CN104635619A - 基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种五轴联动数控加工技术，具体的说是一种基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法。本发明包括刀具轨迹规划：在实现刀具点位置规划的同时，对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算，得到插补后的刀具轨迹方程和工件坐标系下的刀尖点值、刀具矢量；双NURBS曲线拟合：采用双NURBS曲线拟合方法对刀尖点和刀具轴线上第二点形成的曲线进行拟合；插补计算：根据进给速度对形成的NURBS曲线进行插补，得到其在机床坐标系下对应的各轴坐标值；机床运动学建模及求解：针对具体机床机构，建立相应机床运动学方程，完成两个坐标系间的转换。本发明具有加工精度高、表面加工质量高的优点。

Description

基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法

技术领域

本发明涉及一种五轴联动数控加工技术，具体的说是一种基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法。

背景技术

数控技术是当今先进制造技术和装备中的核心技术，体现了一个国家的制造技术水平。五轴联动数控技术是高速高精数控加工的核心技术，其加工工艺合理、效率高、工件表面光洁度好，被广泛应用于飞机、汽车、船舶等产品的制造。

目前已有的五轴数控加工系统多采取对进给轴进行插补，方向轴随动变化的方式来实现刀具轨迹的控制。这种插补方式存在以下问题：首先，由于忽略了刀具矢量的变化，无法保证加工中的刀具矢量始终在首末向量确定的平面内，实际加工中的刀尖轨迹与期望轨迹相差较大，即产生非线性误差；其次，该方式常常伴有较大的刀具矢量变化和机床角度变化。有研究发现，切削误差和刀具的角度变化是成一定比例的，大的刀具矢量变化会引起较大的加工误差，严重时甚至破坏工件表面。大的角度变化还容易导致奇异点的产生，使加工过程中进给速度变化很大，对机床产生较大冲击，使生成的数据无法在实际生产中应用。因而该插补方式在航空结构件的侧切削以及深孔加工等方面存在很大的局限性。

发明内容

针对现有技术无法灵活控制加工中刀具矢量，不能满足五轴联动高速高精加工需求，本发明要解决的技术问题是提供一种基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，包括以下步骤：

刀具轨迹规划：在实现刀具点位置规划的同时，对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算，得到插补后的刀具轨迹方程和工件坐标系下的刀尖点值、刀具矢量；

双NURBS曲线拟合：采用双NURBS曲线拟合方法对刀尖点和刀具轴线上第二点形成的曲线进行拟合；

插补计算：根据进给速度对形成的NURBS曲线进行插补，得到其在机床坐标系下对应的各轴坐标值；

机床运动学建模及求解：针对具体机床机构，建立相应机床运动学方程，完成两个坐标系间的转换。

所述对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算，得到插补后的刀具轨迹方程和工件坐标系下的刀尖点值、刀具矢量，包括以下步骤：

建立一个局部旋转坐标系U₀-V-N：

$V=\frac{U_0\×U_1}{|U_0\×U_1|}---\left(1\right)$

$N=\frac{V\×U_0}{|V\×U_0|}---\left(2\right)$

其中，U₀,U₁为已知期望轨迹p=p(u)的首末端点处的刀轴矢量坐标，V为垂直U₀与U₁的单位向量；

在该局部旋转坐标系中对刀轴矢量与首向量间角度进行插补，插补过程中的刀具矢量表示为：

o(φ_i)=sinφ_iN+cosφ_iU₀  (3)

其中为任意刀轴矢量在N-U₀平面上的投影与U₀间夹角；

为在路径参数u确定的情况下得到确定的刀具矢量，将角表示为u的多项式：

${\mathrm{\φ}}_i=\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{u}_i^j---\left(4\right)$

其值满足下式：

$\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& u_i=0\\ u_i(\mathrm{\φ}\left(1\right)-\mathrm{\φ}\left(0\right))& u_i=\frac{i}{n}\\ \arccos (U_0\·U_1)& u_i=1\end{array}\right.---\left(5\right)$

设(P₀,U₀)和(P₁,U₁)为两相邻的刀位数据，刀具从位置P₀(X₀,Y₀,Z₀)到P₁(X₁,Y₁,Z₁)的运动过程由平移轴的线性插补来完成：

$\left\{\begin{array}{c}X=(1-u)X_0+u{X}_1\\ Y=(1-u)Y_0+u{Y}_1\\ Z=(1-u)Z_0+u{Z}_1\end{array}\right.---\left(6\right)$

