CN103176428A - 基于球坐标的cnc系统插补算法及实现该算法的装置 - Google Patents

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CN103176428A CN2013101301660A CN201310130166A CN103176428A CN 103176428 A CN103176428 A CN 103176428A CN 2013101301660 A CN2013101301660 A CN 2013101301660A CN 201310130166 A CN201310130166 A CN 201310130166A CN 103176428 A CN103176428 A CN 103176428A
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Abstract

本发明涉及程序控制机床技术领域，具体地说是一种基于球坐标的CNC系统插补算法，其特征在于包括测量点规划、走刀路径规划和曲面直接插补算法，规划待加工工件的测量点，通过测厚仪测量工件各位置壁厚参数的测量值，将测量的测量值输入计算机中进行厚度曲面建模，针对壁厚曲面模型，通过划线笔规划走刀路径的加工轨迹，根据加工轨迹，采用消元法和曲面直接插补算法对壁厚模型进行采样、计算，在计算机中形成基于球坐标的薄壁工件壁厚模型，生成球坐标数控加工程序，并将加工程序指令输入CNC系统，通过CNC系统控制伺服系统对工件进行数控加工，具有结构新颖、算法简单、弓高误差小、加工精度高、工作效率高、生产成本低、工件重量轻等优点。

Description

基于球坐标的CNC系统插补算法及实现该算法的装置
技术领域
本发明涉及程序控制机床技术领域，具体地说是一种基于球形薄壁曲面加工的球坐标CNC系统插补算法及实现该算法的装置。
背景技术
目前，现有的数控机床对工件复杂的曲面加工通常采用直线插补法或圆弧插补法，所谓直线插补法是给出两端点间的插补数字信息，借此信息控制刀具与工件的相对运动，采用逐次逼近的方式处理曲面插补，使其按规定的直线加工出理想曲面的一种插补方式，所谓圆弧插补法是对磨削回转曲面进行曲线光顺处理 ,简化了计算过程 ,解决了三轴联动数控砂轮修整器后处理数控程序的设计问题，以上两种插补法的不足是产生的弓高误差非常明显，加工精度极低。
工业上很多需要加工的轻金属拉伸成型的复杂薄壁球型件，基于大型件、切削力小和不等壁厚等特点，这些复杂的工件不但需要经历拉伸变形，同时还要保证工件的强度和刚度，同时还需减重。因此，其设计和制造上均具复杂性，在加工时，首先采用轻金属拉伸成型，由于材料的不均匀性及拉伸偏心等工艺因素的影响，其壁厚参数难以满足使用要求，传统的插补算法采用逐次逼近的方式处理曲线插补，所产生的弓高误差相对较明显，通过再细分方式可提高加工精度。因此，在拉伸后，还要对其进行切削加工，以保证壁厚尺寸参数满足设计要求，若采用铣削，则需采用五坐标数控机床，导致工件弓高误差大，加工精度较高，但工作效率差，生产成本很高。
发明内容
本发明的目的是解决上述现有技术的不足，提供一种结构新颖、算法简单、弓高误差小、加工精度高、工作效率高、生产成本低、工件重量轻的基于球坐标的CNC系统插补算法及实现该算法的装置。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
一种基于球坐标的CNC系统插补算法，其特征在于包括测量点规划、走刀路径规划和曲面直接插补算法，规划待加工工件的测量点，通过测厚仪测量工件各位置壁厚参数的测量值，将测量的测量值输入计算机中进行厚度曲面建模，针对壁厚曲面模型，通过划线笔规划走刀路径的加工轨迹，根据加工轨迹，采用曲面直接插补算法对壁厚模型进行采样、计算，在计算机中形成基于球坐标的薄壁工件壁厚模型，生成球坐标数控加工程序，并将加工程序指令输入CNC系统，通过CNC系统控制伺服系统对工件进行数控加工，以确保理论壁厚尺寸。
本发明可在走刀路径规划之后增设球面调和步骤，在近似表达壁厚基础上，确保薄壁厚度的球基几何及物理特性，进而确保走刀路径规划在球面调和函数的基础上，采用球坐标空间螺旋规划，以提高整个系统的加工效率。
本发明所述曲面直接插补算法为球坐标双向霍曼过渡曲面插补算法，以使其实际产生的插补轨迹为椭圆轨道，其包括单向霍曼插补算法和双向霍曼插补算法，所述双向霍曼插补算法包括球基插补和空间任意两点间插补，
所述单向霍曼插补算法：
    根据霍曼转移轨道转移过程中角动量和能量守恒，可以得出共面轨道转移公式：
                                                                                   
