CN103324140B - 五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法，首先采用Nurbs曲线技术在数学上对刀具截面线进行统一表达，然后通过建立随刀具扫掠运动而动态变化的瞬时坐标系，给出了刀具扫掠体表面的解析表达形式，再应用包络理论，求解出特征曲线的解析表达，最后应用Nurbs曲面拟合技术，通过布尔运算，求解出完整的刀具扫描体模型。实例表明本发明提出的方法相比于NX加工仿真生成的模型，其刀具扫描体要更为准确。

Description

五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法

技术领域

本发明属于多轴数控加工的技术领域，具体为五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法。

背景技术

随着近年来制造技术的不断发展，以及产品几何形状的复杂程度提高，数控加工技术被越来越多地应用在制造过程中。为保证制造质量，减少NC编程导致的加工失误，数控仿真技术被广泛应用。在加工过程中刀具运动所形成的扫描体构造是开展数控仿真的基础，通过刀具扫描体的构造，可以进行碰撞检测、加工成型精度检验、过切量/残留量判断等工作。刀具扫描体生成算法还可以被广泛应用于其他领域，例如机器人运动空间分析，以及在三维化工艺设计过程中方便快速地产生工序三维模型。

目前，刀具扫描体的计算方法主要有包络理论法、扫描微分方程法、雅可比降秩法等。这些方法均需要进行复杂的数学运算，运算速度比较慢，实现起来也十分困难，除此之外，近年来也有学者提出利用双参数球族包络方法求解刀具扫描体，目前为止，这种的应用仅限于球头刀和平头刀，而没有将研究结果推广到其他类型的刀具上。

发明内容

要解决的技术问题

为解决五轴加工中通用刀具的统一表达问题及其扫描体的生成问题，本发明提出了一种适用范围广、运算速度快、精确度高的五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法。该方法应用Nurbs曲线技术解决常见刀具截面形状的统一描述问题，运用包络理论解决五轴加工中刀具扫描体的生成问题。

技术方案

本发明首先采用Nurbs曲线技术在数学上对刀具截面线进行统一表达，然后通过建立随刀具扫掠运动而动态变化的瞬时坐标系，给出了刀具扫掠体表面的解析表达形式，再应用包络理论，求解出特征曲线的解析表达，最后应用Nurbs曲面拟合技术，通过布尔运算，求解出完整的刀具扫描体模型。

本发明的技术方案为：

所述五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法，其特征在于：采用以下步骤：

步骤1：将五轴加工中通用刀具截面线分为底面线、环线、斜线、顶面线四段，并建立通用刀具截面线的Nurbs表达式为：

$\mathrm{CS}\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·V_i\·N_{i,2}\left(u\right)}{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·N_{i,2}\left(u\right)},u\∈\left[\mathrm{0,1}\right]$

其中V_i为表达Nurbs曲线的控制顶点，ω_i为控制顶点对应的权因子，N_i,2(u)为定义在节点矢量分布U上的二次非均匀B样条基函数；节点矢量U为：

$U=\{\mathrm{0,0,0},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4},\mathrm{1,1,1}\}$

{V_i,i＝0,…,8}为：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_0=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_1=\frac{1}{2}(V_0+V_2)\\ V_2=[\frac{d}{2},\mathrm{0,0}]\\ V_3=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}},\mathrm{0,0}]\\ V_4=[\frac{d}{2}+r\cos \mathrm{\α},0,r(1-\sin \mathrm{\α})]\\ V_5=\frac{1}{2}(V_4+V_6)\\ \begin{array}{c}{V}_6=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}}+h\·\mathrm{tg\α},0,h]\end{array}\\ \begin{array}{c}{V}_7=\frac{1}{2}(V_6+V_8)\\ V_8=[\mathrm{0,0},h]\end{array}\end{array}\right.$

式中d为刀具的底平面直径，r为环形半径，α为锥面角度，h为刀具长度；与各控制顶点对应的权因子为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_i=1,i\∈\left\{\mathrm{0,1,2,4,5,6,7,8}\right\}\\ {\mathrm{\ω}}_3=\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}+\frac{\mathrm{\α}}{2})\end{array}\right.$

