CN103558808A - 复杂曲面五轴数控加工刀矢的运动学控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明复杂曲面五轴数控加工刀矢的运动学控制方法属于复杂曲面五轴数控机床精密高效加工领域，特别涉及复杂曲面五轴数控加工过程中刀轴矢量的运动学控制方法。刀矢的运动学控制方法在确定复杂曲面参数化方程的基础上，建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数的函数关系；然后，建立五轴数控机床旋转进给轴运动参数计算方法，获得旋转进给轴角速度、角加速度计算结果；最后，对刀轴矢量进行光顺，保证机床旋转进给轴运动平滑，实现对刀轴矢量的运动学控制。本发明提供了一种复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量的运动学控制方法，应用范围广，有效提高复杂曲面加工质量、更好地发挥机床性能。

Description

复杂曲面五轴数控加工刀矢的运动学控制方法

技术领域

本发明属于复杂曲面五轴数控机床精密高效加工领域，特别涉及复杂曲面五轴数控加工过程中刀轴矢量的运动学控制方法。 

背景技术

复杂曲面零件在航空航天、能源动力等领域中有着广泛应用，普遍采用五轴数控加工设备进行加工。复杂曲面数控加工过程中，刀具与被加工曲面具有良好的切触状态是保证零件加工质量的关键因素之一，理想情况下，刀轴矢量方向应与曲面加工点处法线方向一致。五轴数控加工机床旋转轴的出现使刀具相对工件可以实现三维空间内运动，刀轴相对工件表面连续摆动，通过调整局部坐标系中的后跟角和侧偏角，从几何上满足刀具与被加工曲面之间具有良好的切触状态。随着曲面面形愈发复杂，尤其对于具有局部曲率突变特征的复杂曲面，在刀轴相对于零件表面摆动过程中，存在较大的刀轴矢量变化，从而引起大的机床摆头或转台的转角变化。鉴于机床动态特性在可达空间中存在较强的非线性和各向异性，当机床旋转进给轴运动速度过高或速度变化过大时，机床产生振动，发生啃切，直接影响曲面加工质量。此外，刀轴矢量的急剧变化甚至超出机床旋转进给轴的运动极限，从而不得不停止加工，迫使降低零件加工速度，极大的限制了机床性能的发挥。上述现象成为影响复杂曲面加工的重要因素之一。复杂曲面五轴数控加工中，刀轴矢量规划不仅要满足刀具和被加工曲面之间具有良好的切触状态，同时要满足机床运动学特性，对刀轴矢量规划提出了更高的要求。 

文献“机床沿曲线高速加工时的运动学与动力学特性分析”，陈金成等，机械工程学报，2002，38(1)，31-34，在文献中详细分析了刀具沿曲线加工时， 刀具路径几何特性与机床的运动学特性以及动力学特性之间的关系，计算了在各轴加速度和伺服电机驱动力约束下，机床沿曲线加工时的最大安全进给速度，但上述研究针对的是三轴数控机床，其直线进给轴的运动学分析方法不适于五轴旋转进给轴运动学分析。文献“自由曲面五轴加工刀轴矢量的运动学优化方法”，罗明等，机械工程学报，2009，45(9)，158-163，在文献中针对五轴加工中刀轴矢量变化过大导致加工误差较大和破坏零件表面加工质量的问题，提出采用运动学方法优化刀轴矢量，并由此确定机床转动角速度可达区域作为刀轴矢量优化的约束条件，然而对机床旋转进给轴角速度的计算粗略，且未涉及角加速度对刀轴矢量规划的约束作用，因此无法实现对复杂曲面五轴加工刀轴矢量的运动学控制。 

综上，复杂曲面自身几何特征对刀轴矢量规划提出了更高要求。根据复杂曲面几何特征，研究五轴数控机床旋转进给轴运动参数计算方法，以及刀轴矢量变化与机床运动学特性之间的关联关系，提出复杂曲面五轴数控加工中刀轴矢量的运动学控制方法，进行刀轴矢量光顺，对提高复杂曲面零件加工质量及效率和充分发挥五轴数控加工机床效能至关重要。 

