CN104615083B - 基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法属于数控机床动态误差补偿领域，涉及一种轮廓误差估计新方法和基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿新方法。该方法在辨识加工进给轴控制系统伺服增益的基础上，根据随动误差模型和直线插补加工代码，离线估计实际加工点；利用理想刀轨“累加弦长参数三次样条”近似的方法估计轮廓误差矢量；再利用轮廓误差矢量在各轴的分量计算轮廓误差补偿值，得到补偿后刀位点，进而生成补偿后直线插补数控加工代码，用于实际加工。该方法是提高数控机床动态精度的刀轨轮廓误差补偿方法，精确度高，计算过程稳定，无需在线测量。便于实施，适用范围广。

Description

基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法

技术领域

本发明属于一种数控机床的动态误差补偿领域，涉及一种轮廓误差估计新方法和基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿新方法。

背景技术

航空航天、能源动力等领域高端装备中存在许多对轮廓精度要求高的复杂曲面零件，如航空发动机叶片、船用整体叶轮等。以航空发动机叶片为例，若其轮廓精度不达标，将直接影响其气动性能，进而导致航空发动机工作存在重大安全隐患。目前，为保证该类零件的加工精度，导致加工效率低，无法满足航空航天、能源动力等领域快速发展对高轮廓精度复杂曲面零件的大量需求。

采用高进给速度进行加工是提高高轮廓精度复杂曲面零件加工效率的重要手段之一。然而，由于数控机床伺服控制系统动态特性的限制，加工进给速度较高时，数控机床刀具加工轨迹曲线的轮廓误差明显增加。针对高轮廓精度复杂曲面零件，其刀具加工轨迹往往为曲率变化较大的曲线，导致产生的轮廓误差更加明显，刀具加工轨迹曲线大的线轮廓误差将直接导致高轮廓精度复杂曲面零件加工表面的面轮廓精度降低，无法满足高轮廓精度复杂曲面零件加工质量要求。由此，高轮廓精度复杂曲面零件数控加工效率的提升与轮廓精度不高之间的矛盾凸显。

曲面数控加工轮廓误差得到了学者的广泛关注。相关研究主要集中在轮廓误差估计和轮廓误差降低两个方面。轮廓误差估计方面，文献“Estimation of the contouringerror vector for the cross-coupled control design”，Syh-Shiuh Yeh等，IEEE/ASMETransactions on Mechatronics，2002，7(1)：44-51，该文献中利用切线近似代替期望加工轨迹的方法对自由曲线轮廓误差进行估计，然而当加工轨迹曲线的曲率较大时，该方法的估计精度显著降低。文献“一种实时轮廓误差估计方法”，李培新等，中国机械工程，2011，22(4)：419-423，该文献中利用三次样条插值的方法估计轮廓误差，提高了估计精度。然而，由于三次样条曲线是基于“小挠度”假设定义的，故当加工轨迹曲线的曲率较大时，三次样条插值曲线势必产生很大波动，故该方法不适用于估计大曲率曲线的加工轮廓误差。此外，三次样条无法对垂直切线轮廓进行拟合，导致算法不稳定。轮廓误差降低方面，文献“Contourerror reduction for free-form contour following tasks of biaxial motioncontrol systems”，Ming-Yang Cheng等，Robotics and Computer-IntegratedManufacturing，2009，25(2)：323-333，该文献通过在伺服控制系统中增加前馈控制器、反馈控制器和交叉耦合控制器，以及调整加工进给速度的方法有效降低了轮廓误差。然而，该方法须改进数控机床各进给轴伺服控制系统结构，对高度集成化数控机床适用性降低。

综上，目前的轮廓误差估计方法均无法估计大曲率加工轨迹曲线的轮廓误差，轮廓误差降低方法亦存在缺陷。

发明内容

本发明旨在克服现有技术的缺陷，发明一种适用范围广、精度高、稳定性好的轮廓误差估计方法和一种基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法，补偿方法通过测量拐角轮廓和直线轮廓的加工误差，辨识各加工进给轴控制系统的位置环伺服增益；利用直线插补加工代码估计理论刀位点对应的的实际加工位置；再利用“累加弦长参数三次样条”插值方法，对期望加工轨迹进行拟合，有效提高复杂曲面零件轮廓精度。

