CN105759725A - 速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法属于精密高效数控加工技术领域，特别涉及一种参数曲线插补过程中的速度敏感区间恒速自适应加工进给速度规划方法。该方法首先判断在预设进给速度下，曲线上不满足几何精度和机床驱动能力约束的参数区间，从而确定速度敏感区间；其次，以机床驱动能力为约束，通过逆向扫描降速过程速度规划和正向扫描升速过程速度规划，确定各速度敏感区间的进给速度值；最后，以机床驱动能力为约束，确定各速度敏感区间之间过渡区域的升、降速起始、结束点曲线参数及对应的进给速度，并输入到插补器中，实现满足几何和驱动约束的区间恒速参数曲线插补。本发明便捷可靠，对精密高效数控曲线插补加工具有实用价值。

Description

速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法

技术领域

本发明属于精密高效数控加工技术领域，特别涉及一种参数曲线插补过程中的速度敏感区间恒速自适应加工进给速度规划方法。

背景技术

目前，高端装备制造领域迅速发展，对数字控制加工技术出了严峻挑战。对于传统的直线、圆弧插补数控加工来说，进行复杂曲线、曲面加工时，具有诸多缺陷，例如，利用微小直线、圆弧段代替曲线时产生的逼近误差，加工代码文件消耗存储量大，拐角处存在一阶不连续点导致的频繁加减速等。因此，近年来参数曲线插补技术得到了广泛研究。在参数曲线插补过程中，加工进给速度的合理规划至关重要。若进给速度规划不合理，极易导致数控加工中曲线曲率较大位置处的弓高误差过大，或进给轴加速度、加加速度超过机床驱动性能极限，降低加工精度和加工表面质量。此外，当加加速度过大时，会使机床加工进给轴产生较大冲击，从而影响机床使用寿命。因此，研究参数曲线插补过程中的加工进给速度规划方法对精密高效数控加工技术的发展具有重要意义。

查阅现有技术文献发现，文献“Real-timeNURBScommandgeneratorsforCNCservocontrollers”，M.-Y.Cheng等，InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2002，42(7)：801-813，该文献采用恒定加工进给速度进行参数曲线插补，然而，若进给速度过高，易导致曲线曲率较大位置处弓高误差、进给轴加速度和加加速度过大；若进给速度过低，则影响曲线曲率较小位置处的加工效率。文献“Areal-timeconfigurableNURBSinterpolatorwithboundedacceleration,jerkandchorderror”，Annoni等，Computer-AidedDesign，2012，44(6)：509-521，该文献提出一种基于加速度、加加速度和弓高误差约束的非均匀有理B样条曲线插补速度规划方法，然而，该方法所规划进给速度在插补过程中实时变化，即速度波动较大，不利于加工表面质量的提高，另外，该方法实时计算各插补点处的进给速度值，需要进行前瞻和插补预处理，消耗存储和计算量较大，一旦计算量超过控制器性能极限，极易引发机床震颤甚至损坏。

发明内容

本发明旨在克服现有技术缺陷，发明一种速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，通过确定速度敏感区间及各区间内满足插补精度、进给轴加速度、加加速度极限要求的恒定进给速度值，合理规划参数曲线插补加工进给速度，实现满足加工效率与加工质量双重需求的区间恒速曲线插补。

本发明的技术方案是一种速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，其特性在于，该方法首先判断在程序预设进给速度下，曲线上不满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度(即法向加速度变化率)约束的参数区间，从而确定速度敏感区间，并将各速度敏感区间内的曲率半径最小点位置处的许用进给速度作为该速度敏感区间的进给速度初值；其次，以切向加速度、切向加加速度(即切向加速度变化率)为约束条件，通过逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，确定各速度敏感区间的进给速度值；再次，以切向加速度、切向加加速度为约束条件，确定过渡区域的升速起始、结束点和降速起始、结束点；最后，将曲线上各升速起始、结束点和降速起始、结束点及相对应的进给速度值作为数控代码，与曲线信息一起输入到插补器中，实现满足几何和驱动约束的速度敏感区间恒速参数曲线插补；具体步骤如下：