Figure 338330DEST_PATH_IMAGE002
   （1）
式中，
Figure 987617DEST_PATH_IMAGE004
为轨道上任意点与焦点之间的距离，h为角动量，
Figure 790488DEST_PATH_IMAGE006
为中央物体的标准重力参数，e为轨道离心率， 
Figure 929345DEST_PATH_IMAGE008
为转移角度，
由式（1）可以推到出极坐标的霍曼平面数学插补公式：
                                              
Figure 450456DEST_PATH_IMAGE010
 （2）
                                      
Figure 637855DEST_PATH_IMAGE012
（3）
   此插补推导公式以霍曼轨道的焦点为坐标原点，
Figure 560812DEST_PATH_IMAGE014
为起始点距离大小，即近地点，由上式可以看出半径
Figure 870570DEST_PATH_IMAGE016
只与
Figure 878978DEST_PATH_IMAGE008
有关，
Figure 870067DEST_PATH_IMAGE008
∈(0，π)，
Figure 647530DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure 128190DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 358315DEST_PATH_IMAGE020
均可定为已知量。
所述双向霍曼插补算法中的球基插补，基于轨道力学中霍曼轨道的力学分析，在任意两个共面且有一个公共焦点的圆轨道间的轨道转移的基础上，将其物理模型转换成数学模型，在三维空间坐标系中，双向霍曼插补通过两个互相垂直的平面同时进行插补组合而成，在XYZ坐标系中，利用公式（2）、（3）分别得到XOY平面和XOZ平面插补公式，应用过程中空间任意两点构成直线，分别在XOY平面和XOZ平面进行投影，确定轨道的离心率，找出投影直线的焦点，求出在投影面各直线的原点，即焦点，设两投影面中焦点与插补轨道的半径分别为
Figure 153095DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 847382DEST_PATH_IMAGE024
，半径夹角分别为
Figure 436626DEST_PATH_IMAGE026
、，在双向插补中得到余弦定理如下： 
余弦定理：    
Figure 814835DEST_PATH_IMAGE030
 （4）
推导得出  （5）                          
将（2）、（3）式分别代入式（5）得出空间插补公式：
Figure 327036DEST_PATH_IMAGE034
Figure 594069DEST_PATH_IMAGE036
                                                                
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE038
 （6）
注：
Figure 680054DEST_PATH_IMAGE008
∈(0，π)，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE040
∈(0，π)，再根据投影起点
Figure 21037DEST_PATH_IMAGE042
和
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE044
的大小决定正负号。
所述所述双向霍曼插补算法中的空间任意两点间插补，先进行球基插补，再通过坐标轴的平移和旋转变换实现，以右手直角坐标系为例，三维坐标转换模型为：
                              
Figure 217663DEST_PATH_IMAGE046
 （7）
式中，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE048
为原坐标系点坐标值，为目标坐标系点坐标值。
首先，进行原点的平移，使目标原点和原坐标原点重合，再通过旋转实现坐标轴的变换，坐标旋转矩阵为：
 （8）
将（8）代入（7）得到：
                 
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE054
      （9）
式中，k=1+m, ,即将（7）转换成线性形式。
本发明所述球面调和函数的具体算法为：根据球面调和函数规则，首先需将壁  厚值进行规范化，使之满足
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE058
，再利用球面调和方法，进行壁厚建模，根据式（6）
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE060
函数，再利用一系列球面调和函数
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE062
，可线性近似表示定义在球面上的连续函数
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE064
：
                           
