CN108416153A - 自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法 - Google Patents

Abstract

本发明自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法属于薄壁曲面零件精密加工技术领域，涉及一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法。该方法通过建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射关系数学模型，根据薄壁曲面件原始设计几何模型获得自由态加工信息，利用中性层壳体有限元分析获得薄壁曲面件夹紧态加工信息。通过刀触点网格映射建立薄壁曲面件自由态与夹紧态下刀触点对应关系，最终生成夹紧态下薄壁曲面件刀具加工轨迹，由此确保装夹力释放后薄壁曲面件满足加工精度要求。该方法通过建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射关系，再规划夹紧态下薄壁曲面加工轨迹，提高了加工质量，适用于薄壁曲面件精密加工。

Description

自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法

技术领域

本发明属于薄壁曲面零件精密加工技术领域，涉及一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法。

背景技术

随着航空航天国防装备以及医疗民生等领域的飞速发展，薄壁曲面零件以其质量轻、比强度高等特点受到广泛关注。但是由于薄壁曲面件刚性低，在加工前装夹力作用下易产生弹性变形，从而破坏刀具和工件间理想的相对位置。若按照原始设计出的薄壁曲面件规划刀具轨迹进行加工，待加工结束撤去夹具，工件将回弹变形造成加工误差，最终致使加工精度无法满足要求。研究表明，20％至60％的加工误差是由装夹引起的，但是目前对工件-夹具系统装夹变形造成的加工误差控制上尚缺乏高效系统的方法，对装夹误差的研究主要集中在两个方面：一是最小装夹力的计算，二是最佳装夹顺序的规划。然而，薄壁曲面件加工完成装夹力释放后由于回弹变形及由其导致的加工误差的研究较少。鉴于装夹变形诱发的夹紧态下薄壁曲面件与原始设计存在差异，易致使按原始设计出的薄壁曲面件规划刀具加工轨迹进行加工难以满足加工精度要求，由此迫切需要研究一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法，为实现基于原始设计的夹紧态复杂薄壁曲面件加工轨迹再规划奠定基础，以保证装夹力释放产生回弹变形后复杂薄壁曲面件满足精度要求。

陈蔚芳等人专利公开号CN104111625B的“一种薄壁异形件装夹变形主动加工方法”，该专利通过对薄壁异形件的夹紧力进行优化设置，然后找出工件受力点范围，接着对工件进行辅助支撑的方式以达到变形最小的目的，并最终通过增减刀补的方式补偿变形。然而，该方法主要集中在优化夹紧力以减小工件变形上，并且增减刀补的补偿方法对具有变形不均匀、变形方向不确定的薄壁曲面件加工并不适用。王军等人的文献“薄壁壳体件装夹变形机理有限元分析与控制”，兵工学报，2011，32(8)，1008-1013，该文献采用有限元分析方法，对装夹过程中的薄壁壳体件装夹方案进行了优选，模拟了在集中载荷与均布载荷作用下，装夹位置、装夹顺序及加载方式对薄壁壳体零件变形的影响。然而，该方法仅从最优装夹布局方面减小工件变形，并未考虑装夹力释放后产生的回弹变形，具有一定的局限性。

发明内容

本发明针对现有技术缺陷，发明了一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法。该方法建立了自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射关系数学模型，根据薄壁曲面件原始设计几何模型经由CAM后处理获得自由态加工信息，利用中性层壳体有限元分析获得薄壁曲面件夹紧态加工信息，通过刀触点网格映射建立薄壁曲面件自由态与夹紧态下刀触点对应关系，最终生成夹紧态下薄壁曲面件刀具加工轨迹，该方法考虑装夹力释放后产生的回弹变形，再规划夹紧态下薄壁曲面加工轨迹，由此确保装夹力释放后薄壁曲面件满足加工精度要求，提高了加工质量。

本发明采用的技术方案是一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法，其特征在于，该方法首先建立了自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射数学模型；利用有限元数值分析方法，结合薄壁曲面件几何特征和加工过程中装夹布局，求解自由态与夹紧态下的有限元网格、单元、节点信息，通过加工刀触点网格映射方法获得夹紧态下薄壁曲面件刀触点；在此基础上进行最小二乘曲面局部拟合求解夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢，结合自由态下薄壁曲面件加工信息，进行夹紧态刀位点再生成及规划处理，最终减少薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差；方法的具体步骤如下：