第一步确定速度敏感区间

当加工进给速度为v时，曲线上弓高误差δ为：

$\mathrm{\δ}=\mathrm{\ρ}-\sqrt{{\mathrm{\ρ}}^2-{\left(\frac{vTs}{2}\right)}^2}---\left(1\right)$

式中，ρ为曲率半径，Ts为插补周期；因此，可得曲率半径为ρ时，几何约束，即弓高误差约束下的最大许用加工进给速度v_g(ρ)为：

$v_g\left(\mathrm{\ρ}\right)=\frac{\sqrt{8{\mathrm{\ρ\δ}}_{\lim }-{\mathrm{\δ}}_{\lim }^2}}{Ts}---\left(2\right)$

其中，δ_lim为设定的弓高误差极限；

加工进给速度v、曲线曲率半径ρ与法向加速度a_n的关系为：

$a_n=\frac{v^2}{\mathrm{\ρ}}---\left(3\right)$

因此，法向加速度约束下的最大许用加工进给速度v_a(ρ)为：

$v_a\left(\mathrm{\ρ}\right)=\sqrt{{\mathrm{\ρa}}_{n,\lim }}---\left(4\right)$

其中，a_n,lim为数控系统设定的法向加速度极限；

加工进给速度v、曲线曲率半径ρ与法向加加速度j_n的关系为：

$j_n=\frac{v^3}{{\mathrm{\ρ}}^2}---\left(5\right)$

因此，法向加加速度约束下的最大许用加工进给速度v_j(ρ)为：

$v_j\left(\mathrm{\ρ}\right)=\sqrt[3]{{\mathrm{\ρ}}^2{j}_{n,\lim }}---\left(6\right)$

其中，j_n,lim为法向加加速度极限条件；

参数曲线上参数u位置处，在弓高误差、法向加速度、法向加加速度约束下的最大许用进给速度v_lim(u)为：

v_lim(u)＝min{v_g(ρ(u)),v_a(ρ(u)),v_j(ρ(u))}(7)

设指令加工进给速度为v_p，判断满足不等式：

v_lim(u)＜v_p(8)

的参数区间，即为速度敏感区间，记为：

Rv_i＝[u_start,i,u_end,i](9)

其中，Rv_i为第i个速度敏感区间，u_start,i和u_end,i分别为曲线上第i个速度敏感区间的始末参数值；

设参数u位置处曲线曲率半径为ρ(u)，计算第i个速度敏感区间内曲线上的曲率半径最小值ρ_min,i：

ρ_min,i＝min{ρ(u)|u_start,i≤u≤u_end,i}(10)

进而初步确定各速度敏感区间内的进给速度值vr_i：

vr_i＝min{v_g(ρ_min,i),v_a(ρ_min,i),v_j(ρ_min,i)}(11)

第二步确定各速度敏感区间进给速度值

由于在切向加速度、切向加加速度约束下，实际加工进给速度可能无法在两速度敏感区间之间的弧长范围内从前一区间速度加/减速到下一区间速度，因此，利用切向加速度、切向加加速度约束，在S型加减速模式下，对各速度敏感区间的进给速度值进行再规划；

设切向加速度、切向加加速度极限分别为a_t,lim，j_t,lim，在S型加减速模式下，从起始速度v_start加、减速到结束速度v_end过程所需要的位移值s_req(v_start,v_end)为：