为使首末向量分别在u=0和1时取得，令代入式(3)即可确定刀具轨迹方程；

根据式(3)，(6)得到具体u值对应的工件坐标系下的刀尖点值Pi(X_i,Y_i,Z_i)和刀具矢量

所述双NURBS曲线拟合包括以下步骤：

曲线P(u)代表刀尖点曲线，Q(u)表示在该刀尖点处沿刀具矢量方向上的任意一点，V（u）表示工件坐标系下的刀具矢量，三者满足下式：

$V\left(u\right)=\frac{Q\left(u\right)-P\left(u\right)}{\left|\right|Q\left(u\right)-P\left(u\right)\left|\right|}---\left(7\right)$

NURBS曲线由权值，节点向量和控制点决定，为简化运算，所有权值默认为1；因而，双NURBS曲线拟合模块的主要功能为确定工件坐标系下的NURBS曲线P(u)、Q(u)的节点向量和控制点坐标：

确定参数t_i和节点向量U={0,0,…,0,u₁,…,u_n-k,1,1,…1}:

$\left\{\begin{array}{cc}{t}_0=0& \\ t_i=t_{i-1}+\frac{\sqrt{\left|\right|D_i-D_{i-1}\left|\right|}}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{\left|\right|D_j-D_{j-1}\left|\right|}}& i=1,...,n-1\\ t_n=1& \end{array}\right.---\left(8\right)$

$u_{j+p}=\frac{1}{p}\underset{i=j}{\overset{j+p-1}{\mathrm{\Σ}}}{t}_i,j=\mathrm{1,2},...,n-p---\left(9\right)$

其中t_i为第i个拟合点所对应的参数值，|D_i-D_i-1|为第i-1个与第i个拟合点之间的距离；

要使曲线经过点集P(u)、Q(u)中的各点，需要满足下式：

$Q_k=C\left(t_k\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(t_k\right)P_i---\left(10\right)$

即：

$\left(\begin{array}{ccccc}{N}_{0,p}\left(t_0\right)& N_{1,p}\left(t_0\right)& N_{2,p}\left(t_0\right)& ...& N_{n,p}\left(t_0\right)\\ N_{0,p}\left(t_1\right)& N_{1,p}\left(t_1\right)& N_{2,p}\left(t_1\right)& ...& N_{n,p}\left(t_1\right)\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ N_{0,p}\left(t_n\right)& N_{1,p}\left(t_n\right)& N_{2,p}\left(t_n\right)& ...& N_{n,p}\left(t_n\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ ...\\ P_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{Q}_0\\ Q_1\\ ...\\ Q_n\end{array}\right)---\left(11\right)$

其中Q_i为已知拟合点坐标，通过上述公式可确定基函数N_i,k(u)，进而可得到控制点集合。

所述插补计算包括以下步骤：

对于拟合而成的样条曲线P(u)和Q(U)，采用二阶Taylor展开式方法近似计算第i个插补周期插补点所对应的参数值u_i，此时u_i的计算公式写为：

$u_i=u_{i-1}+\frac{V_{i-1}T}{\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}+\frac{T^2}{2}(\frac{A_{i-1}}{2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}-\frac{{V_{i-1}}^2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|g\left|C^{\′\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}{2|C^{\′}\left(u_{i-1}\right){|}^2})---\left(12\right)$

其中u_i、u_i+1为第i和i+1个插补周期插补点所对应的参数值，T为数控系统插补周期，V_i和A_i为第i个插补周期的加工速度和加速度，C’(u)和C”(u)分别为期望曲线C(u)在u_i处的一、二阶导矢量，通过其表达式计算出来；将以上各值带入上式，计算出当前插补周期插补点所对应的参数值，将计算出的参数值代入双NURBS曲线拟合模块形成的NURBS曲线就可以得到该时刻的刀尖点P(u_i+1)和相应刀具矢量上的点Q(u_i+1)。