步骤1，自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射模型建立

首先，利用UG软件对薄壁圆筒件进行自由态几何建模，在薄壁圆筒件表面加工图案参数方程为：首先，利用UG软件对薄壁圆筒件进行自由态几何建模，在薄壁圆筒件表面加工图案参数方程为：

式中，r表示极坐标系下极径大小，r＝10+(3×sin(2.5θ))²，θ表示极坐标系下极角大小；x_t、y_t、z_t分别表示直角坐标系下x、y、z坐标值。

然后利用CAM软件，根据薄壁曲面件几何特征及加工要求，对其加工轨迹规划，后处理获得刀位点、刀触点坐标信息。以薄壁曲面件刀触面为研究对象，定义自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系为f。

自由态时刀触点为D_i＝[x_i,y_i,z_i,1]，则自由态刀位点为：

W_i＝D_i+R·e_n (2)

其中，R为刀具半径，e_n为自由态刀触点单位法矢。

夹紧态时刀触点为：

则夹紧态刀位点为：

其中，为夹紧态刀触点单位法矢。

根据式(1)-(4)，建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件刀位点映射关系如下：

由此，夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹生成的关键在于，其一求解自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f，其二将夹紧态刀触点沿法矢生成夹紧态下薄壁曲面件刀位点。

步骤2，自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系求解

采用有限元方法计算夹紧态薄壁曲面件加工刀触点，夹紧态薄壁曲面件加工刀触点坐标的求解过程实质上是自由态下刀触点网格映射的过程，在计算出自由态下刀触点网格节点及其所在的薄壁曲面件有限元网格单元后，确定出自由态刀触点相对于薄壁曲面件有限元网格单元的位置关系，然后根据位置关系计算出自由态刀触点随薄壁曲面件有限元网格单元的变形而形成的夹紧态刀触点坐标。

有限元分析中，变形前后薄壁曲面件有限元网格单元和节点之间存在一一对应关系；有如下映射法则：映射前后刀触点所在的有限元网格单元相同，映射前后刀触点在各自有限元网格单元中的位置相似；

自由态薄壁曲面件加工刀触点所在的有限元网格单元位置分三种情况：刀触点在有限元网格单元内；刀触点在有限元网格单元边线上；刀触点为有限元网格节点。

根据自由态薄壁曲面件加工刀触点所在位置，分别对每种情况下的夹紧态加工刀触点坐标计算如下：

1)刀触点在有限元网格单元内

根据有限元网格单元类型确定刀触点在有限元网格单元中的位置，采用三角形单元或四边形单元；对于三角形单元，采用面积坐标表示有限元网格单元内点的位置；

自由态刀触点e在有向三角形单元Δijk中，它的面积坐标表示为：

其中，i,j,k为自由态有限元三角形网格节点，按逆时针排列约定；顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负，S为三角形单元Δijk的面积，S_ejk,S_eki,S_eij分别为有向三角形单元Δejk,Δeki,Δeij的面积。

有限元三角形单元Δijk所对应的有限元映射单元为有向三角形Δi^*j^*k^*，由于L_i,L_j,L_k不变，则夹紧态刀触点e^*的坐标为：

其中，i^*,j^*,k^*为夹紧态有限元三角形网格节点，S^*为有向三角形单元Δi^*j^*k^*的面积，分别为有向三角形单元Δe^*j^*k^*,Δe^*k^*i^*,Δe^*i^*j^*的面积。

定义有向三角形第一个顶点A₁坐标为(x₁,y₁,z₁)，第二个顶点A₂坐标为(x₂,y₂,z₂)，第三个顶点A₃坐标为(x₃,y₃,z₃)，则该三角形面积S_有向可用如下行列式表示：

其内任意一点A(x,y,z)与另外两个顶点A₂,A₃构成的三角形面积为：

由此，自由态刀触点e的坐标为(x_e,y_e,z_e,1)，与之相关联的节点有限元三角形网格节点i,j,k的坐标为(x_i,y_i,z_i,1),(x_j,y_j,z_j,1),(x_k,y_k,z_k,1)，则自由态下刀触点面积坐标为：

