CN103105152B - 一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特点是基于齿轮磨削加工原理建立仿真模型，在此基础上推导得到加工齿轮表面形貌仿真的一般流程，将通过仿真或者从齿轮磨削加工过程中机床内置传感器采集到的运动轴动态信息代入仿真模型，获得模拟的齿轮磨削加工表面形貌。该方法可用于齿轮磨削加工表面质量预测，进一步地可用于定量评价运动轴动态误差对齿轮磨削表面质量的影响，以及齿轮加工精度与表面波纹度、粗糙度的误差溯源，为提高齿轮磨削加工表面质量与磨齿机故障诊断效率提供了理论依据和实施方法。

Description

一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法

技术领域

本发明属于齿轮加工表面形貌分析技术领域，涉及一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法。

背景技术

齿轮的表面质量对齿轮的传动性能，如承载能力、传动噪声具有显著影响。表面质量可分为表面完整性和表面形貌两方面，国际生产工程科学院(CIRP)对表面质量问题进行了大量的研究，成立了专门的研究工作组，并定期召开国际会议讨论能够定性定量预测金属切削加工性能的仿真模型。

而关于磨削加工表面形貌建模问题，目前的研究多采用基于加工过程中物理作用变化的运动学模型，具体方法是首先得到砂轮表面形貌模型，然后基于磨粒与工件表面的相互作用计算切屑厚度和工件表面粗糙度或者横截面的形貌，最终可得到工件表面粗糙度、磨削力、磨削热等参数。这些研究存在的问题是：1)没有直接针对齿轮磨削过程，其加工对象多为平面或圆柱面，砂轮形状简单，砂轮与工件间的运动学关系也较单一。而齿轮磨削加工中砂轮形状和加工运动机理相比都要复杂得多。2)大多数的运动学模型都仅仅集中于理想的磨削过程的模拟，忽略了磨削过程中不可避免的动力学因素的影响，如磨削过程中床身振动、变形，砂轮振动，转轴扭转波动及同步运动误差等。

发明内容

本发明解决的问题在于提供一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，可用于定量评价运动轴动态误差对齿轮磨削表面质量的影响，以及齿轮加工精度与表面波纹度、粗糙度的误差溯源。

本发明是通过以下技术方案来实现：

一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，包括以下步骤：

建立齿轮加工仿真模型，然后将齿轮加工过程中磨削轴的运动信息输入齿轮加工仿真模型，得到磨削加工后齿轮精度曲线、表面微观形貌；

所述的齿轮加工仿真模型为：

齿轮理论表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)用以下方程表示：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2^{\left(1\right)}\·(\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{d{\mathrm{\φ}}_w}+\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_w})=0\\ r_2=T_{\mathrm{gw}}{r}_1\\ N_2^{\left(2\right)}=\frac{d{r}_2}{d{\mathrm{\φ}}_w}\×\frac{d{r}_2}{\mathrm{d\ψ}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，r₂为齿轮表面的位置向量，N₂ ⁽²⁾为齿轮表面的法向量；r₁为蜗杆表面的位置向量，u和θ是蜗杆表面曲线参数；

齿轮加工过程中磨削轴的运动信息包括：砂轮主轴B轴旋转角度φ_w、工件轴C轴旋转角度φ_g和蜗杆砂轮沿机床竖直轴Z轴进给位移ψ，反映在从蜗杆坐标系到齿轮坐标系的坐标变换矩阵T_gw中；

加工后齿轮精度曲线表述为：通过求解齿轮表面和特定测量平面或圆柱面的交点得到齿轮表面上的特定点，交点坐标可通过联立求解齿轮表面方程(11)和测量面方程(15)得到；对这些点采用三次样条插值拟合成曲线，即可得到齿轮表面上任意位置的精度曲线；

所述的测量面方程(15)为：

$\left\{\begin{array}{c}{z}_2=H\\ {x_2}^2+{y_2}^2={R_2}^2\end{array}\right.$

其中，H为沿齿宽方向距离齿轮端面的距离，R₂为沿齿高方向的半径长度；0≦H≦L，r_f≦R₂≦r_a，L表示齿轮宽度，r_f,r_a分别为齿根圆半径和齿顶圆半径；