所述机床运动学建模及求解具体为：

由工件坐标系下坐标点P(u_i)和Q(u_i)到机床坐标系下平动轴X，Y，Z和旋转轴值的转换：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{xi}}=(X_i-m_x)\cos C_i-(Y_i-m_y)\sin C_i+m_x\\ M_{\mathrm{yi}}=(X_i-m_x)\cos A_i\sin C_i-(Y_i-m_y)\cos A_i\cos C_i-(Z_i-m_z)\sin A_i+m_y\\ M_{\mathrm{zi}}=(X_i-m_x)\sin A_i\sin C_i+(Y_i-m_y)\sin A_i\sin C_i+(Z_i-m_z)\cos A_i+m_z\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中A_i，C_i为工件坐标系下刀轴矢量对应的机床坐标系下的旋转角度，其值由下式确定：

$\left\{\begin{array}{cc}{A}_i=k_A{\cos }^{-1}\left(U_{\mathrm{zi}}\right)& k_A=1,-1\\ C_i={\tan }^{-1}\frac{U_{\mathrm{xi}}}{U_{\mathrm{yi}}}-k_C\·\mathrm{\π}& k_C=\mathrm{0,1}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，U_xi、U_yi与U_zi为刀轴矢量各分量坐标。

本发明具有以下优点及有益效果：

1．加工精度高。本发明方法可灵活控制加工中刀具矢量变化，避免非线性误差的产生，进而可以提高加工精度。

2．表面加工质量高。本发明方法可将多段离散指令点拟合成连续平滑曲线，从而可消除加工中相邻线段间的折角，提高工件表面的加工质量。

附图说明

图1为平面双曲线插补算法流程图；

图2为首末端点处刀具姿态示意图；

图3为双NURBS曲线示意图；

图4为双转台型五轴机床各运动坐标系的建立；

图5为直线轨迹加工效果对比图；

图6为刀具矢量各分量变化图；

图7为旋转轴角度变化图；

图8为半球面实验仿真加工图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，本发明基于刀具矢量插补的五轴数控加工算法包括以下步骤：

刀具轨迹规划：在实现刀具点位置规划的同时，采用平面刀具矢量插补算法对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算；

双NURBS曲线拟合：采用双NURBS曲线拟合方法对刀尖点和刀具轴线上第二点形成的曲线进行拟合；

插补计算：根据进给速度对形成的NURBS曲线进行插补，得到其在机床坐标系下对应的各轴坐标值。

机床运动学建模及求解：针对具体机床机构，建立相应机床运动学方程，完成两个坐标系间的转换。

步骤一、刀具轨迹规划具体过程如下：

数控加工中通常用大量曲线网格的形式去逼近加工复杂表面，因此使用五轴数控机床加工空间曲面的问题就转化为加工曲面上的任意空间曲线的问题。由于加工中的刀具不是数学上的理想质点，因而使用五轴数控机床加工任意空间曲线时首先需要解决两个问题——如何控制刀具中心点的轨迹和如何控制对应的刀具姿态。刀具轨迹规划模块使用平移轴的线性插补和平面刀具矢量插补算法，得到工件坐标系下加工轨迹中间点的位置和刀具矢量值，从而解决刀具中心点轨迹和对应刀具姿态的控制问题。所用平面刀具矢量插补算法具体过程如下所述。

使用五轴数控机床进行某些加工，如端面铣削或倾斜平面壁的精加工时，我们必须保证加工过程中的刀轴矢量始终在设定的平面内。此外，也存在某些加工要求加工过程中的刀轴矢量与设定平面呈一定角度。对于上述两种加工情况，我们可以将每个切触点P处的刀轴矢量U分解为两个对应的角度ψ和刀轴矢量U可以用ψ和唯一表示。

对于待加工的曲面C=C(u,v)，我们以v固定时确定的曲线p=p(u)为例，对平面刀具矢量插补算法进行说明。在已知期望轨迹p=p(u)的首末端点处的刀轴矢量坐标U₀,U₁的情况下，可根据下式建立一个局部旋转坐标系U₀-V-N：

$V=\frac{U_0\×U_1}{|U_0\×U_1|}---\left(1\right)$

$N=\frac{V\×U_0}{|V\×U_0|}---\left(2\right)$

当使用五轴数控机床进行端面铣削或倾斜平面壁的精加工时，加工过程中的刀轴矢量必须满足以下条件：

首末端点处的刀轴矢量坐标U₀,U₁分别对应于u=0,1的情况；

加工过程中的刀轴矢量始终在设定的平面内；

加工过程中的刀轴矢量与首向量间角度呈线性变化。

则可在该局部旋转坐标系中对刀轴矢量与首向量间角度进行插补，插补过程中的刀具矢量表示为：

o(φ_i)=sinφ_iN+cosφ_iU₀  (3)