由于面积坐标与直角坐标换算关系为：

由此可得：

式中，夹紧态刀触点e^*的坐标为与之相关联的节点有限元三角形网格节点i^*,j^*,k^*的坐标为

薄壁曲面件夹紧态下，与自由态刀触点相关联的节点有限元三角形网格节点i,j,k的变形矩阵T_i,T_j,T_k为：

式中，(Δx_i,Δy_i,Δz_i),(Δx_j,Δy_j,Δz_j),(Δx_k,Δy_k,Δz_k)分别为节点i,j,k的变形量。

则有：

e^*＝[L_i L_j L_k]·[i j k]^T·[T_i T_j T_k] (13)

其中，[L_i L_j L_k]＝h(e,i,j,k)，h表示矩阵中数值L_i,L_j,L_k与自由态下刀触点e、有限元三角形网格节点i,j,k间的函数关系。

由此，求得夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

f＝h(e,i,j,k)·[i j k]^T·[T_i T_j T_k]·e^-1 (14)

2)刀触点在有限元网格单元边线上

自由态刀触点e落在有限元网格单元边线节点i,j之间，夹紧态有限元网格单元边线节点i^*,j^*为对应的变形节点，e和i,j之间存在一个比例系数λ：

其中，(x_e,y_e,z_e,1)为自由态刀触点e的坐标，(x_i,y_i,z_i,1),(x_j,y_j,z_j,1)分别为有限元网格单元节点i,j的坐标。

由于比例系数λ不变，可得夹紧态刀触点e^*的坐标为：

即：

其中，为夹紧态刀触点e^*的坐标，分别为有限元网格单元节点i^*,j^*的坐标。

薄壁曲面件夹紧态下，与自由态刀触点相关联的节点有限元三角形网格节点i,j的变形矩阵分别为T_i,T_j，E为单位矩阵：

式中，(Δx_i,Δy_i,Δz_i),(Δx_j,Δy_j,Δz_j)分别为节点i,j的变形量。

式(17)可化为：

化简得：

由此，求得夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

3)刀触点在网格单元节点上

自由态刀触点e落在有限元网格节点i上，夹紧态有限元网格节点i^*为对应的变形节点，按照变形前后节点间的一一对应关系，可得夹紧态下刀触点e^*的坐标：

e^*＝i^*＝i·T＝e·T_i (21)

式中，为节点i的变形量。

由此，夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

f＝T (22)

步骤3，夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢计算

刀触点网格节点中某一节点P的几何欧拉距离最短的m个数据点为P的m近邻或P的m邻域，m邻域中m值不是随便选取的，若取较大值可以提高邻域点的搜索精度，但是大大增加了搜索时间，若取较小的值，虽然提高了效率，但邻域点的数量太少会令后续拟合误差增大，无法准确反映出真实的局部几何形状特征，兼顾精度和效率取m＝22-32，进行最小二乘曲面局部拟合求解夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢。

利用最小二乘法原理对夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点附近局部区域进行曲面拟合，对于任意刀触点，它的法向量可以用该点及其邻域点拟合出的最小二乘曲面在该点的法矢替代。拟合的曲面方程为：

其中，a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,a₅为拟合系数。利用夹紧态刀触点拟合计算出式(23)的曲面方程，则使函数值W最小，W为：

为此，应满足：

即满足线性方程组：

解方程组获得a_q的值，将拟合曲面方程写成参数方程形式r(x,y,z)：

求曲面r(x,y)的偏微分记作曲面各个刀触点处单位法矢为：

步骤4，夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹再规划

由自由态下薄壁曲面件刀触点坐标，联合自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f以及求解得到的夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢e^* _n，获得夹紧态下薄壁曲面件加工刀位点。结合自由态下刀轨连接信息，通过后处理，输出机床能够识别的加工文件，实现减少薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差。

