CN105549535A - 五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法，用于解决现有方法建模精确度差的技术问题。技术方案是首先利用线性插值方法计算五轴机床在加工过程中任意瞬时各运动轴的运动量；接着用一组平行平面与刀具和工件相交的二维轮廓建模，并结合机床的运动链，将空间三维问题降维到二维平面问题；在工件坐标系中建立刀具在工件选定层上瞬时切屑刃的数学表达；求得零件每一层上任意时刻瞬时切削刃的包络边界曲线，及其内部包络区域；利用上一时刻的包络区域减去这一时刻的包络区域，求得这一时间段在选定层上的未变形切屑形状；将工件上所有层上产生的未变形切屑形状叠加起来，得到这一时间段的3维未变形切屑几何，建模精度高。

Description

五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法

技术领域

本发明涉及五轴数控加工建模领域，特别涉及一种五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法。

背景技术

文献“LeeSK,KoSL.DevelopmentofsimulationsystemformachiningprocessusingenhancedZmapmodel[J].Journalofmaterialsprocessingtechnology,2002,130:608-617.”公开了一种基于Z-map的超级抽样方法，该方法首先从数控程序中获取零件的几何信息；接着使用超级抽样的方法对获取的几何信息进行采样，并利用采样信息对毛坯进行网格化；最后用网格化的毛坯和刀具包络进行布尔运算。该方法能快速求出加工过程中的材料去除率，及评估加工过后零件的加工质量。但该方法并未对数控加工过程中的三维未变形切屑几何进行建模，且求解五轴刀具运动包络本身就非常困难。而三维未变形切屑几何，是求解零件在加工过程中任意瞬时几何形状的基础，它又是五轴数控加工中几何建模和物理仿真之间的桥梁，如求解材料去除率、加工过程中的零件几何形状和进给速度及刀具轨迹优化。通过对数控加工中任一瞬时未变形切屑几何的建模和研究，可以将数控加工的几何建模和物理仿真结合起来，更能切近实际数控加工的本质，使仿真的结果更加可信、可靠。

发明内容

为了克服现有方法建模精确度差的不足，本发明提供一种五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法。该方法首先利用线性插值方法计算五轴机床在加工过程中任意瞬时各运动轴的运动量；接着用一组平行平面与刀具和工件相交的二维轮廓建模，并结合机床的运动链，将空间三维问题降维到二维平面问题；在工件坐标系中建立刀具在工件选定层上瞬时切屑刃的数学表达；求得零件每一层上任意时刻瞬时切削刃的包络边界曲线，及其内部包络区域；利用上一时刻的包络区域减去这一时刻的包络区域，求得这一时间段在选定层上的未变形切屑形状；最后，将工件上所有层上产生的未变形切屑形状叠加起来，得到这一时间段的3维未变形切屑几何。该方法能精确、快速求出在五轴加工过程中任意时刻的三维未变形切屑几何。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、给定两个连续刀位点[X_M,1Y_M,1Z_M,1A₁C₁]和[X_M,2Y_M,2Z_M,2A₂C₂]，基于线性插值方法，求解任意时刻t五轴摇篮式数控机床各运动轴运动量[X_M(t)Y_M(t)Z_M(t)A(t)C(t)]，其计算公式为：

$\left[\begin{array}{c}{X}_M\left(t\right)\\ Y_M\left(t\right)\\ Z_M\left(t\right)\\ A\left(t\right)\\ C\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{M,1}+t\·(X_{M,2}-X_{M,1})\\ Y_{M,1}+t\·(Y_{M,2}-Y_{M,1})\\ Z_{M,1}+t\·(Z_{M,2}-Z_{M,1})\\ A_1+t\·(A_2-A_1)\\ C_1+t\·(C_2-C_1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{M,1}+t\·\mathrm{\Δ}X\\ Y_{M,1}+t\·\mathrm{\Δ}Y\\ Z_{M,1}+t\·\mathrm{\Δ}Z\\ A_1+t\·\mathrm{\Δ}A\\ C_1+t\·\mathrm{\Δ}C\end{array}\right]$

其中t为参数且t∈[0,1]；△X、△Y、△Z及△A、△C分别为机床三个平移轴及两个旋转轴在两个刀位点间运动量的差值。

步骤二、建立五轴摇篮式数控机床的运动链。

建立机床坐标系CS_M、参考坐标系CS_P、参考坐标系CS_A、参考坐标系CS_C、工件坐标系CS_W及刀具坐标系CS_T，以便描述刀具坐标系CS_T和工件坐标系CS_W之间的关系。则从工件坐标系CS_W到刀具坐标系CS_T的变换矩阵为M_W-T(t)：

$\begin{array}{c}{M}_{W-Y}\left(t\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& -\sin \left(C\right)& 0& {\mathrm{\δX}}_P-X_m-\cos \left(C\right)\·({\mathrm{\δX}}_P-{\mathrm{\δX}}_W)+\sin \left(C\right)\·({\mathrm{\δy}}_P+{\mathrm{\δy}}_W)\\ \cos \left(A\right)\·\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\·\cos A)& -\sin \left(A\right)& {\mathrm{\δy}}_P-y_M+\sin \left(A\right)\·({\mathrm{\δZ}}_P-{\mathrm{\δZ}}_W)-\cos \left(C\right)\·\cos \left(A\right)\·({\mathrm{\δy}}_P-{\mathrm{\δy}}_W)-\cos \left(A\right)\·\sin \left(C\right)\·({\mathrm{\δX}}_P-{\mathrm{\δX}}_W)\\ \sin \left(A\right)\·\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\·\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& L+{\mathrm{\δZ}}_P-Z_M-\cos \left(A\right)\·({\mathrm{\δZ}}_P-{\mathrm{\δZ}}_W)-\cos \left(C\right)\·\sin \left(A\right)\·({\mathrm{\δy}}_P-{\mathrm{\δy}}_W)-\sin \left(A\right)\·\sin \left(C\right)\·({\mathrm{\δX}}_P-{\mathrm{\δX}}_W)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