本发明的技术方案是一种基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法，该方法基于典型刀具加工轨迹的误差测量，对各加工进给轴控制系统的伺服增益系数进行辨识；根据伺服控制系统随动误差模型，利用直线插补加工代码估计理论刀位点对应的的实际加工位置；再利用“累加弦长参数三次样条”插值方法，对期望加工轨迹进行拟合，通过计算实际加工位置到期望加工轨迹曲线轮廓的距离，获得轮廓误差矢量的估计值；最后，利用轮廓误差矢量在各加工进给轴的分量计算刀具加工轨迹轮廓误差补偿值，得到补偿后刀位点，进而得到补偿后直线插补加工代码，并用于实际加工，从而提高刀具加工轨迹的轮廓精度，最终提高复杂曲面零件轮廓精度；该方法的具体步骤如下：

1)基于典型刀具加工轨迹轮廓误差测量对各加工进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识

由于刀具加工轨迹轮廓误差估计算法以获得各加工进给轴控制系统的伺服增益系数为前提，故基于典型刀具加工轨迹轮廓误差测量对机床X、Y进给轴位置环伺服增益进行辨识。

首先，设计拐角轮廓C₁C₂C₃，其中C₁C₂段与机床X进给轴正向夹角为零，数控指令加工进给速度为v₀，C₂C₃段与机床X进给轴正向夹角为α，数控指令加工进给速度为v₀/cosα，故在该加工轨迹全程，X进给轴加工进给速度分量始终为v₀。与该加工轨迹对应的实际加工轨迹为C₁'C₂'C₃'，考虑静态误差的影响，C₂和C₂'之间的距离，即拐点处加工误差Ex＝e_x(v₀)+e₀，其中e_x(v₀)为与加工进给速度有关的随动误差，且e₀为机床在C₂点处的静态误差，故可得：

拐点误差Ex与X进给轴加工进给速度分量v₀之间呈线性关系，利用最小二乘法辨识出X进给轴控制系统的位置环伺服增益Kv_x。

其次，通过测量直线轨迹的轮廓误差，对Y进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识。与拐角误差相比，直线轨迹轮廓误差较小，不易测量，故设计l₁、l₂、l₃三条间距相同的理论加工直线段轨迹，且与X进给轴正向夹角相同，为θ_l，l₁'、l₂'、l₃'分别为l₁、l₂、l₃对应的实际加工轨迹；l₁和l₃的加工进给速度相同且相对很低，故轮廓误差相等且相对较小，为E_l0；l₂的加工进给速度高，为v_l，轮廓误差为E_l，根据直线轨迹轮廓误差模型，二者满足：

此外，令l₁'与l₂'间距为d₁，l₂'与l₃'间距为d₂，由尺寸关系得：

结合(2)、(3)式得到：

Δd＝Cons·v_l-E_l0 (4)

式中，通过测量间距d₁和d_2，并计算得出；Cons为常数，且：

从(4)式看出，Δd与v_l之间为线性关系，故通过测量并计算不同进给速度v_l下的Δd值，利用最小二乘法拟合出系数Cons，并利用(5)式和已辨识出的Kv_x计算得出Y轴伺服增益Kv_y：

2)计算理论刀位点对应的实际加工位置

根据西门子系统的数控机床在“连续路径”运行模式下高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差的产生机理，令第i个理论刀位点为R_i(Rx_i,Ry_i)，则与之对应的实际加工位置P_i(Px_i,Py_i)为：

式中，e_{x_i}、e_{y_i}为各进给轴的随动误差，且：

其中，v_{x_i}、v_{y_i}分别为第i个程序段X轴和Y轴的进给速度分量，v_i为加工代码中指定的该程序段进给速度，固有：

令第一个刀位点处，理论刀位点与实际加工位置坐标相同，并综合式(7)、(8)、(9)估计实际加工位置的数学模型为：

3)利用“累加弦长参数三次样条”插值估计期望加工轨迹

根据直线插补数控加工代码，估计期望加工轨迹在各刀位点处的切向量。对于第i个插补刀位点R_i来说，利用其前一个刀位点R_i-1和后一个刀位点R_i+1连线的矢量作为R_i处理论加工轨迹的切线Tang_i；另外，对于加工轨迹的起始点R₁，没有前一个刀位点，利用第一和第二个刀位点连线矢量作为加工轨迹起始刀位点R₁处的切向量Tang₁；对于加工轨迹终点R_n，不存在后一个刀位点，利用其前一个刀位点和该点自身连线矢量作为加工轨迹终点R_n处的切向量Tang_n。综上，加工轨迹上每个刀位点切向量表示为：