表面微观形貌表述为：齿轮的表面形貌即为r₂，磨削得到的齿轮磨削表面为其中为B轴的实测旋转角度，ψ^*为蜗杆砂轮沿Z轴进给实测位移，为C轴的实测转角，上标*表示各轴的运动信息由实际测量得到；

表面形貌误差表示为齿轮磨削表面∑^* ₂与齿轮理论表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)上两点距离在法向的投影，即其中n为齿轮理论表面上该点的单位法向量。

所述的齿轮加工仿真模型的建立为：

建立笛卡尔坐标系，包括S_m、S_n两个固定坐标系，S_w、S_g两个分别与蜗杆砂轮和加工齿轮固连的移动坐标系，以及表示蜗杆沿齿轮轴线方向的进给运动ψ的附加坐标系S_f，其中，S_m、S_n坐标系的原心O_m、O_n的垂直距离为蜗杆和齿轮的中心距E，E＝r_w+r_g，r_w,r_g分别为蜗杆和齿轮节圆半径；

用齐次坐标表示蜗杆表面∑₁上一点的位置向量为：

$r_1(u,\mathrm{\θ})=\left(\begin{array}{c}{x}_1(u,\mathrm{\θ})\\ y_1(u,\mathrm{\θ})\\ z_1(u,\mathrm{\θ})\\ 1\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中r₁(u,θ)∈C¹，(u,θ)∈G；u和θ是蜗杆表面曲线参数，C¹表示一阶导数连续，(u,θ)∈G表示曲线参数属于一个开放区域G；

蜗杆表面∑₁上同一点的法向量为

$N_1^{\left(1\right)}=\frac{\∂r_1}{\∂u}\×\frac{\∂r_1}{\∂\mathrm{\θ}}=\left(\begin{array}{c}{N}_{1x}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1y}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1z}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ 0\end{array}\right)---\left(2\right)$

N₁ ⁽¹⁾为蜗杆表面同一点的法向量，上标(1)表示蜗杆表面；

从坐标系S_m到坐标系S_n的位置坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{ki}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& b_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& b_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& b_{34}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

笛卡尔坐标系中各坐标系的坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{fw}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_w& -\sin {\mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_w& \cos {\mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

$T_{\mathrm{mf}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -\mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1& \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

$T_{\mathrm{nm}}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& E\\ 0& -\cos \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\γ}& 0\\ 0& -\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\γ}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

$T_{\mathrm{gn}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ -\sin {\mathrm{\φ}}_g& \cos {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中：γ为齿轮轴线Z_g与蜗杆轴线Z_w的空间夹角，且γ＝γ_w+γ_g，其中γ_w,γ_g分别为蜗杆和齿轮的螺旋线升角；

通过矩阵连乘得到：

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{gw}}=T_{\mathrm{gn}}\·T_{\mathrm{nm}}\·T_{\mathrm{mf}}\·T_{\mathrm{fw}}\\ =\left[\begin{array}{cccc}-\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& -\sin \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_g& E\cos {\mathrm{\φ}}_g\\ \cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g& -\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g& -\sin \mathrm{\γco}{\mathrm{\φ}}_g& -E\sin {\mathrm{\φ}}_g\\ -\sin \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w& -\sin \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w& \cos \mathrm{\γ}& \mathrm{\ψ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)\end{array}$

蜗杆表面位置向量在齿轮坐标系中表示为

r₂＝T_gwr₁    (9)

r₂为齿轮表面的位置向量；

在蜗杆磨削齿轮运动过程中，当蜗杆表面上的点满足啮合方程时将参与生成齿轮表面，啮合方程为

$N_2^{\left(1\right)}\·(\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{d{\mathrm{\φ}}_w}+\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_w})=0---\left(10\right)$

其中

$N_2^{\left(1\right)}=\frac{\∂r_2}{\∂u}\×\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\θ}}$

综合公式(1)(8)(9)(10)，蜗杆砂轮磨削齿轮产生的齿轮理论表明∑₂用以下方程表示：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2^{\left(1\right)}\·(\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{d{\mathrm{\φ}}_w}+\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_w})=0\\ r_2=T_{\mathrm{gw}}{r}_1\\ N_2^{\left(2\right)}=\frac{d{r}_2}{d{\mathrm{\φ}}_w}\×\frac{d{r}_2}{\mathrm{d\ψ}}\end{array}\right.---\left(11\right).$