其中δx_P、δy_P、δz_P为参考坐标系CS_P的原点O_P在机床坐标系CS_M中的坐标值；δx_W、δy_W、δz_W为工件坐标系CS_W原点O_W在机床坐标系CS_M中的坐标值；C为机床旋转轴C在t时刻绕平移轴Z的旋转量；A为机床旋转轴A在t时刻绕平移轴X的旋转量；x_M、y_M、z_M为机床三个平移轴在t时刻的运动量,[x_my_mz_mAC]的值由步骤1给出，在t时刻[X_M(t)Y_M(t)Z_M(t)A(t)C(t)]＝[x_my_mz_mAC]。

等价的从刀具坐标系CS_T到工件坐标系CS_W的变换矩阵为M_T-W(t)：

$\begin{array}{c}{M}_{T-W}\left(t\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& \cos \left(A\right)\·\sin \left(C\right)& \sin \left(A\right)\·\sin \left(C\right)& {\mathrm{\δx}}_P-{\mathrm{\δx}}_W+\cos \left(C\right)\·(x_M-{\mathrm{\δx}}_P)+\sin \left(C\right)\·\cos \left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P)+\sin \left(C\right)\·\sin \left(A\right)\·(z_M-{\mathrm{\δz}}_P-L)\\ -\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\·\sin \left(A\right)& \cos \left(C\right)\·\sin \left(A\right)& {\mathrm{\δy}}_P-{\mathrm{\δy}}_W-\sin \left(C\right)\·(x_M-{\mathrm{\δx}}_P)+\cos \left(C\right)\·\cos \left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P)+\cos \left(C\right)\·\sin \left(A\right)\·(z_M-{\mathrm{\δz}}_P-L)\\ 0& -\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& {\mathrm{\δz}}_P-{\mathrm{\δx}}_W-\sin \left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P)+\cos \left(A\right)\·(z_M-{\mathrm{\δz}}_P-L)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

步骤三、建立刀具的瞬时切削刃模型；

用一系列平行于机床工作台的平行平面与工件相交，将工件的形状用平面与工件工件相交所得的2维轮廓来表示。

在刀具坐标系CS_T中端铣刀的参数方程为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_T(\mathrm{\θ},l)\\ y_T(\mathrm{\θ},l)\\ z_T(\mathrm{\θ},l)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}R\·cos\mathrm{\θ}\\ R\·sin\mathrm{\θ}\\ l\end{array}\right]$

其中R为刀具半径，θ、l为参数，且θ∈[0,2π]，l∈[0,L]，L为刀具长度。刀具的参数方程在工件坐标系CS_W中的表达为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_W\\ y_W\\ z_W\\ 1\end{array}\right]=M_{T-W}\left(t\right)\left[\begin{array}{c}R\·cos\mathrm{\θ}\\ R\·\sin \mathrm{\θ}\\ l\\ 1\end{array}\right]$

对于工件坐标系CS_W中工件上z坐标为z_Ω的层，参数θ和参数l之间的关系为：

$l=\frac{z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_P-{\mathrm{\δz}}_W}{\cos \left(A\right)}+tan\left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P+R\·sin\mathrm{\θ})+{\mathrm{\δz}}_P-z_M+L$

其中θ、l参数，其它量的定义与前述定义相同，其中θ∈[0,2π]，l∈[0,L]。

则在工件坐标CS_W中z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)的参数表达为：

$\begin{array}{c}{E}_W(\mathrm{\θ},t)=\left[\begin{array}{c}{x}_{E,W}(\mathrm{\θ},t)\\ y_{E,W}(\mathrm{\θ},t)\\ z_{E,W}(\mathrm{\θ},t)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}R\·\cos \left(C\right)\·\cos \mathrm{\θ}+\frac{R\·\sin \left(C\right)\·\sin \mathrm{\θ}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\sin \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P)+\tan \left(A\right)\·\sin \left(C\right)\·(z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P)+\cos \left(C\right)\·\left(x_M-{\mathrm{\δx}}_P\right)+{\mathrm{\δx}}_P-{\mathrm{\δx}}_W\\ -R\·\sin \left(C\right)\·\cos \mathrm{\θ}+\frac{R\·\cos \left(C\right)\·\sin \mathrm{\θ}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\cos \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P)+\tan \left(A\right)\·\cos \left(C\right)\·(z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P)-\sin \left(C\right)\·(x_M-{\mathrm{\δx}}_P)+{\mathrm{\δy}}_P-{\mathrm{\δy}}_W\\ z_{\mathrm{\Ω}}\end{array}\right]\end{array}$