每个刀位点处加工轨迹切线的斜率表示为：

式中，为第i个插补刀位点R_i处加工轨迹的斜率，n为加工轨迹刀位点总数。

令“累加弦长参数三次样条”插值曲线的累加弦长参数为u，表示的是各刀位点间距的累加和，则其在各刀位点处的值u_i表示为：

令由于参数u的含义是弦长的累加和，故根据勾股定理du²＝dx²+dy²和得出第i个插补刀位点R_i处的和的计算公式为：

公式(14)中正负号的计算方法：对于来说，首先判断第i个插补刀位点R_i处切向量Tang_i在X方向分量Tang_i(1)的正负，若Tang_i(1)>0，说明此处X轴具有向正方向运行的趋势，故取正号，若Tang_i(1)<0，说明此处X轴具有向负方向运行的趋势，故取负号；同理可判断的符号。当Tang_i(1)＝0时，说明加工曲线在该点具有竖直切线，既这时的记为和利用式(14)通过取极限的方法获得：

在式(15)中正负号的选择原理同上，既若Tang_i(2)>0，取若Tang_i(2)<0，取综上，各刀位点R_i处的计算方法总结如下：

由此，利用各刀位点及各刀位点处切向量对期望加工轨迹进行样条拟合。在第i个程序段，即刀位点R_i-1和R_i之间，拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i表示为：

4)计算高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差估计值

在第3)步中拟合的期望加工轨迹上到第i个实际加工位置P_i距离最短的点为Q_i，则轮廓误差矢量ε_i表示为：

为计算Q_i的坐标(Qx_i,Qy_i)，首先确定Q_i相邻的两个刀位点R_m和R_m-1，进而确定Q_i所在的插值曲线段S_m。令对于第i个实际加工位置P_i，计算▽_i(R_i-a)·▽_i(R_i-a-1)，其中a＝0,1,…。若确定两个相邻刀位点R_i-a和R_i-a-1，使得下式成立：

▽_i(R_i-a)·▽_i(R_i-a-1)<0 (19)

那么，Q_i必在R_i-a和R_i-a-1之间的插值曲线段S_i-a上，即m＝i-a。证明如下：

设(x(u),y(u))为R_i-a-1和R_i-a之间拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i-a上任意一点，令：

其中：

将式(21)和(22)代入式(20)得到：

由于三次样条函数具有二阶连续微商，故和都是关于参数u在闭区间[u_i-a-1,u_i-a]上的连续函数。所以，▽_i(u)也是关于参数u在闭区间[u_i-a-1,u_i-a]上的连续函数。又因为连续函数▽_i(u)在两个端点(u_i-a-1,▽_i(u_i-a-1))和(u_i-a,▽_i(u_i-a))处满足式(19)，即▽_i(u_i-a-1)·▽_i(u_i-a)<0，所以▽_i(u_i-a-1)和▽_i(u_i-a)异号。根据“零点定理”，在开区间(u_i-a-1,u_i-a)中必存在一个u_ξ使故该点ξ(x(u_ξ),y(u_ξ))即为所求的加工轨迹上距离实际加工位置P_i最短的点Q_i，且在两相邻刀位点R_i-a和R_i-a-1之间。根据上述证明，确定满足(19)式的a值后，令m＝i-a，在刀位点R_m和R_m-1之间的插值曲线S_m上找到距离实际加工位置P_i最短的点Q_i。

因Q_i为插值曲线S_m上距离实际加工位置P_i最短的点，故有下式成立：

利用“二分法”可以快速精准的在曲线S_m上找到Q_i，具体步骤如下：(1)令端点参数q₀＝u_m-1，q₁＝u_m，且(2)将曲线“二分”，计算中点Q_1/2的参数(3)利用式(17)计算中点Q_1/2的坐标(x(q_1/2),y(q_1/2))，以及中点Q_1/2处参数三次样条曲线的切向量Ts_1/2，且其中和分别用如下两式表示：

(4)计算其中判断▽₀·▽_1/2的符号，若▽₀·▽_1/2<0，令q₁＝q_1/2、▽₁＝▽_1/2，并返回第(2)步；若▽₀·▽_1/2>0，令q₀＝q_1/2、▽₀＝▽_1/2，并返回第(2)步；以上四步骤不断循环，直到满足终止条件▽₀·▽_1/2＝0结束运算，此时的Q_1/2点即为所求的Q_i，此时高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差矢量ε_i为：

5)高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差补偿

由式(27)得第i个实际加工点处轮廓误差矢量在X和Y进给轴方向上的分量分别为ε_i(1)＝x(q_1/2)-Px_i和ε_i(2)＝y(q_1/2)-Py_i。为有效减小轮廓误差，引入误差补偿系数K_comp，则补偿后刀位点的各轴分量表示为：

