CN104615084B - 加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法属于复杂曲面零件高质高效加工领域，涉及一种包含进给速度优化和刀位点修改的刀轨曲线轮廓误差补偿方法。该方法根据直线插补加工代码中的刀位点和加工进给速度信息，以数控机床进给轴加速度和加加速度极限为约束，对进给速度进行优化；利用三次B样条拟合方法平滑进给速度曲线，得到最终优化后的加工进给速度；再利用刀位点和优化后进给速度，计算各轴轮廓误差补偿量，进而获得补偿后直线插补数控指令，用于实际加工，从而提高轮廓精度。该方法的实施过程仅需要修改直线插补加工代码中的刀位点和加工进给速度，方便可靠，通用性好，是提高高进给速度数控加工时刀轨曲线轮廓精度的有效方法。

Description

加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法

技术领域

本发明属于复杂曲面零件高质高效数控加工领域，特别涉及一种基于加工进给速度优化和刀位点修改的曲面加工刀轨轮廓误差补偿方法。

技术背景

高性能复杂曲面零件在航空航天、能源动力等领域中有着广泛应用，其数控加工技术一直是工业生产领域研究的热点与难点。为保证复杂曲面零件性能，复杂曲面轮廓精度要求极高，导致高性能复杂曲面零件加工效率低。随着我国航空航天、能源动力等领域的快速发展，对高性能复杂曲面零件的需求量不断增加，高性能复杂曲面零件需求量增加与加工效率不高的矛盾日益突出。

采用高进给速度进行加工是提高高性能复杂曲面零件加工效率的重要手段之一。然而，由于数控机床各进给轴伺服控制系统随动误差的存在以及进给轴在“连续路径”运行模式下的运行特点，进给速度较高时，数控机床刀具加工轨迹曲线的轮廓误差明显增加；若数控指令进给速度过高，由于数控机床进给轴的加速度和加加速度的限制，当刀具加工轨迹曲线曲率较大时，实际加工进给速度无法达到理想的数控指令进给速度值，从而产生更大的轮廓误差。针对高性能复杂曲面零件，其刀具加工轨迹往往为曲率变化较大的曲线，导致产生的轮廓误差更加明显，刀具加工轨迹曲线大的线轮廓误差将直接导致高性能复杂曲面零件加工表面的面轮廓精度降低，无法满足高性能复杂曲面零件加工质量要求。因此，基于机床动态特性对加工进给速度进行优化，进而对刀具加工轨迹曲线轮廓误差进行补偿，对提高高性能复杂曲面零件加工精度，进而保证复杂曲面零件性能具有重要意义。

文献“Smooth feedrate planning for continuous short line tool pathwith contour error constraint”，Jingchuan Dong等，International Journal ofMachine Tools and Manufacture，2014，76：1-12，在文献中建立了加工进给速度、刀具加工轨迹曲率半径以及轮廓误差三者之间的关系，提出了以轮廓误差为约束的加工进给速度规划方法，提高了轮廓精度。然而，该方法单纯通过降低加工进给速度提高轮廓精度，若加工进给速度降低程度不大，轮廓精度的提高效果不明显；若加工进给速度降低程度较大，虽然可提高轮廓精度，但会严重影响加工效率。

在文献“Contour error reduction for free-form contour following tasksof biaxial motion control systems”，Ming-Yang Cheng等，Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2009，25(2)：323-333，该文献通过在伺服控制系统中增加前馈控制器、反馈控制器和交叉耦合控制器以及调整进给速度的方法有效降低了轮廓误差。然而，该方法须改进数控机床各进给轴伺服控制系统结构，对高度集成化数控机床适用性降低。

发明内容

本发明要解决的技术难题是针对现有的技术缺陷，高性能复杂曲面零件高进给速度加工中进给轴“连续路径”运行模式下的运行特点、导致刀具加工轨迹曲线大的线轮廓误差、进而导致高性能复杂曲面零件加工表面的面轮廓精度降低的问题，发明了加工进给速度优化的刀轨曲线通用轮廓误差补偿方法，以数控机床动态特性为约束，在最大限度发挥机床性能的前提下优化加工进给速度，在此基础上进行刀具加工轨迹曲线轮廓误差补偿，有效提高高性能复杂曲面零件轮廓加工精度，对高性能复杂曲面零件的高质高效加工具有重大意义。