发明内容

本发明要解决的技术难题是针对现有的技术缺陷，基于微分几何学、机床运动学，建立五轴数控机床旋转进给轴的运动参数计算方法，确定刀轴矢量变化与机床旋转进给轴运动学特性之间的关联关系，以此为基础，对刀轴矢量进行合理光顺，实现复杂曲面五轴数控加工中刀轴矢量的运动学控制，减小复杂曲面五轴数控加工中刀轴矢量剧烈变化引起的机床振动，避免超出机床旋转进给轴的运动极限，提高曲面加工质量并最大限度发挥机床性能。 

本发明采用的技术方案是复杂曲面五轴数控加工刀矢的运动学控制方法， 该方法首先在确定复杂曲面参数化方程的基础上，建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数的函数关系；其次，建立五轴数控机床旋转进给轴运动参数计算方法，获得旋转进给轴角速度、角加速度计算结果；最后，对刀轴矢量进行光顺，保证机床旋转进给轴运动平滑，实现对刀轴矢量的运动学控制。整体流程图参见附图1，具体步骤如下： 

1)确定复杂曲面参数化方程，建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数的函数关系。 

复杂曲面采用立铣方式加工，初始刀轴矢量方向与待加工曲面加工点处法线方向一致，在以刀心点为原点、坐标轴方向与工件坐标系三坐标轴平行的局部坐标系下，单位刀轴矢量用V＝(i,j,k)表示。设待加工曲面的参数方程为S＝S(u,v)，u和v分别为曲面双向参数，由u＝u(ξ)、v＝v(ξ)确定曲面上的一条曲线r(ξ)＝r(u(ξ),u(ξ))，即刀具轨迹曲线，ξ为刀具轨迹曲线参数，参见附图2。曲线r(ξ)上参数ξ对应点处单位法矢N_r为： 

$N_r=\frac{S_u(u,v)\×S_v(u,v)}{{|S}_u(u,v)\×S_v(u,v)|}---\left(1\right)$

曲线r(ξ)上参数ξ对应点处单位切向量T_r为： 

$T_r=\frac{r^{\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\left|r^{\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)\right|}=(t_x,t_y,t_z)---\left(2\right)$

N_r和T_r的叉乘向量为： 

K_r＝N_r×T_r=(k_x,k_y,k_z)   (3) 

将向量N_r先绕T_r旋转一个角度

再绕K_r旋转一个角度β，β∈[-π,π]，在α、β值域内可确定旋转后N_r在三维空间中的任意位置。M_t和M_k分别为N_r绕矢量T_r和矢量K_r的旋转矩阵，有 

M_t＝p₁+cos(α)·(I-p₁)+sin(α)·p₂   (4) 

M_k＝q₁+cos(β)·(I-q₁)+sin(β)·q₂   (5) 

其中 $p_1=\left[\begin{array}{ccc}{t}_x{t}_x& t_x{t}_y& t_x{t}_z\\ t_y{t}_x& t_y{t}_y& t_y{t}_z\\ t_z{t}_x& t_z{t}_y& t_z{t}_z\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{ccc}0& -t_z& t_y\\ t_z& 0& {-t}_x\\ {-t}_y& t_x& 0\end{array}\right],q_{1=}\left[\begin{array}{ccc}{k}_x{k}_x& k_x{k}_y& k_x{k}_z\\ k_y{k}_x& k_y{k}_y& k_y{k}_z\\ k_z{k}_x& k_z{k}_y& k_z{k}_z\end{array}\right],$ $q_2=\left[\begin{array}{ccc}0& {-k}_z& k_y\\ k_z& 0& {-k}_x\\ {-k}_y& k_x& 0\end{array}\right].$

给定α和β角，则初始刀轴矢量可表示为： 

$V=N_r\·M_t^T\·M_k^T---\left(6\right)$

由公式(1)-(6)即建立了刀轴矢量V与加工轨迹曲线参数ξ的函数关系。 

2)建立刀轴矢量到机床旋转进给轴的逆向运动变换方程。 

复杂曲面数控加工过程是刀具相对于工件运动的过程，这种运动是机床各进给轴联合运动的结果。为了实现数控加工，局部坐标系下的刀轴矢量运动须根据五轴机床的结构配置转换为机床坐标系下旋转进给轴的运动。 