式中，K_comp根据实际补偿效果在1～1.5之间取值。

最后利用补偿后的刀位点生成数控加工代码代替初始数控加工代码进行加工，得到具有更高轮廓精度的实际加工轨迹。

本发明的有益效果是高进给速度加工曲面刀轨轮廓误差估计方法精确度高，计算过程稳定。无需在线测量，无需加工轨迹的数学方程，只需直线插补数控加工代码即可实现高进给速度加工曲面刀轨轮廓误差的离线估计和补偿。基于刀位点修改的高进给速度加工曲面刀轨轮廓误差补偿方法不影响加工效率，不需要改进现有数控机床各进给轴的伺服控制系统结构，补偿过程便于实施。

附图说明

图1——基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法流程图。

图2——X进给轴控制系统的位置环伺服增益辨识原理图。图中，X、Y分别代表X轴和Y轴，轨迹C₁C₂C₃为期望加工轮廓，α为C₂C₃与X轴正向夹角，C₁'C₂'C₃'为实际加工轮廓，Ex为拐角轮廓在拐点C₂处的总误差。

图3——Y进给轴控制系统的位置环伺服增益辨识原理图。其中，X、Y分别代表X轴和Y轴，l₁、l₂、l₃为三条与X轴夹角同为θ_l的期望加工直线段轮廓，l₁与l₂，l₂与l₃的加工起点间距同为D，其中，l₁与l₃的指令进给速度较小且相同，其轮廓误差为E_l0，l₂的指令进给速度较大，其轮廓误差为E_l，l₁'、l₂'、l₃'分别为对应于l₁、l₂、l₃的实际加工轮廓，d₁、d₂分别为l₁'与l₂'以及l₂'与l₃'间距离。

图4——实际加工位置坐标计算原理图。其中，X、Y分别代表X轴和Y轴，1为期望加工轮廓，2为直线插补轨迹，3为实际加工轮廓，R_i-2、R_i-1、R_i分别为第i-2、i-1和第i个理论刀位点，P_i-2、P_i-1、P_i分别为三个理论刀位点对应的实际加工点，v_i-1、v_i、v_i+1分别为第i-1、i和第i+1个程序段的加工进给速度，e_{x_i}、e_{y_i}分别为R_i处X和Y方向随动误差。

图5——曲面刀轨轮廓误差矢量估计示意图。其中，X、Y分别代表X轴和Y轴，R_i为第i个理想刀位点，P_i为其对应的实际加工点，Tang_i为R_i处期望加工轨迹的切向量；R_m-1和R_m为满足的两相邻刀位点，Tang_m-1和Tang_m分别为R_m-1和R_m处期望加工轨迹的切向量；S_m为R_m-1和R_m之间的插值曲线段；Q_i为S_m上距离P_i最近的点；Ts_i为S_m上Q_i处的切向量，满足为轮廓误差矢量估计值。

图6——正弦曲线轮廓X进给轴补偿量。图中，x轴为刀位点序号，y轴为数控机床X进给轴在各刀位点处的补偿量，单位为mm。

图7——正弦曲线轮廓Y进给轴补偿量。图中，x轴为刀位点序号，y轴为数控机床Y进给轴在各刀位点处的补偿量，单位为mm。

图8——补偿前后正弦曲线轮廓误差绝对值对比图。其中，x轴为刀位点序号，y轴为轮廓误差绝对值，单位为μm，1为补偿前各刀位点处轮廓误差绝对值，2为补偿后各刀位点处轮廓误差绝对值。

具体实施方式

结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施方式。

为保证高轮廓精度复杂曲面零件的加工要求，导致加工效率低，无法满足航空航天、能源动力等领域快速发展对高轮廓精度复杂曲面零件的大量需求。采用高进给速度进行加工是提高高轮廓精度复杂曲面零件加工效率的重要手段之一。然而，数控加工在“连续路径”运行模式下，由于数控机床动态特性的限制，加工进给速度较高时，数控机床刀具加工轨迹曲线的轮廓误差明显增加，进而导致复杂曲面零件轮廓精度降低，无法满足高轮廓精度复杂曲面零件加工质量要求。为提高高轮廓精度复杂曲面零件的加工精度和加工效率，发明一种基于刀位点修改的高进给速度加工曲面刀轨轮廓误差补偿方法，以正弦曲线轨迹高进给速度加工为例，详细说明本发明的具体实施方式。