本发明的技术方案是一种加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法，首先，在高性能复杂曲面零件高进给速度加工中进给轴“连续路径”运行模式下，根据直线插补加工代码中的刀位点和加工进给速度信息，以数控机床进给轴加加速度极限为约束，对加工进给速度进行一次优化；其次，以数控机床进给轴加速度极限为约束，对加工进给速度进行二次优化，保证实际加工进给速度能够达到优化后的指令加工进给速度值；然后，利用三次B样条建模方法，对加工进给速度进行平滑，获得优化后的加工进给速度曲线；最后，利用刀位点和优化后的加工进给速度，计算数控机床各进给轴轮廓误差补偿量，实现刀具加工轨迹曲线轮廓误差补偿，最终提高高性能复杂曲面零件轮廓精度。方法的具体步骤如下：

1)以数控机床进给轴加加速度极限为约束对加工进给速度进行一次优化

首先，计算高性能复杂曲面零件加工各数控程序段内加工进给轴的理想加工进给速度。设第i个程序段的运行终点，即第i个理想刀位点为R_i(Rx_i,Ry_i)，该程序段内的编程进给速度为v_i，则各进给轴在该程序段内的理想进给速度为：

式中，v_{x_i}、v_{y_i}分别为第i个程序段加工时间内X轴和Y轴的理想进给速度，θ_i为向量与X轴正向夹角，则：

由(1)、(2)得：

其次，计算进给轴在S形加减速模式下各程序段运行时间内达到理想进给速度所需要的最小加加速度。为此，在第i个程序段内，以起始点R_i-1的加工时间为原点建立笛卡尔坐标系，横轴为加工时间，纵轴为进给速度，并对理想进给速度进行两段二次Hermite插值，进而将得到的插值曲线方程对时间求二阶导数，即可得到从第i-1个达到第i个理想进给速度所需要的最小加加速度值。令κ＝x,y表示进给轴X、Y，Δt_i表示第i个程序段的理论加工时间，且针对两段二次Hermite插值，由于是S形加减速，故第一段插值曲线V_{κ_i}(t)，的边界条件为：起点速度值V_{κ_i}(0)＝v_{κ_i-1}，起点斜率，即起点加速度终点速度值第二段插值曲线V_{κ_i}(t)，的边界条件为：起点速度值终点速度值V_{κ_i}(Δt_i)＝v_{κ_i}，终点斜率，即终点加速度据此得到的插值曲线方程为：

利用式(4)对时间的二阶导数，得到Δt_i时间内κ进给轴加工进给速度分量从v_{κ_i-1}到v_{κ_i}所需要的最小加加速度的绝对值为：

设数控机床加工进给轴加加速度极限为判断与的关系。若说明该程序段加工时，需要的最小加加速度超过了数控机床进给轴加加速度极限，则实际加工进给速度不能达到数控指令进给速度，需要对数控指令进给速度进行优化。设以加加速度极限为约束进行优化后的第i个程序段κ进给轴加工进给速度分量为令那么的计算方法如下。若则无需优化，故若则可以由如下公式得出：

式中，J_{κ_i}(t)为第i个程序段内κ进给轴实际能够达到的加工进给加加速度，为：

其中，为经加加速度极限约束优化加工进给速度之后的第i个程序段理论加工时间，且sign(v_{κ_i}-v_{κ_i-1})为(v_{κ_i}-v_{κ_i-1})的符号：

将式(7)代入式(6)可得时满足的方程为：

可见(9)式为一关于的一元三次方程，有三个根，设分别为r₁、r₂、r₃，则取舍的方式如下：若三个根中，有两个共轭虚根，则余下的实根，设为r_k，即为所求的若三个根都为实根，当r_k满足下列三个条件时，即为所求的条件为：

(1)r_k与v_{κ_i}符号相同，即r_k·v_{κ_i}>0；

(2)r_k的绝对值比优化前速度v_{κ_i}的绝对值小，即|r_k|<|v_{κ_i}|；

(3)若同时满足前述两个条件的根有多个，则取与v_{κ_i}最接近的根作为r_k的值。

综上，满足加工进给轴加加速度极限的一次优化后进给轴加工进给速度为：

式中r_k为满足前述条件的方程(9)的根。

2)以数控机床进给轴加速度极限为约束对加工进给速度进行二次优化

首先，判断各加工程序段内，在加速度限制条件下，进给速度是否能够达到指定的经加加速度约束优化后的加工进给速度。然后，对不能达到指定速度的程序段，利用加速度限制条件，进行进给速度规划。