根据旋转进给轴不同的配置形式，五轴数控机床可分为摆头转台混合型机床、双转台机床、双摆头机床三种。本发明以AC双转台型五轴数控机床为例建立刀轴矢量到机床旋转进给轴的逆向运动变换方程，其它类型机床的建立过程相近。AC双转台型五轴数控机床的旋转工作台A转轴与机床坐标系X轴平行，旋转工作台C转轴与机床坐标系Z轴平行。AC双转台型五轴数控机床可认为是一系列的运动副和关节组成的运动链，其坐标系传递链为：工件→C旋转工作台→A摆动工作台→X平移工作台→Z平移工作台→床身→Y平移工作台→刀具，参见附图3和附图4。借鉴机器人运动学建模方法，假定床身相对工件运动，则工件到床身的坐标变换为反向转换，床身到刀具的坐标变换按正向转换。因此，AC 双转台型五轴数控机床中，C、A、X、Z各轴坐标系变换时均取负方向，Y轴坐标变换仍取为正方向。利用四元数代数方法进行计算，刀心位置为(T_x,T_y,T_z,1)，则从工件坐标系到刀具坐标系总的变换矩阵为： 

E＝Rot(z,-θ_C)×Rot(x,-θ_A)×Trans(-x,0,0)×Trans(0,0,-z)×Trans(0,y,0)×Trans(T_x,T_y,T_z)                                 (7) 

＝Rot(z,-θ_C)×Rot(x,-θ_A)×Trans(-x+T_x,y+T_y,-z+T_z) 

式中，Rot(x,-θ_A)，Rot(z,-θ_C)分别表示回转工作台绕X、Z轴旋转角度θ_A、θ_C的旋转矩阵,Trans(x,y,z)表示沿矢量

的平移矩阵。具体为： 

$\mathrm{Rot}(x,-{\mathrm{\θ}}_A)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\cos \mathrm{\θ}}_A& {-\sin \mathrm{\θ}}_A& 0\\ 0& {\sin \mathrm{\θ}}_A& {\cos \mathrm{\θ}}_A& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\mathrm{Rot}(z,-{\mathrm{\θ}}_C)=\left[\begin{array}{cccc}{\cos \mathrm{\θ}}_C& {-\sin \mathrm{\θ}}_C& 0& 0\\ {\sin \mathrm{\θ}}_C& {\cos \mathrm{\θ}}_C& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\mathrm{Trans}(x,y,z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

取刀轴初始方向向量V_base指向机床坐标系Z轴正向，即V_base＝[0,0,1,0]，刀轴矢量为V＝[i,j,k,0]，则： 

V＝E×V_base      (8) 

解得： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_A=\arctan 2(\sqrt{i^2+j^2},k)\\ {\mathrm{\θ}}_C=\arctan 2(i,j)\end{array}---\left(9\right)\right.$

式中，arctan2(x,y)为求x/y的四象限反正切值，即满足-π＜arctan2(x,y)≤π。式(9)即为AC双转台型五轴数控机床刀轴矢量到旋转进给轴的逆向运动学变换方程。 

3)建立旋转进给轴旋转角度与加工轨迹曲线参数之间的函数关系。 

式(9)建立了刀轴矢量到机床旋转进给轴的逆向运动变换方程，同时也确定了刀轴矢量与旋转进给轴位置之间的映射关系。式(6)确定了刀轴矢量分量i,j,k与加工轨迹曲线参数之间的函数关系。综合式(6)、(9)，则旋转进给轴旋转角度θ_A,θ_C与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系为： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_A=\arctan 2(\sqrt{i{\left(\mathrm{\ξ}\right)}^2+j{\left(\mathrm{\ξ}\right)}^2},k\left(\mathrm{\ξ}\right))\\ {\mathrm{\θ}}_C=\arctan 2(i\left(\mathrm{\ξ}\right),j\left(\mathrm{\ξ}\right))\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中，i(ξ),j(ξ),k(ξ)为刀轴矢量在局部坐标系中的三个分量，θ_A,θ_C为五轴数控机床旋转进给轴在机床坐标系下的转动角度。 