附图1是本发明基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法流程图，方法的具体步骤如下：

(1)通过测量拐角轮廓和直线轮廓的加工误差，辨识各加工进给轴控制系统的位置环伺服增益。

所采用的数控机床控制系统为西门子840D sl数控系统，其Z轴装有激光器。数控加工在“连续路径”代码为G64运行模式下，进行4组附图2所示拐角轨迹的激光加工。取角度α＝45°，当X进给轴加工进给速度分量v₀为16.667mm/s、33.333mm/s、50mm/s以及66.667mm/s时，测得拐角轮廓误差Ex分别为102.46μm、195.37μm、270.21μm以及343.44μm。经最小二乘拟合，得到：

Ex＝0.0048v₀+0.0284(29)

故X进给轴控制系统的位置环伺服增益为：

Kv_x＝208.333(1/s) (30)

进行4组附图3所示直线轨迹的激光加工。角度θ_l＝45°，当进给速度v_l为12.5mm/s、25mm/s、37.5mm/s以及50mm/s时，测量并利用式(3)计算得到的Δd分别为1.68μm、2.69μm、4.38μm以及6.075μm。经最小二乘拟合得到Cons＝-1.19×10^-4，利用式(6)得到Y进给轴控制系统的位置环伺服增益为：

Kv_y＝219.2(1/s) (31)

(2)高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差估计

加工的正弦曲线轨迹方程为：

式中，x取值范围为x∈(0,20)。加工进给速度恒为50mm/s，即v_i＝50,i＝1,2,…,n，利用NX8.0/CAM生成直线插补数控加工代码，设刀位点序列为R＝[R₁ R₂ … R_n]，则与刀位点R_i对应的实际加工点P_i坐标可利用式(10)求出。

对理论刀位点利用“累加弦长参数三次样条”插值，得到R_i-1和R_i之间的插值曲线段S_i的方程如式(17)所示。

参见附图4，通过计算▽_i(R_i-a)·▽_i(R_i-a-1)，a＝0,1,…，找到第一个满足▽_i(R_i-a)·▽_i(R_i-a-1)<0的a值，并令m＝i-a。在曲线段S_m上利用“二分法”找到距离P_i最近的点Q_i(Qx_i,Qy_i)，则轮廓误差矢量估计值ε_i可通过式(18)求出。

(3)高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差补偿利用式(28)求解高进给速度加工轮廓误差补偿后的刀位点，此时各加工进给轴补偿量为：

式中，Com_x、Com_y分别为X进给轴和Y进给轴的补偿量，取补偿系数K_comp＝1.5，得到X、Y进给轴补偿量分别参见附图6、7。

(4)分别利用补偿前和补偿后数控加工代码进行正弦曲线的激光加工，并利用日本KEYENCE公司生产的VHX-600E超景深三维数码显微系统对高进给速度加工轮廓误差进行测量，得到补偿前后各刀位点处轮廓误差的绝对值，参见附图8。补偿前，轮廓误差最大值为116.29μm，平均值为46.05μm。补偿后，轮廓误差最大值为58.48μm，平均值为20.74μm。与补偿前相比，补偿后的轮廓误差最大值降低了49.71％，平均值降低了54.96％。

本发明基于刀位点修改的曲面刀轨轮廓误差补偿方法可有效降低数控加工“连续路径”运行模式下的加工轮廓误差，显著提高数控系统加工曲线轨迹的轮廓精度，进而提高高轮廓精度复杂曲面零件的加工精度。该方法的实施过程仅需要修改直线插补数控加工代码，方便可靠，可广泛应用于西门子数控系统数控机床的高轮廓精度复杂曲面零件数控加工中，对高轮廓精度复杂曲面零件高质高效加工具有重大意义。

Claims (1)

1.一种基于刀位点修改的加工曲面刀轨轮廓误差补偿方法，其特征是，该方法在辨识加工进给轴控制系统伺服增益的基础上，根据随动误差模型和直线插补加工代码，离线估计实际加工点；利用理想刀轨“累加弦长参数三次样条”近似的方法估计轮廓误差矢量；再利用轮廓误差矢量在各轴的分量计算轮廓误差补偿值，得到补偿后刀位点，进而生成补偿后直线插补数控加工代码，用于实际加工，从而提高高进给速度加工曲面刀轨的轮廓精度；方法的具体步骤如下：