所述的齿轮加工过程中磨削轴的运动信息获取为：

通过三通接口获取数控磨齿机位置信息，读取编码器、光栅尺输出的信号，经过即可获得数控磨齿机各轴的位移，微分后则可获得各轴的速度，从而得到各轴的速度波动信息及同步运动误差。

所述将测量信息B轴的转速n_B、Z轴进给速度V_f、Y轴进给速度V_fsh代入公式(12)、(13)计算得到C轴的理论转速，与C轴的实际测量转速比较即可得到C轴的同步运动误差；

所述的公式(12)、(13)分别为：

$\begin{array}{ccc}{n}_{C1}=\frac{N_w}{N_g}\·n_B& n_{C2}=\frac{\sin \mathrm{\β}}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_f& n_{C3}=\frac{\cos {\mathrm{\γ}}_w}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_{\mathrm{fsh}}---\left(12\right)\end{array}$

式中：N_w————蜗杆头数；N_g————齿轮齿数；β——齿轮的螺旋角；

m_nw——蜗杆的法向模数；γ_w——蜗杆的螺旋线升角；

n_C＝n_C1±n_C2±n_C3    (13)

式中：n_C1——工件轴跟随砂轮轴旋转运动的分量；

n_C2——工件轴跟随砂轮沿Z轴方向进给运动的分量；

n_C3——工件轴跟随砂轮沿Y轴方向进给运动的分量。

所述齿轮表面上的测量点是由测量平面或圆柱面与齿轮表面相交的交点，其坐标获得为：

由方程组(11)可得到齿轮表面，而得到一组排列规则的网格点的几何条件表示为公式(15)；

同时满足方程组(11)、(15)可确定齿轮表面上，位于轴向距离为H的截面上，中心半径为R₂的点的坐标；如果R₂保持不变而H变化，则解方程可得到半径R₂处的齿向线；如果H不变而R₂变化，则可得到距离为H的截面上的齿廓线；如果赋予H和R₂一系列等间距的值，则生成一个规则的矩形网格点。

所述齿轮理论表面∑₂上一点的坐标为(x₂,y₂,H)，齿轮磨削表面∑₂ ^*上同一网格点的坐标为(x^* ₂,y^* ₂,H)；用这两点之间的距离在法向的投影e(H,R₂)来表示实际磨削齿面与理论齿面在该网格点处的误差。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明提供的齿轮磨削加工表面形貌建模仿真分析和计算方法，可用于定量评价运动轴动态误差对齿轮磨削表面质量的影响，以及齿轮加工精度与表面波纹度、粗糙度的误差溯源，为提高齿轮磨削加工表面质量与磨齿机故障诊断效率提供理论依据和实施方法。

附图说明

图1为齿轮磨削表面形貌仿真分析模型建立简图。

图2为蜗杆砂轮磨齿机磨削齿轮的坐标系。

图3为通过三通接口获取数控系统位置信息的方法示意图。

图4为典型的蜗杆砂轮磨齿机的结构示意图。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

参见图1，一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

建立齿轮加工仿真模型，然后将齿轮加工过程中磨削轴的运动信息输入齿轮加工仿真模型，得到磨削加工后齿轮精度曲线、表面微观形貌。

齿轮加工仿真模型建立如下：

建立如图2所示的笛卡尔坐标系。S_m和S_n是两个固定坐标系，S_w、S_g两个分别与蜗杆砂轮和加工齿轮固连的移动坐标系，S_w、S_g为两个分别与蜗杆砂轮和加工齿轮固连的移动坐标系，附加坐标系S_f用来表示蜗杆沿齿轮轴线方向的进给运动ψ。