4)建立加工时间与加工轨迹曲面参数之间的函数关系。 

曲面五轴数控加工中，机床旋转进给轴在机床坐标系中的转角θ_A,θ_C与加工时间t之间的函数关系难以直接确定，本发明通过建立加工时间t与加工轨迹曲线参数ξ的关系，间接确定了θ_A,θ_C与t之间的函数关系。给定机床加工进给速度V_prog，在各进给轴的驱动下，刀具相对工件沿着给定的加工轨迹曲线对工件进行加工。V_prog为刀具刀心点与加工轨迹曲线之间的相对运动速度，复杂曲面立铣加工中刀具长径比较大，V_prog可近似为刀触点与加工轨迹曲线之间的相对速度，参见附图5。由式(2)计算出曲线r(ξ)上一点的单位切向矢量T_r，t_x,t_y,t_z为T_r的三个分量，则V_prog在工件坐标系三个坐标轴方向上的速度分量为： 

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x=V_{\mathrm{prog}}\·t_x\\ v_y=V_{\mathrm{prog}}\·t_y\\ v_z=V_{\mathrm{prog}}\·t_z\end{array}\right.---\left(11\right)$

由于曲线r(ξ)在工件坐标系中坐标为： 

$\left\{\begin{array}{c}{r}_x=x(u\left(\mathrm{\ξ}\right),v\left(\mathrm{\ξ}\right))\\ r_y=y(u\left(\mathrm{\ξ}\right),v\left(\mathrm{\ξ}\right))\\ r_z=z(u\left(\mathrm{\ξ}\right),v\left(\mathrm{\ξ}\right))\end{array}\right.---\left(12\right)$

由微分学知识，上述变量间存在以下函数关系： 

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x=\frac{{\mathrm{dr}}_x}{\mathrm{dt}}\\ v_y=\frac{{\mathrm{dr}}_y}{\mathrm{dt}}\\ v_z=\frac{{\mathrm{dr}}_z}{\mathrm{dt}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

由式(13)，建立了加工时间t与加工轨迹曲面参数ξ之间的函数关系。 

5)计算五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度。 

令θ为五轴数控机床旋转进给轴在机床坐标系下的转角变量，机床以某一进给速度进行连续加工时，θ为加工时间t的函数，旋转进给轴角速度ω及角加速度a可表示为： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ω}=\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dt}}\\ a=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=\frac{d^2\mathrm{\θ}}{{\mathrm{dt}}^2}\end{array}\right.---\left(14\right)$

根据式(10)建立的五轴机床旋转进给轴转角θ与加工轨迹曲线参数ξ之间的关系，式(13)建立的加工时间t与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系，式(14)可表示为： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ω}=\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}={\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ξ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\\ a=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}={\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ξ\ξ}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}}^2+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\ξ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中，θ_ξ和θ_ξξ分别为五轴数控机床旋转进给轴转角变量θ对加工轨迹曲线参数ξ的一阶、二阶导数，

和

分别为加工轨迹曲线参数ξ对加工时间t的一阶、二阶导数。利用式(15)实现了五轴数控机床旋转进给轴加工复杂曲面时角速度、角加速度的计算。 

6)根据计算获得的五轴数控机床旋转进给轴加工复杂曲面时的角速度、角加速度，以及机床旋转轴性能，对刀轴矢量进行光顺，通过反复校验，最终避免五轴数控机床加工复杂曲面时旋转进给轴运动特性剧烈变化，实现刀轴矢量的运动学控制。 

本发明的有益效果是(1)建立了五轴数控机床旋转进给轴的运动参数计算方法，解决已有方法仅能粗略计算的问题；(2)五轴数控机床加工复杂曲面中，对刀具轨迹规划具有重要的指导意义；(3)通用性强，可以推广到任意类型结构的五轴数控机床加工复杂曲面中；(4)对提高复杂曲面加工质量、充分发挥五轴数控机床性能具有重要意义。本发明应用于复杂曲面的五轴数控机床精密高效加工中，对刀轴矢量进行运动学控制，避免因旋转进给轴运动特性剧烈变化引起的机床振动。 