$s_{req}(v_{start},v_{end})=\left\{\begin{array}{c}{v}_{start}(t_1+t_2+t_3)+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2(t_2+t_3)+\frac{1}{2}{a}_{\max }(t_2^2+t_3^2)+a_{\max }{t}_2{t}_3,\\ v_{start}<v_{end}\\ v_{start}(t_1+t_2+t_3)-\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2(t_2+t_3)-\frac{1}{2}{a}_{\max }(t_2^2+t_3^2)-a_{\max }{t}_2{t}_3,\\ v_{start}>v_{end}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，加减速过程最大加速度值a_max＝j_t,limt₁，加加/减速时间t₁，恒加/减速时间t₂，减加/减速时间t₃为：

$\begin{array}{c}{t}_1=\left\{\begin{array}{cc}\frac{a_{t,\lim }}{j_{t,\lim }},& |v_{end}-v_{start}|>\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\\ \sqrt{\frac{v_{end}-v_{start}}{j_{t,\lim }}},& |v_{end}-v_{start}|\&le;\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\end{array}\right.\\ t_2=\left\{\begin{array}{cc}\frac{v_{end}-v_{start}-a_{t,\lim }^2/j_{t,\lim }}{a_{t,\lim }},& |v_{end}-v_{start}|>\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\\ 0,& |v_{end}-v_{start}|\&le;\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\end{array}\right.\\ t_3=t_1\end{array}---\left(13\right)$

首先通过逆向扫描进行降速过程进给速度规划，其流程为：

1)令i＝n-1；

2)判断是否为降速过程，若vr_i≤vr_i+1，转第6)步，否则

3)计算从vr_i减速到vr_i+1所需要位移值s_req(vr_i,vr_i+1)及区间Rv_i和Rv_i+1之间弧长sr_i：

${\mathrm{sr}}_i={\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du---\left(14\right)$

其中，C’(u)为参数曲线方程C(u)对参数u的导失；若s_req(vr_i,vr_i+1)≤sr_i，转第6)步，否则

4)在vr_i和vr_i+1之间利用二分法确定vr_i,B使其满足s_req(vr_i,B,vr_i+1)＝sr_i；

5)令vr_i＝vr_i,B，更新vr_i；

6)若i＝1，结束，否则，令i＝i-1，转第2)步；

其次通过正向扫描进行升速过程进给速度规划，其流程为：

1)令i＝1；

2)判断是否为升速过程，若vr_i≥vr_i+1，转第6)步，否则

3)计算从vr_i加速到vr_i+1所需要位移值s_req(vr_i,vr_i+1)，并利用式(14)计算区间Rv_i和Rv_i+1之间弧长sr_i，若s_req(vr_i,vr_i+1)≤sr_i，转第6)步，否则

4)在vr_i和vr_i+1之间利用二分法确定vr_i+1,F使其满足s_req(vr_i,vr_i+1,F)＝sr_i；

5)令vr_i+1＝vr_i+1,F，更新vr_i+1；

6)若i＝n-1，结束，否则，令i＝i+1，转第2)步；

经过上述逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，得到最终更新的进给速度值vr_i即为满足几何和驱动性能约束的第i个速度敏感区间进给速度最终规划值；

第三步确定速度敏感区间之间过渡区域的升、降速起始、结束点及相对应的进给速度

在两相邻速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间的过渡区域，首先判断过渡区域曲线弧长sr_i是否大于进给速度从区间Rv_i的速度vr_i增加至预设进给速度v_p再从预设进给速度v_p降低至区间Rv_i+1的速度vr_i+1所需位移之和，即判断不等式(15)是否成立：

sr_i＞s_req(vr_i,v_p)+s_req(v_p,vr_i+1)(15)

若不等式(15)成立，速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间执行升速(从vr_i增加到v_p)和降速(从v_p降低至vr_i+1)两个过程；升速起始点参数为u_end,i，相对应的进给速度值为vr_i，升速结束点参数u_r,i通过求解方程(16)获得：

${\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{r,i}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,v_p)---\left(16\right)$

升速结束点对应的进给速度值为v_p；降速起始点参数u_d,i通过求解方程(17)获得：

${\&Integral;}_{u_{d,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}(v_p,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(17\right)$