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE066
    （10）
可通过，求解多项式系数
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE070
，其中：
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE072
                            （11）
其中，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE074
为归一化因子，且，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE078
为连带勒让德多项式。
一种实现该算法的装置，其特征在于包括工件驱动装置、直线轨道、驱动导轨、平台、刀架支撑装置、补偿刀架装置和控制系统，所述工件驱动装置包括主轴箱、θ轴伺服电机、周向码盘和真空吸盘夹具，刀架支撑装置包括靠模、母线码盘、定位装置、φ轴伺服电机、刀架导向轨道和蜗杆，补偿刀架装置包括刀座、刀架、刀具、ρ轴伺服电机、滚珠丝杠和划线笔，所述刀架导向轨道和靠模分别呈弧形曲面，刀架导向轨道上端面中心设有导向槽，所述主轴箱固定在直线轨道一端，并经θ轴伺服电机驱动，主轴箱输出轴端设有真空吸盘夹具，输出轴一侧的主轴箱上设有周向码盘，周向码盘与真空吸盘夹具经连接杆相连接，驱动导轨下端与直线轨道滑动连接，上端与平台固定连接， 一侧经定位装置与直线轨道定位，刀架导向轨道固定在平台上，刀架导向轨道外壁一侧经连接杆与靠模平行固定连接，另一侧设有涡轮齿，母线码盘经蜗杆与刀架导向轨道中的涡轮齿相啮合，蜗杆经φ轴伺服电机驱动，母线码盘上端固定设有刀架，刀架底面一端经滑轨与刀架导向轨道中的导向槽滑动连接，另一端经滑轨与靠模滑动连接，刀架上端中心设有滚珠丝杠，两侧分别设有导向滑道，刀座上端设有划线笔和刀具，下端经螺母与滚珠丝杠相铰接，下端两侧分别经导向滑轨与导向滑道滑动连接，滚珠丝杠经固定在刀架上的ρ轴伺服电机驱动，θ轴伺服电机、φ轴伺服电机和ρ轴伺服电机分别由伺服控制系统控制，由θ轴伺服电机带动薄壁工件以θ轴为中心旋转，φ轴伺服电机通过刀架支撑装置上的刀架导向轨道蜗杆传动带动刀具相对薄壁工件做回转切削运动，由ρ轴伺服电机通过补偿刀架装置中的滚珠丝杠和螺母相对移动驱动刀具实现ρ轴的直线运动。
本发明可在刀架下端设有光栅尺，光栅尺经导线与CNC系统相连接，通过将刀架位移输出的数字脉冲信号传输到CNC系统，以利于检测刀具的直线位移或者角位移，具有检测范围大，检测精度高，响应速度快的作用。
本发明由于采用上述算法和结构，具有结构新颖、算法简单、弓高误差小、加工精度高、工作效率高、生产成本低、工件重量轻等优点。
附图说明  
图1是本发明的流程示意图。
图2是本发明中实现该算法的装置的结构示意图。
图3是本发明加工的薄壁球型件的示意图。
图4是本发明加工原理图。
图5是本发明与传统算法相比较的弓高误差图。
图6是本发明中的平面插补图。
图7是本发明中的走刀路线规划示意图。
图8是现有技术的加工结果示意图。
图9是本发明加工结果示意图。
图10 是本发明算法公式的物理模型来源示意图。
附图标记：直线轨道1、驱动导轨2、平台3、主轴箱4、周向码盘5、真空吸盘夹具、6靠模7、母线码盘8、刀架导向轨道9、刀座10、刀架11、刀具12、ρ轴伺服电机13、滚珠丝杠14、划线笔15、涡轮齿16、光栅尺17。
具体实施方式：
下面结合附图对本发明进一步说明：
如附图所示，一种基于球坐标的CNC系统插补算法，其特征在于包括测量点规划、走刀路径规划和曲面直接插补算法，规划待加工工件的测量点，通过测厚仪测量工件各位置壁厚参数的测量值，将测量的测量值输入计算机中进行厚度曲面建模，针对壁厚曲面模型，通过划线笔规划走刀路径的加工轨迹，根据加工轨迹，采用消元法和曲面直接插补算法对壁厚模型进行采样、计算，在计算机中形成基于球坐标的薄壁工件壁厚模型，生成球坐标数控加工程序，并将加工程序指令输入CNC系统，通过CNC系统控制伺服系统对工件进行数控加工，以确保理论壁厚尺寸。
本发明可在走刀路径规划之后增设球面调和步骤，在近似表达壁厚基础上，确保薄壁厚度的球基几何及物理特性，进而确保走刀路径规划在球面调和函数的基础上，采用球坐标空间螺旋规划，以提高整个系统的加工效率。
本发明所述曲面直接插补算法为球坐标双向霍曼过渡曲面插补算法，以使其实际产生的插补轨迹为椭圆轨道，其包括单向霍曼插补算法和双向霍曼插补算法，所述双向霍曼插补算法包括球基插补和空间任意两点间插补，
所述单向霍曼插补算法：
    根据霍曼转移轨道转移过程中角动量和能量守恒，可以得出共面轨道转移公式：
Figure DEST_PATH_IMAGE079
                                       （1）
式中，
Figure 224190DEST_PATH_IMAGE004
为轨道上任意点与焦点之间的距离，h为角动量，
Figure DEST_PATH_IMAGE081
为中央物体的标准重力参数，e为轨道离心率， 为转移角度，
由式（1）可以推到出极坐标的霍曼平面数学插补公式：
                                            