本发明的显著效果和益处是该方法针对薄壁曲面件实际加工过程中，由装夹力释放后产生回弹变形的问题，通过建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射关系，再规划夹紧态下薄壁曲面加工轨迹，提高了加工质量，该方法适用于薄壁曲面件精密加工。

附图说明

图1—方法整体流程图。

图2—薄壁曲面件装夹测力装置。图中：1-压块，2-传感器，3-支架1，4-支架2，5-工件，6-底座1，7-底座2。

图3—自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系流程图。

图4—自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点局部网格映射结果图；图中：X、Y表示坐标位置，□表示自由态有限元网格节点，+表示夹紧态有限元网格节点，○表示自由态刀触点，*表示夹紧态刀触点，1-有限元网格单元。

图5—未经加工轨迹映射的薄壁圆筒件表面图案点加工深度分布图；其中，Z值为薄壁圆筒件表面图案点加工深度，X值为测量点位置。

图6—经加工轨迹映射的薄壁圆筒件表面图案点加工深度分布图；其中，Z值为薄壁圆筒件表面图案点加工深度，X值为测量点位置。

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

薄壁曲面件加工时，由于刚性低，导致装夹力释放后产生回弹变形，影响薄壁曲面件加工质量。为了减小薄壁曲面件加工后装夹力释放后产生回弹变形导致的加工误差，发明了一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法，整体流程如附图1所示。

以规格尺寸为98×1×200(外径×壁厚×长度，单位mm)的7075铝合金薄壁圆筒件加工为例，借助UG软件、ANSYS软件以及MATLAB软件，详细说明本发明实施过程。加工中，主轴转速5000r/min，切深0.3mm，进给速度200mm/min，残余高度0.005mm。

首先，利用UG软件对薄壁圆筒件进行自由态几何建模，在薄壁圆筒件表面加工图案参数方程为：x_t＝rcosθ，y_t＝rsinθ，z_t＝0。其中，r表示极坐标系下极径大小，其值为r＝10+(3×sin(2.5θ))²；θ表示极坐标系下极角大小；x_t、y_t、z_t分别表示直角坐标系下x、y、z坐标值。

附图2为薄壁圆筒件装夹测力装置，夹紧力大小分别为164.1N和130.3N，根据实际装夹布局情况，利用ANSYS软件对薄壁圆筒件中性层壳体分析。薄壁

圆筒件材料弹性模量E＝71.7GPa，泊松比μ＝0.33，定义网格单元类型为壳单元shell181，单元网格尺寸为4mm，后处理得到薄壁圆筒件有限元网格、单元、节点三者间的拓扑关系，以及薄壁圆筒件装夹变形前后有限元网格节点的坐标值和有限元网格节点的变形位移量。

然后，利用MATLAB软件根据附图3自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系流程，结合上述过程得到的自由态刀触点信息，以及薄壁圆筒件装夹变形前后有限元网格节点的坐标值、有限元网格节点的变形位移量以及有限元网格、单元、节点三者间的拓扑关系，根据式(14)、(20)、(22)计算生成如附图4所示的自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点网格映射结果，即夹紧态刀触点。在此基础上，利用最小二乘法原理对夹紧态刀触点附近局部区域进行曲面拟合，自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点网格映射结果。在此基础上，利用最小二乘法原理对夹紧态刀触点附近局部区域进行曲面拟合，兼顾精度和效率取m＝22，根据式(23)-(28)计算各刀触点处法矢；再根据式(5)，获得夹紧态下薄壁曲面件加工刀位点。最后，结合自由态刀具加工轨迹信息，通过后处理，输出机床能够识别的加工文件，实现薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差避免目的。

为验证方法有效性，进行薄壁圆筒件经加工轨迹映射后与未经加工轨迹映射对比实验，并以三坐标测量机测量薄壁曲面件表面图案加工深度Z值变化作为加工质量好坏的判断标准。实验结果表明，经加工轨迹映射后，薄壁圆筒件表面图案加工深度变化均匀如附图5所示，未经加工轨迹映射的薄壁圆筒件表面图案加工深度变化明显，如附图6所示。未经加工轨迹映射的图案加工深度变化量为296.4μm，测量数据标准差为0.0189，深度变化较大，加工质量较差；经加工轨迹映射后的图案加工深度变化量为69.7μm，相比提高了76.5％，测量数据标准差为0.0786，深度变化较小，加工质量明显提高。由此判定结果与实验结果较好吻合，说明利用本发明的自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法，可达到薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差避免目的，提高加工质量，对工程实际中产生装夹回弹变形的薄壁曲面件加工具有重要的指导作用。