步骤2：将步骤1建立的通用刀具截面线的Nurbs表达式分解为机床坐标系OXYZ坐标系内分量：CS(u)＝[cs_x(u),0,cs_z(u)],u∈[0,1]，其中cs_x(u)和cs_z(u)分别是CS(u)的X坐标分量和Z坐标分量表达式；则得到通用刀具表面的参数方程为：

CP(u,θ)＝[cs_x(u)·cos(θ),cs_y(u)·sin(θ),cs_z(u)]

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中cs_y(u)为CS(u)的Y坐标分量表达式，θ为OX轴正向沿逆时针方向与直线OP₁所成的夹角，P₁为刀具表面上的点P沿Z轴垂直投影到XOY面上的投影点；通用刀具表面参数方程对应矢量表达形式为：

CP(u,θ)＝cs_x(u)·cos(θ)·I+cs_y(u)·sin(θ)·J+cs_z(u)·K

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中I＝[1,0,0]，J＝[0,1，0]，K＝[0，0,1]；

步骤3：建立刀具运动方程：

步骤3.1：根据通用刀具的刀位点，建立任一时刻的刀心轨迹的表达式：

CC(t)＝CC₀+t·Δ_CC,t∈[0,1]

式中CC₀为起始刀位点的刀心位置，Δ_CC＝CC₁-CC₀，CC₁为终止刀位点的刀心位置；

步骤3.2：根据起始刀位点的刀轴矢量CA₀，终止刀位点的刀轴矢量CA₁以及起始刀位点的刀心位置CC₀建立固定的局部坐标系L_x L_y L_z CC₀，其中局部坐标系L_x L_y L_z CC₀的三个坐标轴在机床坐标系的表达为：L_z＝CA₀，L_y＝CA₀×CA₁，L_x＝L_y×L_z；在局部坐标系L_x L_y L_z CC₀中，刀轴方向CA_L(t)为CA_L(t)＝[sin(γ(t)),0,cos(γ(t))],t∈[0,1]，其中γ(t)为在局部坐标系中任一时刻刀轴方向CA(t)与起始刀轴方向CA₀之间的夹角γ(t)＝γ_CA·t，γ_CA为在局部坐标系中起始刀轴方向CA₀与终止刀轴方向CA₁之间的夹角γ_CA＝arccos(CA₀·CA₁)；

步骤3.3：将步骤3.2得到的局部坐标系中的刀轴方向CA_L(t)转换到机床坐标系中，得到CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+0·L_y+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]；

步骤3.4：以任一时刻的刀心点和和刀轴方向为依据，建立瞬时坐标系A_x A_y A_z CC(t)，CC(t)为瞬时坐标系的坐标原点，

A_z(t)＝CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]，

A_y＝L_y，

A_x(t)＝A_y×A_z＝-L_z·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_x,t∈[0,1]，

步骤3.5：将步骤2得到的通用刀具表面参数方程矢量表达形式转换到瞬时坐标系中，得到任一时刻刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程为：

CP(u,θ,t)＝cs_x(u)·cos(θ)·A_x(t)+cs_y(u)·sin(θ)·A_y+cs_z(u)·A_z(t)+CC(t)

u∈[0,1],θ∈[0,2π],t∈[0,1]

步骤4：计算任一时刻刀具表面点的法矢量为：

$N=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂u}\×\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}$

$=-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x\left(t\right)-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\sin \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_y\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_x^{\′}\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·A_z\left(t\right)$

以及任一时刻刀具表面点的运动速度矢量

$V=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂t}={\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_z\left(u\right)\·A_z^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{CC}}$

根据N·V＝0，得到

$\mathrm{\θ}=\mathrm{\θ}(u,t)=\arccos \left(\frac{-\mathrm{bc}\±a\sqrt{b^2-c^2-a^2}}{b^2+a^2}\right)$

其中a＝(-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_y)，

b＝-cs′_x(u)·cs_x ²(u)·γ_CA-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_x(t)-cs_x(u)·cs′_z(u)·cs_z(u)·γ_CA，

c＝cs′_x(u)·cs_x(u)·l_z(t)，

将得到的θ解带入到步骤3.5中的刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程，得到任一时刻t₀时刀具表面上的特征曲线CP(u,θ(u,t₀),t₀)；