其中为任意刀轴矢量在N-U₀平面上的投影与U₀间夹角。为在路径参数u确定的情况下得到确定的刀具矢量，可将角表示为u的多项式：

${\mathrm{\φ}}_i=\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{u}_i^j---\left(4\right)$

其值满足下式：

$\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& u_i=0\\ u_i(\mathrm{\φ}\left(1\right)-\mathrm{\φ}\left(0\right))& u_i=\frac{i}{n}\\ \arccos (U_0\·U_1)& u_i=1\end{array}\right.---\left(5\right)$

如图2所示，设(P₀,U₀)和(P₁,U₁)为两相邻的刀位数据，刀具从位置P₀(X₀,Y₀,Z₀)到P₁(X₁,Y₁,Z₁)的运动过程由平移轴的线性插补来完成：

$\left\{\begin{array}{c}X=(1-u)X_0+u{X}_1\\ Y=(1-u)Y_0+u{Y}_1\\ Z=(1-u)Z_0+u{Z}_1\end{array}\right.---\left(6\right)$

加工过程中的刀具矢量值通过平面刀具矢量插补算法得到，为保证刀轴矢量只在首末向量所决定的平面，即U₀-N平面上变化，可将插补过程中的刀轴矢量表示为上式(3)形式。为使首末向量分别在u=0和1时取得，可令代入上式(3)即可确定刀具轨迹方程。

根据式(3),(6)可以得到具体u值对应的工件坐标系下的刀尖点值Pi(X_i,Y_i,Z_i)和刀具矢量

步骤二、双NURBS曲线拟合具体过程如下：

如图3所示，双NURBS曲线使用工件坐标系下的两条NURBS曲线P(u)、Q(u)来描述加工过程中刀尖点和刀具矢量的变化。其中，曲线P(u)代表刀尖点曲线，Q(u)表示在该刀尖点处沿刀具矢量方向上的任意一点，V（u）表示工件坐标系下的刀具矢量，三者满足下式：

$V\left(u\right)=\frac{Q\left(u\right)-P\left(u\right)}{\left|\right|Q\left(u\right)-P\left(u\right)\left|\right|}---\left(7\right)$

NURBS曲线由权值，节点向量和控制点决定，为简化运算，本算法中所有权值默认为1。因而，双NURBS曲线拟合模块的主要功能为确定工件坐标系下的NURBS曲线P(u)、Q(u)的节点向量和控制点坐标。

本方法采用向心法确定参数t_i和节点向量U={0,0,…,0,u₁,…,u_n-k,1,1,…1}:

$\left\{\begin{array}{cc}{t}_0=0& \\ t_i=t_{i-1}+\frac{\sqrt{\left|\right|D_i-D_{i-1}\left|\right|}}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{\left|\right|D_j-D_{j-1}\left|\right|}}& i=1,...,n-1\\ t_n=1& \end{array}\right.---\left(8\right)$

$u_{j+p}=\frac{1}{p}\underset{i=j}{\overset{j+p-1}{\mathrm{\Σ}}}{t}_i,j=\mathrm{1,2},...,n-p---\left(9\right)$

其中t_i为第i个拟合点所对应的参数值，|D_i-D_i-1|为第i-1个与第i个拟合点之间的距离。

要使曲线经过点集P(u)、Q(u)中的各点，需要满足下式：

$Q_k=C\left(t_k\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(t_k\right)P_i---\left(10\right)$

即：

$\left(\begin{array}{ccccc}{N}_{0,p}\left(t_0\right)& N_{1,p}\left(t_0\right)& N_{2,p}\left(t_0\right)& ...& N_{n,p}\left(t_0\right)\\ N_{0,p}\left(t_1\right)& N_{1,p}\left(t_1\right)& N_{2,p}\left(t_1\right)& ...& N_{n,p}\left(t_1\right)\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ N_{0,p}\left(t_n\right)& N_{1,p}\left(t_n\right)& N_{2,p}\left(t_n\right)& ...& N_{n,p}\left(t_n\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ ...\\ P_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{Q}_0\\ Q_1\\ ...\\ Q_n\end{array}\right)---\left(11\right)$

