x,O _y,O _z] ^T表示刀轴矢量，在得到离散点对应的曲线参数u _d,i，i＝1,2,…,N _d后，N _d表示离散点总数，计算离散后第i个刀尖点R _i＝[R _x,i,R _y,i,R _zi,] ^T和第i个刀轴矢量O _i＝[O _x,i,O _y,i,O _z,i] ^T：

利用五轴机床运动学变换，根据公式(2)获得的刀尖点和刀轴矢量，计算出五个物理轴运动位置，令q表示物理轴运动位置向量，且q为五行一列的向量，其中五个元素对应于机床的五个物理轴，将对应于第i个刀尖点和第i个刀轴矢量的第i个物理轴运动位置向量表示为q _i，由此，计算物理轴位置对刀尖点轨迹弧长的一阶到三阶微分：

其中，q _s,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的一阶导矢，q _ss,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的二阶导矢，q _sss,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的三阶导矢，公式(3)即为物理轴运动与刀具轨迹间关联关系方程；

第二步确定速度敏感区间

依据微分原理，物理轴运动速度、加速度及加加速度与刀尖点运动切向速度、加速度及加加速度关系为：

其中，

分别为物理轴运动位置向量对时间的一阶、二阶、三阶导矢，即物理轴运动速度向量、加速度向量及加加速度向量；

分别为刀尖点运动位置对时间的一阶、二阶、三阶微分，即刀尖点运动速度、切向加速度及切向加加速度；

设物理轴运动速度极限为

物理轴运动加速度极限为

物理轴运动加加速度极限为

设定的刀尖点运动速度极限为v _max，首先令刀尖点运动切向加速度极限a _t,max等于

中三个直线运动轴运动加速度极限的最小值、令刀尖点运动切向加加速度极限j _t,max等于

中三个直线运动轴运动加加速度极限的最小值，其次，以平衡加工效率和运行平稳度为目标，优化a _t,max和j _t,max取值并确定速度敏感区间；定义在刀尖点以最大速度、加速度和加加速度运动的情况下，各物理轴运动速度、加速度和加加速度可能超出相应的极限约束条件的区间为速度敏感区间，根据公式(4)，可得：

据此，扫描各刀尖点运动轨迹离散点，将满足不等式|q _s,i|v _max＞q _max、

之一的离散点作为速度敏感区间内的点，设得到的速度敏感区间总段数为N _sr，第k段速度敏感区间的起始、结束位置对应的离散点序号分别为n _s,k和n _e,k，则速度敏感区间对应的离散点序号集合可表示为{[n _s,k,n _e,k]},k＝1,2,…,N _sr；因此，刀尖点运动轨迹曲线上速度敏感区间的总弧长l _sr为：

设刀尖点运动轨迹曲线的总弧长为l _t，若l _sr＜l _t/2，说明运动轨迹上大部分区域属于非速度敏感区间，可以以最大速度v _max进行恒速运行，即可同时保证运行平稳和高效率加工，故此时规划的速度敏感区间较优；反之，若l _sr＞l _t/2，说明运动轨迹上大部分区域属于速度敏感区间，需以区间内最小许用速度进行恒速运行，虽然可满足运行平稳，但加工效率过低，故此时对a _t,max和j _t,max的取值进行优化，进而优化速度敏感区间，具体方法为，在零到

中三个直线运动轴运动加速度极限的最小值之间以及零到

中三个直线运动轴运动加加速度极限的最小值之间，利用二分法寻找合适的a _t,max和j _t,max取值，使得对应的速度敏感区间总弧长l _sr等于刀尖点运动轨迹曲线总弧长l _t的一半，即l _sr＝l _t/2；通过上述步骤，得到最终的速度敏感区间曲线参数集合表示为{[u _s,k,u _e,k]},k＝1,2,…,N _sr；

第三步确定各速度敏感区间许用进给速度

首先，以物理轴驱动性能为约束计算各速度敏感区间初始许用速度值；为保证刀尖点进给运动平稳，同时提高计算效率，在速度敏感区间内，规划恒定的进给速度，此时，切向加速度

切向加加速度

均为零，根据公式(4)，得第k个速度敏感区间的初始许用速度值

为：

i∈{n _s,k,…,n _e,k},j∈{1,…,5}

其中，min()表示取最小值函数；

其次，以切向加速度、加加速度为约束，在S形加减速模式下更新速度敏感区间许用速度值；当切向加速度、加加速度极限分别为a _t,max和j _t,max时，在S形加减速模式下，从起始速度