步骤5：将刀具从起始刀位点至终止刀位点的运动过程进行均匀离散，其中在u方向和t方向上分别对应取离散点数为M+1和N+1，离散点记为{P_ij|i＝0,1,…,M;j＝0,1,…,N}；

步骤6：根据步骤4计算时刻的特征线解析表达CP_i,j(u,θ(u,t_j),t_j)，将带入CP_i,j(u,θ(u,t_j),t_j)，得到M+1采样点，对此M+1个点进行Nurbs曲线拟合，得到第j条特征曲线；

步骤7：重复步骤6，得到所有N+1条特征曲线，沿t方向对N+1条特征曲线扫掠形成曲面刀具运动包络面；将与和进行布尔并运算，得到完整的刀具扫描实体，其中为由起始刀位点的特征曲线绕起始刀轴旋转而成的半个刀具表面，为由终止刀位点的特征曲线绕终止刀轴旋转而成的半个刀具表面。

有益效果

本发明首先采用Nurbs曲线技术在数学上对刀具截面线进行统一表达，然后通过建立随刀具扫掠运动而动态变化的瞬时坐标系，给出了刀具扫掠体表面的解析表达形式，再应用包络理论，求解出特征曲线的解析表达，最后应用Nurbs曲面拟合技术，通过布尔运算，求解出完整的刀具扫描体模型。实例表明本发明提出的方法相比于NX加工仿真生成的模型，其刀具扫描体要更为准确。

附图说明

图1为通用刀具截面的Nurbs表达。

图2为通用刀具的几何建模。

图3为刀具五轴运动时的临时坐标系与瞬时坐标系。

图4为扫描实体构造算法。

图5为采取本文算法用Matlab生成的常见刀具截面形状。

图6为采用本文算法用Matlab生成的加工中刀具的包络线。

图7为将扫掠线用NX软件拟合而成的包络面。

图8为刀头形成的完成包络体。

图9为本文算法与NX数控加工模块所生成的刀头包络线。

图10为本文算法与NX数控加工模块所生成的刀头包络线表面残差值的比较。

具体实施方式

下面结合具体实施例描述本发明：

本实施例中的五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法，采用以下步骤：

步骤1：将五轴加工中通用刀具截面线分为底面线、环线、斜线、顶面线四段，并建立通用刀具截面线的Nurbs表达式为：

$\mathrm{CS}\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·V_i\·N_{i,2}\left(u\right)}{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·N_{i,2}\left(u\right)},u\∈\left[\mathrm{0,1}\right]$

其中V_i为表达Nurbs曲线的控制顶点，ω_i为控制顶点对应的权因子，N_i,2(u)为定义在节点矢量分布U上的二次非均匀B样条基函数；节点矢量U为：

$U=\{\mathrm{0,0,0},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4},\mathrm{1,1,1}\}$

{V_i,i＝0,…,8}为：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_0=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_1=\frac{1}{2}(V_0+V_2)\\ V_2=[\frac{d}{2},\mathrm{0,0}]\\ V_3=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}},\mathrm{0,0}]\\ V_4=[\frac{d}{2}+r\cos \mathrm{\α},0,r(1-\sin \mathrm{\α})]\\ V_5=\frac{1}{2}(V_4+V_6)\\ \begin{array}{c}{V}_6=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}}+h\·\mathrm{tg\α},0,h]\end{array}\\ \begin{array}{c}{V}_7=\frac{1}{2}(V_6+V_8)\\ V_8=[\mathrm{0,0},h]\end{array}\end{array}\right.$

式中d为刀具的底平面直径，r为环形半径，α为锥面角度，h为刀具长度；与各控制顶点对应的权因子为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_i=1,i\∈\left\{\mathrm{0,1,2,4,5,6,7,8}\right\}\\ {\mathrm{\ω}}_3=\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}+\frac{\mathrm{\α}}{2})\end{array}\right.$

本实施例中根据加工中常见刀具类型，取表1所示用来表示刀具截面的各参数取值：

表1：常见刀具的参数选取

刀具类型	底面直径d(mm)	环形半径r(mm)	锥面角度α（°）	刀具长度h(mm)
					平头圆柱	20	0	0	30
平头圆锥	20	0	30	30
					球头圆柱	0	10	0	30
球头圆锥	0	10	30	30
					环形圆柱	10	10	0	30
环形圆锥	10	10	30	30