其中θ和t为参数，其它量的定义与前述定义相同，其中θ∈[0,2π]、t∈[0,1]。

步骤四、计算任意层上二维未变形切屑几何的边界理论；

依据在工件坐标系CS_W中对瞬时切削刃E_w(θ,t)的定义，其法矢量在工件坐标系CS_W中为

$\stackrel{\→}{N}(\mathrm{\θ},t)=\left[\begin{array}{c}-\frac{\∂y_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{\∂x_{E,W}(\mathrm{\θ},\∂)}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{\cos \left(C\right)\·\cos \mathrm{\θ}}{\cos \left(A\right)}-\sin \left(C\right)\·\sin \mathrm{\θ}\\ \frac{\sin \left(C\right)\·\cos \mathrm{\θ}}{\cos \left(A\right)}-\cos \left(C\right)\·\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]$

法矢量指向瞬时切削刃E_w(θ,t)内部。

瞬时切削刃E_w(θ,t)速度矢量在工件坐标系CS_W中为

$\begin{array}{c}\stackrel{\→}{N}(\mathrm{\θ},t)=\left[\begin{array}{c}\frac{\∂x_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂t}\\ \frac{\∂y_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂t}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\Δ}A\·\sin \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\·\[z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P+\sin \left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P+R\·\sin \mathrm{\θ})\]\\ +\frac{1}{\cos \left(A\right)}\·\[\mathrm{\ΔC}\·\cos \left(C\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_p+R\·\sin \mathrm{\θ}+\sin (A)\·(z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P\left)\right)+\mathrm{\Δ}y\·\sin \left(C\right)\]\\ +\mathrm{\Δ}C\·\sin \left(C\right)\·({\mathrm{\δx}}_P-x_M-R\·\cos \mathrm{\θ})-\mathrm{\Δ}x\·\cos \left(C\right)\\ \frac{\mathrm{\Δ}A\·\cos \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\·\[z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P+\sin \left(A\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_P+R\·\sin \mathrm{\θ})\]\\ -\frac{1}{\cos \left(A\right)}\·\[\mathrm{\Δ}C\·\sin \left(C\right)\·(y_M-{\mathrm{\δy}}_p+R\·\sin \mathrm{\θ}+\sin (A)\·(z_{\mathrm{\Ω}}+{\mathrm{\δz}}_W-{\mathrm{\δz}}_P\left)\right)-\mathrm{\Δ}y\·\cos \left(C\right)\]\\ +\mathrm{\Δ}C\·\cos \left(C\right)\·({\mathrm{\δx}}_P-x_M-R\·\cos \mathrm{\θ})+\mathrm{\Δ}x\·\sin \left(C\right)\end{array}\right]\end{array}$

对以上两式，式中，θ和t为参数，其中θ∈[0,2π]、t∈[0,1]。

为求解二维包络，需先求解方程即：

$\frac{\∂x_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂t}\·\frac{\∂y_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}-\frac{\∂x_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}\·\frac{\∂y_{E,W}(\mathrm{\θ},t)}{\∂t}=0$

通过求解上述方程，得到任意时刻z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线上满足 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t)>0,\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t)<0$ 及 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t)=0$ 的部分。然而在五轴加工中由于刀具运动复杂，传统的包络理论不能准确判断瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线的包络边界。因此提出下列修正的包络理论，以准确判断在五轴加工中瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线的包络边界。

包含以下两组推论：

第一组：在三轴加工或者刀轴方向变化不大的五轴加工中，以下推论成立：

1.当刀具刚切上工件某一层时，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π₀上；

2.当刀具切出工件的某层时，该层瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_n上；

3.在t_i时刻，在边界Π_i-1上满足其中t＝t₀,t₁,…,t_i-1的点和在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点均在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_i上。并且用直线段将这些点连接起来的线段也在边界曲线Π_i上；

4.在边界曲线Π_i-1上满足的点不会在边界曲线Π_i上；在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点不会出现在边界曲线Π_i上。

第二组：在五轴加工中，以下推论成立：

1.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)和初始的瞬时切削刃边界Π₀相交于满足的部分，则Π₀上的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，且满足的部分为无效的边界点，应该排除；

2.t_i时刻如果满足于的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，则满足于的点为无效包络点(边界点)，应该排除；

3.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)与t_i-1时刻的瞬时切削刃边界Π_i-1相交于满足的部分，那么瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足且处于瞬时切削刃边界Π_i-1内部的部分为无效边界，应该排除；

4.t_i时刻瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上，如果满足于的点在瞬时切削刃边界Π_i-1内部，则满足于的点为无效包络点，应该排除。

则瞬时切削刃在zΩ层的包络边界由以下几个部分构成：运动起始位置，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点；运动末尾位置，瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点；以及在运动过程中瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点；以及结合修正包络理论排除部分无效点，剩下的部分即为t_n时刻瞬时切削刃E_w(θ,t)扫过区域的边界曲线Π_n。通过对工件z_Ω层上t_i-1时刻和下一时刻t_i包络边界曲线及其内部包含区域和的求解，则从t_i-1时刻到t_i时刻在该层上未变形切屑几何为

步骤五、求解任意瞬时三维未变形切屑几何。

利用步骤四计算过程，分别求解在t_i-1到t_i时刻工件所有层上的二维未变形切屑，并依据层高z_Ω将工件上每一层在t_i-1到t_i时刻的二维未变形切屑叠加起来，得到切削过程中的三维未变形切屑。重复上述步骤四、步骤5，得到任意瞬时加工过程中的三维未变形切屑几何。