加、减速到结束速度

过程所需要的位移值

为：

其中，加减速过程最大加速度值a _max＝j _t,maxt ₁，加加/减速时间t ₁，恒加/减速时间t ₂，减加/减速时间t ₃为：

通过双向扫描更新速度敏感区间许用速度值

具体步骤如下：

从k＝N _sr到k＝1进行逆向扫描，规划降速过程各速度敏感区间许用速度，其流程为：

1)令k＝N _sr；

2)若k＝N _sr，判断n _e,k＝N _d是否成立，若成立转第3)步，若不成立，转第5)步；若k≠N _sr，转第6)步；

3)此时，插补曲线的结束区域属于速度敏感区间，利用公式(8)计算从起始速度

减速到0所需要的位移值

及该速度敏感区间弧长l _k：

l _k＝δ _d·(n _e,k-n _s,k) (10)

若

直接转第4)步，否则，在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

并重新计算

转第4)步；

4)因当插补曲线的结束区域属于速度敏感区间时，最终降速过程必须在速度敏感区间内完成，故判断该降速过程中是否出现超出物理轴驱动性能极限约束的情况，计算降速过程所经历的离散点数量n _f：

其中int()表示向下取整函数；根据S形加减速过程位移与切向速度、加速度、加加速度关系，反求第N _sr个速度敏感区间内降速过程各离散点处刀尖点速度

切向加速度

切向加加速度

j∈{n _d-n _f,…,n _d}，并代入公式(4)，求得第N _sr个速度敏感区间内降速过程各离散点处所需轴速度向量

轴加速度向量

轴加加速度向量

j∈{n _d-n _f,…,n _d}，计算最末降速过程最大轴驱动极限与所需轴运动参数比值的最小值K _f：

i∈{1,…,5},j∈{n _s,k,…,n _e,k}

比较K _f与1的大小，确定第N _sr个速度敏感区间内降速过程切向速度、加速度、加加速度值调整比例K _f,t：

K _f,t＝min(K _f,1) (13)

令第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加速度

第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加加速度

更新该速度敏感区间许用速度值

5)当k＝N _sr且n _e,k≠N _d时，说明最后一个速度敏感区间结束位置与插补曲线结束间存在非速度敏感区间，因此，在该非速度敏感区间内规划降速过程；利用公式(8)计算从起始速度

减速到0所需要的位移值

同时计算最末非速度敏感区间弧长l _f：

l _f＝δ _d·(N _d-n _e,k) (14)

若

在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

转第7)步；

6)判断是否为减速过程，若

则为升速过程，转第7)步，否则，计算从

降速到

所需要的位移值

及第k个非速度敏感区间弧长l _r,k：

l _r,k＝δ _d·(n _s,k+1-n _e,k) (15)

当

时，在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

转第7)步；

7)若k＝1，结束，否则，令k＝k-1，转第2)步；

从k＝1到k＝N _sr进行正向扫描，规划升速过程各速度敏感区间许用速度，其流程为：

1)令k＝1；

2)若k＝1，判断n _s,k＝1是否成立，若成立转第3)步，若不成立，转第5)步；若k≠1，转第6)步；

3)此时，插补曲线的起始区域属于速度敏感区间，利用公式(8)计算从起始速度0升速到

所需要的位移值

利用公式(10)计算该速度敏感区间弧长l _k；

若

直接转第4)步，否则，在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

并重新计算

转第4)步；

4)因当插补曲线的起始区域属于速度敏感区间时，初始升速过程必须在速度敏感区间内完成，故判断该升速过程中是否出现超出物理轴驱动性能极限约束的情况，计算升速过程所经历的离散点数量n _b：

根据S形加减速过程位移与切向速度、加速度、加加速度关系，反求第1个速度敏感区间内升速过程各离散点处刀尖点速度

切向加速度

切向加加速度

j∈{1,…,n _b}，并代入公式(4)，求得第1个速度敏感区间内升速过程各离散点处所需轴速度向量

轴加速度向量

轴加加速度向量

j∈{1,…,n _b}，计算初始升速过程最大轴驱动极限与所需轴运动参数比值的最小值K _b：

i∈{1,…,5},j∈{1,…,n _b}

比较K _b与1的大小，确定第1个速度敏感区间内升速过程切向速度、加速度、加加速度值调整比例K _b,t：

K _b,t＝min(K _b,1) (18)