以球头圆锥刀为例，得到球头圆锥刀具截面Nurbs表达所需的控制定点为：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_0=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_1=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_2=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_3=\left[\mathrm{5.8,0,0}\right]\\ V_4=\left[\mathrm{8.7,0,5}\right]\\ V_5=\left[\mathrm{15.9,0,17.5}\right]\\ V_6=\left[\mathrm{23.1,0,30}\right]\\ V_7=\left[\mathrm{11.6,0,30}\right]\\ V_8=\left[\mathrm{0,0,30}\right]\end{array}\right.$

且ω₃＝0.5，代入通用刀具截面线的Nurbs表达式，即可获得球头圆锥刀的截面线形状，如图5b）所示。将表1中其他刀具对应参数带入，则可获得不同刀具的截面线形状，如图5所示。

步骤2：将步骤1建立的通用刀具截面线的Nurbs表达式分解为机床坐标系OXYZ坐标系内分量：CS(u)＝[cs_x(u),0,cs_z(u)],u∈[0,1]，其中cs_x(u)和cs_z(u)分别是CS(u)的X坐标分量和Z坐标分量表达式；则得到通用刀具表面的参数方程为：

CP(u,θ)＝[cs_x(u)·cos(θ),cs_y(u)·sin(θ),cs_z(u)]

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中cs_y(u)为CS(u)的Y坐标分量表达式，θ为OX轴正向沿逆时针方向与直线OP₁所成的夹角，P₁为刀具表面上的点P沿Z轴垂直投影到XOY面上的投影点；通用刀具表面参数方程对应矢量表达形式为：

CP(u,θ)＝cs_x(u)·cos(θ)·I+cs_y(u)·sin(θ)·J+cs_z(u)·K

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中I＝[1,0,0]，J＝[0,1，0]，K＝[0，0,1]；

步骤3：建立刀具运动方程：

在刀位文件中存储着大量刀位点，每一个刀位点包含了刀心位置和刀轴方向。表2为本实施例中实际五轴铣削加工的刀轨信息，包括刀心位置矢量和刀轴方向矢量：

表2五坐标铣削加工刀位坐标

步骤3.1：根据通用刀具的刀位点，每两个刀位点形成一个插补段，在五轴插补过程中，刀心从起始点CC₀到终止点CC₁匀速线性运动，同时刀轴方向从起始方向CA₀均匀摆转到终止方向CA₁，根据五轴加工中刀具的运动模式，假定起始和终止刀轴矢量均为单位矢量，即|CA₀|=|CA₁|=1，如图3所示，建立任一时刻的刀心轨迹的表达式：

CC(t)＝CC₀+t·Δ_CC,t∈[0,1]

式中CC₀为起始刀位点的刀心位置，Δ_CC＝CC₁-CC₀，CC₁为终止刀位点的刀心位置；

步骤3.2：根据起始刀位点的刀轴矢量CA₀，终止刀位点的刀轴矢量CA₁以及起始刀位点的刀心位置CC₀建立固定的局部坐标系L_x L_y L_z CC₀，其中局部坐标系L_x L_y L_z CC₀的三个坐标轴在机床坐标系的表达为：L_z＝CA₀，L_y＝CA₀×CA₁，L_x＝L_y×L_z；上述三个坐标轴两两相互垂直，都是单位矢量。

在局部坐标系L_x L_y L_z CC₀中，刀轴方向CA_L(t)为CA_L(t)＝[sin(γ(t)),0,cos(γ(t))],t∈[0,1]，其中γ(t)为在局部坐标系中任一时刻刀轴方向CA(t)与起始刀轴方向CA₀之间的夹角γ(t)＝γ_CA·t，γ_CA为在局部坐标系中起始刀轴方向CA₀与终止刀轴方向CA₁之间的夹角γ_CA＝arccos(CA₀·CA₁)，这是因为在刀具轴线摆动过程中，上述临时坐标系中L_y轴固定不变，所以任意时刻刀轴方向CA(t)的转动被限制在L_x轴和L_z轴所决定的平面内，即绕L_y轴旋转；而在上述局部坐标系L_x L_y L_z CC₀中，因L_y固定不变，在任一时刻t时，刀轴方向CA(t)可以表达为：从L_z方向，以L_y为旋转轴，向着L_x旋转了γ(t)度；