本发明的有益效果是：该方法首先利用线性插值方法计算五轴机床在加工过程中任意瞬时各运动轴的运动量；接着用一组平行平面与刀具和工件相交的二维轮廓建模，并结合机床的运动链，将空间三维问题降维到二维平面问题；在工件坐标系中建立刀具在工件选定层上瞬时切屑刃的数学表达；求得零件每一层上任意时刻瞬时切削刃的包络边界曲线，及其内部包络区域；利用上一时刻的包络区域减去这一时刻的包络区域，求得这一时间段在选定层上的未变形切屑形状；最后，将工件上所有层上产生的未变形切屑形状叠加起来，得到这一时间段的3维未变形切屑几何。该方法能精确、快速求出在五轴加工过程中任意时刻的三维未变形切屑几何。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法中工件z_Ω层上时刻t_i的瞬时切削刃E_w(θ,t_i)的示意图。

图2是本发明方法中t₁时刻的瞬时切削刃边界Π₁及z_Ω层上的未变形切屑的示意图。

图3是本发明方法中t₀到t₁时刻所选工件6层上的未变形切屑及t₀到t₁时刻形成的三维未变形切屑的示意图。

具体实施方式

参照图1-3。本发明五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法具体步骤如下：

1、五轴摇篮式数控机床任一瞬时各运动轴运动量的求解。

给定摇篮式五轴数控机床的两个连续刀具位姿对应机床各运动轴的运动量分别为[x_M,1y_M,1z_M,1A₁C₁]＝[13.123mm0.833mm42.089mm-0.292rad3.145rad]和[x_M,2y_M,2z_M,2A₂C₂]＝[5.297mm8.674mm42.053mm-0.955rad3.927rad]。则用线性插值方法，依据下列公式计算刀具在两个刀位点之间，任意时刻各运动轴的运动量。

$\left[\begin{array}{c}{X}_M\left(t\right)\\ Y_M\left(t\right)\\ Z_M\left(t\right)\\ A\left(t\right)\\ C\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}X\\ Y_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}Y\\ Z_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}Z\\ A_1+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}A\\ C_1+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}131.123-7.826t\\ 0.833+7.841t\\ 42.089-0.036t\\ -0.292-0.663t\\ 3.145+0.782t\end{array}\right]$

其中t为参数且t∈[0,1]；△X、△Y、△Z及△A、△C分别为三个平移轴及两个旋转轴在两个刀位点处运动量的差值。通过选定参数t即求得在连续两个离散刀位点间任一瞬时各运动轴的运动量[X_M(t)Y_M(t)Z_M(t)A(t)C(t)]。其中t分别取t₀＝0、t₁＝0.2、t₂＝0.4、t₃＝0.6、t₄＝0.8、t₅＝1共6个时刻。则对应各轴的运动量X_M、Y_M、Z_M及A、C的值如表1所示。

表1机床各运动轴在时刻t的运动量

2、建立五轴摇篮式机床的运动链。

为了描述刀具和机床的运动，建立了6个坐标系分别为：

机床坐标系CS_M:坐标系的原点O_M为机床在零点时，主轴端部圆心的位置；坐标轴X_M,Y_M,Z_M的方向与机床坐标定义的传统方法相同。

参考坐标系CS_P:坐标系的原点O_P为机床A轴和C轴的交点；坐标轴X_P,Y_P,Z_P的方向与机床坐标系X_M,Y_M,Z_M轴的方向相同。这个坐标系固定在机床坐标系CS_M中。参考坐标系CS_P的原点O_P在机床坐标系中的偏置(坐标)为[δx_Pδy_Pδz_P]＝[0077.5]。

参考坐标系CS_A:坐标系的原点O_A与O_P为同一点；坐标轴X_A,Y_A,Z_A的方向，在A轴旋转角θ_A＝0时，其方向与坐标轴X_P,Y_P,Z_P的方向相同；若θ_A≠0时其绕X_A轴旋转。

参考坐标系CS_C:坐标系的原点O_C与O_A为同一点；坐标轴X_C,Y_C,Z_C的方向，在C轴旋转角θ_C＝0时，其方向与坐标轴X_A,Y_A,Z_A的方向相同；若θ_C≠0时其绕Z_C轴旋转。

工件坐标系CS_W:坐标系的原点O_W在机床坐标系CS_M中的坐标为[δx_Wδy_Wδz_W]＝[-13.12293.631442.5]；坐标轴X_W,Y_W,Z_W的方向与机床坐标系坐标轴X_M,Y_M,Z_M的方向相同。

刀具坐标系CS_T:坐标系的原点O_T在刀心点；坐标轴X_T,Y_T,Z_T的方向与机床坐标系坐标轴X_M,Y_M,Z_M的方向相同。

从刀具坐标系CS_T到工件坐标系CS_W的运动关系为：

$\begin{array}{c}{M}_{T-W}\left(t\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& \cos \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& \sin \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& {\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W+\cos \left(C\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ -\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W-\sin \left(C\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ 0& -\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W-\sin \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\cos \left(A\right)\&CenterDot;(Z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

其中L为刀长，且L＝20mm；各轴的运动量X_M＝x_M、Y_M＝y_M、Z_M＝z_M及A、C由表1给出。

等效地从刀具坐标系CS_T到工件坐标系CS_W的变换矩阵为M_T-W(t)：

$\begin{array}{c}{M}_{T-W}\left(t\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& \cos \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& \sin \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& {\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W+\cos \left(C\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ -\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W-\sin \left(C\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ 0& -\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W-\sin \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\cos \left(A\right)\&CenterDot;(Z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