设κ进给轴加速度极限为对于经过加加速度限制为约束优化后的进给速度来说，其加加速度必然满足机床轴加加速度极限。因此，若第i个程序段加工时间则最大加速度必然小于轴加速度极限只有当且式(11)不成立时，在轴加速度极限的约束下，进给轴在该程序段内才无法达到指令速度值，此时需要利用加速度极限作为约束条件优化加工进给速度。

设二次优化后第i个程序段进给速度κ轴分量为令则(i≥2)的计算方法如下：若或者，但式(11)成立，则若且式(11)不成立，则由下式计算：

式中，

其中，为经加速度极限约束优化加工进给速度之后的第i个程序段理论加工时间，且将式(13)代入式(12)可得所满足的方程为：

根据实际物理意义，该二次方程必然有两个实数根。选取原则与步骤1)中相同。设得到的满足条件的方程(14)的根为r_a，则优化后的加工进给速度为：

利用前述加工进给速度优化方法，分别令κ＝x，κ＝y，得到和利用和可得到两组合成加工进给速度，分别为：

为同时满足数控机床各进给轴加加速度和加速度极限的约束条件，二次优化后的合成加工进给速度为：

3)平滑加工进给速度

需要指出，前述优化后的加工进给速度可能在两程序段间产生剧烈变化，故需对其进行平滑处理，以得到更加合理的加工进给速度，从而用于实际加工。综合考虑计算负担和平滑效果，本发明利用三次B样条拟合的方法对各加工程序段数控指令进给速度进行四遍拟合，从而实现加工进给速度平滑。三次B样条用下式表示：

式中参数τ的取值范围为0≤τ≤1，p_i为第i个控制点。设程序段序号为n，令并代入式(18)，获得平滑后的加工进给速度v^s与程序段序号n之间的关系为：

因为n_i为第i个程序段的序号，故有：

n_i＝i (20)

将式(20)代入式(19)，并令n(τ)＝i，可得对应于第i个程序段的参数τ值为τ＝0。此时，将τ＝0代入式(19)即可求得第i个程序段对应的平滑后进给速度为：

另外，令m为程序段总数，则即可由下式表示：

根据式(22)，可以计算出多遍B样条平滑后的进给速度递推公式为：

式中，k＝2,3…为B样条进给速度平滑的遍数。故经过四遍平滑得到的最终优化后进给速度为：

式中，i∈[1,m]。

4)计算经轮廓误差补偿后的刀位点坐标

利用前述加工进给速度优化算法得到的优化后进给速度进行加工时，各程序段加工时间内，实际加工进给速度都能够达到理论速度值，故可以根据稳态随动误差模型，利用直线插补加工代码，离线估计数控机床加工进给轴在“连续路径”运行模式下，对应于理论刀位点R_i的实际刀位点P_i(Px_i,Py_i)坐标：

式中，Kv_x、Kv_y分别为X轴和Y轴伺服控制系统的位置环增伺服增益系数。

得到实际刀位点以后，可通过计算其到期望加工轨迹的距离，获得轮廓误差矢量估计值。利用“累加弦长参数三次样条”对刀位点进行拟合得到的R_i-1和R_i之间期望加工轨迹的方程为：

式中，u∈[u_i-1,u_i]，且u_i、和可分别利用式(27)和式(28)求得。

其中，

利用“二分法”计算实际加工点到拟合期望轨迹曲线的距离矢量，设其在X、Y方向分量分别为ε_{x_i}，ε_{y_i}，则轮廓误差矢量ε_i为：

补偿后刀位点的坐标可以表示为：

式中，i∈[1,m]，K_comp∈[1,1.5]为补偿系数。

5)最后，利用优化后的加工进给速度i∈[1,m]和补偿后的刀位点i∈[1,m]所生成的直线插补数控加工代码进行加工，实现高性能复杂曲面零件轮廓精度的提高。

本发明的有益效果是基于机床动态特性的限制优化了加工进给速度，尽管略微降低了加工效率，但优化后的指令加工进给速度值比优化前更加合理，与误差补偿相结合可大幅提高高性能复杂曲面零件轮廓精度。对于自由曲线加工轨迹来说，无需刀具加工轨迹方程等信息，无需改进数控机床各进给轴伺服控制系统，只需修改直线插补数控加工代码，即可实现加工进给速度的优化以及高性能复杂曲面零件轮廓误差补偿，实用性强，通用性好。