1)基于典型刀具加工轨迹轮廓误差测量，对各加工进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识：

首先，设计拐角轮廓C₁C₂C₃，其中C₁C₂段与机床X进给轴正向夹角为零，数控指令加工进给速度为v₀，C₂C₃段与机床X进给轴正向夹角为α，数控指令加工进给速度为v₀/cosα，故在该加工轨迹全程，X进给轴加工进给速度分量始终为v₀；与该加工轨迹对应的实际加工轨迹为C₁'C₂'C₃'，考虑静态误差的影响，C₂和C₂'之间的距离，即拐点处加工误差Ex＝e_x(v₀)+e₀，其中，e_x(v₀)为与加工进给速度有关的随动误差，且e₀为机床在C₂点处的静态误差，故得到：

$Ex=\frac{v_0}{{\mathrm{Kv}}_x}+e_0---\left(1\right)$

拐点误差Ex与X进给轴加工进给速度分量v₀之间呈线性关系，利用最小二乘法辨识出X进给轴控制系统的位置环伺服增益Kv_x；

其次，通过测量直线轨迹的轮廓误差，对Y进给轴控制系统的位置环伺服增益进行辨识；与拐角误差相比，直线轨迹轮廓误差较小，不易测量，故设计l₁、l₂、l₃三条间距相同的理论加工直线段轨迹，且与X进给轴正向夹角相同，为θ_l，l₁'、l₂'、l₃'分别为l₁、l₂、l₃对应的实际加工轨迹；l₁和l₃的加工进给速度相同且相对很低，故轮廓误差相等且相对较小，为E_l0；l₂的加工进给速度高，为v_l，轮廓误差为E_l，根据直线轨迹轮廓误差模型，二者满足：

$E_l=\frac{v_{l}sin\left(2{\mathrm{\&theta;}}_l\right)}{2}(\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_y}-\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_x})---\left(2\right)$

此外，令l₁'与l₂'间距为d₁，l₂'与l₃'间距为d₂，由尺寸关系得：

$E_l=\frac{d_1-d_2}{2}+E_{l0}---\left(3\right)$

结合(2)、(3)式可得：

Δd＝Cons·v_l-E_l0 (4)

式中，通过测量间距d₁和d₂并计算得出；Cons为常数，且：

$Cons=\frac{sin\left(2{\mathrm{\&theta;}}_l\right)}{2}(\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_y}-\frac{1}{{\mathrm{Kv}}_x})---\left(5\right)$

从(4)式可以看出，Δd与v_l之间为线性关系，通过测量并计算不同进给速度v_l下的Δd值，利用最小二乘法拟合出系数Cons，并利用(5)式和已辨识出的Kv_x计算得出Y轴伺服增益Kv_y：

${\mathrm{Kv}}_y=\frac{{\mathrm{Kv}}_{x}sin\left(2{\mathrm{\&theta;}}_l\right)}{sin\left(2{\mathrm{\&theta;}}_l\right)+2{\mathrm{Kv}}_{x}Cons}---\left(6\right)$

2)计算理论刀位点对应的实际加工位置

根据西门子系统的数控机床在“连续路径”运行模式下高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差的产生机理，令第i个理论刀位点为R_i(Rx_i,Ry_i)，则与之对应的实际加工位置P_i(Px_i,Py_i)为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Px}}_i={\mathrm{Rx}}_i-e_{x\_i}\\ {\mathrm{Py}}_i={\mathrm{Ry}}_i-e_{y\_i}\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，e_{x_i}、e_{y_i}为各进给轴的随动误差，且：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_{x\_i}=\frac{v_{x\_i}}{{\mathrm{Kv}}_x}\\ e_{y\_i}=\frac{v_{y\_i}}{{\mathrm{Kv}}_y}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，v_{x_i}、v_{y_i}分别为第i个程序段X轴和Y轴的进给速度分量，固有：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{x\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}\\ v_{y\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_i)}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中，v_i为加工代码中指定的该程序段进给速度；此外，令第一个刀位点处，理论刀位点与实际加工位置坐标相同，并综合式(7)、(8)、(9)可得估计实际加工位置的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Px}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Rx}}_i& i=1\\ {\mathrm{Rx}}_i-\frac{v_i({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_x\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\\ {\mathrm{Py}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Ry}}_i& i=1\\ {\mathrm{Ry}}_i-\frac{v_i({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_y\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(10\right)$

3)利用“累加弦长参数三次样条”插值估计期望加工轨迹

根据直线插补数控加工代码，估计期望加工轨迹在各刀位点处的切向量；对于第i个插补刀位点R_i来说，利用其前一个刀位点R_i-1和后一个刀位点R_i+1连线的矢量作为R_i处理论加工轨迹的切线Tang_i；另外，对于加工轨迹的起始点R₁，没有前一个刀位点，利用第一和第二个刀位点连线矢量作为加工轨迹起始刀位点R₁处的切向量Tang₁；对于加工轨迹终点R_n，不存在后一个刀位点，利用其前一个刀位点和轨迹终点R_n自身连线矢量作为加工轨迹终点R_n处的切向量Tang_n；综上，加工轨迹上每个刀位点切向量表示为：