3、建立刀具的瞬时切削刃模型。

首先，建立矩形工件，其长、宽、高分别为：40mm×40mm×10mm。在距底面高5mm到6mm的区域内，用一组平行于工件底面的平行平面来截工件，平行平面的间距为0.2mm，即5mm到6mm的区域内有6层平行平面。即工件上5mm到6mm的部分用平行平面与工件相交的2维轮廓来表示。

切削刀具建模，使用的刀具为端铣刀，其在刀具坐标系CS_T中端铣刀的参数方程为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_T(\mathrm{\&theta;},l)\\ y_T(\mathrm{\&theta;},l)\\ z_T(\mathrm{\&theta;},l)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;cos\mathrm{\&theta;}\\ R\&CenterDot;sin\mathrm{\&theta;}\\ l\end{array}\right]$

其中R为刀具半径R＝5mm，l为参数，且θ∈[0,2π]，l∈[0,L]，L为刀长L＝20mm。刀具的参数方程在工件坐标系CS_W中的表达为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_W\\ y_W\\ z_W\\ 1\end{array}\right]=M_{T-W}\left(t\right)\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;cos\mathrm{\&theta;}\\ R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\\ l\\ 1\end{array}\right]$

当刀具与工件发生切削时，刀具与工件层上的交线为椭圆曲线，且在椭圆曲线内的工件材料将被切除。在时刻t_i刀具与工件在某一层上的交线即为t_i时刻刀具在该层上的瞬时切削刃E_w(θ,t_i)。当刀具在五轴运动中切削工件材料时，在工件某一层上切削所形成的椭圆形状和位置也在随着时间而变化。对于工件坐标系CS_W中工件上z坐标为z_Ω＝5mm的层，由于端铣刀在切削时会和z_Ω的层产生切屑，所以瞬时切削刃在工件坐标系CS_W中的z坐标为z_Ω。其中，参数θ和参数l之间的关系为：

$l=\frac{z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W}{\cos \left(A\right)}+tan\left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;sin\mathrm{\&theta;})+{\mathrm{\&delta;z}}_P-z_M+L$

则瞬时切削刃E_w(θ,t)在工件坐标系CS_W中的参数表达为：

$\begin{array}{c}{E}_W(\mathrm{\&theta;},t)=\left[\begin{array}{c}{x}_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)\\ y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)\\ z_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{R\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\sin \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\tan \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P\right)+{\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W\\ -R\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{R\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\cos \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P)+\tan \left(A\right)\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P)-\sin \left(C\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)+{\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W\\ z_{\mathrm{\&Omega;}}\end{array}\right]\end{array}$

其中θ、t为参数，且θ∈[0,2π],t∈{t₀,t₁,t₂,t₃,t₄,t₅}，其它量的定义与前述定义相同。

4、求解任意瞬时z_Ω层上的二维未变形切屑几何。

依据在工件坐标系CS_W中对z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)的定义，其法矢量在工件坐标系CS_W中为 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t):$

$\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)=\left[\begin{array}{c}-\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\\ \frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},\&part;)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}-\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\\ \frac{\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}-\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]$

法矢量指向瞬时切削刃E_w(θ,t)(动态椭圆曲线)内部。

瞬时切削刃E_w(θ,t)速度矢量在工件坐标系CS_W中为 $\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t):$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)=\left[\begin{array}{c}\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\\ \frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\sin \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P+\sin \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;})\&rsqb;\\ +\frac{1}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_p+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+\sin (A)\&CenterDot;(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\left)\right)+\mathrm{\&Delta;}y\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&rsqb;\\ +\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;({\mathrm{\&delta;x}}_P-x_M-R\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;})-\mathrm{\&Delta;}x\&CenterDot;\cos \left(C\right)\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\cos \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P+\sin \left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;})\&rsqb;\\ -\frac{1}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_p+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+\sin (A)\&CenterDot;(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\left)\right)-\mathrm{\&Delta;}y\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&rsqb;\\ +\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;({\mathrm{\&delta;x}}_P-x_M-R\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;})+\mathrm{\&Delta;}x\&CenterDot;\sin \left(C\right)\end{array}\right]\end{array}$

对以上两式，其中θ和t为参数，其中θ∈[0,2π],t∈{t₀,t₁,t₂,t₃,t₄,t₅}。

为求解二维包络，需先求解方程 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t)=0,t\&Element;\{t_0,t_1,t_2,t_3,t_4,t_5\}$ 即：

$\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\&CenterDot;\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}-\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\&CenterDot;\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}=0$

将和代入上式并化简得方程：

α₁·cosθ+α₂·sinθ+α₃·cosθ·sinθ+α₄·sin²θ＝0

其中α₁、α₂、α₃、α₄为系数，它们的值由以下公式求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1=\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\&lsqb;{\mathrm{\&delta;y}}_P-y_M+sin\left(A\right)\&CenterDot;({\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W-z_{\mathrm{\&Omega;}})-\mathrm{\&Delta;}x\&CenterDot;cos\left(A\right)\&rsqb;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2=\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\&lsqb;{\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W-z_{\mathrm{\&Omega;}}+sin\left(A\right)\&CenterDot;({\mathrm{\&delta;y}}_P-y_M)\&rsqb;-\mathrm{\&Delta;}y\&CenterDot;cos\left(A\right)+\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;{\cos }^2\left(A\right)\&CenterDot;(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_3=-R\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;{\sin }^2\left(A\right)\\ {\mathrm{\&alpha;}}_4=-R\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\sin \left(A\right)\end{array}\right.$