附图说明

图1—加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法流程图。

图2—四叶玫瑰线加工轨迹图。其中，X表示X进给轴，单位为mm，Y表示Y进给轴，单位为mm，A为起始加工点。

图3—四叶玫瑰线加工轨迹的优化后加工进给速度曲线。其中，x轴表示数控加工程序段序号，y轴表示优化后进给速度，单位为mm/s。

图4—各刀位点处X进给轴轮廓误差补偿量。其中，x轴表示刀位点序号，y轴表示X进给轴轮廓误差补偿量，单位为mm。

图5—各刀位点处Y进给轴轮廓误差补偿量。其中，x轴表示刀位点序号，y轴表示Y进给轴轮廓误差补偿量，单位为mm。

图6—补偿前后轮廓误差绝对值对比图。其中，x轴表示刀位点序号，y轴表示轮廓误差绝对值，单位为μm，1为利用原始数控代码加工得到的加工轨迹轮廓误差绝对值曲线，2为利用加工进给速度优化和误差补偿后的数控代码加工得到的加工轨迹轮廓误差绝对值曲线。

具体实施方式

结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施方式。

针对高性能复杂曲面零件高进给速度加工中进给轴“连续路径”运行模式下的运行特点、导致刀具加工轨迹曲线大的线轮廓误差、进而导致高性能复杂曲面零件加工表面的面轮廓精度降低的问题，发明了基于加工进给速度优化的刀轨曲线通用轮廓误差补偿方法，利用数控机床加工进给轴加加速度和加速度极限为约束条件，优化了进给速度，并在此基础上，计算数控机床各进给轴轮廓误差补偿量，实现刀具加工轨迹曲线轮廓误差补偿，最终提高高性能复杂曲面零件轮廓精度。附图1是加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法流程图。以四叶玫瑰线刀具轨迹的加工为例，如附图2所示，详细说明本发明的具体实施方式。

首先，生成直线插补数控加工代码。加工四叶玫瑰线的曲线方程为：

式中，α∈[0,2π]，其图形见附图2，其中，A为起始加工点，采用进给速度50mm/s，生成直线插补加工代码。所采用的数控机床控制系统为西门子840D sl数控系统，其Z轴装有激光器，各加工进给轴加加速度和加速度分别设置为900m/s³和1.8m/s²。

其次，利用式(10)，以加加速度极限为约束对加工进给速度进行一次优化；利用式(15)以加速度极限为约束对加工进给速度进行二次规划；利用式(17)得到优化后的加工进给速度，根据式(24)进行加工进给速度平滑，得到最终优化后的加工进给速度轮廓曲线，参见附图3。

然后，利用优化后的加工进给速度根据式(25)计算实际刀位点坐标的估计值P_i(Px_i,Py_i)；另外，利用理论刀位点的“累加弦长参数三次样条”插值，得到期望加工轨迹估计值，并用“二分法”计算P_i到插值曲线的距离，得到轮廓误差估计值ε_{x_i}、ε_{y_i}，进而计算各进给轴轮廓误差补偿量，其大小可分别参见附图4和附图5，然后利用式(32)计算补偿后的指令刀位点坐标

最后，利用优化后加工进给速度和补偿后刀位点生成补偿后的直线插补数控加工代码，用于实际加工。补偿前和补偿后加工轨迹的轮廓误差绝对值大小对比可参见附图6。未经加工进给速度优化和轮廓误差补偿时，加工轨迹的轮廓误差最大值为103.71μm，平均值为54.98μm，加工时间为2.072s。加工进给速度优化和轮廓误差补偿后，轮廓误差最大值为46.11μm，平均值为22.08μm，加工时间为2.152s。与补偿前相比，补偿后加工时间仅仅延长了3.86％，而轮廓误差最大值降低了55.54％，平均值降低了59.85％。

发明加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法可有效降低“连续路径”运行模式下的加工轮廓误差，显著提高数控系统加工曲线轨迹的轮廓精度。该方法的实施过程仅需要修改直线插补加工代码中的刀位点和加工进给速度，方便可靠，可广泛应用于西门子数控系统数控机床的高性能复杂曲面零件数控加工当中，对于高性能复杂曲面零件高质高效加工具有重大意义。

Claims (1)