Claims (1)

1.一种自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射方法，其特征在于，该方法首先建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射数学模型；利用有限元数值分析方法，结合薄壁曲面件几何特征和加工过程中装夹布局，求解自由态与夹紧态下的有限元网格、单元、节点信息，通过加工刀触点网格映射方法获得夹紧态下薄壁曲面件刀触点；在此基础上进行最小二乘曲面局部拟合求解夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢，结合自由态下薄壁曲面件加工信息，进行夹紧态刀位点再生成及规划处理，最终减小薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差；方法的具体步骤如下：

步骤1，自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹映射模型建立

首先，利用UG软件对薄壁圆筒件进行自由态几何建模，在薄壁圆筒件表面加工图案参数方程为：

式中，r为极坐标系下极径大小，r＝10+(3×sin(2.5θ))²，θ为极坐标系下极角大小；x_t、y_t、z_t分别表示直角坐标系下x、y、z坐标值；

然后利用CAM软件，根据薄壁曲面件几何特征及加工要求，对其加工轨迹规划，后处理获得刀位点、刀触点坐标信息；以薄壁曲面件刀触面为研究对象，定义自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系为f；

自由态时刀触点为D_i＝[x_i,y_i,z_i,1]，则自由态刀位点为：

W_i＝D_i+R·e_n(2)

其中，R为刀具半径，e_n为自由态刀触点单位法矢；

夹紧态时刀触点为：

则夹紧态刀位点为：

其中，为夹紧态刀触点单位法矢；

根据式(1)-(4)，建立自由态与夹紧态下薄壁曲面件刀位点映射关系如下：

由此，夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹生成的关键在于，其一求解自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f，其二将夹紧态刀触点沿法矢生成夹紧态下薄壁曲面件刀位点；

步骤2，自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系求解

采用有限元方法计算夹紧态薄壁曲面件加工刀触点，薄壁曲面件变形前后有限元网格单元和节点之间存在一一对应关系；映射法则如下：映射前后刀触点所在的有限元网格单元相同，映射前后刀触点在各自有限元网格单元中的位置相似；

自由态薄壁曲面件加工刀触点所在的有限元网格单元位置分三种情况：刀触点在有限元网格单元内；刀触点在有限元网格单元边线上；刀触点为有限元网格节点；

根据自由态薄壁曲面件加工刀触点所在位置，分别对每种情况下的夹紧态加工刀触点坐标计算如下：

1)刀触点在有限元网格单元内

根据有限元网格单元类型确定刀触点在有限元网格单元中的位置；采用三角形单元或四边形单元，面积坐标表示有限元网格单元内点的位置；

自由态刀触点e在有向三角形单元Δijk中，它的面积坐标表示为：

其中，i,j,k为自由态有限元三角形网格节点，按逆时针排列，约定顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负，S为三角形单元Δijk的面积，S_ejk,S_eki,S_eij分别为有向三角形单元Δejk,Δeki,Δeij的面积；

有限元三角形单元Δijk所对应的有限元映射单元为有向三角形Δi^*j^*k^*，由于L_i,L_j,L_k不变，则夹紧态刀触点e^*的坐标为：

其中，i^*,j^*,k^*为夹紧态有限元三角形网格节点，S^*为有向三角形单元Δi^*j^*k^*的面积，分别为有向三角形单元Δe^*j^*k^*,Δe^*k^*i^*,Δe^*i^*j^*的面积；

定义有向三角形第一个顶点A₁坐标为(x₁,y₁,z₁)，第二个顶点A₂坐标为(x₂,y₂,z₂)，第三个顶点A₃坐标为(x₃,y₃,z₃)，则该三角形面积S_有向可用如下行列式表示：