其中，φ_w为蜗杆B轴旋转角度，为坐标系S_w相对于坐标系S_f绕Z_w(Z_f)轴转过的角度；

φ_g为齿轮C轴旋转角度，为坐标系S_g相对于坐标系S_n绕Z_g(Z_n)轴转过的角度；

ψ即为蜗杆砂轮沿Z轴进给位移；

ω_g为齿轮绕Z_g(Z_n)轴旋转的角速度；

ω_w为蜗杆绕Z_w(Z_f)轴旋转的角速度；

γ为齿轮轴线Z_g与蜗杆轴线Z_w的空间夹角。γ＝γ_w+γ_g，其中γ_w,γ_g分别为蜗杆和齿轮的螺旋线升角。

E为蜗杆和齿轮的中心距，E＝r_w+r_g，其中r_w,r_g分别为蜗杆和齿轮节圆半径；S_m、S_n坐标系的原心O_m、O_n的垂直距离为E。

用齐次坐标来表示蜗杆表面∑₁上一点的位置向量为

$r_1(u,\mathrm{\θ})=\left(\begin{array}{c}{x}_1(u,\mathrm{\θ})\\ y_1(u,\mathrm{\θ})\\ z_1(u,\mathrm{\θ})\\ 1\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中r₁(u,θ)∈C¹，(u,θ)∈G

u和θ是蜗杆表面曲线参数，C¹表示一阶导数连续，(u,θ)∈G表示曲线参数属于一个开放区域G。

对于右旋蜗杆： $r_1(u,\mathrm{\θ})=\left(\begin{array}{c}{r}_b\cos \mathrm{\θ}+u\cos {\mathrm{\λ}}_b\sin \mathrm{\θ}\\ r_b\sin \mathrm{\θ}-u\cos {\mathrm{\λ}}_b\cos \mathrm{\θ}\\ -u\sin {\mathrm{\λ}}_b+\mathrm{p\θ}\\ 1\end{array}\right)$

蜗杆表面∑₁上同一点的法向量为

$N_1^{\left(1\right)}=\frac{\∂r_1}{\∂u}\×\frac{\∂r_1}{\∂\mathrm{\θ}}=\left(\begin{array}{c}{N}_{1x}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1y}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1z}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ 0\end{array}\right)---\left(2\right)$

N₁ ⁽¹⁾为蜗杆表面同一点的法向量，上标(1)表示蜗杆表面。

从坐标系S_m到坐标系S_n的位置坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{ki}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& b_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& b_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& b_{34}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

对应于图3中各坐标系的坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{fw}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_w& -\sin {\mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_w& \cos {\mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

$T_{\mathrm{mf}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -\mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1& \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

$T_{\mathrm{nm}}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& E\\ 0& -\cos \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\γ}& 0\\ 0& -\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\γ}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

$T_{\mathrm{gn}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ -\sin {\mathrm{\φ}}_g& \cos {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

通过矩阵连乘得到：

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{gw}}=T_{\mathrm{gn}}\·T_{\mathrm{nm}}\·T_{\mathrm{mf}}\·T_{\mathrm{fw}}\\ =\left[\begin{array}{cccc}-\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& -\sin \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_g& E\cos {\mathrm{\φ}}_g\\ \cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g& -\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g& -\sin \mathrm{\γco}{\mathrm{\φ}}_g& -E\sin {\mathrm{\φ}}_g\\ -\sin \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w& -\sin \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w& \cos \mathrm{\γ}& \mathrm{\ψ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)\end{array}$

蜗杆表面位置向量在齿轮坐标系中可表示为

r₂＝T_gwr₁    (9)

磨削加工生成的齿轮表面实际上是r₂的包络面。

在蜗杆磨削齿轮运动过程中，当蜗杆表面上的点满足啮合方程时将参与生成齿轮表面。啮合方程为

$N_2^{\left(1\right)}\·(\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{d{\mathrm{\φ}}_w}+\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_w})---\left(10\right)$

其中

$N_2^{\left(1\right)}=\frac{\∂r_2}{\∂u}\×\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\θ}}$

综合公式(1)(8)(9)(10)，最终生成的齿轮表面∑₂可用以下方程表示：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2^{\left(1\right)}\·(\frac{\∂r_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{d{\mathrm{\φ}}_w}+\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_w})=0\\ r_2=T_{\mathrm{gw}}{r}_1\\ N_2^{\left(2\right)}=\frac{d{r}_2}{d{\mathrm{\φ}}_w}\×\frac{d{r}_2}{\mathrm{d\ψ}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中r₂为齿轮表面的位置向量，N₂ ⁽²⁾为齿轮表面的法向量。