降速起始点对应的进给速度值为v_p，降速结束点参数为u_start,i+1，相对应的进给速度值为vr_i+1；

若不等式(15)不成立，为保证进给速度轮廓平滑，速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间仅执行升速或降速过程；若vr_i小于vr_i+1，执行升速过程，升速起始点参数为u_end,i，相对应的进给速度值为vr_i，升速结束点参数u_r,i通过求解方程(18)获得：

${\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{r,i}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(18\right)$

升速结束点对应的进给速度值为vr_i+1；若vr_i大于vr_i+1，执行降速过程，降速起始点参数u_d,i通过求解方程(19)获得：

${\&Integral;}_{u_{d,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(19\right)$

降速起始点对应的进给速度值为vr_i，降速结束点参数为u_start,i+1，相对应的进给速度值为vr_i+1；

第四步实时计算当前插补点处进给速度

将第三步中获得的升速、降速的起始、结束点曲线参数ur_i和相应的进给速度值vu_i对应关系表作为实时插补器的输入；在实时参数曲线插补过程中，判断当前插补点曲线参数所在的参数区间[ur_i,ur_i+1]，若该参数区间两端参数对应的进给速度值相同，则该参数区间内采用恒速插补，若该参数区间两端参数对应的进给速度值不同，则该参数区间内采用S型加减速模型确定当前插补点进给速度值；即，若vu_i＝vu_i+1，则令当前插补点进给速度v_k＝vu_i；若vu_i≠vu_i+1，计算当前插补点进入参数区间[ur_i,ur_i+1]内的插补时间t，则当前插补点进给速度v_k为：

$v_k=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{start}+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}^2,& 0\&le;t<t_1\\ v_1+a_{\max }(t-t_1),v_1=v_{start}+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2,& t_1\&le;t<t_1+t_2\\ v_2+a_{\max }(t-t_1-t_2)-\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{(t-t_1-t_2)}^2,v_2=v_1+a_{\max }{t}_2,& t_1+t_2\&le;t\&le;t_1+t_2+t_3\end{array}\right.---\left(20\right)$

其中，a_max＝j_t,limt₁，t₁、t₂、t₃采用公式(13)计算，v_start＝vu_i，v_end＝vu_i+1；

第五步计算下一插补点处曲线参数

获得当前插补点进给速度v_k后，计算下一插补点曲线参数u_k+1：

$u_{k+1}{u}_k+\frac{v_k}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_k\right)\left|\right|}Ts-\frac{v_k^2\left(C^{\&prime;}\right(u_k),C^{\&prime;\&prime;}(u_k\left)\right)}{2\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_k\right)|{|}^4}{\mathrm{Ts}}^2---\left(21\right)$

其中，u_k为当前插补点处样条曲线参数，C′(u_k)为当前插补点处样条曲线的一阶导失，C″(u_k)为当前插补点处样条曲线的二阶导失；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令k＝k+1，返回第四步；据此，实现满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度、切向加速度、切向加加速度综合约束的速度敏感区间恒速参数曲线插补。

本发明的有益效果是：提出了速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，实现了除部分过渡区域外保持恒定进给速度的参数曲线插补；建立了满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度、切向加速度、切向加加速度综合约束的参数曲线插补策略，对提高曲线插补加工效率和加工质量、提高机床寿命具有重要意义；加工进给速度规划在预处理阶段完成，有效缓解了实时插补器的计算负担，对实现更加复杂、准确的实时插补参数计算具有重要意义。

附图说明

图1——方法整体流程图；

图2——“骨头”形非均匀有理B样条曲线几何模型图；

图3——加工进给速度规划值；其中，A轴表示样条曲线参数，B轴表示进给速度值，单位为mm/s，曲线1为本方法规划的进给速度曲线，曲线2为弓高误差约束下的进给速度曲线，曲线3为法向加速度约束下的进给速度曲线，曲线4为法向加加速度约束下的进给速度曲线；

