CN103984285A - 一种多约束五轴加工进给率定制方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种多约束五轴加工进给率定制方法属于机械数控加工技术领域，涉及一种多约束五轴加工进给率定制方法。该方法首先根据弦高差约束、刀轴角速度和机床各轴速度约束确定出采样点处的进给率值，构造初始进给率曲线。再运用比例调节算法重新确定加速度或跃度超差点处的进给率值，使加速度和跃度值按同向规律变化并逐步减少。采用曲线演化策略，通过对初始进给率曲线的一点约束或多点约束变形，使之光滑变形到指定的进给率更新位置，并实现了进给率曲线调整区和非调整区的光滑过渡。本发明实现了五轴加工适应性进给率的离线定制，并满足五轴加工几何特性、工艺特性和机床驱动特性的并行约束要求，以保证加工的精度、质量和效率。

Description

一种多约束五轴加工进给率定制方法

技术领域

本发明属于机械数控加工技术领域，涉及一种多约束五轴加工进给率定制方法。

背景技术

五轴数控机床广泛应用于复杂形状零件的数控加工，适应性进给率定制是保证机床运动平稳，减小机床加工振动，提高零件加工质量的关键，其规划质量的优劣直接影响零件加工的精度和效率。本发明的目标是在满足几何特性、工艺特性和机床驱动特性约束的基础上，以样条曲线为表达形式适应性定制进给率，并实现五轴加工进给率的最大化。其中，几何特性约束为弦高差约束，是复杂曲面数控加工中保证轨迹加工精度的重要指标；工艺特性约束是从刀具切削特性的角度出发对切削刀具的运动特性加以限制，包括刀尖点速度和加速度运动约束以及刀轴摆动角速度和角加速度约束，以保证切削过程稳定，并减少切削负载波动，有利于保证加工质量和加工精度；机床驱动特性约束主要包括机床各轴最大速度、加速度和跃度约束，是防止超出机床各轴的物理极限，也是保证机床平稳加工的关键之一。

经对现有技术的文献检索发现，有关五轴数控加工进给率规划方法的研究有发明人为王宇晗等的专利“五轴数控加工进给率控制系统”，专利号为CN101976055A。专利以机床坐标系下机床速度与加速度约束值和工件坐标系下刀尖点速度与加速度约束值为约束条件，建立优化模型。同时考虑了机床坐标系和工件坐标系下的运动学性能约束，避免了单一坐标系下约束带来的弊端。该发明只考虑了速度和加速度约束，未涉及跃度约束和几何约束。Sencer B等在其论文“Feedoptimization for five-axis CNC machine tools with driveconstraints”.International Journal of Machine Tools andManufacture,2008,48(7):733-745.中以获得最短加工时间为目标函数，以机床各轴最大速度、加速度和跃度为约束条件，构建了一个用于进给率定制的非线性约束优化模型。该论文主要考虑了机床驱动特性的约束，未涉及几何特性和工艺特性约束，同时采用约束非线性优化方式易出现计算效率低下等问题。

发明内容

本发明针对现有技术的缺陷，尤其是五轴数控加工进给率定制存在的问题，运用比例调节算法和曲线演化策略，发明了一种多约束五轴加工进给率定制方法。比例调节算法通过使超差点处的进给率值以一定比例下降，从而达到使各约束值约束下的加速度值和跃度值同时减小的目的。每次比例调节完成后，运用曲线演化策略，使当前进给率曲线光滑变形到采样点新的调整位置，并保证了进给率曲线调整区和非调整区的光滑过渡。

本发明采用的技术方案是一种多约束五轴加工进给率定制方法，该方法首先根据弦高差约束、刀轴角速度和机床各轴速度约束，顺次确定出采样点处的进给率值，构造出初始进给率曲线；再运用比例调节算法重新确定加速度或跃度超差点处的进给率值，使刀尖点加速度和跃度、刀轴角加速度、机床各轴加速度和跃度按同向规律变化并逐步减少；在局部进给率位置更新基础上，采用曲线演化策略，通过对初始进给率曲线的一点约束或多点约束变形，使之光滑变形到指定的进给率更新位置，并实现了进给率曲线调整区和非调整区的光滑过渡；重复上述调整过程，直至定制的进给率曲线满足几何特性、工艺特性和机床驱动特性的约束；定制方法包括以下步骤：