上式中各参数与前述各参数的定义相同，并引入新变量代入上述方程得四次方程(ξ为未知数)：

ξ⁴+β₃·ξ³+β₂·ξ²+β₁·ξ+β₀＝0

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_0=-1\\ {\mathrm{\&beta;}}_1=\frac{-2\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_3-2\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=\frac{-4\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_4}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ {\mathrm{\&beta;}}_3=\frac{2\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_3-2\&CenterDot;{\mathrm{\&alpha;}}_2}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\end{array}\right.$

通过解上术四次方程即可求出任意t_i,i＝0,1,…,5时刻z_Ω层瞬时切削刃E_w(θ,t_i)曲线上满足 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t_i)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t_i)>0,\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t_i)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t_i)<0$ 及 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t_i)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t_i)=0$ 的部分。但在五轴加工中由于刀具运动复杂，反映在刀具包络上会出现刀具运动包络的自交；并且在部分时刻z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线上会出现2个以上的包络点，这与传统的包络理论相矛盾。

为此提出修正的二维包络理论，包含以下两组推论：

第一组：在三轴加工或者刀轴方向变化不大的五轴加工中，以下推论成立：

1.当刀具刚切上工件某一层时，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π₀上；

2.当刀具切出工件的某层时，该层瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_n上；

3.在t_i时刻，在边界Π_i-1上满足其中t＝t₀,t₁,…,t_i-1的点和在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点均在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_i上。并且用直线段将这些点连接起来的线段也在边界曲线Π_i上；

4.在边界曲线Π_i-1上满足的点不会在边界曲线Π_i上；在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点不会出现在边界曲线Π_i上。

第二组：在五轴加工中，以下推论成立：

1.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)和初始的瞬时切削刃边界Π₀相交于满足的部分，则Π₀上的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，且满足的部分为无效的边界点，应该排除；

2.t_i时刻如果满足于的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，则满足于的点为无效包络点(边界点)，应该排除；

3.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)与t_i-1时刻的瞬时切削刃边界Π_i-1相交于满足的部分，那么瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足且处于瞬时切削刃边界Π_i-1内部的部分为无效边界，应该排除；

4.t_i时刻瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上，如果满足于的点在瞬时切削刃边界Π_i-1内部，则满足于的点为无效包络点(边界点)，应该排除。

瞬时切削刃在某层的包络线由以下几个部分构成：运动起始位置，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点；运动末尾位置，瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点；以及在运动过程中瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点；以及结合修正包络理论排除部分无效点，剩下的部分即为t_n时刻瞬时切削刃E_w(θ,t)扫过区域的边界曲线Π_n。通过对工件某层上t_i-1时刻和下一时刻t_i边界曲线及其内部包含区域和的求解，则从t_i-1时刻到t_i时刻在该层上未变形切屑几何为

图2中黑色粗实线表示的部分在z_Ω层上满足黑色细实线表示的部分在z_Ω层上满足小方块表示的点在z_Ω层上满足三角形表示的点为瞬时切削刃之间的交点，虚线部分表示的部分为经修正包络理论排除的无效边界点。灰色粗实线围成的封闭区域表示未变形切屑刀具在第t₀＝0和t₁＝0.2时刻z_Ω＝5mm的层上瞬时切削刃分别为E_w(θ,t₀)(即为t₀时刻的边界Π₀)和E_w(θ,t₁)，其中和为满足的点，为瞬时切削刃E_w(θ,t₀)和E_w(θ,t₁)的交点。由于在t₀时刻，E_w(θ,t₀)上的部分满足且处在E_w(θ,t₁)内，由“修正的二维包络理论”易知在t₀时刻E_w(θ,t₀)上的部分为无效的边界应排除；则在t₀时刻E_w(θ,t₀)在边界Π₁上的部分为:及在t₁时刻，E_w(θ,t₁)上的部分满足且处在E_w(θ,t₀)(边界Π₀)内，由“修正的二维包络理论”易知在t₁时刻E_w(θ,t₁)上的部分为无效的边界应排除；则在t₁时刻E_w(θ,t₁)在边界Π₁上的部分为:

综上，在t₁时刻刀具瞬时切削刃在z_Ω层上扫过区域的边界Π₁由：t₀时刻E_w(θ,t₀)上的及部分；t₁时刻E_w(θ,t₁)上的部分；以及点和点之间的线段部分组成。t₀到t₁时刻在z_Ω层上的二维未变形切屑为

5、求解任意瞬时三维未变形切屑几何。

利用上一步计算过程，分别求解在t_i-1到t_i时刻工件所有层上的未变形切屑，并依据层高z_Ω将工件上每一层在t_i-1到t_i时刻的未变形切屑叠加起来即可得到切削过程中的三维未变形切屑。重复上述步骤4、步骤5即可求得任意瞬时加工过程中的三维未变形切屑。

依据未变形切屑的z_Ω值对工件每一层上的未变形切屑进行叠加，即可得到t₀到t₁时刻工件所选6层上的未变形切屑及t₀到t₁时刻加工形成的三维未变形切屑。

Claims (1)

1.一种五轴摇篮式数控机床未变形切屑的三维几何建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、给定两个连续刀位点[X_M,1Y_M,1Z_M,1A₁C₁]和[X_M,2Y_M,2Z_M,2A₂C₂]，基于线性插值方法，求解任意时刻t五轴摇篮式数控机床各运动轴运动量[X_M(t)Y_M(t)Z_M(t)A(t)C(t)]，其计算公式为：