2、数控机床(磨齿机)内置传感器信息获取技术

目前多数商用数控系统都采用编码器、光栅尺作为伺服驱动系统的位置测量装置。常见的信号输出类型有方波型、正弦波型、数字总线型，如德国Siemens数控系统多采用1Vpp的正弦波信号和Endat数字信号，法国Num数控系统也采用了1Vpp正弦波信号。对于方波型、正弦波型信号，可利用一个三通接口，以并行输出的方式将位置信号引出，然后利用工业数据采集卡实现位置信息的获取。对于数字总线型信号，由于信号规制的独特性，很难采用三通方式解决。但一些常用的数控系统，如Siemens、Num、FANUC等，为满足不同用户的需求，便于用户进行二次开发，都提供了OEM软件包。因此可通过OEM软件包二次开发实现位置信息的获取。

通过三通接口获取数控系统位置信息的方法如图3所示。

通过读取编码器、光栅尺输出的信号，经过即可获得机床(磨齿机)各轴的位移，微分后则可获得各轴的速度，从而可得到各轴的速度波动信息及同步运动误差。

3、齿轮精度与表面形貌获取方法及应用

根据蜗杆砂轮磨齿机磨削齿轮的运动机理，理论上参与加工的各轴之间存在如下运动关系：

1)C轴的运动由B轴、Z轴、Y轴的运动按照下面的关系合成得到。

$\begin{array}{ccc}{n}_{C1}=\frac{N_w}{N_g}\·n_B& n_{C2}=\frac{\sin \mathrm{\β}}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_f& n_{C3}=\frac{\cos {\mathrm{\γ}}_w}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_{\mathrm{fsh}}---\left(12\right)\end{array}$

各参数的物理意义如下:

N_w————蜗杆头数；

N_g————齿轮齿数；

n_B——B轴转速；

β——齿轮的螺旋角；

m_nw——蜗杆的法向模数；

V_f——蜗杆沿Z轴方向的进给速度；

γ_w——蜗杆的螺旋线升角；

V_fsh——蜗杆沿Y轴方向的进给速度。

C轴的理论转速根据下式计算得到

n_C＝n_C1±n_C2±n_C3    (13)

式中的加减号根据蜗杆、齿轮的旋向，蜗杆的进给方向，蜗杆的旋转方向综合决定。对应图4所示的各轴运动方向，C轴理论转速具体如表1所示：

表1 C轴理论转速

2)蜗杆的转动和沿Z轴方向的进给运动之间有如下关系

$\mathrm{\ψ}\left({\mathrm{\φ}}_w\right)=\frac{{\mathrm{\φ}}_w}{2\mathrm{\πn}}L---\left(14\right)$

其中L为齿轮宽度，n为蜗杆沿Z轴进给时转动的转数。

然而实际加工中不可避免地存在着各轴的扭转波动及直线运动误差，使得各轴无法达到理论要求的运动关系，因而磨削得到的齿轮表面并非理想表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)，其中，B轴旋转角度φ_w和蜗杆砂轮沿Z轴进给位移ψ通过检测可得，C轴旋转角度φ_g将代入公式(12)、(13)计算得到，其中在计算C轴理论转角所用到的公式(12)中包含着B轴的转速n_B、Z轴进给速度V_f、Y轴进给速度V_fsh。根据这三个实际测量信息可计算得到C轴的理论转速，与C轴的实际测量转速比较即可得到C轴的同步运动误差。这一同步运动误差造成了齿轮表面形貌误差。

如果将φ_C替换为C轴的实测转角从而得到齿轮磨削表面 为B轴的实测旋转角度，ψ^*为蜗杆砂轮沿Z轴进给实测位移，为C轴的实测转角，上标*表示各轴的运动信息由实际测量得到。

表面微观形貌表述为：齿轮的表面形貌即为r₂，磨削得到的齿轮磨削表面为其中为B轴的实测旋转角度，ψ^*为蜗杆砂轮沿Z轴进给实测位移，为C轴的实测转角，上标*表示各轴的运动信息由实际测量得到；

表面形貌误差表示为齿轮磨削表面∑^* ₂与齿轮理论表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)上两点距离在法向的投影，即其中n为齿轮理论表面上该点的单位法向量。

在获取齿轮磨削表面之后，加工齿轮的空间表面形貌误差实质上是实际加工齿面∑^* ₂与理论齿面∑₂之差，通过齿轮表面相应网格点上的坐标差值来描述。

通过求解齿轮表面和特定测量平面或圆柱面的交点得到齿轮表面上的特定点，交点坐标可通过联立求解齿轮表面方程(11)和测量面方程(15)得到；对这些点采用三次样条插值拟合成曲线，即可得到齿轮表面上任意位置的精度曲线；