令第1个速度敏感区间内升速过程许用切向加速度

第1个速度敏感区间内升速过程许用切向加加速度

更新该速度敏感区间许用速度值

5)当k＝1且n _s,k≠1时，说明第1个速度敏感区间起始位置与插补曲线起始位置之间存在非速度敏感区间，因此，在该非速度敏感区间内规划升速过程；利用公式(8)计算从起始速度0升速到

所需要的位移值

同时利用公式(15)计算第k个非速度敏感区间弧长l _r,k；

若

在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

转第7)步；

6)判断是否为升速过程，若

则为降速过程，转第7)步，否则，计算从

升速到

所需要的位移值

及第k个非速度敏感区间弧长l _r,k；

当

时，在0到

之间利用二分法寻找速度值

使得

令

更新该速度敏感区间许用速度值

转第7)步；

7)若k＝N _sr-1，转第8)步，否则，令k＝k+1，转第2)步；

8)当n _e,k＝N _d且K _f,t＜1时，判断第N _sr个速度敏感区间的许用速度

是否在升速过程速度规划过程中被更新，若是，计算更新后速度与更新前速度比值K _ba，令K _f,t＝K _ba·K _f,t，再次更新第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加速度

第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加加速度

结束双向扫描；

经过上述逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，得到最终更新的进给速度值

即为满足物理轴驱动性能约束的第k个速度敏感区间进给速度最终规划值；

第四步升、降速起始点参数及相应速度值计算

判断非速度敏感区间弧长l _r,k是否大于进给速度从第k个速度敏感区间的许用速度

增加到设定的刀尖点运动进给速度极限v _max再降低到第k+1个速度敏感区间的许用速度

所需位移之和，即判断不等式(19)是否成立：

若不等式(19)成立，从第k个到第k+1个速度敏感区间之间执行升速(从

增加到v _max)和降速(从v _max降低至

两个过程；升速起始点参数为u _e,k，相对应的进给速度值为

降速起始点参数u _dc为：

降速结束点对应的进给速度为v _max；

若不等式(19)不成立，为保证进给速度轮廓平滑，第k个到第k+1个速度敏感区间之间仅执行升速或降速过程；若

执行升速过程，升速起始点参数为u _e,k，相对应的进给速度值为

若

执行降速过程，降速起始点参数u _dc为：

该降速起始点相对应的进给速度值为

设经上述步骤获得的升、降速起始点共n个，将升、降速起始点参数及相应进给速度集合记为{ur _i,vu _i},i＝1,2,…,n，其中ur _i为第i个升/降速起始点参数，vu _i为第i个升/降速起始点速度；

第五步各插补点参数及相应进给速度实时插补

在实时插补过程中，判断当前插补点曲线参数u _j所在的参数区间[ur _i,ur _i+1]，计算t ₁、t ₂、t ₃：

其中，当i＝1时，

当i＝n时，

否则a _t,m＝a _t,max、j _t,m＝j _t,max；

当插补参数进入该区间的总时间t＜t ₁+t ₂+t ₃时，当前插补点进给速度v _j为：

其中，a _m＝j _f,max·t ₁；当插补参数进入该区间的总时间t≥t ₁+t ₂+t ₃时，当前插补点进给速度v _j＝vu _i+1；根据二阶泰勒展开法计算下一插补点参数u _j+1：

其中T为插补周期；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令j＝j+1，重新执行第五步；据此，实现满足物理轴驱动能力极限约束的五轴双样条曲线插补速度规划。

本发明的有益效果是：该方法是物理轴驱动性能约束的五轴双样条曲线插补速度规划方法，可实现以各个物理轴速度、加速度、加加速度极限为约束条件的刀尖点运动速度快速平滑规划；该规划方法在速度敏感区间生成恒定的进给速度，无需对整体进给速度轮廓进行迭代规划，算法可在计算效率高的情况下实现五轴双样条曲线插补加工效率和运动平稳性间的协调。该方法可有效平衡五轴曲线插补加工效率和加工质量，且算法计算负担轻，实时性好。