${\mathrm{Tang}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}R{x}_2-R{x}_1\\ {\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1\end{array}\right)& i=1\\ \left(\begin{array}{c}R{x}_{i+1}-R{x}_{i-1}\\ {\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}\end{array}\right)& 1<i<n\\ \left(\begin{array}{c}R{x}_n-R{x}_{n-1}\\ {\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}\end{array}\right)& i=n\end{array}\right.---\left(11\right)$

每个刀位点处加工轨迹切线的斜率表示为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1}{{\mathrm{Rx}}_2-{\mathrm{Rx}}_1}& i=1\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}}{{\mathrm{Rx}}_{i+1}-{\mathrm{Rx}}_{i-1}}& 1<i<n\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}}{{\mathrm{Rx}}_n-{\mathrm{Rx}}_{n-1}}& i=n\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中，为第i个插补刀位点R_i处加工轨迹的斜率，n为加工轨迹刀位点总数；

令“累加弦长参数三次样条”插值曲线的累加弦长参数为u，表示的是各刀位点间距的累加和，则其在各刀位点处的值u_i表示为：

$u_i=\left\{\begin{array}{cc}0& i=1\\ \underset{2}{\overset{i}{\&Sigma;}}\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}& i\&GreaterEqual;2\end{array}\right.---\left(13\right)$

令由于参数u的含义是弦长的累加和，故根据勾股定理du²＝dx²+dy²等得出和的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)=\&PlusMinus;\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_i\right)=\&PlusMinus;\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

式中，正负号的选取方法为：对于来说，首先判断Tang_i在X方向分量Tang_i(1)的正负，若Tang_i(1)＞0，说明此处X轴具有向正方向运行的趋势，故取正号；若Tang_i(1)＜0，说明此处X轴具有向负方向运行的趋势，故取负号；同理可判断的符号；此外，当Tang_i(1)＝0时，说明加工曲线在Tang_i(1)＝0时的刀位点Ri具有竖直切线，既这时的 记为和利用式(14)通过取极限的方法获得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\&perp;}\left(u_i\right)=\underset{\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }(\&PlusMinus;\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}})=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{\&perp;}\left(u_i\right)=\underset{\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }(\&PlusMinus;\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}})=\&PlusMinus;1\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中，正负号的选择原理同上，既若Tang_i(2)＞0，取若Tang_i(2)＜0，取综上，各刀位点R_i处的计算方法如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)>0\\ 0& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0\\ -\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)<0\end{array}\right.\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\right|}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)\&NotEqual;0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)>0\\ 1& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)>0\\ 0& {\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)=0\\ -1& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)<0\\ -\frac{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\right|}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)\&NotEqual;0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(16\right)$

由此，利用各刀位点及各刀位点处切向量对期望加工轨迹进行样条拟合；在第i个程序段，即刀位点R_i-1和R_i之间，拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(u\right)={\mathrm{Rx}}_{i-1}(1-2\frac{u-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Rx}}_i(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\\ y\left(u\right)={\mathrm{Ry}}_{i-1}(1-2\frac{u-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Ry}}_i(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\end{array}\right.---\left(17\right)$

4)计算高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差估计值

在第3)步中拟合的期望加工轨迹上到第i个实际加工位置P_i距离最短的点为Q_i，则轮廓误差矢量ε_i表示为：

为计算Q_i的坐标(Qx_i,Qy_i)，首先确定Q_i相邻的两个刀位点R_m和R_m-1，进而确定Q_i所在的插值曲线段S_m；令对于第i个实际加工位置P_i，计算其中a＝0,1,…；若确定两个相邻刀位点R_i-a和R_i-a-1，使得下式成立：

${\&dtri;}_i\left(R_{i-a}\right)\&CenterDot;{\&dtri;}_i\left(R_{i-a-1}\right)<0---\left(19\right)$

那么Q_i必在R_i-a和R_i-a-1之间的插值曲线段S_i-a上，即m＝i-a，证明如下：

设(x(u),y(u))为R_i-a-1和R_i-a之间拟合的累加弦长参数三次样条曲线S_i-a上任意一点，令：

其中：

$Ts=\left(\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u\right)\end{array}\right)---\left(22\right)$