具体的，齿轮表面上的特定网格点是由测量平面或圆柱面与齿轮表面相交得到，实际上可以是齿轮表面上任意位置的交点，其坐标可通过以下方法获得：

由方程组(11)可得到齿轮表面，而得到排列规则一致的的网格点的几何条件可表示为

$\left\{\begin{array}{c}{z}_2=H\\ {x_2}^2+{y_2}^2={R_2}^2\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中0≦H≦L，r_f≦R₂≦r_a。L表示齿轮宽度，r_f,r_a分别为齿根圆半径和齿顶圆半径。

同时满足方程组(11)、(15)可确定齿轮表面上，位于轴向距离为H的截面上，中心半径为R₂的点的坐标。如果R₂保持不变而H变化，则解方程可得到半径R₂处的齿向线。如果H不变而R₂变化，则可得到距离为H的截面上的齿廓线。如果赋予H和R₂一系列等间距的值，则可生成一个规则的矩形网格点。

具体的，理论齿面∑₂上一点的坐标为(x₂,y₂,H)，实际齿面∑₂ ^*上同一网格点的坐标为(x^* ₂,y^* ₂,H)。可用这两点之间的距离e(H,R₂)来表示实际齿面与理论齿面在该网格点处的误差。

可用方程组(15)表示一组与齿轮表面相交的平面和圆柱面

$\left\{\begin{array}{c}{z}_2=H\\ {x_2}^2+{y_2}^2={R_2}^2\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中0≦H≦L，r_f≦R₂≦r_a。L表示齿轮宽度，r_f,r_a分别为齿根圆半径和齿顶圆半径。

联立求解方程组(11)、(15)可得到齿轮表面上，位于轴向距离为H的截面上，中心半径为R₂的点的坐标。如果R₂保持不变而H变化，则解方程可得到半径R₂处的齿向线。如果H不变而R₂变化，则可得到距离为H的截面上的齿廓线。如果赋予H和R₂一系列等间距的值，则可得到齿轮表面上一个规则的矩形网格。

由以上方法可得到齿轮表面上的齿向线、齿廓线及一个矩形网格上点的坐标，通过三次样条插值即可拟合得到齿面上任意位置的齿廓线、齿向线。

得到模拟的齿轮表面形貌可用于以下用途：

1)控制单个运动轴的运动或若干运动轴间的传动误差，分析仿真所得的表面形貌可研究这些因素对齿轮加工表面形貌的影响，结论可为磨齿机磨削齿轮表面质量问题故障诊断提供科学理论依据。

研究有利于齿轮啮合噪声控制及提升润滑特性的表面形貌，运用本专利的仿真技术分析各运动轴给定运动与齿轮磨削加工表面形貌间的映射规律，进而通过运动轴主动控制齿轮加工表面形貌，得到传动啮合噪声小、摩擦润滑特性优异的齿轮。

Claims (6)

1.一种基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

建立齿轮加工仿真模型，然后将齿轮加工过程中磨削轴的运动信息输入齿轮加工仿真模型，得到磨削加工后齿轮精度曲线、表面微观形貌；

所述的齿轮加工仿真模型为：

齿轮理论表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)用以下方程表示：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2^{\left(1\right)}\·(\frac{{\∂r}_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{{\mathrm{d\φ}}_w}+\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\φ}}_w})=0\\ r_2=T_{\mathrm{gw}}{r}_1\\ N_2^{\left(2\right)}=\frac{{\mathrm{dr}}_2}{{\mathrm{d\φ}}_w}\×\frac{{\mathrm{dr}}_2}{\mathrm{d\ψ}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，r₂为齿轮表面的位置向量，N₂ ⁽²⁾为齿轮表面的法向量；r₁为蜗杆表面的位置向量，u和θ是蜗杆表面曲线参数；

齿轮加工过程中磨削轴的运动信息包括：砂轮主轴B轴旋转角度φ_w、工件轴C轴旋转角度φ_g和蜗杆砂轮沿机床竖直轴Z轴进给位移ψ，反映在从蜗杆坐标系到齿轮坐标系的坐标变换矩阵T_gw中；