附图说明

图1—方法整体流程图；

图2—直角坐标系中五轴双样条曲线刀轨几何模型图；其中，曲线1表示刀尖点运动轨迹曲线，曲线2表示刀轴上除刀尖外一点运动轨迹曲线；

图3—规划的刀尖点运动进给速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示刀尖点运动进给速度，单位为mm/s；

图4—直线轴实际运动速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动速度值，单位为mm/s，曲线1为机床X轴运动速度，曲线2为机床Y轴运动速度，曲线3为机床Z轴运动速度；

图5—旋转轴实际运动速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s，曲线1为机床A轴运动速度，曲线2为机床C轴运动速度；

图6—直线轴实际运动加速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动加速度值，单位为mm/s ²，曲线1为机床X轴运动加速度，曲线2为机床Y轴运动加速度，曲线3为机床Z轴运动加速度；

图7—旋转轴实际运动加速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s ²，曲线1为机床A轴运动加速度，曲线2为机床C轴运动加速度；

图8—直线轴实际运动加加速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动加加速度值，单位为mm/s ³，曲线1为机床X轴运动加加速度，曲线2为机床Y轴运动加加速度，曲线3为机床Z轴运动加加速度；

图9—旋转轴实际运动加加速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s ³，曲线1为机床A轴运动加加速度，曲线2为机床C轴运动加加速度；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

在五轴双样条曲线插补加工过程中，由于五轴刀轨运动与物理轴运动间存在极强非线性对应关系，导致以物理轴驱动能力为约束的进给速度规划困难。为解决这一难题，实现高效进给速度规划，提高五轴加工效率及加工质量，发明一种五轴双样条曲线插补速度规划方法。

附图1为方法整体流程图，附图2为直角坐标系中五轴双样条曲线刀轨几何模型图，以附图2所示刀轨为例，详细说明本发明具体实施过程，其中，曲线1，即刀尖点运动轨迹曲线的参数为：阶数：2；控制点：{(0,0,0),(5,-5,-2),(10,0,0),(0,20,2),(10,30,5),(30,30,5),(40,20,2),(30,0,0),(35,-5,-2),(40,0,0)}；权因子：{1；0.5；2；1；2；2；1；2；0.5；1}；节点向量：{0,0,0,1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8,1,1,1}，曲线2的阶数、权因子及节点向量与曲线1相同，控制点为：{(0,0,2),(5,-6,0),(10,0,2),(-5,20,4),(10,33,7),(30,33,7),(45,20,4),(30,0,2),(35,-6,0),(40,0,2)}。

根据附图1所示方法整体流程，以AC双转台五轴机床为例，进行五轴双样条曲线插补速度规划，具体步骤为：

第一步建立物理轴运动与刀具轨迹间关联关系：根据附图2中曲线1所示刀尖点运动轨迹曲线方程，取弧长步长δ _s＝0.05mm，利用公式(1)进行刀尖点运动轨迹等弧长离散，利用公式(2)计算刀尖点及刀轴矢量，根据AC双转台五轴机床的运动学变换，得到物理轴运动位置向量q，进而根据公式(3)获得物理轴运动位置对刀尖点轨迹弧长的一阶到三阶微分q _s、q _ss、q _sss；

第二步确定速度敏感区间：根据公式(4)，计算物理轴运动速度向量

加速度向量

及加加速度向量

与q _s、q _ss、q _sss间关系，设定五轴机床的X、Y、Z轴运动速度极限均为300mm/s，轴加速度极限均为1000mm/s ²，轴加加速度极限均为20000mm/s ³，A、C轴运动速度极限均为30rad/s，轴加速度极限均为100rad/s ²，轴加加速度极限均为2000rad/s ³，即

设定刀尖点运动切向速度极限v _max＝30mm/s，根据物理轴驱动性能极限条件，计算速度敏感区间参数集合，同时计算切向加速度极限a _t,max、加加速度极限j _t,max；

第三步确定各速度敏感区间许用进给速度：首先以物理轴驱动性能极限为约束条件，根据公式(7)计算各速度敏感区间初始许用速度值

进而根据切向加速度、切向加加速度极限，基于双向扫描法，更新各速度敏感区间许用进给速度

同时计算初始速升速过程切向加速度极限a _b,max、最末降速过程加加速度极限a _f,max、初始速升速过程切向加加速度极限j _b,max、最末降速过程加加速度极限j _f,max；