1)将五轴加工路径用双NURBS曲线表示，得到加工路径的参数曲线表达式：

$\left\{\begin{array}{c}p\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{p}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i\\ q\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{q}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_{i}u\∈\left[\mathrm{0,1}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

p(u)表示刀尖点运动轨迹，q(u)表示刀轴上除刀尖点外的任意一点的轨迹；p_i、q_i，i＝0,1...,n，为曲线控制多边形的控制顶点，ω_i为相应控制点的权因子，k为NURBS曲线的阶次，U＝[u₀,...,u_n+k+2]为节点矢量；

2)确定采样点的数目，沿加工路径等间距划分得到采样点的位置在各采样点处求出弦高差约束下的最大进给率允许值刀轴角速度约束下的最大进给率允许值和各轴最大速度约束下的最大进给率允许值在各采样点处，结合刀尖点最大速度允许值f_c，取四个值中的最小值作为初始进给率值 $f{\left(u_i\right)}_{i=1}^{n_1}=\min {(f^g\left(u_i\right),f^w\left(u_i\right),f^d\left(u_i\right),f_c)}_{i=1}^{n_1},$ 在确定进给率曲线控制点的数目后，经样条拟合得到初始进给率曲线：

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{d}_i}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i}---\left(2\right)$

式中，di(i＝0,1...,m)为曲线的控制顶点，w为NURBS曲线的阶次，ω_i为权因子，取值为1，这样NURBS曲线被简化为B样条曲线；

3)计算各采样点处的刀尖点加速度值a、刀尖点跃度值j、刀轴角加速度值A_w和机床分轴加速度值A^∧(u)，∧＝x,y,z,α,β、机床分轴跃度值J^∧(u)，并与设定的刀尖点加速度极限值a_max、刀尖点跃度极限值j_max、刀轴角加速度极限值A_wmax和机床分轴加速度极限值分轴跃度极限值比较，运用关系式(3)获得进给率曲线的超差区域u＝{u_j}，j＝0,1...,l；

4)将所有超差点对应的进给率值f(u_j)乘以一个相同的比例调节系数τ，0＜τ＜1，进而得到超差点处新的进给率值f_d(u_j)，则刀尖点加速值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值下降比例分别为τ²、τ³、τ²、τ²、τ³；

5)运用曲线演化策略，将进给率曲线从原始位置光滑变形到目标位置，得到一条新的进给率曲线，包括以下步骤：

a)计算超差点处的进给率值的变化量Δf(u_j)(j＝0,1...,l)；

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δf}\left(u_0\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δf}\left(u_l\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_d\left(u_0\right)-f\left(u_0\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_d\left(u_l\right)-f\left(u_l\right)\end{array}\right)---\left(4\right)$

b)基于最小二乘原理建立目标进给率曲线变形到给定位置的方程组；

c)计算方程组系数矩阵的广义逆矩阵N⁺(u)，并利用公式(5)求出进给率曲线控制点的偏移量Δd；

d)将进给率曲线控制点的偏移量带入B样条曲线表达式(7)，得到一条通过新的进给率调整位置的光滑进给率曲线；

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right)(d_i+\mathrm{\Δ}{d}_i)}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right)}---\left(7\right)$

6)重复步骤3)、4)、5)，直至刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值均不超差，得到满足约束条件的进给率曲线，从而完成进给率的规划。

本发明的有益效果是利用进给率与刀尖点加速度、刀尖点跃度、刀轴角加速度和机床分轴加速度、分轴跃度之间的关系，通过比例调节算法使超差点处的进给率值下降，从而达到使刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床各轴加速度值、各轴跃度值同时下降的目的。运用曲线演化策略实现了进给率曲线从当前位置到目标位置的光滑变形，避免了重复插值。本发明充分考虑了几何精度、工艺特性和机床驱动特性约束，由此规划出的进给率曲线对于保证加工的质量和精度具有显著意义。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图，图2为五轴加工路径示意图。