加工后齿轮精度曲线表述为：通过求解齿轮表面和特定测量平面或圆柱面的交点得到齿轮表面上的特定点，交点坐标可通过联立求解齿轮表面方程(11)和测量面方程(15)得到；对这些点采用三次样条插值拟合成曲线，即可得到齿轮表面上任意位置的精度曲线；

所述的测量面方程(15)为：

$\left[\begin{array}{c}{z}_2=H\\ {x_2}^2+{y_2}^2={R_2}^2\end{array}\right]$

其中，H为沿齿宽方向距离齿轮端面的距离，R₂为沿齿高方向的半径长度；0≦H≦L，r_f≦R₂≦r_a，L表示齿轮宽度，r_f,r_a分别为齿根圆半径和齿顶圆半径；

表面微观形貌表述为：齿轮的表面形貌即为r₂，磨削得到的齿轮磨削表面为其中为B轴的实测旋转角度，ψ^*为蜗杆砂轮沿Z轴进给实测位移，为C轴的实测转角，上标*表示各轴的运动信息由实际测量得到；

表面形貌误差表示为齿轮磨削表面∑^* ₂与齿轮理论表面∑₂(u,θ,φ_w,φ_g,ψ)上两点距离在法向的投影，其中n为齿轮理论表面上该点的单位法向量。

2.如权利要求1所述的基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，所述的齿轮加工仿真模型的建立为：

建立笛卡尔坐标系，包括S_m、S_n两个固定坐标系，S_w、S_g两个分别与蜗杆砂轮和加工齿轮固连的移动坐标系，以及表示蜗杆沿齿轮轴线方向的进给运动ψ的附加坐标系S_f，其中，S_m、S_n坐标系的原心O_m、O_n的垂直距离为蜗杆和齿轮的中心距E，E＝r_w+r_g，r_w,r_g分别为蜗杆和齿轮节圆半径；

用齐次坐标表示蜗杆表面∑₁上一点的位置向量为：

$r_1(u,\mathrm{\θ})=\left(\begin{array}{c}{x}_1(u,\mathrm{\θ})\\ y_1(u,\mathrm{\θ})\\ z_1(u,\mathrm{\θ})\\ 1\end{array}\right)---\left(1\right)$ 其中r₁(u,θ)∈C¹，(u,θ)∈G；u和θ是蜗杆表面曲线参数，C¹表示一阶导数连续，(u,θ)∈G表示曲线参数属于一个开放区域G；

蜗杆表面∑₁上同一点的法向量为

$N_1^{\left(1\right)}=\frac{{\∂r}_1}{\∂u}\×\frac{{\∂r}_1}{\∂\mathrm{\θ}}=\left(\begin{array}{c}{N}_{1x}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1y}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ N_{1z}^{\left(1\right)}(u,\mathrm{\θ})\\ 0\end{array}\right)---\left(2\right)$

N₁ ⁽¹⁾为蜗杆表面同一点的法向量，上标(1)表示蜗杆表面；

从坐标系S_m到坐标系S_n的位置坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{ki}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& b_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& b_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& b_{34}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

笛卡尔坐标系中各坐标系的坐标变换矩阵为：

$T_{\mathrm{fw}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_w& -{\sin \mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_w& \cos {\mathrm{\φ}}_w& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

$T_{\mathrm{mf}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -\mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 1& \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\γ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

$T_{\mathrm{nm}}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& E\\ 0& -\cos \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\γ}& 0\\ 0& -\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\γ}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

$T_{\mathrm{gn}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ -{\sin \mathrm{\φ}}_g& \cos {\mathrm{\φ}}_g& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中：γ为齿轮轴线Z_g与蜗杆轴线Z_w的空间夹角，且γ＝γ_w+γ_g，其中γ_w,γ_g分别为蜗杆和齿轮的螺旋线升角；

通过矩阵连乘得到：

$\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{gw}}=T_{\mathrm{gn}}\·T_{\mathrm{nm}}\·T_{\mathrm{mf}}\·T_{\mathrm{fw}}\\ =\left[\begin{array}{cccc}-\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& \sin {\mathrm{\ϵ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g& -\sin \mathrm{\γ}\sin {\text{\φ}}_g& E\cos {\mathrm{\φ}}_g\%\\ \cos {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g& -\sin {\mathrm{\φ}}_w\sin {\mathrm{\φ}}_g-\cos \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w\cos {\mathrm{\φ}}_g---\left(8\right)& -\sin \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_g& -E{\sin \mathrm{\φ}}_g\\ -\sin \mathrm{\γ}\sin {\mathrm{\φ}}_w& -\sin \mathrm{\γ}\cos {\mathrm{\φ}}_w& \cos \mathrm{\γ}& \mathrm{\ψ}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