Figure 359953DEST_PATH_IMAGE010
   （2）
                                       （3）
   此插补推导公式以霍曼轨道的焦点为坐标原点，为起始点距离大小，即近地点，由上式可以看出半径
Figure 641210DEST_PATH_IMAGE016
只与
Figure 119596DEST_PATH_IMAGE008
有关，
Figure 700750DEST_PATH_IMAGE008
∈(0，π)，
Figure 35916DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure 702521DEST_PATH_IMAGE018
和
Figure 719018DEST_PATH_IMAGE020
均可定为已知量。
所述双向霍曼插补算法中的球基插补，基于轨道力学中霍曼轨道的力学分析，在任意两个共面且有一个公共焦点的圆轨道间的轨道转移的基础上，将其物理模型转换成数学模型，在三维空间坐标系中，双向霍曼插补通过两个互相垂直的平面同时进行插补组合而成，在XYZ坐标系中，利用公式（2）、（3）分别得到XOY平面和XOZ平面插补公式，应用过程中空间任意两点构成直线，分别在XOY平面和XOZ平面进行投影，确定轨道的离心率，找出投影直线的焦点，求出在投影面各直线的原点，即焦点，设两投影面中焦点与插补轨道的半径分别为
Figure 216996DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure DEST_PATH_IMAGE085
，半径夹角分别为
Figure 598430DEST_PATH_IMAGE008
、
Figure 814647DEST_PATH_IMAGE040
，在双向插补中得到余弦定理如下： 
余弦定理：      
Figure DEST_PATH_IMAGE087
         （4）
推导得出 
Figure DEST_PATH_IMAGE089
  （5）                          
将（2）、（3）式分别代入式（5）得出空间插补公式：
  
Figure DEST_PATH_IMAGE091
 
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE092
Figure 447885DEST_PATH_IMAGE038
（6）
注：∈(0，π)，∈(0，π)，再根据投影起点
Figure 56218DEST_PATH_IMAGE042
和
Figure 402799DEST_PATH_IMAGE044
的大小决定正负号。
式中，
Figure 813052DEST_PATH_IMAGE048
为原坐标系点坐标值，
Figure 660922DEST_PATH_IMAGE050
为目标坐标系点坐标值。
首先，进行原点的平移，使目标原点和原坐标原点重合，再通过旋转实现坐标轴的变换，坐标旋转矩阵为：
（7）
式中，为原坐标系点坐标值，为目标坐标系点坐标值。
首先，进行原点的平移，使目标原点和原坐标原点重合，再通过旋转实现坐标轴的变换，坐标旋转矩阵为：
 
Figure 623510DEST_PATH_IMAGE054
（8）
将（8）代入（7）得到：
      
Figure 888270DEST_PATH_IMAGE054
（9）
式中，k=1+m, 
Figure 110304DEST_PATH_IMAGE056
,即将（7）转换成线性形式。
本发明所述球面调和函数的具体算法为：根据球面调和函数规则，首先需将壁  厚值进行规范化，使之满足
Figure 460513DEST_PATH_IMAGE058
，再利用球面调和方法，进行壁厚建模，根据式（6）
Figure 160616DEST_PATH_IMAGE060
函数，再利用一系列球面调和函数
Figure 342199DEST_PATH_IMAGE062
，可线性近似表示定义在球面上的连续函数
Figure 735134DEST_PATH_IMAGE064
：
                              
Figure 572640DEST_PATH_IMAGE066
 （10）
可通过，求解多项式系数
Figure 76434DEST_PATH_IMAGE070
，其中：
  