图3为初始进给率曲线图，图4为迭代5次时的进给率规划图，图5为最终的进给率规划图，其中，X轴表示参数u值；Y轴表示进给率的值，单位为mm/s。

图6为规划完成后的直线轴加速度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示分轴加速度的值，单位为mm/s²。

图7为规划完成后的旋转轴加速度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示分轴加速度的值，单位为rad/s²。

图8为规划完成后的直线轴跃度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示分轴跃度的值，单位为mm/s³。

图9为规划完成后的旋转轴跃度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示分轴跃度的值，单位为rad/s³。

图10为规划完成后的刀尖点加速度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示刀尖点加速度的值，单位为mm/s²。

图11为规划完成后的刀尖点轴跃度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示刀尖点跃度的值，单位为mm/s³。

图12为规划完成后的刀轴角加速度图，其中X轴表示参数u值；Y轴表示刀轴角加速度的值，单位为rad/s²。

图13为规划完成后的直线轴速度图，其中X轴表示时间，单位为s；Y轴表示分轴速度的值，单位为mm/s。

图14为规划完成后的旋转轴速度图，其中X轴表示时间，单位为s；Y轴表示分轴速度的值，单位为rad/s。

图15为实际加工的直线轴速度图，其中X轴表示加工时间，单位为s；Y轴表示分轴速度的值，单位为mm/s。

图16为实际加工的旋转轴速度图，其中X轴表示加工时间，单位为s；Y轴表示分轴速度的值，单位为rad/s。

具体实施方式

下面结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施。本发明提出的几何特性、工艺特性和驱动特性约束下五轴加工进给率定制方法的流程如图1所示。首先将加工路径用双NURBS曲线表示；确定采样点的数目，沿加工路径等间距划分得到各采样点的位置；在各采样点处根据弦高差约束、刀尖点速度约束、刀轴角速度约束和分轴速度约束分别计算各约束对应的进给率值，取其中进给率最小值作为初始进给率值，样条拟合得到初始进给率曲线；计算各采样点处的刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速值和分轴加速度值、分轴跃度值，并与设定的刀尖点加速度极限值、刀尖点跃度极限值、刀轴角加速度极限值和机床分轴加速度极限值、分轴跃度极限值比较，判断有无超差点。若存在超差点，则对超差点处的进给率值乘以比例系数进行调节。比例调节完成后运用曲线演化策略，将进给率曲线光滑变形到目标位置，得到新的进给率曲线。循环运用比例调节算法和曲线演化策略，直至刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值均不超差，从而完成进给率的规划。

实施例为一个五轴侧铣加工路径，如图2所示。根据加工精度、工艺要求和机床的驱动特性，取各个参数或约束值见表1-1。

表1-1实施例参数或约束值表

规划方法的详细步骤如下：

1)将五轴侧铣加工路径用两条NURBS曲线表示，控制点数目为200，曲线的表达式为(1)：

$\left\{\begin{array}{c}p\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{p}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i\\ q\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{q}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_{i}u\∈\left[\mathrm{0,1}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

p(u)表示刀尖点运动轨迹，q(u)表示刀轴上除刀尖点外的任意一点的轨迹。p_i、q_i，i＝0,1...,n，为曲线控制多边形的控制顶点，ω_i为相应控制点的权因子，k为NURBS曲线的阶次，U＝[u₀,...,u_n+k+2]为节点矢量。

2)确定采样点的数目n₁＝501，沿加工路径等间距划分得到采样点的位置在各采样点处求出弦高差约束下的最大进给率允许值刀轴角速度约束下的最大进给率允许值和分轴速度约束下的最大进给率允许值在各采样点处，结合刀尖点最大速度允许值f_c，取四个值中的最小值作为初始进给率值 $f{\left(u_i\right)}_{i=1}^{n_1}=\min {(f^g\left(u_i\right),f^w\left(u_i\right),f^d\left(u_i\right),f_c)}_{i=1}^{n_1},$ 确定进给率曲线控制点的数目m＝60，经样条拟合得到初始进给率曲线f(u)，结果如图3所示：

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i{d}_i}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\ω}}_i}---\left(2\right)$