$\left[\begin{array}{c}{X}_M\left(t\right)\\ Y_M\left(t\right)\\ Z_M\left(t\right)\\ A\left(t\right)\\ C\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{M,1}+t\&CenterDot;\left(X_{M,2}-X_{M,1}\right)\\ Y_{M,1}+t\&CenterDot;\left(Y_{M,2}-Y_{M,1}\right)\\ Z_{M,1}+t\&CenterDot;\left(Z_{M,2}-Z_{M,1}\right)\\ A_1+t\&CenterDot;\left(A_2-A_1\right)\\ C_1+t\&CenterDot;\left(C_2-C_1\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}X\\ Y_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}Y\\ Z_{M,1}+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}Z\\ A_1+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}A\\ C_1+t\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}C\end{array}\right]$

其中t为参数且t∈[0,1]；△X、△Y、△Z及△A、△C分别为机床三个平移轴及两个旋转轴在两个刀位点间运动量的差值；

步骤二、建立五轴摇篮式数控机床的运动链；

建立机床坐标系CS_M、参考坐标系CS_P、参考坐标系CS_A、参考坐标系CS_C、工件坐标系CS_W及刀具坐标系CS_T，以便描述刀具坐标系CS_T和工件坐标系CS_W之间的关系；则从工件坐标系CS_W到刀具坐标系CS_T的变换矩阵为M_W-T(t)：

$\begin{array}{c}{M}_{W-T}\left(t\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& -\sin \left(C\right)& 0& {\mathrm{\&delta;x}}_P-x_M-\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W\right)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;y}}_P+{\mathrm{\&delta;y}}_W\right)\\ \cos \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)& -\sin \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;y}}_P-y_M+\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W\right)-\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W\right)-\cos \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W\right)\\ \sin \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& L+{\mathrm{\&delta;z}}_P-z_M-\cos \left(A\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W\right)-\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W\right)-\sin \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

其中δx_P、δy_P、δz_P为参考坐标系CS_P的原点O_P在机床坐标系CS_M中的坐标值；δx_W、δy_W、δz_W为工件坐标系CS_W原点O_W在机床坐标系CS_M中的坐标值；C为机床旋转轴C在t时刻绕平移轴Z的旋转量；A为机床旋转轴A在t时刻绕平移轴X的旋转量；x_M、y_M、z_M为机床三个平移轴在t时刻的运动量,[x_my_mz_mAC]的值由步骤1给出，在t时刻[X_M(t)Y_M(t)Z_M(t)A(t)C(t)]＝[x_my_mz_mAC]；

等价的从刀具坐标系CS_T到工件坐标系CS_W的变换矩阵为M_T-W(t)：

$M_{T-W}\left(t\right)=$

$\left[\begin{array}{cccc}\cos \left(C\right)& \cos \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& \sin \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)& {\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P\right)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P\right)+\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L\right)\\ -\sin \left(C\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)& \cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W-\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P\right)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \left(A\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P\right)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L\right)\\ 0& -\sin \left(A\right)& \cos \left(A\right)& {\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W-\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P\right)+\cos \left(A\right)\&CenterDot;\left(z_M-{\mathrm{\&delta;z}}_P-L\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

步骤三、建立刀具的瞬时切削刃模型；

用一系列平行于机床工作台的平行平面与工件相交，将工件的形状用平面与工件工件相交所得的2维轮廓来表示；

在刀具坐标系CS_T中端铣刀的参数方程为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_T\left(\mathrm{\&theta;},l\right)\\ y_T\left(\mathrm{\&theta;},l\right)\\ z_T\left(\mathrm{\&theta;},l\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\\ R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\\ l\end{array}\right]$

其中R为刀具半径，θ、l为参数，且θ∈[0,2π]，l∈[0,L]，L为刀具长度；刀具的参数方程在工件坐标系CS_W中的表达为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_W\\ y_W\\ z_W\\ 1\end{array}\right]=M_{T-W}\left(t\right)\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;cos\mathrm{\&theta;}\\ R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\\ l\\ 1\end{array}\right]$

对于工件坐标系CS_W中工件上z坐标为z_Ω的层，参数θ和参数l之间的关系为：

$l=\frac{z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_P-{\mathrm{\&delta;z}}_W}{\cos \left(A\right)}+tan\left(A\right)\&CenterDot;(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;sin\mathrm{\&theta;})+{\mathrm{\&delta;z}}_P-z_M+L$

其中θ、l参数，其它量的定义与前述定义相同，其中θ∈[0,2π]，l∈[0,L]；

则在工件坐标CS_W中z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)的参数表达为：

$\begin{array}{c}{E}_W\left(\mathrm{\&theta;},t\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_{E,W}\left(\mathrm{\&theta;},t\right)\\ y_{E,W}\left(\mathrm{\&theta;},t\right)\\ z_{E,W}\left(\mathrm{\&theta;},t\right)\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}R\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{R\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\sin \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P\right)+\tan \left(A\right)\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\right)+\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P\right)+{\mathrm{\&delta;x}}_P-{\mathrm{\&delta;x}}_W\\ -R\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}+\frac{R\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}+\frac{\cos \left(C\right)}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P\right)+\tan \left(A\right)\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\right)-\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left(x_M-{\mathrm{\&delta;x}}_P\right)+{\mathrm{\&delta;y}}_P-{\mathrm{\&delta;y}}_W\\ z_{\mathrm{\&Omega;}}\end{array}\right]\end{array}$