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE096
（11）
其中，
Figure 987889DEST_PATH_IMAGE074
为归一化因子，且
Figure 551726DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 938845DEST_PATH_IMAGE078
为连带勒让德多项式。
一种实现该算法的装置，其特征在于包括工件驱动装置、直线轨道1、驱动导轨2、平台3、刀架支撑装置、补偿刀架装置和伺服控制系统，所述工件驱动装置包括主轴箱4、θ轴伺服电机、周向码盘5和真空吸盘夹具6，刀架支撑装置包括靠模7、母线码盘8、定位装置、φ轴伺服电机、刀架导向轨道9和蜗杆，补偿刀架装置包括刀座10、刀架11、刀具12、ρ轴伺服电机13、滚珠丝杠14和划线笔15，所述刀架导向轨道9和靠模7分别呈弧形曲面，刀架导向轨道9上端面中心设有导向槽，所述主轴箱4固定在直线轨道1一端，并经θ轴伺服电机驱动，主轴箱4输出轴端设有真空吸盘夹具6，输出轴一侧的主轴箱4上设有周向码盘5，周向码盘5与真空吸盘夹具6经连接杆相连接，驱动导轨2下端与直线轨道1滑动连接，上端与平台3固定连接， 一侧经定位装置与直线轨道1定位，刀架导向轨道9固定在平台3上，刀架导向轨道9外壁一侧经连接杆与靠模7平行固定连接，另一侧面设有涡轮齿16，母线码盘8经蜗杆与刀架导向轨道中的涡轮齿16相啮合，蜗杆经φ轴伺服电机驱动，母线码盘8上端固定设有刀架11，刀架11底面一端经滑轨与刀架导向轨道9中的导向槽滑动连接，另一端经滑轨与靠模7滑动连接，刀架11上端中心设有滚珠丝杠14，两侧分别设有导向滑道，刀座10上端设有划线笔15和刀具12，下端经螺母与滚珠丝杠14相铰接，下端两侧分别经导向滑轨与导向滑道滑动连接，滚珠丝杠14经固定在刀架11上的ρ轴伺服电机13驱动，θ轴伺服电机、φ轴伺服电机和ρ轴伺服电机13分别由伺服控制系统控制，由θ轴伺服电机带动薄壁工件以θ轴为中心旋转，φ轴伺服电机通过刀架支撑装置上的刀架导向轨道中的涡轮齿和蜗杆啮合传动带动刀具12相对薄壁工件做回转切削运动，由ρ轴伺服电机13通过补偿刀架装置中的滚珠丝杠14和螺母相对移动驱动刀具实现ρ轴的直线运动。
本发明可在刀架11下端设有光栅尺17，光栅尺17经导线与CNC系统相连接，通过将刀架11位移输出的数字脉冲信号传输到CNC系统，以利于检测刀具的直线位移或者角位移，具有检测范围大，检测精度高，响应速度快的作用。
如图3所示的流程图，本发明的软件部分包括测量点规划、走刀路径规划、球面调和以及曲面直接插补算法，图中θ、Ф为球坐标角位置，R为对应测厚值。待加工工件为变壁厚的薄壁球型体。经拉伸后对工件粗车加工，规划待加工工件的测量点，通过测厚仪测量工件各位置壁厚参数的测量值，将测量的测量值输入计算机中进行厚度曲面建模，针对壁厚曲面模型，通过划线笔规划走刀路径的加工轨迹，根据加工轨迹，采用消元法对壁厚模型进行采样、计算，并进行球面调和处理，形成基于球坐标的薄壁工件壁厚模型，生成球坐标数控加工程序，并将程序指令输入CNC系统，基于球坐标分离变量方法，采用曲面直接插补算法原理，进行数控加工，以确保理论壁厚尺寸。
本发明所述的曲面直接插补算法通过控制方向角β、θ及半径ρ直接对曲线进行插补，大大降低了弓高误差，在加工中通过三轴伺服电机配合实现。基于球坐标的霍曼插补算法实际产生的插补轨迹为椭圆轨道，如图5所示，若精度过低，改变轨道的离心率使球坐标插补曲线②的短半轴增大，接近物件表面曲线①，其中：①是经细分后加工物件表面曲线段，②是球坐标插补曲线段，③是直线插补曲线段，误差A为球坐标插补带来的弓高误差，误差B为直线插补带来的弓高误差。
本发明所述的曲面直接插补算法是基于轨道力学中霍曼轨道的力学分析。在航天理论中，任意两个共面且有一个公共焦点的圆轨道间的轨道转移中，霍曼转移是最省能量的双脉冲机动。在此基础上，将其物理模型转换成数学模型，具体算法步骤为：
1、单向霍曼插补算法，
由于霍曼转移轨道是沃尔特.霍曼在1925年提出的一种节约燃料的轨道间变换的方法，即利用一个与初始轨道相切也与最终轨道相切的椭圆轨道（即霍曼轨道）来实现变轨，这是一种共面变轨。非共面变轨，其包括简单的和组合的，简单的非共面变轨指只改变速度方向，组合的非共面变轨指改变速度的方向和大小。如附图10中②号轨迹线为霍曼转移轨道线，太空船从①轨道向③轨道转移（R<
Figure DEST_PATH_IMAGE097
），太空船在轨道1上（
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE098
处，即近拱点）进行瞬时加速，让太空船进入椭圆形轨道②，瞬时加速完成后，太空船在轨道②上只受地球的万有引力影响，并在获得的初始速度下沿轨道②到达轨道③。在到达预定轨道的高度(
Figure DEST_PATH_IMAGE099
远拱点)时，再沿
Figure 731482DEST_PATH_IMAGE099
上瞬时加速进入轨道③。） 
在转移过程中角动量和能量守恒，可以得出共面轨道转移公式
                                      