附图说明

图1—刀轴矢量运动学控制方法整体流程图 

图2—双曲抛物面及曲面上的曲线和刀轴矢量；S(u,v)-双曲抛物面参数方程，r(ξ)-加工轨迹曲线 

图3—AC双转台五轴数控机床示意图 

图4—AC双转台五轴数控机床运动链 

图5—加工轨迹曲线与进给速度示意图；r(ξ)-加工轨迹曲线，V_prog-机床加工进给速度 

图6—双曲抛物面加工旋转进给轴角速度计算结果；ω_A-A轴角速度，ω_C-C轴角速度 

图7—双曲抛物面加工旋转进给轴角加速度计算结果；a_A-A轴角加速度，a_C-C轴角加速度 

图8—刀轴矢量光顺后旋转进给轴角速度计算结果；ω_A-A轴角速度，ω_C-C轴角速度 

图9—刀轴矢量光顺后旋转进给轴角加速度计算结果；a_A-A轴角加速度，a_C-C轴角加速度 

具体实施方式

结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施方式。 

随着曲面面形愈发复杂，在复杂曲面五轴数控加工中，刀轴矢量的剧烈变化引起机床振动、甚至超出机床旋转进给轴的运动极限，影响曲面加工质量，限制机床性能的发挥。本发明利用微分几何学中曲面/曲线建模方法及其参数计算方法、机床运动学中坐标系传递模式及坐标转换计算方法，根据复杂曲面几何特征，建立五轴数控机床旋转进给轴的运动参数计算方法，确定刀轴矢量变化与机床旋转进给轴运动学特性之间的关联关系，通过刀轴矢量光顺实现复杂曲面五轴数控加工中刀轴矢量的运动学控制，避免五轴数控机床加工复杂曲面时旋转进给轴运动特性剧烈变化。 

采用AC双转台型五轴数控机床，以双曲抛物面为例，详细说明本发明的具体实施过程，借助matlab软件进行计算。 

双曲抛物面参数方程为 $S(u,v)=\{u,v,-\frac{u^2}{100}+\frac{v^2}{100}\},u\∈[-\mathrm{50,50}],v\∈[-\mathrm{50,50}],$ 通过u＝ξ,v＝-2×ξ+50确定曲面上的一条加工轨迹曲线为， 

$r\left(\mathrm{\ξ}\right)=\{\mathrm{\ξ},-2\×\mathrm{\ξ}+50,\frac{3\×{\mathrm{\ξ}}^2-200\×\mathrm{\ξ}+2500}{100}\},\mathrm{\ξ}\∈\left[\mathrm{0,50}\right]$

初始刀轴矢量方向与待加工曲面加工点处法线方向一致，即α＝0、β＝0，参见附图2。 

1)建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数ξ的函数关系。由式(1)-(6)确定刀轴矢量的三个分量关于ξ的函数关系式，即： 

$\left\{\begin{array}{c}i=\mathrm{\ξ}/(50\×{\left((2\mathrm{\ξ}-50\right)}^2/2500+{\mathrm{\ξ}}^2/2500+1{)}^{(1/2)})\\ j=(2\mathrm{\ξ}-50)/{(50\×((2\mathrm{\ξ}-50)}^2/2500+{\mathrm{\ξ}}^2/2500+1{)}^{(1/2)})\\ k=1/{\left((2\mathrm{\ξ}-50\right)}^2/2500+{\mathrm{\ξ}}^2/2500+1{)}^{(1/2)}\end{array}\right.---\left(16\right)$

2)建立旋转进给轴旋转角度与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系。由式(9)先建立刀轴矢量与旋转进给轴转角的映射关系，结合式(10)及式(16)即得到旋转进给轴旋转角度与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系，为： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_A=\arctan \left({({\mathrm{\ξ}}^2/500-\left(2\mathrm{\ξ}\right)/25+1)}^{(1/2)}\right)\\ {\mathrm{\θ}}_C=\arctan (\mathrm{\ξ}/(2\mathrm{\ξ}-50))\end{array}\right.---\left(17\right)$