式中，d_i(i＝0,1...,m)为曲线的控制顶点，w为NURBS曲线的阶次，ω_i为权因子，取值为1，这样NURBS曲线被简化为B样条曲线。

3)计算各采样点处的刀尖点加速度值a、刀尖点跃度值j、刀轴角加速度值A_w和机床分轴加速度值A^∧(u),∧＝x,y,z,α,β、机床分轴跃度值J^∧(u)，可用解析法或差分法计算。

4)根据设定的刀尖点加速度极限值a_max、刀尖点跃度极限值j_max、刀轴角加速度极限值A_wmax和机床分轴加速度极限值分轴跃度极限值运用关系式(3)获得进给率曲线的超差区域u＝{u_j}(j＝0,1...,l)。

5)将超差区域中超差点对应的进给率值f(u_j)乘以调节系数τ(0<τ<1,本例中取τ＝0.9)，得到超差点处新的进给率值f_d(u_j)，则刀尖点加速值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值下降比例分别为τ²、τ³、τ²、τ²、τ³，如式(4)所示：

$\frac{a^{*}}{a}={\mathrm{\&tau;}}^2,\frac{j^{*}}{j}={\mathrm{\&tau;}}^3,\frac{{A_w}^{*}}{A_w}={\mathrm{\&tau;}}^2,\frac{A^{{^}^{*}}}{A^{^}}={\mathrm{\&tau;}}^2,\frac{J^{{^}^{*}}}{J^{^}}={\mathrm{\&tau;}}^3---\left(4\right)$

6)运用曲线演化策略算法，将进给率曲线从原始位置光滑变形到目标位置，得到一条新的进给率曲线，包括以下步骤：

a)计算超差点处的进给率值的变化量Δf(uj)(j＝0,1？,l)；

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;f}\left(u_0\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \mathrm{\&Delta;f}\left(u_l\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_d\left(u_0\right)-f\left(u_0\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ f_d\left(u_l\right)-f\left(u_l\right)\end{array}\right)---\left(5\right)$

b)基于最小二乘原理建立目标进给率曲线变形到给定位置的方程组；

c)计算方程组系数矩阵的广义逆矩阵N⁺(u)，并利用公式(7)求出进给率曲线控制点的偏移量Δd；

基函数N(u)的秩为k，秩分解为N(u)＝AB，其中A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，A和B都有秩k，则有：

N⁺(u)＝B^T(BB^T)^-1(A^TA)^-1A^T

d)将进给率曲线控制点的偏移量带入B样条曲线表达式(8)，得到一条通过新的进给率调整位置的光滑进给率曲线；

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right)(d_i+\mathrm{\&Delta;}{d}_i)}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right)}---\left(7\right)$

7)对新的进给率曲线重复步骤3)、4)、5)、6),直至刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值均不超差，从而得到一条满足约束条件的进给率曲线，附图4为迭代5次时的进给率规划图、附图5为最终的进给率规划图。

运用本发明方法完成的实施例进给率定制后的机床直线轴加速度图，见图6、旋转轴加速度图，见图7、机床直线轴跃度图，见图8、旋转轴跃度图，见图9、刀尖点加速度图，见图10、刀尖点跃度图，见图11、刀轴角加速度图，见图12。从各图中可以看出，机床各轴加速度、机床分轴跃度、刀尖点加速度、刀尖点跃度和刀轴角加速度均不超差，并且通过实验进行了进一步的验证，图13为理论直线轴速度图、图14为旋转轴速度图、图15为实际加工的直线轴速度图、图16为旋转轴速度图。从图中比较中可看出，理论分轴速度曲线和实际加工分轴速度曲线无论是曲线形状还是曲线幅值都具有良好的一致性。说明运用本发明规划出来的进给率曲线满足几何特性、机床驱动特性和工艺特性的约束，保证了进给率曲线的光滑性，实施例证明了本发明的正确性和可靠性。

Claims (1)