步骤3.3：将步骤3.2得到的局部坐标系中的刀轴方向CA_L(t)转换到机床坐标系中，得到CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+0·L_y+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]；

步骤3.4：以任一时刻的刀心点和和刀轴方向为依据，建立瞬时坐标系A_x A_y A_z CC(t)，CC(t)为瞬时坐标系的坐标原点，

A_z(t)＝CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]，

A_y＝L_y，

A_x(t)＝A_y×A_z＝-L_z·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_x,t∈[0,1]，

上述公式建立了两两垂直，且符合右手法则的坐标架。在此瞬时坐标系中，坐标原点、A_x轴、A_z轴随刀具摆动而变化，是关于变量t的变矢量函数。A_y轴固定不变，是常矢量。A_x、A_y、A_z都为单位矢量。

步骤3.5：将步骤2得到的通用刀具表面参数方程矢量表达形式转换到瞬时坐标系中，得到任一时刻刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程为：

CP(u,θ,t)＝cs_x(u)·cos(θ)·A_x(t)+cs_y(u)·sin(θ)·A_y+cs_z(u)·A_z(t)+CC(t)

u∈[0,1],θ∈[0,2π],t∈[0,1]

步骤4：包络特征线求解：根据包络理论，在扫描过程任一时刻，刀具表面总有一条曲线与扫描体表面切触，被称为特征线，特征线上任一点的表面法矢量与点的运动速度矢量相互垂直。

计算任一时刻刀具表面点的法矢量为：

$N=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂u}\×\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}$

$=-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x\left(t\right)-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\sin \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_y\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_x^{\′}\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·A_z\left(t\right)$

以及任一时刻刀具表面点的运动速度矢量

$V=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂t}={\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_z\left(u\right)\·A_z^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{CC}}$

根据包络理论，对于任一时刻刀具表面特征线上的点，其垂直于刀具表面的法矢量N与该点随刀具摆转所产生运动的速度矢量V应相互垂直，即满足如下公式N·V＝0，得到

sin(θ)·(-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_y)+

cos(θ)·(-cs′_x(u)·cs_x ²(u)·γ_CA-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_x(t)-cs_x(u)·cs′_z(u)·cs_z(u)·γ_CA)+

(cs′_x(u)·cs_x(u)·l_z(t))

＝0

整理得到

$\mathrm{\θ}=\mathrm{\θ}(u,t)=\arccos \left(\frac{-\mathrm{bc}\±a\sqrt{b^2-c^2-a^2}}{b^2+a^2}\right)$

其中a＝(-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_y)，

b＝-cs′_x(u)·cs_x ²(u)·γ_CA-cs_x(u)·cs′_z(u）·l_x(t)-cs_x(u)·cs′_z(u)·cs_z(u)·γ_CA，

c＝cs′_x(u)·cs_x(u)·l_z(t)，

将得到的θ解带入到步骤3.5中的刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程，得到任一时刻t₀时刀具表面上的特征曲线CP(u,θ(u,t₀),t₀)；

步骤5：将刀具从起始刀位点至终止刀位点的运动过程进行均匀离散，其中在u方向和t方向上分别对应取离散点数为M+1和N+1，离散点记为{P_ij|i＝0,1,…,M;j＝0,1,…,N}；

步骤6：根据步骤4计算时刻的特征线解析表达CP_i,j(u,θ(u,t_j),t_j)，将带入CP_i,j(u,θ(u,t_j),t_j)，得到M+1采样点，对此M+1个点进行Nurbs曲线拟合，得到第j条特征曲线；

步骤7：重复步骤6，得到所有N+1条特征曲线，沿t方向对N+1条特征曲线扫掠形成曲面刀具运动包络面；将与和进行布尔并运算，得到完整的刀具扫描实体，其中为由起始刀位点的特征曲线绕起始刀轴旋转而成的半个刀具表面，为由终止刀位点的特征曲线绕终止刀轴旋转而成的半个刀具表面。得到的加工过程中刀头形成的扫描体如图8所示，可以看到本文算法求解出的刀具扫描体表面均匀光滑。

