CN114115131B - 一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法，该方案包括：用时间参数的B样条曲线拟合G01代码的方法，曲线既包含位置信息，其导数又包含速度、加速度和加加速度的运动信息，把路径拟合和速度规划结合为一步完成，得到一条严格满足高精度误差控制和运动约束，且利用机床各轴的运动能力的时间样条曲线，实现高精高效的数控加工。

Description

一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法

技术领域

本申请涉及数控机床技术领域，尤其涉及一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法。

背景技术

五轴数控系统因其高效性和灵活性，被广泛应用于复杂自由曲面加工中。通常五轴数控的加工路径用G01代码表示，即连续的折线段，其高度不连续性降低了加工效率和质量。经过很多研究者的努力，现在的做法大致可分为两类：一是把刀具路径中的刀轴点和刀轴方向分别拟合为两条参数曲线，然后对两条曲线同时做参数对应和速度规划；二是分别把刀轴点和刀轴方向的折线段做拐角过渡处理。上述两种方法都需要路径拟合和速度规划两个步骤，计算复杂。拐角过渡方法插补微小连续线段时，不能加速到最大速度，加工效率较低。

因此，需要一种能够使得加工速度快，效率高的时间样条曲线拟合与插补方法。

发明内容

本说明书实施例提供一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法，以提供一种能够使得机床加工速度快，效率高的时间样条曲线拟合与插补方法。

为解决上述技术问题，本说明书实施例是这样实现的：

本发明实施例提供一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法，包括：

步骤S1、输入机床坐标系数据点P₁＝[X₁,Y₁,Z₁,A₁,C₁]^T,...,P_m，机床参数，机床各轴速度界V_Ωmax、加速度界A_Ωmax、加加速度界J_Ωmax，预先设定误差界E_max；

其中，Ω表示X轴、Y轴、Z轴、A轴、C轴的集合，其中X轴、Y轴、Z轴表示平动轴，A轴和C轴表示旋转轴；

步骤S2、根据所述机床参数计算工件坐标系数据点；

步骤S3、在机床坐标系做初始拟合曲线；

步骤S4、计算工件坐标系下曲线与数据点的误差；

步骤S5、判断所述误差是否小于等于所述误差界E_max；

步骤S6、如果步骤S5为是，计算节点区间放缩倍数：使所述初始拟合曲线的1-3阶导数满足V_Ωmax,A_Ωmax,J_Ωmax约束且到边界；

步骤S7、如果步骤S5为否，解最小化误差，且误差小于等于所述误差界E_max的优化曲线控制点的模型，进入步骤S4；

步骤S8、判断所述放缩倍数是否小于预定阈值；

步骤S9、如果步骤S8为是，输出时间样条曲线；

步骤S10、如果步骤S8为否，放缩曲线节点区间；解控制点优化模型：最小化误差，且误差小于等于所述误差界E_max，且所述初始拟合曲线的1-3阶导数满足V_Ωmax,A_Ωmax,J_Ωmax约束，进入步骤S6。

优选的，所述步骤S4至步骤S10的具体内容为求解下述优化模型：：

其中，τ_n+1表示加工时间，f(t)表示拟合曲线，Q_i表示数据点，

表示垂足点。

优选的，按下述步骤求解公式(1)：

步骤S31、把数据点分段，对每段数据分别处理；

步骤S32、把数据点拟合为满足误差约束的参数在[0,1]区间的曲线；

步骤S33、将曲线变为时间参数的曲线，以误差和运动控制为约束条件，通过迭代求得时间最优的解。

本说明书中提供的至少一个实施例能够达到以下有益效果：

本实施例技术方案把路径拟合和速度规划结合为一步的方法，机床坐标系的五维数据点拟合为时间参数的五维3次B样条曲线，曲线由控制点和节点向量确定，曲线的1-3阶导数即各轴的速度、加速度、加加速度。由机床坐标系(machine coordinate system,MCS)和工件坐标系(workpiece coordinate system,WCS)的变换关系，可得到拟合曲线在工件坐标系的参数表示。因此可通过控制工件坐标系下拟合曲线与数据点的误差和机床坐标系下拟合曲线的速度、加速度、加加速度，以加工时间最优为目标，优化样条曲线的控制点和节点向量，得到一条充分利用机床运动性能和高精度误差控制的路径。提出时间参数的曲线拟合，得到的解符合“bangbang”最优控制的特点，即任意时刻总有一个轴的速度、加速度或加加速度达到边界，或误差达到边界，提高加工效率；同时，将路径拟合和速度规划合为一步完成，提高计算效率；