1.一种多约束五轴加工进给率定制方法，其特征是，首先根据弦高差约束、刀轴角速度和机床各轴速度约束，顺次确定出采样点处的进给率值，构造出初始进给率曲线；再运用比例调节算法重新确定加速度或跃度超差点处的进给率值，使刀尖点加速度和跃度、刀轴角加速度、机床各轴加速度和跃度按同向规律变化并逐步减少；在局部进给率位置更新基础上，采用曲线演化策略，通过对初始进给率曲线的一点约束或多点约束变形，使之光滑变形到指定的进给率更新位置，并实现了进给率曲线调整区和非调整区的光滑过渡；重复上述调整过程，直至定制的进给率曲线满足几何特性、工艺特性和机床驱动特性的约束；定制方法包括以下步骤：

1)将五轴加工路径用双NURBS曲线表示，得到加工路径的参数曲线表达式：

$\left\{\begin{array}{c}p\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_i{p}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_i\\ q\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_i{q}_i/\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,k}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_{i}u\&Element;\left[\mathrm{0,1}\right]\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

p(u)表示刀尖点运动轨迹，q(u)表示刀轴上除刀尖点外的任意一点的轨迹；p_i、q_i，i＝0,1...,n，为曲线控制多边形的控制顶点，ω_i为相应控制点的权因子，k为NURBS曲线的阶次，U＝[u₀,...,u_n+k+2]为节点矢量；

2)确定采样点的数目，沿加工路径等间距划分得到采样点的位置在各采样点处求出弦高差约束下的最大进给率允许值刀轴角速度约束下的最大进给率允许值和各轴最大速度约束下的最大进给率允许值在各采样点处，结合刀尖点最大速度允许值f_c，取四个值中的最小值作为初始进给率值 $f{\left(u_i\right)}_{i=1}^{n_1}=\min {(f^g\left(u_i\right),f^w\left(u_i\right),f^d\left(u_i\right),f_c)}_{i=1}^{n_1},$ 在确定进给率曲线控制点的数目后，经样条拟合得到初始进给率曲线：

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_i{d}_i}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right){\mathrm{\&omega;}}_i}---\left(2\right)$

式中，d_i,i＝0,1...,m,为曲线的控制顶点，w为NURBS曲线的阶次，ω_i为权因子，取值为1，这样NURBS曲线被简化为B样条曲线；

3)计算各采样点处的刀尖点加速度值a、刀尖点跃度值j、刀轴角加速度值A_w和机床分轴加速度值A^∧(u),∧＝x,y,z,α,β、机床分轴跃度值J^∧(u)，并与设定的刀尖点加速度极限值a_max、刀尖点跃度极限值j_max、刀轴角加速度极限值A_wmax和机床分轴加速度极限值分轴跃度极限值比较，运用关系式(3)获得进给率曲线的超差区域u＝{u_j}，j＝0,1...,l；

4)将所有超差点对应的进给率值f(u_j)乘以一个相同的比例调节系数τ，0＜τ＜1，进而得到超差点处新的进给率值f_d(u_j)，则刀尖点加速值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值下降比例分别为τ²、τ³、τ²、τ²、τ³；

5)运用曲线演化策略，将进给率曲线从原始位置光滑变形到目标位置，得到一条新的进给率曲线，包括以下步骤：

a)计算超差点处的进给率值的变化量Δf(u_j)(j＝0,1...,l)；

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;f}\left(u_0\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \mathrm{\&Delta;f}\left(u_l\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_d\left(u_0\right)-f\left(u_0\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ f_d\left(u_l\right)-f\left(u_l\right)\end{array}\right)---\left(4\right)$

b)基于最小二乘原理建立目标进给率曲线变形到给定位置的方程组；

c)计算方程组系数矩阵的广义逆矩阵N⁺(u)，并利用公式(5)求出进给率曲线控制点的偏移量Δd；

d)将进给率曲线控制点的偏移量带入B样条曲线表达式(7)，得到一条通过新的进给率调整位置的光滑进给率曲线；

$f\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right)(d_i+\mathrm{\&Delta;}{d}_i)}{\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{N}_{i,w}\left(u\right)}---\left(7\right)$

6)重复步骤3)、4)、5)，直至刀尖点加速度值、刀尖点跃度值、刀轴角加速度值和机床分轴加速度值、分轴跃度值均不超差，得到满足约束条件的进给率曲线，从而完成进给率的规划。