1.一种加工进给速度优化的刀轨曲线轮廓误差补偿方法，其特性是，在高进给速度数控加工中进给轴“连续路径”运行模式下，根据直线插补数控加工代码中的刀位点和加工进给速度信息，以数控机床进给轴加加速度极限为约束，对进给速度进行一次优化；再以机床进给轴加速度极限为约束，对加工进给速度进行二次优化；利用三次B样条拟合方法，对加工进给速度进行平滑，得到最终优化后加工进给速度曲线；利用刀位点和优化后加工进给速度，计算各轴轮廓误差补偿量，实现刀轨轮廓误差的离线补偿，从而提高轮廓精度；方法具体步骤如下：

1)以数控机床进给轴加加速度极限为约束对加工进给速度进行一次优化

首先，计算高性能复杂曲面零件加工各数控程序段内加工进给轴的理想加工进给速度；设第i个程序段的运行终点，即第i个理想刀位点为R_i(Rx_i,Ry_i)，该程序段内的编程进给速度为v_i，则各进给轴在该程序段内的理想进给速度为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{x\_i}=v_i{\mathrm{cos\&theta;}}_i\\ v_{y\_i}=v_i{\mathrm{sin\&theta;}}_i\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，v_{x_i}、v_{y_i}分别为第i个程序段加工时间内X轴和Y轴的理想进给速度，θ_i为向量与X轴正向夹角，则：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{cos\&theta;}}_i=\frac{{\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1}}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}\\ {\mathrm{sin\&theta;}}_i=\frac{{\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1}}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

由公式(1)、(2)得：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{x\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}\\ v_{y\_i}=\frac{v_i({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}{\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其次，计算进给轴在S形加减速模式下各程序段运行时间内达到理想进给速度所需要的最小加加速度；为此，在第i个程序段内，以起始点R_i-1的加工时间为原点建立笛卡尔坐标系，横轴为加工时间，纵轴为进给速度，并对理想进给速度进行两段二次Hermite插值，进而将得到的插值曲线方程对时间求二阶导数，即得到从第i-1个达到第i个理想进给速度所需要的最小加加速度值；

令κ＝x,y表示进给轴X、Y，Δt_i表示第i个程序段的理论加工时间，且针对两段二次Hermite插值，由于是S形加减速，故第一段插值曲线V_{κ_i}(t)，的边界条件为：起点速度值V_{κ_i}(0)＝v_{κ_i-1}，起点斜率，即起点加速度终点速度值第二段插值曲线V_{κ_i}(t)，的边界条件为：起点速度值终点速度值V_{κ_i}(Δt_i)＝v_{κ_i}，终点斜率，即终点加速度据此得到的插值曲线方程为：

$V_{\mathrm{\&kappa;}\_i}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^2-(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1})}{{({\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1})}^2}{t}^2+v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}& 0\&le;t\&le;\frac{{\mathrm{\&Delta;t}}_i}{2}\\ \frac{2v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^2-(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i})}{{({\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1})}^2}{\left(t-\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}}\right)}^2+v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}& \frac{{\mathrm{\&Delta;t}}_i}{2}<t<{\mathrm{\&Delta;t}}_i\end{array}\right.---\left(4\right)$

利用式(4)对时间的二阶导数，得到Δt_i时间内κ进给轴加工进给速度分量从v_{κ_i-1}到v_{κ_i}所需要的最小加加速度的绝对值为：

$j_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^{need}=\frac{4v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^2}{{({\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1})}^2}|v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}|---\left(5\right)$

设数控机床加工进给轴加加速度极限为判断与的关系；

若则无需优化，故若说明该程序段加工时，需要的最小加加速度超过了数控机床进给轴加加速度极限，则实际加工进给速度不能达到数控指令进给速度，需要对数控指令进给速度进行优化；设以加加速度极限为约束进行优化后的第i个程序段κ进给轴加工进给速度分量为 由如下公式得出：

${\&Integral;}_0^{\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j}}\left({\&Integral;}_0^{\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j}}{J}_{\mathrm{\&kappa;}\_i}\left(t\right)dt\right)dt=v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j---\left(6\right)$

式中，J_{κ_i}(t)为第i个程序段内κ进给轴实际能够达到的加工进给加加速度，为：

$J_{\mathrm{\&kappa;}\_i}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1})j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }& 0\&le;t\&le;\frac{{\mathrm{\&Delta;t}}_i^j}{2}\\ -sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1})j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }& \frac{{\mathrm{\&Delta;t}}_i^j}{2}<t\&le;{\mathrm{\&Delta;t}}_i^j\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，为经加加速度极限约束优化加工进给速度之后的第i个程序段理论加工时间，且sign(v_{κ_i}-v_{κ_i-1})为(v_{κ_i}-v_{κ_i-1})的符号：

$sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1})=\left\{\begin{array}{cc}1& v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}>0\\ 0& v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}=0\\ -1& v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}<0\end{array}\right.---\left(8\right)$

将式(7)代入式(6)可得时满足的方程为：

$4{\left(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j\right)}^3-4v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j-{\left(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j\right)}^2-sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}){({\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1})}^2{j}_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }=0---\left(9\right)$

公式(9)为一关于的一元三次方程，有三个根，设分别为r₁、r₂、r₃，则取舍的方式如下：若三个根中，有两个共轭虚根，则余下的实根，设为r_k，即为所求的若三个根都为实根，当r_k满足下列三个条件时，即为所求的条件为：

(1)r_k与v_{κ_i}符号相同，即r_k·v_{κ_i}>0；

(2)r_k的绝对值比优化前速度v_{κ_i}的绝对值小，即|r_k|<|v_{κ_i}|；

(3)若同时满足前述两个条件的根有多个，则取与v_{κ_i}最接近的根作为r_k的值；

综上，满足加工进给轴加加速度极限的一次优化后进给轴加工进给速度为：

$v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{\mathrm{\&kappa;}\_i}& j_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^{need}\&le;j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }\\ r_k& j_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^{need}>j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }\end{array}\right.---\left(10\right)$

2)以数控机床进给轴加速度极限为约束对加工进给速度进行二次优化

首先，判断各加工程序段内，在加速度限制条件下，进给速度是否能够达到指定的经加加速度约束优化后的加工进给速度；然后，对不能达到指定速度的程序段，利用加速度限制条件，进行进给速度规划；

设κ进给轴加速度极限为对于经过加加速度限制为约束优化后的进给速度来说，其加加速度必然满足机床轴加加速度极限；因此，若第i个程序段加工时间则最大加速度必然小于轴加速度极限只有当且式(11)不成立时，在轴加速度极限的约束下，进给轴在该程序段内才无法达到指令速度值，此时需要利用加速度极限作为约束条件优化加工进给速度；

$a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }\left(\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j}-\frac{a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}\right)\&GreaterEqual;|v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j-|---\left(11\right)$

设二次优化后第i个程序段进给速度κ轴分量为令则(i≥2)的计算方法如下：若或者，但式(11)成立，则若且式(11)不成立，则由下式计算：

${\&Integral;}_0^{\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^a}}{A}_{\mathrm{\&kappa;}\_i}\left(t\right)dt=v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^a-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^a----\left(12\right)$

式中，

$A_{\mathrm{\&kappa;}\_i}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j)j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }t& 0\&le;t\&le;\frac{a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}\\ sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j)a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }& \frac{a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}<t<{\mathrm{\&Delta;t}}_i^a-\frac{a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}\\ sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j)\left(-j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }t+\frac{{\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1}}{v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^a}{j}_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }\right)& {\mathrm{\&Delta;t}}_i^a-\frac{a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}\&le;t\&le;{\mathrm{\&Delta;t}}_i^a\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，为经加速度极限约束优化加工进给速度之后的第i个程序段理论加工时间，且将式(13)代入式(12)可得所满足的方程为：

$\begin{array}{c}{\left(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^a\right)}^2+\left(sign\left(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j\right)\&CenterDot;\frac{{\left(a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }\right)}^2}{j_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }}-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^a\right)\&CenterDot;v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^a\\ -sign(v_{\mathrm{\&kappa;}\_i}^j-v_{\mathrm{\&kappa;}\_i-1}^j)\&CenterDot;({\mathrm{R\&kappa;}}_i-{\mathrm{R\&kappa;}}_{i-1})\&CenterDot;a_{\mathrm{\&kappa;}}^{\lim }=0\end{array}---\left(14\right)$

根据实际物理意义，该二次方程必然有两个实数根，选取原则与步骤1)中相同；设得到的满足条件的方程(14)的根为r_a，则优化后的加工进给速度为：

利用前述加工进给速度优化方法，分别令κ＝x，κ＝y，得到和利用和可得到两组合成加工进给速度，分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_i^x=\frac{v_{x\_i}^a\&CenterDot;\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}{{\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1}}\\ v_i^y=\frac{v_{y\_i}^a\&CenterDot;\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}}{{\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1}}\end{array}\right.---\left(16\right)$