同时，现存拟合方法一般把刀轴点和刀轴方向分别拟合为两条三维参数曲线，然后需要做参数对应。本申请技术方案提出方法：在机床坐标系做五维数据点的拟合，通过控制曲线在工件坐标系与数据点的误差，以及曲线在机床坐标系的导数从而满足速度、加速度和加加速度约束，优化曲线，不需要做重新参数化，计算简便。

最后本实施例技术方案计算误差时用牛顿迭代法求得高精度的解，可达到精确的误差控制，实现高精加工。

附图说明

为了更清楚地说明本说明书实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本说明书实施例中一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法的流程示意图；

图2表示数据点到曲线上脚点的距离示意图，其中在数据点Q₃处求得的内积为0的点有3个，取距离最长的点为脚点；

图3为曲线上离散点到数据点折线的距离示意图；

图4为S件数据点,其中图4-1表示机床坐标系数据点，A、C轴坐标转化为球坐标形式，图4-2表示工件坐标系刀轴点坐标和刀轴方向；

图5表示本实施例技术方案中把分段结果表示在工件坐标系中，把分段点标记为‘*’的示意图；

图6表示工件坐标系的拟合效果的示意图；

图7表示工件坐标系的另一种拟合效果的示意图。

具体实施方式

为使本说明书一个或多个实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本说明书具体实施例及相应的附图对本说明书一个或多个实施例的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本说明书的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本说明书中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本说明书一个或多个实施例保护的范围。

应当理解，尽管在本申请文件中可能采用术语第一、第二、第三等来描述各种信息，但这些信息不应限于这些术语。这些术语仅用来将同一类型的信息彼此区分开。

下面先对本发明的技术构思进行简要说明：本实施例技术方案提出用时间参数的B样条曲线拟合G01代码的方法，曲线既包含位置信息，其导数又包含速度、加速度和加加速度的运动信息，把路径拟合和速度规划结合为一步完成，得到一条严格满足高精度误差控制和运动约束，且尽可能利用机床各轴的运动能力的时间样条曲线，实现高精高效的数控加工。

下面具体对本发明技术方案进行描述。

问题的建立和描述：在这里将介绍方法必要的准备工作。首先介绍3次样条曲线的表达形式及其导数公式，样条曲线由节点向量和控制点确定。因为要在工件坐标系控制拟合曲线与G01数据点之间的误差，在机床坐标系控制各轴的速度、加速度和加加速度，即在2个坐标系同时考虑问题，然后介绍工件坐标系与机床坐标系之间的非线性变换关系。最后分别介绍误差计算和运动学约束的数学表达。最后根据前面内容把问题转化为一个优化模型。

样条的表达形式：令f(s)为五维的3次Β样条曲线，有n个控制点，

c_i＝[x_i,y_i,z_i,a_i,c_i]^T∈R⁵，i＝1，...，n，则

B_i,3(s)∈R[s]是第i个3次Bernstein基。f(s)可写为矩阵的形式f(s)＝Β(s)c，其中c是

的矩阵形式。

给定节点τ₁≤...≤τ_n+4,τ₁＝τ₂＝τ₃＝τ₄＝0,τ_n+1＝τ_n+2＝τ_n+3＝τ_n+4，3次Bernstein基函数用递归的方式定义：

对于k＝1,2,3,i＝1,...,n+3-k:

由(3.1)、(3.2)可知，Β_i,3(s)只与节点{τ_i,...,τ_i+4}有关。

Bernstein基用多项式表示：

Β样条曲线f(s)是分段多项式曲线，曲线在[τ_i,τ_i+1],i＝4,...,n上的表示为：

f_i(s)在区间[τ_i,τ_i+1)的1-3导数为：

工件坐标系和机床坐标系的坐标变换关系：本实施例技术方案以摇篮式机床为例，由3个平动轴X、Y、Z和两个旋转轴A、C构成，A轴可绕X轴旋转，C轴可绕Z轴旋转，从而可加工更复杂的曲面。本实施例技术方案提出方法的输入是机床坐标系的五维数据点P＝[X_m,Y_m,Z_m,A_m,C_m]^T，表示各轴相对于机床原点的位置，原点为转动中心。工件坐标系中坐标Q＝[x_w,y_w,z_w]^T表示相对于工件原点的位置，会随着机床的转动而变化。在机床坐标系拟合的曲线需要变换到工件坐标系中，在工件坐标系计算曲线与数据点间的距离，即拟合误差，从机床坐标系到工件坐标系具体的变换为如下形式：