蜗杆表面位置向量在齿轮坐标系中表示为

r₂＝T_gwr₁   (9)

r₂为齿轮表面的位置向量；

在蜗杆磨削齿轮运动过程中，当蜗杆表面上的点满足啮合方程时将参与生成齿轮表面，啮合方程为

$N_2^{\left(1\right)}\·(\frac{{\∂r}_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{{\mathrm{d\φ}}_w}+\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\φ}}_w})=0---\left(10\right)$ 其中

$N_2^{\left(1\right)}=\frac{{\∂r}_2}{\∂u}\×\frac{{\∂r}_2}{\∂\mathrm{\θ}}$

综合公式(1)(8)(9)(10)，蜗杆砂轮磨削齿轮产生的齿轮理论表面∑₂用以下方程表示：

$\left\{\begin{array}{c}{N}_2^{\left(1\right)}\·(\frac{{\∂r}_2}{\∂\mathrm{\ψ}}\frac{\mathrm{d\ψ}}{{\mathrm{d\φ}}_w}+\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\φ}}_w})=0\\ r_2=T_{\mathrm{gw}}{r}_1\\ N_2^{\left(2\right)}=\frac{{\mathrm{dr}}_2}{{\mathrm{d\φ}}_w}\×\frac{{\mathrm{dr}}_2}{\mathrm{d\ψ}}\end{array}\right.---\left(11\right).$

3.如权利要求1所述的基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，所述的齿轮加工过程中磨削轴的运动信息获取为：

通过三通接口获取数控磨齿机位置信息，读取编码器、光栅尺输出的信号，经过转换即可获得数控磨齿机各轴的位移，微分后则可获得各轴的速度，从而得到各轴的速度波动信息及同步运动误差。

4.如权利要求3所述的基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，将测量信息B轴的转速n_B、Z轴进给速度V_f、Y轴进给速度V_fsh代入公式(12)、(13)计算得到C轴的理论转速，与C轴的实际测量转速比较即可得到C轴的同步运动误差；

所述的公式(12)、(13)分别为：

$n_{C1}=\frac{N_w}{N_g}\·n_B;n_{C2}=\frac{\sin \mathrm{\β}}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_f;n_{c3}=\frac{\cos {\mathrm{\γ}}_w}{m_{\mathrm{nw}}\·\mathrm{\π}\·N_g}\·V_{\mathrm{fsh}}---\left(12\right)$

式中：N_w————蜗杆头数；N_g————齿轮齿数；β——齿轮的螺旋角；m_nw——蜗杆的法向模数；γ_w——蜗杆的螺旋线升角；

n_C＝n_C1±n_C2±n_C3   (13)

式中：n_C1——工件轴跟随砂轮轴旋转运动的分量；

n_C2——工件轴跟随砂轮沿Z轴方向进给运动的分量；

n_C3——工件轴跟随砂轮沿Y轴方向进给运动的分量。

5.如权利要求1所述的基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，齿轮表面上的测量点是由测量平面或圆柱面与齿轮表面相交的交点，其坐标获得为：

由方程组(11)可得到齿轮表面，而得到一组排列规则的网格点的几何条件表示为公式(15)；

同时满足方程组(11)、(15)可确定齿轮表面上，位于轴向距离为H的截面上，中心半径为R₂的点的坐标；如果R₂保持不变而H变化，则解方程可得到半径R₂处的齿向线；如果H不变而R₂变化，则可得到距离为H的截面上的齿廓线；如果赋予H和R₂一系列等间距的值，则生成一个规则的矩形网格点。

6.如权利要求1所述的基于齿轮加工仿真模型的齿轮加工表面形貌分析方法，其特征在于，齿轮理论表面∑₂上一点的坐标为(x₂,y₂,H)，齿轮磨削表面∑₂ ^*上同一网格点的坐标为用这两点之间的距离在法向的投影e(H,R₂)来表示实际磨削齿面与理论齿面在该网格点处的误差。