为同时满足数控机床各进给轴加加速度和加速度极限的约束条件，二次优化后的合成加工进给速度为：

$v_i^p=min\{v_i^x,v_i^y\}---\left(17\right)$

3)平滑加工进给速度

本发明利用三次B样条拟合的方法对各加工程序段数控指令进给速度进行四遍拟合，从而实现加工进给速度平滑；三次B样条用下式表示：

$p\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\&lsqb;\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&tau;}}^3& {\mathrm{\&tau;}}^2& \mathrm{\&tau;}& 1\end{array}\&rsqb;\&CenterDot;\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cccc}-1& 3& -3& 1\\ 3& -6& 3& 0\\ -3& 0& 3& 0\\ 1& 4& 1& 0\end{array}\right]\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{p}_{i-1}\\ p_i\\ p_{i+1}\\ p_{i+2}\end{array}\right]---\left(18\right)$

式中参数τ的取值范围为0≤τ≤1，p_i为第i个控制点；设程序段序号为n，令并代入式(18)，获得平滑后的加工进给速度v^s与程序段序号n之间的关系为：

$\left\{\begin{array}{c}n\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\left(-\frac{1}{6}{n}_{i-1}+\frac{1}{2}{n}_i-\frac{1}{2}{n}_{i+1}+\frac{1}{6}{n}_{i+2}\right){\mathrm{\&tau;}}^3+\left(\frac{1}{2}{n}_{i-1}-n_i+\frac{1}{2}{n}_{i+1}\right){\mathrm{\&tau;}}^2\\ +\left(-\frac{1}{2}{n}_{i-1}+\frac{1}{2}{n}_{i+1}\right)\mathrm{\&tau;}+\left(\frac{1}{6}{n}_{i-1}+\frac{2}{3}{n}_i+\frac{1}{6}{n}_{i+1}\right)\\ v^s\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\left(-\frac{1}{6}{v}_{i-1}^p+\frac{1}{2}{v}_i^p-\frac{1}{2}{v}_{i+1}^p+\frac{1}{6}{v}_{i+2}^p\right){\mathrm{\&tau;}}^3+\left(\frac{1}{2}{v}_{i-1}^p-v_i^p+\frac{1}{2}{v}_{i+1}^p\right){\mathrm{\&tau;}}^2\\ +\left(-\frac{1}{2}{v}_{i-1}^p+\frac{1}{2}{v}_{i+1}^p\right)\mathrm{\&tau;}+\left(\frac{1}{6}{v}_{i-1}^p+\frac{2}{3}{v}_i^p+\frac{1}{6}{v}_{i+1}^p\right)\end{array}\right.\mathrm{\&tau;}\&Element;\&lsqb;0,1\&rsqb;---\left(19\right)$

因为n_i为第i个程序段的序号，故有：

n_i＝i (20)

将式(20)代入式(19)，并令n(τ)＝i，得到对应于第i个程序段的参数τ值为τ＝0；此时，将τ＝0代入式(19)即求得第i个程序段对应的平滑后进给速度为：

$v_i^s=\frac{1}{6}{v}_{i-1}^p+\frac{2}{3}{v}_i^p+\frac{1}{6}{v}_{i+1}^p---\left(21\right)$

另外，令m为程序段总数，则由下式表示：

$v_i^s=\left\{\begin{array}{cc}{v}_1^p& i=1\\ \frac{1}{6}{v}_{i-1}^p+\frac{2}{3}{v}_i^p+\frac{1}{6}{v}_{i+1}^p& 1<i<m\\ v_m^p& i=m\end{array}\right.---\left(22\right)$

根据式(22)，计算出多遍B样条平滑后的进给速度递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{i,1}^s=v_i^s\\ v_{i,k}^s=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{1,k-1}^s& i=1\\ \frac{1}{6}{v}_{i-1,k-1}^s+\frac{2}{3}{v}_{i,k-1}^s+\frac{1}{6}{v}_{i+1,k-1}^s& 1<i<m\\ v_{m,k-1}^s& i=m\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(23\right)$