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE100
 （1）
式中，为轨道上任意点与焦点之间的距离，h为角动量，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE102
为中央物体的标准重力参数，e为轨道离心率， 
Figure DEST_PATH_IMAGE103
为转移角度。
由式（1）可以推到出极坐标的霍曼平面数学插补公式
                                              
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE104
（2）
                                      
Figure DEST_PATH_IMAGE105
（3）
   此插补推导公式以霍曼轨道的焦点为坐标原点，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE106
为起始点距离大小，即近地点。由上式可以看出半径
Figure DEST_PATH_IMAGE107
只与
Figure 513756DEST_PATH_IMAGE103
有关，
Figure 310810DEST_PATH_IMAGE103
∈(0，π)，
Figure 857329DEST_PATH_IMAGE106
、
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE108
和
Figure DEST_PATH_IMAGE109
均可定为已知量。matlab仿真如图6所示；
2、双向霍曼插补算法，
（一）球基插补
在三维空间坐标系中，双向霍曼插补通过两个互相垂直的平面同时进行插补组合而成，例如在XYZ坐标系中，利用公式（2）、（3）分别得到XOY平面和XOZ平面插补公式。应用过程中空间任意两点构成直线，分别在XOY平面和XOZ平面进行投影，确定轨道的离心率，找出投影直线的焦点。求出在投影面各直线的原点，即焦点。此文只做XOY平面和XOZ平面投影，设两投影面中焦点与插补轨道的半径分别为
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE110
、，半径夹角分别为
Figure 843871DEST_PATH_IMAGE103
、
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE112
，在双向插补中得到余弦定理如下： 
余弦定理：                        （4）
推导得出     
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE114
（5）                          
将（2）、（3）式分别代入式（5）得出空间插补公式：
                       
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE116
  
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE118
（6）
注：
Figure 554687DEST_PATH_IMAGE103
∈(0，π)，
Figure 460326DEST_PATH_IMAGE112
∈(0，π)，再根据投影起点
Figure DEST_PATH_IMAGE119
和
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE120
的大小决定正负号。
（二）空间任意两点间插补
空间任意两点间的插补，先进行球基插补，再通过坐标轴的平移和旋转变换[5]实现。以右手直角坐标系为例，三维坐标转换模型为：
                              （7）
式中
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE122
为原坐标系点坐标值，为目标坐标系点坐标值，
 [0040] 首先，进行原点的平移，使目标原点和原坐标原点重合，再通过旋转实现坐标轴的变换，坐标旋转矩阵为：
 
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE124
（8）
将（8）代入（7）得到：
                 
Figure DEST_PATH_IMAGE125
（9）
式中，k=1+m, 
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE126
,即将（7）转换成线性形式。
3、球面调和
球面调和函数（SH，Spherical Harmonics），简称球谐函数，是一组正交、完备的函数系，通常出现在物理问题与化学问题中。与傅里叶变换可以处理各种函数分解成不同相位、不同频率的正玄波类似，将多个球面调和函数基函数累加合成，可以模拟很多复杂函数。高阶的球谐函数可以还原高频的函数，低阶的球谐函数可以还原低频的函数。球面调和基函数具有较好的旋转不变性和正交规范性，因此该函数已广泛应用于光照图形技术和人脸识别技术上。本文鉴于基于球坐标的数学理论体系尚不完善，考虑在上述曲线插补基础上，引入球面调和函数，在近似表达壁厚基础上，确保薄壁厚度的球基几何及物理特性。
为提高整个系统的加工效率，在球面调和函数的基础上走刀路线采用球坐标空间螺旋规划，如图7所示。
根据球面调和函数规则，首先需将壁厚值进行规范化，使之满足
Figure 182556DEST_PATH_IMAGE058
，再利用球面调和方法，进行壁厚建模。根据式（6）
Figure 566264DEST_PATH_IMAGE060
函数。再利用一系列球面调和函数
Figure 697031DEST_PATH_IMAGE062
，可线性近似表示定义在球面上的连续函数
Figure 773572DEST_PATH_IMAGE064
：
                              