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

参数样条曲线插补过程中，当采用恒定进给速度时，若速度过高，易导致超出机床驱动能力极限，若速度过低，则影响加工效率；当采用完全自适应进给速度时，加工进给速度时变，易诱发机床震颤，不利于材料去除率的恒定和加工表面质量的提高。据此，发明一种速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，即满足插补精度、机床驱动能力要求，又可实现插补时除少数过渡区域外保持恒定进给速度，避免机床震颤。

以非均匀有理B样条曲线插补为例，借助MATLAB软件计算并仿真，详细说明本发明实施过程，整体流程参见附图1。

本实例中，插补曲线为一非均匀有理B样条表示的“骨头”形曲线，几何模型如附图2所示，曲线参数为：阶数：2；控制点：{(0,0)；(-8,-20)；(30,-5)；(60,-20)；(47,0)；(60,20)；(30,5)；(-8,20)；(0,0)}；权因子：{1,0.9,0.75,1.5,6,3.5,1.8,1.5,1}；节点向量：{0,0,0,0.15,0.3,0.45,0.6,0.75,0.85,1,1,1}；

第一步，如附图1所示，在插补预处理阶段，首先以弓高误差、法向加速度、法向加加速度为约束，利用公式(7)～(9)确定曲线上的速度敏感区间Rv_i，利用公式(11)确定各速度敏感区间的进给速度初值vr_i；

本实例中，插补周期Ts＝0.002s，弓高误差极限约束δ_lim＝0.001mm，法向加速度极限约束a_n,lim＝500mm/s²，法向加加速度极限约束j_n,lim＝4500mm/s³，预设进给速度v_p＝55mm/s；

第二步，以切向加速度、切向加加速度为约束条件，通过逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，更新各速度敏感区间进给速度值vr_i，得到满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度、切向加速度、切向加加速度综合约束的各速度敏感区间进给速度许用值；

本实例中，切向加速度极限约束a_t,lim＝150mm/s²，切向加加速度极限约束j_t,lim＝800mm/s³；

第三步，根据发明内容中第三步所述，确定各速度敏感区间之间过渡区域的升速、降速起始、结束点曲线参数ur_i及其对应的进给速度值vu_i，得到过渡区域升、降速起始、结束点曲线参数与进给速度对应关系[ur_i,vu_i]；

第四步，在实时插补阶段，首先判断当前插补点u_j所在参数区间[ur_i,ur_i+1]，若vu_i＝vu_i+1，则令当前插补点进给速度v_k＝vu_i；若vu_i≠vu_i+1，计算当前插补点进入参数区间[ur_i,ur_i+1]内的插补时间t，采用公式(20)计算当前插补点进给速度v_k；

第五步，获得当前插补点进给速度v_k后，采用公式(21)计算下一插补点曲线参数u_k+1；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令k＝k+1，返回第四步；

对于本实例中的“骨头”形曲线，采用上述步骤进行曲线插补，所得进给速度曲线如附图3所示，可以看出，实际规划的进给速度既满足几何精度和机床驱动能力约束，又实现了在除部分过渡区域外保持恒定。

本发明针对参数曲线插补时，采用恒定进给速度不利于加工效率的提高、采用时变自适应进给速度易诱发机床震颤等问题，发明了速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，实现满足几何精度和机床驱动能力约束的区间恒速曲线插补，对高精度高效率的参数曲线插补数控加工技术的发展具有重大意义。

Claims (1)