式中，k＝2,3…为B样条进给速度平滑的遍数；故经过四遍平滑得到的最终优化后进给速度为：

$v_i^f=v_{i,4}^s---\left(24\right)$

式中，i∈[1,m]；

4)计算经轮廓误差补偿后的刀位点坐标

根据稳态随动误差模型，利用直线插补加工代码，离线估计数控机床加工进给轴在“连续路径”运行模式下，对应于理论刀位点R_i的实际刀位点P_i(Px_i,Py_i)坐标：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Px}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Rx}}_i& i=1\\ {\mathrm{Rx}}_i-\frac{v_i^f({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_x\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\\ {\mathrm{Py}}_i=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Ry}}_i& i=1\\ {\mathrm{Ry}}_i-\frac{v_i^f({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}{{\mathrm{Kv}}_y\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Px}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Py}}_{i-1})}^2}}& i>1\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(25\right)$

式中，Kv_x、Kv_y分别为X轴和Y轴伺服控制系统的位置环增伺服增益系数；

利用“累加弦长参数三次样条”对刀位点进行拟合得到的R_i-1和R_i之间期望加工轨迹的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(u\right)={\mathrm{Rx}}_{i-1}\left(1-2\frac{u-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}\right){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Rx}}_i\left(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}\right){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\\ y\left(u\right)={\mathrm{Ry}}_{i-1}\left(1-2\frac{u-u_{i-1}}{u_{i-1}-u_i}\right){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_{i-1}\right)(u-u_{i-1}){\left(\frac{u-u_i}{u_{i-1}-u_i}\right)}^2\\ +{\mathrm{Ry}}_i\left(1-2\frac{u-u_i}{u_i-u_{i-1}}\right){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2+\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_i\right)(u-u_i){\left(\frac{u-u_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}\right)}^2\end{array}\right.---\left(26\right)$

式中，u∈[u_i-1,u_i]，且u_i、和分别利用式(27)和式(28)求得：

$u_i=\left\{\begin{array}{cc}0& i=1\\ \underset{2}{\overset{i}{\&Sigma;}}\sqrt{{({\mathrm{Rx}}_i-{\mathrm{Rx}}_{i-1})}^2+{({\mathrm{Ry}}_i-{\mathrm{Ry}}_{i-1})}^2}& i\&GreaterEqual;2\end{array}\right.---\left(27\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)>0\\ 0& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0\\ -\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)<0\end{array}\right.\\ \stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(u_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\right|}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)\&NotEqual;0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)>0\\ 1& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)>0\\ 0& {\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)=0\\ -1& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)=0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)<0\\ -\frac{\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)\right|}{\sqrt{1+{\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right(x_i\left)\right)}^2}}& {\mathrm{Tang}}_i\left(1\right)\&NotEqual;0,{\mathrm{Tang}}_i\left(2\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中，

${\mathrm{Tang}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_2-{\mathrm{Rx}}_1\\ {\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1\end{array}\right)& i=1\\ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_{i+1}-{\mathrm{Rx}}_{i-1}\\ {\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}\end{array}\right)& 1<i<n\\ \left(\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_n-{\mathrm{Rx}}_{n-1}\\ {\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}\end{array}\right)& i=0\end{array}\right.---\left(29\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{Ry}}_2-{\mathrm{Ry}}_1}{{\mathrm{Rx}}_2-{\mathrm{Rx}}_1}& i=1\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_{i+1}-{\mathrm{Ry}}_{i-1}}{{\mathrm{Rx}}_{i+1}-{\mathrm{Rx}}_{i-1}}& 1<i<n\\ \frac{{\mathrm{Ry}}_n-{\mathrm{Ry}}_{n-1}}{{\mathrm{Rx}}_n-{\mathrm{Rx}}_{n-1}}& i=n\end{array}\right.---\left(30\right)$

利用“二分法”计算实际加工点到拟合期望轨迹曲线的距离矢量，设其在X、Y方向分量分别为ε_{x_i}，ε_{y_i}，则轮廓误差矢量ε_i为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{x\_i}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{y\_i}\end{array}\right)---\left(31\right)$

补偿后刀位点的坐标表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{Rx}}_i^{comp}={\mathrm{Rx}}_i+K_{comp}{\mathrm{\&epsiv;}}_{x\_i}\\ {\mathrm{Ry}}_i^{comp}={\mathrm{Ry}}_i+K_{comp}{\mathrm{\&epsiv;}}_{y\_i}\end{array}\right.---\left(32\right)$

式中，i∈[1,m]，K_comp∈[1,1.5]为补偿系数；

5)最后，利用优化后的加工进给速度i∈[1,m]和补偿后的刀位点i∈[1,m]所生成的直线插补数控加工代码进行加工，实现高性能复杂曲面零件轮廓精度的提高。