其内任意一点A(x,y,z)与另外两个顶点A₂,A₃构成的三角形面积为：

由此，自由态刀触点e的坐标为(x_e,y_e,z_e,1)，与之相关联的节点有限元三角形网格节点i,j,k的坐标为(x_i,y_i,z_i,1),(x_j,y_j,z_j,1),(x_k,y_k,z_k,1)，则自由态下刀触点面积坐标为：

由于面积坐标与直角坐标换算关系为：

由此可得：

式中，夹紧态刀触点e^*的坐标为与之相关联的节点有限元三角形网格节点i^*,j^*,k^*的坐标为

薄壁曲面件夹紧态下，与自由态刀触点相关联的节点有限元三角形网格节点i,j,k的变形矩阵T_i,T_j,T_k为：

式中，(Δx_i,Δy_i,Δz_i),(Δx_j,Δy_j,Δz_j),(Δx_k,Δy_k,Δz_k)分别为节点i,j,k的变形量；则有：

e^*＝[L_i L_j L_k]·[i j k]^T·[T_i T_j T_k] (13)

其中，[L_i L_j L_k]＝h(e,i,j,k)，h表示矩阵中数值L_i,L_j,L_k与自由态下刀触点e、有限元三角形网格节点i,j,k间的函数关系；

由此，求得夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

f＝h(e,i,j,k)·[i j k]^T·[T_i T_j T_k]·e^-1 (14)

2)刀触点在有限元网格单元边线上

自由态刀触点e落在有限元网格单元边线节点i,j之间，夹紧态有限元网格单元边线节点i^*,j^*为对应的变形节点，e和i,j之间存在一个比例系数λ：

其中，(x_e,y_e,z_e,1)为自由态刀触点e的坐标，(x_i,y_i,z_i,1),(x_j,y_j,z_j,1)分别为有限元网格单元节点i,j的坐标；

由于比例系数λ不变，得到夹紧态刀触点e^*的坐标为：

即：

其中，为夹紧态刀触点e^*的坐标，分别为有限元网格单元节点i^*,j^*的坐标；

薄壁曲面件夹紧态下，与自由态刀触点相关联的节点有限元三角形网格节点i,j的变形矩阵分别为T_i,T_j，E为单位矩阵：

式中，(Δx_i,Δy_i,Δz_i),(Δx_j,Δy_j,Δz_j)分别为节点i,j的变形量；

式(17)可化为：

化简得：

由此，求得夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

3)刀触点在网格单元节点上

自由态刀触点e落在有限元网格节点i上，夹紧态有限元网格节点i^*为对应的变形节点，按照变形前后节点间的一一对应关系，得到夹紧态下刀触点e^*的坐标：

e^*＝i^*＝i·T＝e·T_i(21)

式中，(Δx_i,Δy_i,Δz_i)为节点i的变形量；

由此，夹紧态与自由态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f为：

f＝T(22)

步骤3，夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢计算

刀触点网格节点中某一节点P的几何欧拉距离最短的m个数据点为P的m近邻或P的m邻域，兼顾精度和效率取m＝22-32，进行最小二乘曲面局部拟合求解夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢；

利用最小二乘法原理对夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点附近局部区域进行曲面拟合，对于任意刀触点，它的法向量可以用该点及其邻域点拟合出的最小二乘曲面在该点的法矢替代；拟合的曲面方程为：

其中，a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,a₅为拟合系数；利用夹紧态刀触点p＝1,2,3,...,m拟合计算出式(23)的曲面方程，则使函数值W最小，W为：

为此，应满足：

即满足线性方程组：

解方程组获得a_q的值，将拟合曲面方程写成参数方程形式r(x,y,z)：

求曲面r(x,y)的偏微分记作曲面各个刀触点处单位法矢为：

步骤4，夹紧态下薄壁曲面件加工轨迹再规划

由自由态下薄壁曲面件刀触点坐标，联合自由态与夹紧态下薄壁曲面件加工刀触点间映射关系f以及求解得到的夹紧态下薄壁曲面件刀触点法矢获得夹紧态下薄壁曲面件加工刀位点；结合自由态下刀轨连接信息，通过后处理，输出机床能够识别的加工文件，实现减少薄壁曲面件加工完成后装夹回弹变形引起的加工误差。