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE128
（10）
可通过，求解多项式系数，其中：
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE132
（11）
其中，
Figure 419765DEST_PATH_IMAGE074
为归一化因子，且
Figure 342722DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 2013101301660100002DEST_PATH_IMAGE134
为连带勒让德多项式。
本文给出低阶SH系数（m<=3），见表1。
 
表1 低阶SH系数
如图2所示，是本发明的硬件部分，薄壁球形体的被加工工件采用真空吸盘夹具6夹紧，加工以壁厚尺寸作为关键精度指标。工件内表面无法加工，以内表面为定位基准面，吸盘夹具6不可能完全贴合，因此壁厚曲面为非常复杂的球基自由曲面。必须以粗车以后的工件外表面为加工定位面，因此测厚仪器要在加工前测量工件壁厚作为建模的依据，本发明在工作时，调整直线轨道1侧面的刀架定位装置，将刀架支撑装置靠向被加工工件，当补偿刀架装置中的划线笔15接触到被加工工件顶点后，将刀架支撑装置经定位装置固定在直线轨道1上，通过CNC系统驱动伺服控制系统动作，使θ轴伺服电机带动薄壁工件以θ轴为中心旋转，φ轴伺服电机通过刀架支撑装置上的刀架导向轨道中的涡轮齿和蜗杆相啮合传动带动刀具相对被加工工件做回转切削运动，由ρ轴伺服电机13通过补偿刀架装置中的滚珠丝杠14和螺母相对移动来驱动刀具实现ρ轴的直线运动，本发明所述定位装置可以采用卡爪夹紧的方式将平台与直线导轨固定。
采用传统方法，实验数据如图8所示。加工工件的壁厚尺寸公差带范围约为0.3毫米。同尺度坐标系中，采用基于球坐标的CNC系统加工，数据结果如图9所示，工件壁厚尺寸的公差带范围约为0.1毫米。
本发明所述旋转变换是摘自2003年第28卷5期的武汉大学学报《科学信息报》中曾文宪、陶本藻著的三维坐标转换的非线性模型。
本发明由于采用上述算法和结构，具有结构新颖、算法简单、弓高误差小、加工精度高、工作效率高、生产成本低、工件重量轻等优点。

Claims (7)

1.一种基于球坐标的CNC系统插补算法，其特征在于包括测量点规划、走刀路径规划和曲面直接插补算法，规划待加工工件的测量点，通过测厚仪测量工件各位置壁厚参数的测量值，将测量的测量值输入计算机中进行厚度曲面建模，针对壁厚曲面模型，通过划线笔规划走刀路径的加工轨迹，根据加工轨迹，采用曲面直接插补算法对壁厚模型进行采样、计算，在计算机中形成基于球坐标的薄壁工件壁厚模型，生成球坐标数控加工程序，并将加工程序指令输入CNC系统，通过CNC系统控制伺服系统对工件进行数控加工。
2.根据权利要求1所述的一种基于球坐标的CNC系统插补算法，，其特征在于在走刀路径规划之后增设球面调和步骤。
3.根据权利要求2所述的一种基于球坐标的CNC系统插补算法，，其特征在于走刀路径规划在球面调和函数的基础上，采用球坐标空间螺旋规划。
4.根据权利要求1所述的一种基于球坐标的CNC系统插补算法，，其特征在于所述曲面直接插补算法为球坐标双向霍曼过渡曲面插补算法，以使其实际产生的插补轨迹为椭圆轨道，其包括单向霍曼插补算法和双向霍曼插补算法，所述双向霍曼插补算法包括球基插补和空间任意两点间插补，其中，
所述单向霍曼插补算法：
    根据霍曼转移轨道转移过程中角动量和能量守恒，得出共面轨道转移公式：
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE001
                                       （1）
式中，为轨道上任意点与焦点之间的距离，h为角动量，
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE003
为中央物体的标准重力参数，e为轨道离心率， 
Figure 937230DEST_PATH_IMAGE004
为转移角度，
由式（1）推导出极坐标的霍曼平面数学插补公式：
Figure 167355DEST_PATH_IMAGE006
                                               （2）
Figure 899818DEST_PATH_IMAGE008
                                       （3）
    此插补推导公式以霍曼轨道的焦点为坐标原点，
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE009
为起始点距离大小，即近地点，
所述双向霍曼插补算法中的球基插补，基于轨道力学中霍曼轨道的力学分析，在任意两个共面且有一个公共焦点的圆轨道间的轨道转移的基础上，将其物理模型转换成数学模型，在三维空间坐标系中，双向霍曼插补通过两个互相垂直的平面同时进行插补组合而成，在XYZ坐标系中，利用公式（2）、（3）分别得到XOY平面和XOZ平面插补公式，应用过程中空间任意两点构成直线，分别在XOY平面和XOZ平面进行投影，确定轨道的离心率，找出投影直线的焦点，求出在投影面各直线的原点，即焦点，设两投影面中焦点与插补轨道的半径分别为、，半径夹角分别为
Figure 418873DEST_PATH_IMAGE004
、
Figure 8117DEST_PATH_IMAGE014
，在双向插补中得到余弦定理如下： 
余弦定理：                               （4）
推导得出                   （5）                          
将（2）、（3）式分别代入式（5）得出空间插补公式：
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE019
                                                                        