1.一种速度敏感区间恒速曲线插补速度规划方法，其特性在于，该方法首先判断在程序预设进给速度下，曲线上不满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度(即法向加速度变化率)约束的参数区间，从而确定速度敏感区间，并将各速度敏感区间内的曲率半径最小点位置处的许用进给速度作为该速度敏感区间的进给速度初值；其次，以切向加速度、切向加加速度(即切向加速度变化率)为约束条件，通过逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，确定各速度敏感区间的进给速度值；再次，以切向加速度、切向加加速度为约束条件，确定过渡区域的升速起始、结束点和降速起始、结束点；最后，将曲线上各升速起始、结束点和降速起始、结束点及相对应的进给速度值作为数控代码，与曲线信息一起输入到插补器中，实现满足几何和驱动约束的速度敏感区间恒速参数曲线插补；具体步骤如下：

第一步确定速度敏感区间

当加工进给速度为v时，曲线上弓高误差δ为：

$\mathrm{\&delta;}=\mathrm{\&rho;}-\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\left(\frac{vTs}{2}\right)}^2}---\left(1\right)$

式中，ρ为曲率半径，Ts为插补周期；因此，可得曲率半径为ρ时，几何约束，即弓高误差约束下的最大许用加工进给速度v_g(ρ)为：

$v_g\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&rho;\&delta;}}_{\lim }-{\mathrm{\&delta;}}_{\lim }^2}}{Ts}---\left(2\right)$

其中，δ_lim为设定的弓高误差极限；

加工进给速度v、曲线曲率半径ρ与法向加速度a_n的关系为：

$a_n=\frac{v^2}{\mathrm{\&rho;}}---\left(3\right)$

因此，法向加速度约束下的最大许用加工进给速度v_a(ρ)为：

$v_a\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\sqrt{{\mathrm{\&rho;a}}_{n,\lim }}---\left(4\right)$

其中，a_n,lim为数控系统设定的法向加速度极限；

加工进给速度v、曲线曲率半径ρ与法向加加速度j_n的关系为：

$j_n=\frac{v^3}{{\mathrm{\&rho;}}^2}---\left(5\right)$

因此，法向加加速度约束下的最大许用加工进给速度v_j(ρ)为：

$v_j\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\sqrt[3]{{\mathrm{\&rho;}}^2{j}_{n,\lim }}---\left(6\right)$

其中，j_n,lim为法向加加速度极限条件；

参数曲线上参数u位置处，在弓高误差、法向加速度、法向加加速度约束下的最大许用进给速度v_lim(u)为：

v_lim(u)＝min{v_g(ρ(u)),v_a(ρ(u)),v_j(ρ(u))}(7)

设指令加工进给速度为v_p，判断满足不等式：

v_lim(u)＜v_p(8)

的参数区间，即为速度敏感区间，记为：

Rv_i＝[u_start,i,u_end,i](9)

其中，Rv_i为第i个速度敏感区间，u_start,i和u_end,i分别为曲线上第i个速度敏感区间的始末参数值；

设参数u位置处曲线曲率半径为ρ(u)，计算第i个速度敏感区间内曲线上的曲率半径最小值ρ_min,i：

ρ_min,i＝min{ρ(u)|u_start,i≤u≤u_end,i}(10)

进而初步确定各速度敏感区间内的进给速度值vr_i：

vr_i＝min{v_g(ρ_min,i),v_a(ρ_min,i),v_j(ρ_min,i)}(11)

第二步确定各速度敏感区间进给速度值

由于在切向加速度、切向加加速度约束下，实际加工进给速度可能无法在两速度敏感区间之间的弧长范围内从前一区间速度加/减速到下一区间速度，因此，利用切向加速度、切向加加速度约束，在S型加减速模式下，对各速度敏感区间的进给速度值进行再规划；

设切向加速度、切向加加速度极限分别为a_t,lim，j_t,lim，在S型加减速模式下，从起始速度v_start加、减速到结束速度v_end过程所需要的位移值s_req(v_start,v_end)为：