第四步升、降速起始点参数及相应速度值计算：根据发明内容中第四步内容，计算升、降速起始点参数及相应的进给速度集合{ur _i,vu _i},i＝1,2,…,n；

第五步各插补点参数及相应进给速度实时插补：首先判断当前插补点参数所属区间，其次根据发明内容中第五步内容计算当前插补点速度，进而根据公式(24)计算下一插补点参数；判断是否到达曲线终点，若未到达，返回第五步计算下一插补点进给速度，若到达，结束算法。

附图3所示为根据上述步骤最终规划的刀尖点运动进给速度，其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示刀尖点运动进给速度，单位为mm/s；从附图3中可见，除部分过渡区域的平滑过渡外，所规划的五轴双样条曲线插补进给速度均保持恒定，这有利于协调加工效率与运行平稳性。

附图4所示为利用所规划进给速度加工获得的三个直线轴实际运动速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动速度值，单位为mm/s，曲线1为机床X轴运动速度，曲线2为机床Y轴运动速度，曲线3为机床Z轴运动速度；图中可见，各直线轴实际运动速度绝对值均小于直线轴运动速度极限设定值300mm/s。

附图5所示为利用所规划进给速度加工获得的两个旋转轴实际运动速度；其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s，曲线1为机床A轴运动速度，曲线2为机床C轴运动速度；图中可见各旋转轴实际运动速度绝对值均小于旋转轴运动速度极限设定值30rad/s。

附图6所示为利用所规划进给速度加工获得的三个直线轴实际运动加速度，其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动加速度值，单位为mm/s ²，曲线1为机床X轴运动加速度，曲线2为机床Y轴运动加速度，曲线3为机床Z轴运动加速度；图中可见，各直线轴实际运动加速度绝对值均小于直线轴运动加速度极限设定值1000mm/s ²。

附图7所示为利用所规划进给速度加工获得的两个旋转轴实际运动加速度，其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s ²，曲线1为机床A轴运动加速度，曲线2为机床C轴运动加速度；图中可见，各旋转轴实际运动加速度绝对值均小于旋转轴运动加速度极限设定值100rad/s ²。

附图8所示为利用所规划进给速度加工获得的三个直线轴实际运动加加速度，其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示直线轴运动加加速度值，单位为mm/s ³，曲线1为机床X轴运动加加速度，曲线2为机床Y轴运动加加速度，曲线3为机床Z轴运动加加速度；图中可见，各直线轴实际运动加加速度绝对值均小于直线轴运动加加速度极限设定值20000mm/s ²。

附图9所示为利用所规划进给速度加工获得的两个旋转轴实际运动加加速度，其中A轴表示样条曲线参数，B轴表示旋转轴运动速度值，单位为rad/s ³，曲线1为机床A轴运动加加速度，曲线2为机床C轴运动加加速度。图中可见，各旋转轴实际运动加加速度绝对值均小于旋转轴运动加加速度极限设定值2000rad/s ³。

综上可见，所规划的五轴双样条曲线插补进给速度可以实现在曲线的大部分区间保持恒定，且能够满足各物理轴驱动性能极限约束。该方法以物理轴驱动性能极限为约束的速度敏感区间恒速五轴双样条曲线插补速度规划方法，协调五轴加工效率与运行平稳性、进而提高五轴数控机床性能。

Claims

一种五轴双样条曲线插补速度规划方法，其特性在于，该方法在对刀尖点轨迹进行等弧长离散的基础上，计算各物理轴位置对弧长参数的一阶到三阶微分，从而获得物理轴运动与刀具轨迹间关联关系；以轴驱动性能极限条件为约束，以平衡加工运行平稳性和加工效率为目标，优化求取速度敏感区间；通过双向扫描，确定各速度敏感区间的速度值及升、降速起始点曲线参数，在敏感区间采用所确定的恒定进给速度，在非敏感区间利用S形加减速模式规划平滑进给速度；方法具体步骤如下：