3)建立加工时间与加工轨迹曲面参数ξ之间的函数关系。根据曲线参数方程，根据式(2)得到曲线上任一点的单位长度切矢量，为： 

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=1/{({(\left(3\mathrm{\ξ}\right)/50-2)}^2+5)}^{(1/2)}\\ t_y=-2/{({(\left(3\mathrm{\ξ}\right)/50-2)}^2+5)}^{(1/2)}\\ t_z={(\left(3\mathrm{\ξ}\right)/50-2)/{((\left(3\mathrm{\ξ}\right)/50-2)}^2+5)}^{(1/2)}\end{array}\right.---\left(18\right)$

根据式(11)-(13)建立加工时间与加工轨迹曲面参数ξ之间的函数关系，其中r_x＝ξ，可得： 

$\frac{\mathrm{d\ξ}}{\mathrm{dt}}=V_{\mathrm{prog}}/{({(\left(3\mathrm{\ξ}\right)/50-2)}^2+5)}^{(1/2)}---\left(19\right)$

4)计算五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度。根据式(15)计算得到五轴数控机床A、C轴的角速度及角加速度关于加工轨迹曲面参数ξ的函数关系，分别为： 

A轴： 

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_A=\left(\left((15.0\×({3.0\mathrm{\ξ}}^2-200.0\mathrm{\ξ}+7.5\×{10}^3\right)\right)/{\left({\mathrm{\ξ}}^2-40.0\mathrm{\ξ}+500.0)\right)}^{(1/2)}\×\\ \left({278.0\mathrm{\ξ}}^3-1.67\×{10}^4{\mathrm{\ξ}}^2+5.0\×{10}^5\mathrm{\ξ}-5.56\×{10}^6)\right)/{\left(({\mathrm{\ξ}}^2-40.0\mathrm{\ξ}+1000.0\right)}^2\×\\ ({\mathrm{\ξ}}^2-50.0\mathrm{\ξ}+1.25\×{10}^3))\end{array}\\ \begin{array}{c}{a}_A=-(2.24\×(2.08\×{10}^5{\mathrm{\ξ}}^8-4.12\×{10}^7{\mathrm{\ξ}}^7+4.02\×{10}^9{\mathrm{\ξ}}^6-2.37\×{10}^{11}{\mathrm{\ξ}}^5+\\ 9.04\×{10}^{12}{\mathrm{\ξ}}^4-2.27\×{10}^{14}{\mathrm{\ξ}}^3+3.61\×{10}^{15}{\mathrm{\ξ}}^2-3.27\×{10}^{16}\mathrm{\ξ}+1.23\×{1017)}^{)}/\\ ({({\mathrm{\ξ}}^2-40.0\mathrm{\ξ}+500.0)}^{(3/2)}\×{({\mathrm{\ξ}}^2-40.0\mathrm{\ξ}+1000.0)}^2\×{({\mathrm{\ξ}}^2-50.0\mathrm{\ξ}+1.25\×{10}^3)}^3)\end{array}\end{array}\right.---\left(20\right)$

C轴： 

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_C=-(278.0\×{({9.0\mathrm{\ξ}}^2-600.0\mathrm{\ξ}+2.25\×{10}^4)}^{(1/2)})/({\mathrm{\ξ}}^4-{90.0\mathrm{\ξ}}^3+\\ 3.75\×{10}^3{\mathrm{\ξ}}^2-7.5\×{10}^4\mathrm{\ξ}+6.25\×{10}^5)\end{array}\\ \begin{array}{c}{a}_C=(2.31\×{10}^4\×({9.0\mathrm{\ξ}}^5-1.24\×{10}^3{\mathrm{\ξ}}^4+8.62\×{10}^4{\mathrm{\ξ}}^3-3.15\×{10}^6{\mathrm{\ξ}}^2+\\ 6.19\×{10}^7\mathrm{\ξ}-5.0\×{10}^8))/({({\mathrm{\ξ}}^2-40.0\mathrm{\ξ}+500.0)}^2\×{({\mathrm{\ξ}}^2-50.0\mathrm{\ξ}+1.25\×{10}^3)}^3)\end{array}\end{array}\right.---\left(21\right)$