其中Q_i为已知拟合点坐标，通过上述公式可确定基函数N_i,k(u)，进而可得到控制点集合。

步骤三、插补计算具体过程如下：

插补计算模块在考虑机床加工中最大允许轴速度的情况下，确定每一插补周期插补点所对应的参数值，从而在生成的NURBS曲线上计算输出下一插补点处点值，进而得到每一插补时刻三个平动轴的坐标和两个转动轴的转动量。

对于拟合而成的样条曲线P(u)和Q(U)，本方法采用二阶Taylor展开式方法近似计算第i个插补周期插补点所对应的参数值u_i，此时u_i的计算公式可写为：

$u_i=u_{i-1}+\frac{V_{i-1}T}{\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}+\frac{T^2}{2}(\frac{A_{i-1}}{2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}-\frac{{V_{i-1}}^2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|g\left|C^{\′\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}{2|C^{\′}\left(u_{i-1}\right){|}^2})---\left(12\right)$

其中u_i、u_i+1为第i和i+1个插补周期插补点所对应的参数值，T为数控系统插补周期，V_i和A_i为第i个插补周期的加工速度和加速度，C’(u)和C”(u)分别为期望曲线C(u)在u_i处的一、二阶导矢量，可通过其表达式计算出来。将以上各值带入上式，便可计算出当前插补周期插补点所对应的参数值，将计算出的参数值代入双NURBS曲线拟合模块形成的NURBS曲线就可以得到该时刻的刀尖点P(u_i+1)和相应刀具矢量上的点Q(u_i+1)。

步骤四、机床运动学建模及求解具体过程如下：

在刀位文件中刀具的空间位置由工件坐标系下的刀具端点坐标和刀轴矢量表示，而在实际数控机床加工中刀具的空间位置由机床坐标系下的刀具端点坐标和旋转角度表示。因而需要解决刀具空间位置由工件坐标系到机床坐标系的坐标转换问题。坐标系转换模块的主要功能是针对具体机床机构，建立相应机床运动学方程，完成两个坐标系间的转换。

本方法的坐标系转换模块针对如图4所示的双转台型五轴机床建立机床运动学方程，完成由工件坐标系下坐标点P(u_i)和Q(u_i)到机床坐标系下平动轴X,Y,Z和旋转轴值的转换：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{xi}}=(X_i-m_x)\cos C_i-(Y_i-m_y)\sin C_i+m_x\\ M_{\mathrm{yi}}=(X_i-m_x)\cos A_i\sin C_i-(Y_i-m_y)\cos A_i\cos C_i-(Z_i-m_z)\sin A_i+m_y\\ M_{\mathrm{zi}}=(X_i-m_x)\sin A_i\sin C_i+(Y_i-m_y)\sin A_i\sin C_i+(Z_i-m_z)\cos A_i+m_z\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中A_i,C_i为工件坐标系下刀轴矢量对应的机床坐标系下的旋转角度，其值可由下式确定：

$\left\{\begin{array}{cc}{A}_i=k_A\mathrm{co}{s}^{-1}\left(U_{\mathrm{zi}}\right)& k_A=1,-1\\ C_i={\tan }^{-1}\frac{U_{\mathrm{xi}}}{U_{\mathrm{yi}}}-k_C\·\mathrm{\π}& k_C=\mathrm{0,1}\end{array}\right.---\left(14\right)$

本发明的执行效果：

为检验本算法的实际加工效果，现已将该算法实现于本所自主研发的NC-110五轴数控系统中，在插补周期T=2ms，编程进给速度F=5000mm/min,最大加速度a_max=300mm/s2，最大轮廓误差e_max=0.02mm的条件下，对本文所提算法进行了一系列验证。图5所示为对一段直线刀具轨迹进行五轴数控加工的加工效果对比图，其中红色直线表示加工过程中的刀尖点轨迹，蓝色箭头线表示加工过程中的刀具矢量。将本方法与线性插补法的加工效果进行对比，可以看到，本方法产生的刀尖轨迹近似为一条直线，且刀轴矢量变化较平稳。