第一步建立物理轴运动与刀具轨迹间关联关系

设待插补双样条曲线中的刀尖点运动轨迹曲线方程为C _P＝C _P(u)，刀轴上除刀尖外另一点运动轨迹曲线方程为C _Q＝C _Q(u)，首先对刀尖点运动轨迹曲线进行等弧长离散，设弧长步长为δ _s，离散后第i个离散点对应的曲线参数为u _d,i，则利用二阶泰勒级数展开，第i+1个离散点对应的曲线参数u _d,i+1由递推公式(1)计算：

其中，|| ||表示欧几里得范数，C′ _P(u _d,i)和C″ _P(u _d,i)分别为C _P(u)对参数u在u _d,i处的一阶和二阶导矢；

令R＝[R _x,R _y,R _z] ^T表示刀尖点，O＝[O _x,O _y,O _z] ^T表示刀轴矢量，在得到离散点对应的曲线参数u _d,i，i＝1,2,…,N _d后，N _d表示离散点总数，计算离散后第i个刀尖点
和第i个刀轴矢量O _i＝[O _x,i,O _y,i,O _z,i] ^T：

利用五轴机床运动学变换，根据公式(2)获得的刀尖点和刀轴矢量，计算出五个物理轴运动位置，令q表示物理轴运动位置向量，且q为五行一列的向量，其中五个元素对应于机床的五个物理轴，将对应于第i个刀尖点和第i个刀轴矢量的第i个物理轴运动位置向量表示为q _i，由此，计算物理轴位置对刀尖点轨迹弧长的一阶到三阶微分：

其中，q _s,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的一阶导矢，q _ss,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的二阶导矢，q _sss,i表示第i个刀尖点处物理轴运动位置向量对刀尖点轨迹弧长的三阶导矢，公式(3)即为物理轴运动与刀具轨迹间关联关系方程；

第二步确定速度敏感区间

依据微分原理，物理轴运动速度、加速度及加加速度与刀尖点运动切向速度、加速度及加加速度关系为：

其中，
分别为物理轴运动位置向量对时间的一阶、二阶、三阶导矢，即物理轴运动速度向量、加速度向量及加加速度向量；
分别为刀尖点运动位置对时间的一阶、二阶、三阶微分，即刀尖点运动速度、切向加速度及切向加加速度；

设物理轴运动速度极限为
物理轴运动加速度极限为
物理轴运动加加速度极限为
设定的刀尖点运动速度极限为v _max，首先令刀尖点运动切向加速度极限a _t,max等于
中三个直线运动轴运动加速度极限的最小值、令刀尖点运动切向加加速度极限j _t,max等于
中三个直线运动轴运动加加速度极限的最小值，其次，以平衡加工效率和运行平稳度为目标，优化a _t,max和j _t,max取值并确定速度敏感区间；定义在刀尖点以最大速度、加速度和加加速度运动的情况下，各物理轴运动速度、加速度和加加速度可能超出相应的极限约束条件的区间为速度敏感区间，根据公式(4)，可得：

据此，扫描各刀尖点运动轨迹离散点，将满足不等式|q _s,i|v _max＞q _max、
之一的离散点作为速度敏感区间内的点，设得到的速度敏感区间总段数为N _sr，第k段速度敏感区间的起始、结束位置对应的离散点序号分别为n _s,k和n _e,k，则速度敏感区间对应的离散点序号集合可表示为{[n _s,k,n _e,k]},k＝1,2,…,N _sr；因此，刀尖点运动轨迹曲线上速度敏感区间的总弧长l _sr为：

设刀尖点运动轨迹曲线的总弧长为l _t，若l _sr＜l _t/2，说明运动轨迹上大部分区域属于非速度敏感区间，以最大速度v _max进行恒速运行，即可同时保证运行平稳和高效率加工，故此时规划的速度敏感区间较优；反之，若l _sr＞l _t/2，说明运动轨迹上大部分区域属于速度敏感区间，需以区间内最小许用速度进行恒速运行，虽然可满足运行平稳，但加工效率过低，故此时对a _t,max和j _t,max的取值进行优化，进而优化速度敏感区间，具体方法为，在零到
中三个直线运动轴运动加速度极限的最小值之间以及零到
中三个直线运动轴运动加加速度极限的最小值之间，利用二分法寻找合适的a _t,max和j _t,max取值，使得对应的速度敏感区间总弧长lsr等于刀尖点运动轨迹曲线总弧长l _t的一半，即l _sr＝l _t/2；通过上述步骤，得到最终的速度敏感区间曲线参数集合表示为{[u _s,k,u _e,k]},k＝1,2,…,N _sr；