由式(20)-(21)计算获得五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度结果参见附图6和附图7。 

5)对刀轴矢量进行光顺。光顺后，五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度结果参见附图8和附图9，结果表明机床旋转进给轴运动变得平滑，可以使得机床在加工过程中运行更加平稳。 

本发明针对复杂曲面五轴数控加工中，刀轴矢量剧烈变化引起机床振动、甚至超出机床旋转进给轴运动极限的问题，建立了机床旋转进给轴计算方法，通过刀轴矢量光顺，使得机床旋转进给轴运动平滑。提供了一种复杂曲面五轴数控加工刀矢的运动学控制方法，有利于提高复杂曲面加工质量、更好地发挥机床性能。 

Claims (1)

1.一种复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量的运动学控制方法，其特征是，在确定复杂曲面参数化方程的基础上，建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数的函数关系；然后，建立五轴数控机床旋转进给轴运动参数计算方法，获得旋转进给轴角速度、角加速度计算结果；最后，对刀轴矢量进行光顺，保证机床旋转进给轴运动平滑，实现对刀轴矢量的运动学控制；方法具体步骤如下： 

第一步：确定复杂曲面参数化方程，建立刀轴矢量与加工轨迹曲线参数的函数关系； 

设待加工曲面的参数方程为S＝S(u,v)，u和v分别为曲面双向参数，由u＝u(ξ)、v＝v(ξ)确定曲面上的一条曲线r(ξ)＝r(u(ξ),u(ξ))，即刀具轨迹曲线，ξ为刀具轨迹曲线参数；曲线r(ξ)上参数ξ对应点处曲面单位法矢为N_r、曲线单位切向量为T_r，N_r和T_r的叉乘向量为K_r；单位刀轴矢量用V＝(i,j,k)表示；将向量N_r先绕T_r旋转一个角度

再绕K_r旋转一个角度β，β∈[-π,π]，得到刀轴矢量V；M_t和M_k分别为N_r绕矢量T_r和矢量K_r的旋转矩阵，给定α和β角，曲线r(ξ)上参数ξ对应点处刀轴矢量可表示为： 

第二步：明确刀轴矢量到机床旋转进给轴的逆向运动变换方程，建立旋转进给轴转角与加工轨迹曲线参数之间的函数关系； 

任何结构类型的机床都可认为是一系列的运动副和关节组成的运动链，借鉴机器人运动学建模方法，以AC双转台型五轴数控机床为例，令θ_A、θ_C分别表示回转工作台绕机床坐标系X、Z轴的旋转角度，确定出刀轴矢量到旋转进给轴的逆向运动学变换方程；根据刀轴矢量分量i,j,k与加工轨迹曲线参数之间的函数关系，最终建立机床旋转进给轴转角与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系 为： 

第三步：建立加工时间与加工轨迹曲线参数之间的函数关系； 

曲线r(ξ)上一点的单位切向矢量T_r，t_x,t_y,t_z为T_r的三个分量，r_x,r_y,r_z为曲线r(ξ)在工件坐标系中坐标，t为加工时间，给定机床加工进给速度V_prog，基于微分学知识，建立加工时间t与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系为： 

第四步：计算五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度； 

根据式(1)和(2)建立的机床旋转进给轴转角θ与加工轨迹曲线参数ξ之间的关系，及式(3)建立的加工时间t与加工轨迹曲线参数ξ之间的函数关系，则加工过程中机床旋转进给轴的角速度ω和角加速度a为： 

式中，θ_ξ和θ_ξξ分别为五轴数控机床旋转进给轴转角变量θ对加工轨迹曲线参数ξ的一阶、二阶导数，

和

分别为加工轨迹曲线参数ξ对加工时间t的一阶、二阶导数； 

第五步：对刀轴矢量进行光顺，实现刀轴矢量的运动学控制。 

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