本文算法与NX数控加工仿真模块比较，图9（a）为NX数控加工程序以表2中的刀位轨迹为数据的仿真过程，图9（b）为以本文算法求出在任意时刻的刀头包络线。为了比较本文算法与NX加工仿真程序的准确性，从表2中截取四段刀头的起始位置和结束位置，每一段按照本文的算法，求出五条刀头包络线，分析刀头包络线与NX加工仿真生成的模型表面残差，结果如图10所示，可以看到应用本文算法求出的刀具扫描体要更为准确。

Claims (1)

1.一种五轴加工中通用刀具扫描体的生成方法，其特征在于：采用以下步骤：

步骤1：将五轴加工中通用刀具截面线分为底面线、环线、斜线、顶面线四段，并建立通用刀具截面线的Nurbs表达式为：

$\mathrm{CS}\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·V_i\·N_{i,2}\left(u\right)}{\underset{i=0}{\overset{8}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\·N_{i,2}\left(u\right)},u\∈\left[\mathrm{0,1}\right]$

其中V_i为表达Nurbs曲线的控制顶点，ω_i为控制顶点对应的权因子，N_i,2(u)为定义在节点矢量分布U上的二次非均匀B样条基函数；节点矢量U为：

$U=\{\mathrm{0,0,0},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4},\mathrm{1,1,1}\}$

{V_i,i＝0,…,8}为：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_0=\left[\mathrm{0,0,0}\right]\\ V_1=\frac{1}{2}(V_0+V_2)\\ V_2=[\frac{d}{2},\mathrm{0,0}]\\ V_3=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}},\mathrm{0,0}]\\ V_4=[\frac{d}{2}+r\cos \mathrm{\α},0,r(1-\sin \mathrm{\α})]\\ V_5=\frac{1}{2}(V_4+V_6)\\ V_6=[\frac{d}{2}+r\frac{1-\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}}+h\·\mathrm{tg\α},0,h]\\ V_7=\frac{1}{2}(V_6+V_8)\\ V_8=[\mathrm{0,0},h]\end{array}\right.$

式中d为刀具的底平面直径，r为环形半径，α为锥面角度，h为刀具长度；与各控制顶点对应的权因子为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_i=1,i\∈\left\{\mathrm{0,1,2,4,5,6,7,8}\right\}\\ {\mathrm{\ω}}_3=\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}+\frac{\mathrm{\α}}{2})\end{array}\right.$

步骤2：将步骤1建立的通用刀具截面线的Nurbs表达式分解为机床坐标系OXYZ坐标系内分量：CS(u)＝[cs_x(u),0,cs_z(u)],u∈[0,1]，其中cs_x(u)和cs_z(u)分别是CS(u)的X坐标分量和Z坐标分量表达式；则得到通用刀具表面的参数方程为：

CP(u,θ)＝[cs_x(u)·cos(θ),cs_y(u)·sin(θ),cs_z(u)]

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中cs_y(u)为CS(u)的Y坐标分量表达式，θ为OX轴正向沿逆时针方向与直线OP₁所成的夹角，P₁为刀具表面上的点P沿Z轴垂直投影到XOY面上的投影点；通用刀具表面参数方程对应矢量表达形式为：

CP(u,θ)＝cs_x(u)·cos(θ)·I+cs_y(u)·sin(θ)·J+cs_z(u)·K

u∈[0,1],θ∈[0,2π]

其中I＝[1,0,0]，J＝[0,1，0]，K＝[0，0,1]；

步骤3：建立刀具运动方程：

步骤3.1：根据通用刀具的刀位点，建立任一时刻的刀心轨迹的表达式：

CC(t)＝CC₀+t·Δ_CC,t∈[0,1]