误差计算：为了达到高精加工的目标，需要计算工件坐标系下拟合曲线到G01代码规划的刀位点间的Housdorff距离，即误差。误差由两部分构成，一部分是数据点到拟合曲线的脚点间的距离，另一部分是拟合曲线上离散点到数据点折线的距离。

数据点到曲线的距离：机床坐标系的拟合曲线表示为f(s)，变换到工件坐标系的曲线表示为g(s)，即g(s)＝A(s)f(s)，A(s)表示s点处的变换矩阵。在工件坐标系计算数据点到曲线的距离，需要计算数据点在曲线上的脚点的距离，脚点是曲线上距离数据点最近的点。但要计算的Housdorff距离是双向的，包含数据点到曲线的距离和曲线到数据点的距离，曲线上一个点到数据点折线的距离可能为这个点到数据点的距离，比数据点到曲线脚点的距离大，因此计算脚点时，可在局部找曲线上某点切向量与和数据点连线垂直的点，即：假设数据点Q_i在曲线g(s)上的脚点为g(s_i)，则有

与g(s_i)点处切向量的内积为0。根据这一关系，可由牛顿迭代法求得s_i的解，则数据点Q_i到曲线的距离即为

若同时有多个这样的点，则取距离最大的点为该点的脚点。

此部分误差约束可表示为：

||g(s_i)-Q_i||＝||A(s_i)Β(s_i)c-Q_i||≤E_max,i＝1,2,...,m

其中，A(s_i)表示拟合曲线f(s_i)点处从机床坐标系变换到工件坐标系的变换矩阵，Β(s_i)c表示机床坐标系中s_i参数点处拟合曲线的X、Y、Z三维的坐标，E_max是误差界，误差示意图如图2所示。

工件坐标系中拟合曲线到数据点折线的距离：在曲线上取一系列足够密的离散点，计算离散点到数据点折线的距离。在距离极大值点处用牛顿迭代法求精确的极大值点，从而可求得精确的误差值。计算离散点g(s_k)到数据点折线的距离的方法如下：

方法1：计算工件坐标系曲线上离散点到数据点折线的距离d

输入：工件坐标系曲线上一点g(s_k)，工件坐标系数据点

输出：曲线上点g(s_k)到数据点折线的距离

1、找出g(s_k)对应的数据点线段Q_jQ_j+1：∠g(s_k)Q_jQ_j+1和∠g(s_k)Q_j+1Q_j为锐角。

2、从点g(s_k)到线段Q_jQ_j+1做垂线，计算垂足点

的坐标：

3、点g(s_k)到数据点折线的距离为：

输出距离d

这一部分误差约束的数学表示是：

其中，误差示意图如图3所示。

运动约束：因为该方法是直接在机床坐标系做拟合，曲线是时间参数的，所以拟合曲线f(t)的各阶导数即蕴含机床各轴的运动信息，因此只需满足：

|f'_Ω(t)|≤V_Ωmax,

|f”_Ω(t)|≤A_Ωmax,

|f”'_Ω(t)|≤J_Ωmax

其中，Ω表示X,Y,Z,A,C轴，V_Ωmax,A_Ωmax,J_Ωmax分别表示速度界、加速度界和加加速度界。

综上所述，该问题可转化为优化问题：

在此优化模型中，优化变量有节点向量和控制点，是高度非线性问题，很难求得最优解，接下来将在介绍具体的求解过程。

问题的求解：上述优化问题的求解过程，主要分为以下2个步骤：1、把数据点分段，对每段数据分别处理；2、把数据点拟合为满足误差约束的参数在[0,1]区间的曲线；3、将曲线变为时间参数的曲线，以误差和运动控制为约束条件，通过迭代求得时间最优的解。

数据分段：有些加工件的G代码有上千甚至上万个数据点，很难拟合成一条符合误差要求的B样条曲线，所以需要对曲线进行分段，对每一段数据点分别进行拟合。长直线段不易拟合为样条曲线，而在曲率比较大的地方一般要求低速通过，从而保证弓高误差满足约束。所以按照折线段长度和数据点的离散曲率进行分段，长度大于某一阈值或离散曲率大于某一阈值时，将数据点断开。因为是在机床坐标系进行拟合，在工件坐标系控制误差，机床坐标系和工件坐标系之间存在非线性变换的关系，所以同时在两个坐标系计算数据点长度和离散曲率，任意一个坐标系的数值超过设置的阈值时将数据点断开。将数据点断开后，把每一段数据点拟合为3次B样条曲线。