第三步确定各速度敏感区间许用进给速度

首先，以物理轴驱动性能为约束计算各速度敏感区间初始许用速度值；为保证刀尖点进给运动平稳，同时提高计算效率，在速度敏感区间内，规划恒定的进给速度，此时，切向加速度
切向加加速度
均为零，根据公式(4)，得第k个速度敏感区间的初始许用速度值
为：

其中，min()表示取最小值函数；

其次，以切向加速度、加加速度为约束，在S形加减速模式下更新速度敏感区间许用速度值；当切向加速度、加加速度极限分别为a _t,max和j _t,max时，在S形加减速模式下，从起始速度
加、减速到结束速度
过程所需要的位移值
为：

其中，加减速过程最大加速度值a _max＝j _t,maxt ₁，加加/减速时间t ₁，恒加/减速时间t ₂，减加/减速时间t ₃为：

t ₃＝t ₁

通过双向扫描更新速度敏感区间许用速度值
具体过程如下：

从k＝N _sr到k＝1进行逆向扫描，规划降速过程各速度敏感区间许用速度，其流程为：

1)令k＝N _sr；

2)若k＝N _sr，判断n _e,k＝N _d是否成立，若成立转第3)步，若不成立，转第5)步；若k≠N _sr，转第6)步；

3)此时，插补曲线的结束区域属于速度敏感区间，利用公式(8)计算从起始速度
减速到0所需要的位移值
及该速度敏感区间弧长l _k：

l _k＝δ _d·(n _e,k-n _s,k) (10)

若
直接转第4)步，否则，在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
并重新计算
转第4)步；

4)因当插补曲线的结束区域属于速度敏感区间时，最终降速过程必须在速度敏感区间内完成，故判断该降速过程中是否出现超出物理轴驱动性能极限约束的情况，计算降速过程所经历的离散点数量n _f：

其中int()表示向下取整函数；根据S形加减速过程位移与切向速度、加速度、加加速度关系，反求第N _sr个速度敏感区间内降速过程各离散点处刀尖点速度
切向加速度
切向加加速度
并代入公式(4)，求得第N _sr个速度敏感区间内降速过程各离散点处所需轴速度向量
轴加速度向量
轴加加速度向量
j∈{n _d-n _f,…,n _d}，计算最末降速过程最大轴驱动极限与所需轴运动参数比值的最小值K _f：

比较K _f与1的大小，确定第N _sr个速度敏感区间内降速过程切向速度、加速度、加加速度值调整比例K _f,t：

K _f,t＝min(K _f,1) (13)

令第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加速度
第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加加速度
更新该速度敏感区间许用速度值

5)当k＝N _sr且n _e,k≠N _d时，说明最后一个速度敏感区间结束位置与插补曲线结束间存在非速度敏感区间，因此，在该非速度敏感区间内规划降速过程；利用公式(8)计算从起始速度
减速到0所需要的位移值
同时计算最末非速度敏感区间弧长l _f：

l _f＝δ _d·(N _d-n _e,k) (14)

若
在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
转第7)步；

6)判断是否为减速过程，若
则为升速过程，转第7)步，否则，计算从
降速到
所需要的位移值
及第k个非速度敏感区间弧长l _r,k：

l _r,k＝δ _d·(n _s,k+1-n _e,k) (15)

当
时，在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
转第7)步；

7)若k＝1，结束，否则，令k＝k-1，转第2)步；

从k＝1到k＝N _sr进行正向扫描，规划升速过程各速度敏感区间许用速度，其流程为：

1)令k＝1；

2)若k＝1，判断n _s,k＝1是否成立，若成立转第3)步，若不成立，转第5)步；若k≠1，转第6)步；

3)此时，插补曲线的起始区域属于速度敏感区间，利用公式(8)计算从起始速度0升速到
所需要的位移值
利用公式(10)计算该速度敏感区间弧长l _k；

若
直接转第4)步，否则，在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
并重新计算
转第4)步；

4)因当插补曲线的起始区域属于速度敏感区间时，初始升速过程必须在速度敏感区间内完成，故判断该升速过程中是否出现超出物理轴驱动性能极限约束的情况，计算升速过程所经历的离散点数量n _b：