图6显示了本方法在加工过程中刀具矢量各分量的变化情况。该图表明加工过程中刀具矢量各分量及其一、二阶导数的变化都是连续的。图7所示为加工过程中旋转轴的角度变化、角速度、角加速度值。以上两图可以说明，使用本方法进行加工时，可以避免较大的刀具矢量变化和机床角度变化。

图8所示为使用该算法仿真加工得到的半球面。其中红色直线表示加工过程中的刀尖点轨迹，蓝色箭头线表示加工过程中的刀具矢量。加工过程中刀具矢量变化较平稳。

Claims (5)

1.一种基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，其特征在于，包括以下步骤：

刀具轨迹规划：在实现刀具点位置规划的同时，对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算，得到插补后的刀具轨迹方程和工件坐标系下的刀尖点值、刀具矢量；

双NURBS曲线拟合：采用双NURBS曲线拟合方法对刀尖点和刀具轴线上第二点形成的曲线进行拟合；

插补计算：根据进给速度对形成的NURBS曲线进行插补，得到其在机床坐标系下对应的各轴坐标值；

机床运动学建模及求解：针对具体机床机构，建立相应机床运动学方程，完成两个坐标系间的转换。

2.根据权利要求1所述的基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，其特征在于，所述对工件坐标系下的刀具矢量进行插补计算，得到插补后的刀具轨迹方程和工件坐标系下的刀尖点值、刀具矢量，包括以下步骤：

建立一个局部旋转坐标系U₀-V-N：

$V=\frac{U_0\×U_1}{|U_0\×U_1|}---\left(1\right)$

$N=\frac{V\×U_0}{|V\×U_0|}---\left(2\right)$

其中，U₀,U₁为已知期望轨迹p=p(u)的首末端点处的刀轴矢量坐标，V为垂直U₀与U₁的单位向量；

在该局部旋转坐标系中对刀轴矢量与首向量间角度进行插补，插补过程中的刀具矢量表示为：

o(φ_i)=sinφ_iN+cosφ_iU₀  (3)

其中为任意刀轴矢量在N-U₀平面上的投影与U₀间夹角；

为在路径参数u确定的情况下得到确定的刀具矢量，将角表示为u的多项式：

${\mathrm{\φ}}_i=\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{u}_i^j---\left(4\right)$

其值满足下式：

$\mathrm{\φ}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& u_i=0\\ u_i(\mathrm{\φ}\left(1\right)-\mathrm{\φ}\left(0\right))& u_i=\frac{i}{n}\\ \arccos (U_0\·U_1)& u_i=1\end{array}\right.---\left(5\right)$

设(P₀,U₀)和(P₁,U₁)为两相邻的刀位数据，刀具从位置P₀(X₀,Y₀,Z₀)到P₁(X₁,Y₁,Z₁)的运动过程由平移轴的线性插补来完成：

$\left\{\begin{array}{c}X=(1-u)X_0+u{X}_1\\ Y=(1-u)Y_0+u{Y}_1\\ Z=(1-u)Z_0+u{Z}_1\end{array}---\left(6\right)\right.$

为使首末向量分别在u=0和1时取得，令代入式(3)即可确定刀具轨迹方程；

根据式(3)，(6)得到具体u值对应的工件坐标系下的刀尖点值Pi(X_i,Y_i,Z_i)和刀具矢量

3.根据权利要求1所述的基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，其特征在于，所述双NURBS曲线拟合包括以下步骤：

曲线P(u)代表刀尖点曲线，Q(u)表示在该刀尖点处沿刀具矢量方向上的任意一点，V（u）表示工件坐标系下的刀具矢量，三者满足下式：

$V\left(u\right)=\frac{Q\left(u\right)-P\left(u\right)}{\left|\right|Q\left(U\right)-P\left(u\right)\left|\right|}---\left(7\right)$

NURBS曲线由权值，节点向量和控制点决定，为简化运算，所有权值默认为1；因而，双NURBS曲线拟合模块的主要功能为确定工件坐标系下的NURBS曲线P(u)、Q(u)的节点向量和控制点坐标：

确定参数t_i和节点向量U={0,0,…,0,u₁,…,u_n-k,1,1,…1}:

$\left\{\begin{array}{cc}{t}_0=0& \\ t_i=t_{i-1}+\frac{\sqrt{\left|\right|D_i-D_{i-1}\left|\right|}}{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\sqrt{\left|\right|D_j-D_{j-1}\left|\right|}}& i=1,...,n-1\\ t_n=1& \end{array}\right.---\left(8\right)$

$u_{j+p}=\frac{1}{p}\underset{i=j}{\overset{j+p-1}{\mathrm{\Σ}}}{t}_i,j=\mathrm{1,2},...,n-p---\left(9\right)$

其中t_i为第i个拟合点所对应的参数值，|D_i-D_i-1|为第i-1个与第i个拟合点之间的距离；

要使曲线经过点集P(u)、Q(u)中的各点，需要满足下式：

$Q_k=C\left(t_k\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,p}\left(t_k\right)P_i---\left(10\right)$

即：

$\left(\begin{array}{ccccc}{N}_{0,p}\left(t_0\right)& N_{1,p}\left(t_0\right)& N_{2,p}\left(t_0\right)& ...& N_{n,p}\left(t_0\right)\\ N_{0,p}\left(t_1\right)& N_{1,p}\left(t_1\right)& N_{2,p}\left(t_1\right)& ...& N_{n,p}\left(t_1\right)\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ N_{0,p}\left(t_n\right)& N_{1,p}\left(t_n\right)& N_{2,p}\left(t_n\right)& ...& N_{n,p}\left(t_n\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ ...\\ P_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{Q}_0\\ Q_1\\ ...\\ Q_n\end{array}\right)---\left(11\right)$

其中Q_i为已知拟合点坐标，通过上述公式可确定基函数N_i,k(u)，进而可得到控制点集合。

4.根据权利要求1所述的基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，其特征在于，所述插补计算包括以下步骤：

对于拟合而成的样条曲线P(u)和Q(U)，采用二阶Taylor展开式方法近似计算第i个插补周期插补点所对应的参数值u_i，此时u_i的计算公式写为：

$u_i=u_{i-1}+\frac{V_{i-1}T}{\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}+\frac{T^2}{2}(\frac{A_{i-1}}{2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}-\frac{{V_{i-1}}^2\left|C^{\′}\left(u_{i-1}\right)\right|g\left|C^{\′\′}\left(u_{i-1}\right)\right|}{2|C^{\′}\left(u_{i-1}\right){|}^2})---\left(12\right)$

其中u_i、u_i+1为第i和i+1个插补周期插补点所对应的参数值，T为数控系统插补周期，V_i和A_i为第i个插补周期的加工速度和加速度，C’(u)和C”(u)分别为期望曲线C(u)在u_i处的一、二阶导矢量，通过其表达式计算出来；将以上各值带入上式，计算出当前插补周期插补点所对应的参数值，将计算出的参数值代入双NURBS曲线拟合模块形成的NURBS曲线就可以得到该时刻的刀尖点P(u_i+1)和相应刀具矢量上的点Q(u_i+1)。

5.根据权利要求1所述的基于刀具矢量插补的五轴数控加工方法，其特征在于，所述机床运动学建模及求解具体为：

由工件坐标系下坐标点P(u_i)和Q(u_i)到机床坐标系下平动轴X，Y，Z和旋转轴值的转换：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{xi}}=(X_i-m_x)\cos C_i-(Y_i-m_y)\sin C_i+m_x\\ M_{\mathrm{yi}}=(X_i-m_x)\cos A_i\sin C_i-(Y_i-m_y)\cos A_i\cos C_i-(Z_i-m_z)\sin A_i+m_y\\ M_{\mathrm{zi}}=(X_i-m_x)\sin A_i\sin C_i+(Y_i-m_y)\sin A_i\sin C_i+(Z_i-m_z)\cos A_i+m_z\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中A_i，C_i为工件坐标系下刀轴矢量对应的机床坐标系下的旋转角度，其值由下式确定：

$\left\{\begin{array}{cc}{A}_i=k_A{\cos }^{-1}\left(U_{\mathrm{zi}}\right)& k_A=1,-1\\ C_i={\tan }^{-1}\frac{U_{\mathrm{xi}}}{U_{\mathrm{yi}}}-k_C\·\mathrm{\π}& k_C=\mathrm{0,1}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，U_xi、U_yi与U_zi为刀轴矢量各分量坐标。