将式(21)和(22)代入式(20)得到：

${\&dtri;}_i\left(u\right)=\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u\right)\left(x\right(u)-{\mathrm{Px}}_i)+\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u\right)\left(y\right(u)-{\mathrm{Py}}_i)---\left(23\right)$

由于三次样条函数具有二阶连续微商，故和都是关于参数u在闭区间[u_i-a-1,u_i-a]上的连续函数，所以，也是关于参数u在闭区间[u_i-a-1,u_i-a]上的连续函数；又因为连续函数在两个端点和处满足式(19)，即所以和异号；根据“零点定理”，在开区间(u_i-a-1,u_i-a)中必存在一个u_ξ使故点ξ(x(uξ),y(uξ))即为所求的加工轨迹上距离实际加工位置P_i最短的点Q_i，且在两相邻刀位点R_i-a和R_i-a-1之间；根据上述证明，确定满足(19)式的a值后，令m＝i-a，在刀位点R_m和R_m-1之间的插值曲线S_m上找到距离实际加工位置P_i最短的点Q_i；

因Q_i为插值曲线S_m上距离实际加工位置P_i最短的点，故有下式成立：

利用“二分法”快速精准的在曲线S_m上找到Q_i，具体步骤如下：(1)令端点参数q₀＝u_m-1，q₁＝u_m，且(2)将曲线“二分”，计算中点Q_1/2的参数(3)利用式(17)计算中点Q_1/2的坐标(x(q_1/2)，y(q_1/2))，以及中点Q_1/2处参数三次样条曲线的切向量Ts_1/2，且其中和分别用如下两式表示：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(q_{1/2}\right)={\mathrm{Rx}}_{i-1}\&lsqb;\frac{-2{(q_{1/2}-u_i)}^2}{{(u_{i-1}-u_i)}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i})\&rsqb;\\ +\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_{i-1}\right)\frac{{(q_{1/2}-u_i)}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}\\ +{\mathrm{Rx}}_i\&lsqb;\frac{-2{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2}{{(u_i-u_{i-1})}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_{i-1})}{{(u_i-u_{i-1})}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_i}{u_i-u_{i-1}})\&rsqb;\\ +\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)\frac{{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_i-u_{i-1})}^2}\end{array}---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(q_{1/2}\right)={\mathrm{Ry}}_{i-1}\&lsqb;\frac{-2{(q_{1/2}-u_i)}^2}{{(u_{i-1}-u_i)}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i})\&rsqb;\\ +\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_{i-1}\right)\frac{{(q_{1/2}-u_i)}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_{i-1}-u_i)}^2}\\ +{\mathrm{Ry}}_i\&lsqb;\frac{-2{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2}{{(u_i-u_{i-1})}^3}+\frac{2(q_{1/2}-u_{i-1})}{{(u_i-u_{i-1})}^2}(1-2\frac{q_{1/2}-u_i}{u_i-u_{i-1}})\&rsqb;\\ +\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_i\right)\frac{{(q_{1/2}-u_{i-1})}^2+2(q_{1/2}-u_{i-1})(q_{1/2}-u_i)}{{(u_i-u_{i-1})}^2}\end{array}---\left(26\right)$

(4)计算其中，判断的符号，若令q₁＝q_1/2、并返回第(2)步；若令q₀＝q_1/2、并返回第(2)步；以上四步骤不断循环，直到满足终止条件结束运算，此时的Q_1/2点即为所求的Q_i，此时高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差矢量ε_i为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left(\begin{array}{c}x\left(q_{1/2}\right)-P{x}_i\\ y\left(q_{1/2}\right)-{\mathrm{Py}}_i\end{array}\right)---\left(27\right)$

5)高进给速度加工刀具轨迹轮廓误差补偿

由式(27)得第i个实际加工位置处轮廓误差矢量在X和Y进给轴方向上的分量分别为ε_i(1)＝x(q_1/2)-Px_i和ε_i(2)＝y(q_1/2)-Py_i；为有效减小轮廓误差，引入误差补偿系数K_comp，则补偿后刀位点的各轴分量可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_i^{comp}={\mathrm{Rx}}_i+K_{comp}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\left(1\right)\\ {\mathrm{Ry}}_i^{comp}={\mathrm{Ry}}_i+K_{comp}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\left(2\right)\end{array}\right.---\left(28\right)$

式中，K_comp根据实际补偿效果在1～1.5之间取值；

最后利用补偿后的刀位点生成数控加工代码代替初始数控加工代码进行加工，得到具有更高轮廓精度的实际加工轨迹。