Figure 748168DEST_PATH_IMAGE020
（6）
注：
Figure 773893DEST_PATH_IMAGE004
∈(0，π)，
Figure 978610DEST_PATH_IMAGE014
∈(0，π)，再根据投影起点
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE021
和
Figure 787297DEST_PATH_IMAGE022
的大小决定正负号，
所述双向霍曼插补算法中的空间任意两点间插补，先进行球基插补，再通过坐标轴的平移和旋转变换实现，以右手直角坐标系为例，三维坐标转换模型为：
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE023
                               （7）
式中，
Figure 331542DEST_PATH_IMAGE024
为原坐标系点坐标值，
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE025
为目标坐标系点坐标值，
首先，进行原点的平移，使目标原点和原坐标原点重合，再通过旋转实现坐标轴的变换，坐标旋转矩阵为：
 （8）
将（8）代入（7）得到：
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE027
                  （9）
式中，k=1+m, 
Figure 892284DEST_PATH_IMAGE028
,即将（7）转换成线性形式。
5.根据权利要求2所述的一种基于球坐标的CNC系统插补算法，其特征在于所述球面调和函数的具体算法为：根据球面调和函数规则，首先需将壁  厚值进行规范化，使之满足，再利用球面调和方法，进行壁厚建模，根据式（6）函数，利用一系列球面调和函数
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE031
，再线性近似表示定义在球面上的连续函数
Figure 106676DEST_PATH_IMAGE032
：
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE033
                               （10）
通过
Figure 146307DEST_PATH_IMAGE034
，求解多项式系数，其中：
Figure 138665DEST_PATH_IMAGE036
                            （11）
其中，为归一化因子，且，
Figure 2013101301660100001DEST_PATH_IMAGE039
为连带勒让德多项式。
6.一种实现该算法的装置，其特征在于包括工件驱动装置、直线轨道、驱动导轨、平台、刀架支撑装置、补偿刀架装置和控制系统，所述工件驱动装置包括主轴箱、θ轴伺服电机、周向码盘和真空吸盘夹具，刀架支撑装置包括靠模、母线码盘、定位装置、φ轴伺服电机、刀架导向轨道和蜗杆，补偿刀架装置包括刀座、刀架、刀具、ρ轴伺服电机、滚珠丝杠和划线笔，所述刀架导向轨道和靠模分别呈弧形曲面，刀架导向轨道上端面中心设有导向槽，所述主轴箱固定在直线轨道一端，并经θ轴伺服电机驱动，主轴箱输出轴端设有真空吸盘夹具，输出轴一侧的主轴箱上设有周向码盘，周向码盘与真空吸盘夹具经连接杆相连接，驱动导轨下端与直线轨道滑动连接，上端与平台固定连接， 一侧经定位装置与直线轨道定位，刀架导向轨道固定在平台上，刀架导向轨道外壁一侧经连接杆与靠模平行固定连接，另一侧设有涡轮齿，母线码盘经蜗杆与刀架导向轨道中的涡轮齿相啮合，蜗杆经φ轴伺服电机驱动，母线码盘上端固定设有刀架，刀架底面一端经滑轨与刀架导向轨道中的导向槽滑动连接，另一端经滑轨与靠模滑动连接，刀架上端中心设有滚珠丝杠，两侧分别设有导向滑道，刀座上端设有划线笔和刀具，下端经螺母与滚珠丝杠相铰接，下端两侧分别经导向滑轨与导向滑道滑动连接，滚珠丝杠经固定在刀架上的ρ轴伺服电机驱动，θ轴伺服电机、φ轴伺服电机和ρ轴伺服电机分别由伺服控制系统控制。
7. 根据权利要求6所述的一种实现该算法的装置，其特征在于刀架下端设有光栅尺，光栅尺经导线与CNC系统相连接，通过将刀架位移输出的数字脉冲信号传输到CNC系统。
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