其中θ和t为参数，其它量的定义与前述定义相同，其中θ∈[0,2π]、t∈[0,1]；

步骤四、计算任意层上二维未变形切屑几何的边界理论；

依据在工件坐标系CS_W中对瞬时切削刃E_w(θ,t)的定义，其法矢量在工件坐标系CS_W中为

$\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)=\left[\begin{array}{c}-\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\\ \frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{\cos \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}-\sin \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\\ \frac{\sin \left(C\right)\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}}{\cos \left(A\right)}-\cos \left(C\right)\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]$

法矢量指向瞬时切削刃E_w(θ,t)内部；

瞬时切削刃E_w(θ,t)速度矢量在工件坐标系CS_W中为

$\begin{array}{c}\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t)=\left[\begin{array}{c}\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\\ \frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\sin \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P+\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;\\ +\frac{1}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_p+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\right)\right)+\mathrm{\&Delta;}y\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&rsqb;\\ +\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;x}}_P-x_M-R\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\right)-\mathrm{\&Delta;}x\&CenterDot;\cos \left(C\right)\\ \frac{\mathrm{\&Delta;}A\&CenterDot;\cos \left(C\right)}{{\cos }^2\left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P+\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_P+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}\right)\&rsqb;\\ -\frac{1}{\cos \left(A\right)}\&CenterDot;\&lsqb;\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\sin \left(C\right)\&CenterDot;\left(y_M-{\mathrm{\&delta;y}}_p+R\&CenterDot;\sin \mathrm{\&theta;}+\sin \left(A\right)\&CenterDot;\left(z_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&delta;z}}_W-{\mathrm{\&delta;z}}_P\right)\right)-\mathrm{\&Delta;}y\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&rsqb;\\ +\mathrm{\&Delta;}C\&CenterDot;\cos \left(C\right)\&CenterDot;\left({\mathrm{\&delta;x}}_P-x_M-R\&CenterDot;\cos \mathrm{\&theta;}\right)+\mathrm{\&Delta;}x\&CenterDot;\sin \left(C\right)\end{array}\right]\end{array}$

对以上两式，式中，θ和t为参数，其中θ∈[0,2π]、t∈[0,1]；

为求解二维包络，需先求解方程t∈[0,1]即：

$\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}\&CenterDot;\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}-\frac{\&part;x_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;\mathrm{\&theta;}}\&CenterDot;\frac{\&part;y_{E,W}(\mathrm{\&theta;},t)}{\&part;t}=0$

通过求解上述方程，得到任意时刻z_Ω层上瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线上满足 及的部分；然而在五轴加工中由于刀具运动复杂，传统的包络理论不能准确判断瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线的包络边界；因此提出下列修正的包络理论，以准确判断在五轴加工中瞬时切削刃E_w(θ,t)曲线的包络边界；

包含以下两组推论：

第一组：在三轴加工或者刀轴方向变化不大的五轴加工中，以下推论成立：

1.当刀具刚切上工件某一层时，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π₀上；

2.当刀具切出工件的某层时，该层瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_n上；

3.在t_i时刻，在边界Π_i-1上满足其中t＝t₀,t₁,…,t_i-1的点和在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点均在瞬时切削刃扫过区域的边界曲线Π_i上；并且用直线段将这些点连接起来的线段也在边界曲线Π_i上；

4.在边界曲线Π_i-1上满足的点不会在边界曲线Π_i上；在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点不会出现在边界曲线Π_i上；

第二组：在五轴加工中，以下推论成立：

1.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)和初始的瞬时切削刃边界Π₀相交于满足的部分，则Π₀上的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，且满足的部分为无效的边界点，排除；

2.t_i时刻如果满足于的点在瞬时切削刃E_w(θ,t_i)内部，则满足于的点为无效包络点，排除；

3.t_i时刻如果瞬时切削刃E_w(θ,t_i)与t_i-1时刻的瞬时切削刃边界Π_i-1相交于满足 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t_i)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t_i)<0$ 的部分，那么瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足 $\stackrel{\&RightArrow;}{N}(\mathrm{\&theta;},t_i)\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{V}(\mathrm{\&theta;},t_i)<0,$ 且处于瞬时切削刃边界Π_i-1内部的部分为无效边界，排除；

4.t_i时刻瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上，如果满足于的点在瞬时切削刃边界Π_i-1内部，则满足于的点为无效包络点，排除；

则瞬时切削刃在z_Ω层的包络边界由以下几个部分构成：运动起始位置，瞬时切削刃E_w(θ,t₀)上满足的点；运动末尾位置，瞬时切削刃E_w(θ,t_n)上满足的点；以及在运动过程中瞬时切削刃E_w(θ,t_i)上满足的点；以及结合修正包络理论排除部分无效点，剩下的部分即为t_n时刻瞬时切削刃E_w(θ,t)扫过区域的边界曲线Π_n；通过对工件z_Ω层上t_i-1时刻和下一时刻t_i包络边界曲线及其内部包含区域和的求解，则从t_i-1时刻到t_i时刻在该层上未变形切屑几何为

步骤五、求解任意瞬时三维未变形切屑几何；

利用步骤四计算过程，分别求解在t_i-1到t_i时刻工件所有层上的二维未变形切屑，并依据层高z_Ω将工件上每一层在t_i-1到t_i时刻的二维未变形切屑叠加起来，得到切削过程中的三维未变形切屑；重复步骤四、步骤五，得到任意瞬时加工过程中的三维未变形切屑几何。