控制误差的曲线拟合：拟合曲线用较少的控制点，相比于G01代码可大大压缩数据，且提高后续计算的效率，因此可选取数据点中蕴含几何信息的点做初始拟合，然后在初始拟合曲线的基础上，对控制点和节点向量做误差控制的优化求解，具体方法如下：

控制误差的路径拟合：输入：机床坐标系的五维数据点：P₁＝[X₁,Y₁,Z₁,A₁,C₁]^T,P₂,...,P_m，对应的WCS的数据点：Q₁＝[x₁,y₁,z₁]^T,Q₂,...,Q_m

输出：机床坐标系上五维的三次Β样条拟合曲线f(s)＝[X(s),Y(s),Z(s),A(s),C(s)]^T,s∈[0,1]，该曲线变换到工件坐标系的曲线表示为g(s)＝[x(s),y(s),z(s)]^T，g(s)与工件坐标系上的数据点间的误差在E_max以内。

1、令r＝0，初始拟合曲线f⁰(s)＝Β(s)c⁰,s∈[0,1]

2、在第r次迭代中，对工件坐标系中每个数据点Q_k求||g^r(s_k)Q_k||，k＝1,2,...,m,对WCS工件坐标系中拟合曲线的离散点g^r(s_j)，求

若所有项均满足误差要求，则输出该曲线，否则执行步骤3。

3、解优化问题：

4、令r＝r+1，f^r(s)＝B(s)(c+δc)，执行步骤2

步骤3中优化模型以误差的平方和最小为目标函数，以每一点的误差在误差界以内为约束条件，目标函数和约束条件均为2次的，因此可快速求解，若无解，代表样条曲线的造型能力不足，则需添加节点向量，增加曲线的造型能力，本方法增加误差极大值点为新的节点。

求解过程中第r+1次迭代曲线的误差用第r次迭代曲线的误差代替，因此需要迭代求解。实验表明，采用方法2可快速求得满足误差约束的解。

节点向量区间的放缩：把参数区间在[0,1]的曲线变为时间参数的曲线，即参数s代表时间t，曲线表示为f(t)，可通过放缩节点区间的方法缩短加工时间τ_n+1。在每个节点向量区间[τ_i,τ_i+1]，i＝4,...,n,f_i(t)可表示为3次多项式的形式：f_i(t)＝at³+bt²+ct+d

f′_i(t)＝3at²+2bt+c

f″_i(t)＝6at+2b

f″′_i(t)＝6a

对f_i(t)做变量代换t→α_it+β_i，得到新的曲线

有：

令α_i等于使

满足约束的最小值，即：

可使

成为满足误差约束且时间尽可能短的曲线，但每个节点向量区间采用不同的α_i放缩时，违背了样条曲线的连续性，因此采用只放缩节点向量区间，而控制点不变的方法。放缩后的曲线在原曲线附近，但误差、速度、加速度和加加速度可能超界，如果超界可用优化模型对控制点做优化控制，具体过程介绍如下。

时间参数的曲线：把参数区间为[0,1]的曲线变为时间参数的曲线，满足高精高效的加工要求，即求解满足误差约束和速度、加速度、加加速度约束，且加工时间尽可能短的优化模型((3.12)式所列优化模型)，具体求解过程如下：

方法3：时间最优的时间样条曲线的求解

输入：满足误差控制的拟合曲线

f(s)＝[X(s),Y(s),Z(s),A(s),C(s)]^T,s∈[0,1]

输出：时间最优的满足误差、运动控制的时间参数的样条拟合曲线

f(t)＝[X(t),Y(t),Z(t),A(t),C(t)]^T

1、在每个节点向量区间，令节点区间放缩倍数α_i为使各轴满足速度、加速度、加加速度约束的最小值，即用前文方法计算节点区间放缩的倍数α_i,若α_i接近于1，即|α_i-1|＜0.01,输出曲线f(t)，否则按照α_i放缩节点向量区间，用放缩后的节点向量和原曲线的控制点构造新的样条曲线f(t)。