根据S形加减速过程位移与切向速度、加速度、加加速度关系，反求第1个速度敏感区间内升速过程各离散点处刀尖点速度
切向加速度
切向加加速度
j∈{1,…,n _b}，并代入公式(4)，求得第1个速度敏感区间内升速过程各离散点处所需轴速度向量
轴加速度向量
轴加加速度向量
j∈{1,…,n _b}，计算初始升速过程最大轴驱动极限与所需轴运动参数比值的最小值K _b：

比较K _b与1的大小，确定第1个速度敏感区间内升速过程切向速度、加速度、加加速度值调整比例K _b,t：

K _b,t＝min(K _b,1) (18)

令第1个速度敏感区间内升速过程许用切向加速度
第1个速度敏感区间内升速过程许用切向加加速度
更新该速度敏感区间许用速度值

5)当k＝1且n _s,k≠1时，说明第1个速度敏感区间起始位置与插补曲线起始位置之间存在非速度敏感区间，因此，在该非速度敏感区间内规划升速过程；利用公式(8)计算从起始速度0升速到
所需要的位移值
同时利用公式(15)计算第k个非速度敏感区间弧长l _r,k；

若
在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
转第7)步；

6)判断是否为升速过程，若
则为降速过程，转第7)步，否则，计算从
升速到
所需要的位移值
及第k个非速度敏感区间弧长l _r,k；

当
时，在0到
之间利用二分法寻找速度值
使得
令
更新该速度敏感区间许用速度值
转第7)步；

7)若k＝N _sr-1，转第8)步，否则，令k＝k+1，转第2)步；

8)当n _e,k＝N _d且K _f,t＜1时，判断第N _sr个速度敏感区间的许用速度
是否在升速过程速度规划过程中被更新，若是，计算更新后速度与更新前速度比值K _ba，令K _f,t＝K _ba·K _f,t，再次更新第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加速度
第N _sr个速度敏感区间内降速过程许用切向加加速度
结束双向扫描；

经过上述逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，得到最终更新的进给速度值
即为满足物理轴驱动性能约束的第k个速度敏感区间进给速度最终规划值；

第四步升、降速起始点参数及相应速度值计算

判断非速度敏感区间弧长l _r，k是否大于进给速度从第k个速度敏感区间的许用速度
增加到设定的刀尖点运动进给速度极限v _max再降低到第k+1个速度敏感区间的许用速度
所需位移之和，即判断不等式(19)是否成立：

若不等式(19)成立，从第k个到第k+1个速度敏感区间之间执行升速(从
增加到v _max)和降速(从v _max降低至
)两个过程；升速起始点参数为u _e,k，相对应的进给速度值为
降速起始点参数u _dc为：

降速结束点对应的进给速度为v _max；

若不等式(19)不成立，为保证进给速度轮廓平滑，第k个到第k+1个速度敏感区间之间仅执行升速或降速过程；若
执行升速过程，升速起始点参数为u _e,k，相对应的进给速度值为
若
执行降速过程，降速起始点参数u _dc为：

该降速起始点相对应的进给速度值为

设经上述步骤获得的升、降速起始点共n个，将升、降速起始点参数及相应进给速度集合记为{ur _i,vu _i},i＝1,2,…,n，其中ur _i为第i个升/降速起始点参数，vu _i为第i个升/降速起始点速度；

第五步各插补点参数及相应进给速度实时插补

在实时插补过程中，判断当前插补点曲线参数u _j所在的参数区间[ur _i,ur _i+1]，计算t ₁、t ₂、t ₃：

t ₃＝t ₁

其中，当i＝1时，a _t,m＝a _b,max、j _t,m＝j _b,max，当i＝n时，a _t,m＝a _f,max、j _t,m＝j _f,max，否则a _t,m＝a _t,max、j _t,m＝j _t,max；

当插补参数进入该区间的总时间t＜t ₁+t ₂+t ₃时，当前插补点进给速度v _j为：

其中，a _m＝j _f,max·t ₁；当插补参数进入该区间的总时间t≥t ₁+t ₂+t ₃时，当前插补点进给速度v _j＝vu _i+1；根据二阶泰勒展开法计算下一插补点参数u _j+1：

其中T为插补周期；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令j＝j+1，重新执行第五步；据此，实现满足物理轴驱动能力极限约束的五轴双样条曲线插补速度规划。