式中CC₀为起始刀位点的刀心位置，Δ_CC＝CC₁-CC₀，CC₁为终止刀位点的刀心位置；

步骤3.2：根据起始刀位点的刀轴矢量CA₀，终止刀位点的刀轴矢量CA₁以及起始刀位点的刀心位置CC₀建立固定的局部坐标系L_x L_y L_z CC₀，其中局部坐标系L_x L_y L_z CC₀的三个坐标轴在机床坐标系的表达为：L_z＝CA₀，L_y＝CA₀×CA₁，L_x＝L_y×L_z；在局部坐标系L_xL_yL_zCC₀中，刀轴方向CA_L(t)为CA_L(t)＝[sin(γ(t)),0,cos(γ(t))],t∈[0,1]，其中γ(t)为在局部坐标系中任一时刻刀轴方向CA(t)与起始刀轴方向CA₀之间的夹角γ(t)＝γ_CA·t，γ_CA为在局部坐标系中起始刀轴方向CA₀与终止刀轴方向CA₁之间的夹角γ_CA＝arccos(CA₀·CA₁)；

步骤3.3：将步骤3.2得到的局部坐标系中的刀轴方向CA_L(t)转换到机床坐标系中，得到CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+0·L_y+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]；

步骤3.4：以任一时刻的刀心点和和刀轴方向为依据，建立瞬时坐标系A_x A_y A_z CC(t)，CC(t)为瞬时坐标系的坐标原点，

A_z(t)＝CA(t)＝L_x·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_z,t∈[0,1]，

A_y＝L_y，

A_x(t)＝A_y×A_z＝-L_z·sin(γ(t))+cos(γ(t))·L_x,t∈[0,1]，

步骤3.5：将步骤2得到的通用刀具表面参数方程矢量表达形式转换到瞬时坐标系中，得到任一时刻刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程为：

CP(u,θ,t)＝cs_x(u)·cos(θ)·A_x(t)+cs_y(u)·sin(θ)·A_y+cs_z(u)·A_z(t)+CC(t)

u∈[0,1],θ∈[0,2π],t∈[0,1]

步骤4：计算任一时刻刀具表面点的法矢量为：

$\begin{array}{c}N=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂u}\×\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂\mathrm{\θ}}\\ =-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x\left(t\right)-{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_z^{\′}\left(u\right)\·\sin \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_y\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_x^{\′}\left(u\right)\·{\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·A_z\left(t\right)\end{array}$

以及任一时刻刀具表面点的运动速度矢量

$V=\frac{\∂\mathrm{CP}(u,\mathrm{\θ},t)}{\∂t}={\mathrm{cs}}_x\left(u\right)\·\cos \left(\mathrm{\θ}\right)\·A_x^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{cs}}_z\left(u\right)\·A_z^{\′}\left(t\right)+{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{CC}}$

根据N·V＝0，得到

$\mathrm{\θ}=\mathrm{\θ}(u,t)=\arccos \left(\frac{-\mathrm{bc}\±a\sqrt{b^2-c^2+a^2}}{b^2+a^2}\right)$

其中a＝(-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_y)，

b＝-cs′_x(u)·cs_x ²(u)·γ_CA-cs_x(u)·cs′_z(u)·l_x(t)-cs_x(u)·cs′_z(u)·cs_z(u)·γ_CA，

c＝cs′_x(u)·cs_x(u)·l_z(t)，

将得到的θ解带入到步骤3.5中的刀具表面点的在瞬时坐标系中的矢量方程，得到任一时刻t₀时刀具表面上的特征曲线CP(u,θ(u,t₀),t₀)；

步骤5：将刀具从起始刀位点至终止刀位点的运动过程进行均匀离散，其中在u方向和t方向上分别对应取离散点数为M+1和N+1，离散点记为{P_kj|k＝0,1,…,M；j＝0,1,…,N}；

步骤6：根据步骤4计算时刻的特征线解析表达CP_k,j(u,θ(u,t_j),t_j)，将M带入CP_k,j(u,θ(u,t_j),t_j)，得到M+1采样点，对此M+1个点进行Nurbs曲线拟合，得到第j条特征曲线；

步骤7：重复步骤6，得到所有N+1条特征曲线，沿t方向对N+1条特征曲线扫掠形成曲面刀具运动包络面T_i ^S；将T_i ^S与T_i ^I和T_i ^F进行布尔并运算，得到完整的刀具扫描实体，其中T_i ^I为由起始刀位点的特征曲线绕起始刀轴旋转而成的半个刀具表面，T_i ^F为由终止刀位点的特征曲线绕终止刀轴旋转而成的半个刀具表面。