2、求下述优化问题，以误差的平方和最小为目标函数，以误差控制和运动控制为约束条件：

得到一条满足误差和运动控制的曲线，回到步骤1。

本实施例技术方案把路径拟合和速度规划结合为一步的方法，机床坐标系的五维数据点拟合为时间参数的五维3次B样条曲线，曲线由控制点和节点向量确定，曲线的1-3阶导数即各轴的速度、加速度、加加速度。由机床坐标系(machine coordinate system,MCS)和工件坐标系(workpiece coordinate system,WCS)的变换关系，可得到拟合曲线在工件坐标系的参数表示。因此可通过控制工件坐标系下拟合曲线与数据点的误差和机床坐标系下拟合曲线的速度、加速度、加加速度，以加工时间最优为目标，优化样条曲线的控制点和节点向量，得到一条充分利用机床运动性能和高精度误差控制的路径。提出时间参数的曲线拟合，得到的解符合“bangbang”最优控制的特点，即任意时刻总有一个轴的速度、加速度或加加速度达到边界，或误差达到边界，提高加工效率；同时，将路径拟合和速度规划合为一步完成，提高计算效率；

同时，现存拟合方法一般把刀轴点和刀轴方向分别拟合为两条三维参数曲线，然后需要做参数对应。本申请技术方案提出方法：在机床坐标系做五维数据点的拟合，通过控制曲线在工件坐标系与数据点的误差，以及曲线在机床坐标系的导数从而满足速度、加速度和加加速度约束，优化曲线，不需要做重新参数化，计算简便。

最后本实施例技术方案计算误差时用牛顿迭代法求得高精度的解，可达到精确的误差控制，实现高精加工。

本实施例技术方案做实验所用S件有1369个数据点，单位是毫米(mm)，数据分段的长直线阈值为4mm,离散曲率阈值为0.6，分段结果如图5。其中，第8段数据包含284个数据点，按照本实施例提出的算法计算，误差界设为0.005mm，机床坐标系各轴的运动性能设置为：X、Y、Z轴的速度界为250mm/s，加速度界设为500mm/s²，加加速度界设为3000mm/s³,A、C轴的速度界设为229deg/s，加速度界设为458deg/s²，加加速度界为3438deg/s³。计算所得时间样条曲线有123个控制点，加工时间为2.037s，最终工件坐标系的拟合效果如图6和图7所示，可以看到数据点和拟合曲线基本重合，其中图6示意整体拟合效果，图7示意局部放大的十个点的拟合效果。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (2)

1.一种应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤S1、输入机床坐标系数据点P₁＝[X₁,Y₁,Z₁,A₁,C₁]^T,...,P_m，机床参数，机床各轴速度界V_Ωmax、加速度界A_Ωmax、加加速度界J_Ωmax，预先设定误差界E_max；

其中，Ω表示X轴、Y轴、Z轴、A轴、C轴的集合，其中X轴、Y轴、Z轴表示平动轴，A轴和C轴表示旋转轴；

步骤S2、根据所述机床参数计算工件坐标系数据点；

步骤S3、在机床坐标系做初始拟合曲线；

步骤S4、计算工件坐标系下曲线与数据点的误差；

步骤S5、判断所述误差是否小于等于所述误差界E_max；

步骤S6、如果步骤S5为是，计算节点区间放缩倍数：使所述初始拟合曲线的1-3阶导数满足V_Ωmax,A_Ωmax,J_Ωmax约束且到边界；

步骤S7、如果步骤S5为否，解最小化误差，且误差小于等于所述误差界E_max的优化曲线控制点的模型，进入步骤S4；

步骤S8、判断所述放缩倍数是否小于预定阈值；

步骤S9、如果步骤S8为是，输出时间样条曲线；

步骤S10、如果步骤S8为否，放缩曲线节点区间；解控制点优化模型：最小化误差，且误差小于等于所述误差界E_max，且所述初始拟合曲线的1-3阶导数满足V_Ωmax,A_Ωmax,J_Ωmax约束，进入步骤S6；

其中，所述步骤S4至步骤S10的具体内容为求解下述优化模型：

其中，τ_n+1表示加工时间，f(t)表示机床坐标系下的拟合曲线，Q_i表示数据点，

表示垂足点，g(t_i)表示所述数据点Q_i在曲线g(t)上的脚点，g(t_k)表示工件坐标系曲线上的一个点，g(t)表示在所述机床坐标系下的拟合曲线f(t)变换到工件坐标系下的曲线表示。

2.如权利要求1所述的应用于五轴数控机床的时间样条曲线拟合与插补方法，其特征在于，按下述步骤求解公式(1)：

步骤S31、把数据点分段，对每段数据分别处理；

步骤S32、把数据点拟合为满足误差约束的参数在[0,1]区间的曲线；

步骤S33、将曲线变为时间参数的曲线，以误差和运动控制为约束条件，通过迭代求得时间最优的解。

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