$s_{req}(v_{start},v_{end})=\left\{\begin{array}{c}{v}_{start}(t_1+t_2+t_3)+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2(t_2+t_3)+\frac{1}{2}{a}_{\max }(t_2^2+t_3^2)+a_{\max }{t}_2{t}_3,\\ v_{start}<v_{end}\\ v_{start}(t_1+t_2+t_3)-\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2(t_2+t_3)-\frac{1}{2}{a}_{\max }(t_2^2+t_3^2)-a_{\max }{t}_2{t}_3,\\ v_{start}>v_{end}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，加减速过程最大加速度值a_max＝j_t,limt₁，加加/减速时间t₁，恒加/减速时间t₂，减加/减速时间t₃为：

$t_1=\left\{\begin{array}{cc}\frac{a_{t,\lim }}{j_{t,\lim }},& \left|v_{end}-v_{start}\right|>\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\\ \sqrt{\frac{v_{end}-v_{start}}{j_{t,\lim }}},& \left|v_{end}-v_{start}\right|\&le;\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\end{array}\right.$

$t_2=\left\{\begin{array}{cc}\frac{v_{end}-v_{start}-a_{t,\lim }^2/j_{t,\lim }}{a_{t,\lim }},& \left|v_{end}-v_{start}\right|>\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\\ 0,& \left|v_{end}-v_{start}\right|\&le;\frac{a_{t,\lim }^2}{j_{t,\lim }}\end{array}\right.---\left(13\right)$

t₃＝t₁

首先通过逆向扫描进行降速过程进给速度规划，其流程为：

1)令i＝n-1；

2)判断是否为降速过程，若vr_i≤vr_i+1，转第6)步，否则

3)计算从vr_i减速到vr_i+1所需要位移值s_req(vr_i,vr_i+1)及区间Rv_i和Rv_i+1之间弧长sr_i：

${\mathrm{sr}}_i={\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du---\left(14\right)$

其中，C’(u)为参数曲线方程C(u)对参数u的导失；若s_req(vr_i,vr_i+1)≤sr_i，转第6)步，否则

4)在vr_i和vr_i+1之间利用二分法确定vr_i,B使其满足s_req(vr_i,B,vr_i+1)＝sr_i；

5)令vr_i＝vr_i,B，更新vr_i；

6)若i＝1，结束，否则，令i＝i-1，转第2)步；

其次通过正向扫描进行升速过程进给速度规划，其流程为：

1)令i＝1；

2)判断是否为升速过程，若vr_i≥vr_i+1，转第6)步，否则

3)计算从vr_i加速到vr_i+1所需要位移值s_req(vr_i,vr_i+1)，并利用式(14)计算区间Rv_i和Rv_i+1之间弧长sr_i，若s_req(vr_i,vr_i+1)≤sr_i，转第6)步，否则

4)在vr_i和vr_i+1之间利用二分法确定vr_i+1,F使其满足s_req(vr_i,vr_i+1,F)＝sr_i；

5)令vr_i+1＝vr_i+1,F，更新vr_i+1；

6)若i＝n-1，结束，否则，令i＝i+1，转第2)步；

经过上述逆向扫描降速过程进给速度规划和正向扫描升速过程进给速度规划，得到最终更新的进给速度值vr_i即为满足几何和驱动性能约束的第i个速度敏感区间进给速度最终规划值；

第三步确定速度敏感区间之间过渡区域的升、降速起始、结束点及相对应的进给速度

在两相邻速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间的过渡区域，首先判断过渡区域曲线弧长sr_i是否大于进给速度从区间Rv_i的速度vr_i增加至预设进给速度v_p再从预设进给速度v_p降低至区间Rv_i+1的速度vr_i+1所需位移之和，即判断不等式(15)是否成立：

sr_i＞s_req(vr_i,v_p)+s_req(v_p,vr_i+1)(15)

若不等式(15)成立，速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间执行升速(从vr_i增加到v_p)和降速(从v_p降低至vr_i+1)两个过程；升速起始点参数为u_end,i，相对应的进给速度值为vr_i，升速结束点参数u_r,i通过求解方程(16)获得：

${\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{r,i}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,v_p)---\left(16\right)$

升速结束点对应的进给速度值为v_p；降速起始点参数u_d,i通过求解方程(17)获得：

${\&Integral;}_{u_{d,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}(v_p,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(17\right)$

降速起始点对应的进给速度值为v_p，降速结束点参数为u_start,i+1，相对应的进给速度值为vr_i+1；

若不等式(15)不成立，为保证进给速度轮廓平滑，速度敏感区间Rv_i和Rv_i+1之间仅执行升速或降速过程；若vr_i小于vr_i+1，执行升速过程，升速起始点参数为u_end,i，相对应的进给速度值为vr_i，升速结束点参数u_r,i通过求解方程(18)获得：

${\&Integral;}_{u_{end,i}}^{u_{r,i}}\left|\right|C^{\&prime;}\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(18\right)$

升速结束点对应的进给速度值为vr_i+1；若vr_i大于vr_i+1，执行降速过程，降速起始点参数u_d,i通过求解方程(19)获得：

${\&Integral;}_{u_{d,i}}^{u_{start,i+1}}\left|\right|C\left(u\right)\left|\right|du=s_{req}({\mathrm{vr}}_i,{\mathrm{vr}}_{i+1})---\left(19\right)$

降速起始点对应的进给速度值为vr_i，降速结束点参数为u_start,i+1，相对应的进给速度值为vr_i+1；

第四步实时计算当前插补点处进给速度

将第三步中获得的升速、降速的起始、结束点曲线参数ur_i和相应的进给速度值vu_i对应关系表作为实时插补器的输入；在实时参数曲线插补过程中，判断当前插补点曲线参数所在的参数区间[ur_i,ur_i+1]，若该参数区间两端参数对应的进给速度值相同，则该参数区间内采用恒速插补，若该参数区间两端参数对应的进给速度值不同，则该参数区间内采用S型加减速模型确定当前插补点进给速度值；即，若vu_i＝vu_i+1，则令当前插补点进给速度v_k＝vu_i；若vu_i≠vu_i+1，计算当前插补点进入参数区间[ur_i,ur_i+1]内的插补时间t，则当前插补点进给速度v_k为：

$v_k=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{start}+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}^2,& 0\&le;t<t_1\\ v_1+a_{\max }(t-t_1),v_1=v_{start}+\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{t}_1^2,& t_1\&le;t<t_1+t_2\\ v_2+a_{\max }(t-t_1-t_2)-\frac{1}{2}{j}_{t,\lim }{(t-t_1-t_2)}^2,v_2=v_1+a_{\max }{t}_2,& t_1+t_2\&le;t\&le;t_1+t_2+t_3\end{array}\right.---\left(20\right)$

其中，a_max＝j_t,limt₁，t₁、t₂、t₃采用公式(13)计算，v_start＝vu_i，v_end＝vu_i+1；

第五步计算下一插补点处曲线参数

获得当前插补点进给速度v_k后，计算下一插补点曲线参数u_k+1：

$u_{k+1}=u_k+\frac{v_k}{\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_k\right)\left|\right|}Ts-\frac{v_k^2\left(C^{\&prime;}\right(u_k),C^{\&prime;\&prime;}(u_k\left)\right)}{2\left|\right|C^{\&prime;}\left(u_k\right)|{|}^4}{\mathrm{Ts}}^2---\left(21\right)$

其中，u_k为当前插补点处样条曲线参数，C′(u_k)为当前插补点处样条曲线的一阶导失，C″(u_k)为当前插补点处样条曲线的二阶导失；判断是否到达曲线终点，若到达终点，则结束插补，否则，令k＝k+1，返回第四步；据此，实现满足弓高误差、法向加速度、法向加加速度、切向加速度、切向加加速度综合约束的速度敏感区间恒速参数曲线插补。