CN111310106A - 一种基于逐步逼近原始轮廓的b样条拟合优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法包括：取待拟合的原始轮廓，该原始轮廓包括若干个有序排列的轮廓点，且相邻两个轮廓点之间采用线段相连；依次遍历各轮廓点，若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点；以拐点作为原始轮廓的分区点，将相邻两个分区点之间的轮廓点作为原始轮廓的一个区间，进行原始轮廓的分区间拟合；依次取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，完成原始轮廓的拟合优化。本发明对原始轮廓的拟合效果好，拟合误差小，且不会出现过拟合现象，得到光滑的切割轮廓，减少加工时间。

Description

一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法

技术领域

本申请属于裁床裁剪技术领域，具体涉及一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法。

背景技术

广告牌切割是广告加工过程中重要的一个环节，若提高了切割效率就会大大减少加工时间，提高服装企业的竞争力。传统的切割主要是先由人工把待切割的图用CDR软件抠出待切割的轮廓图，然后把抠出的轮廓图导出为plt文件。传统的切割方式会大大增加工作时间，尤其遇到轮廓特别复杂的图其抠出的轮廓图难度也会大大增加。

由于图像处理技术的进步，通过把轮廓保存为jpg格式的图片，由图像处理技术提取出轮廓可以提高一些效率，但是提取到的轮廓由一个个小线段构成，这必然会造成在切割过程中机械的震动和切割处的轮廓有棱角，导致加工效率差和加工结果差。因此急需一种满足切割所需的样条曲线拟合方法。

发明内容

本申请的目的在于提供一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，对原始轮廓的拟合效果好，拟合误差小，且不会出现过拟合现象，得到光滑的切割轮廓，减少加工时间。

为实现上述目的，本申请所采取的技术方案为：

一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，所述基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，包括：

步骤1、取待拟合的原始轮廓，该原始轮廓包括若干个有序排列的轮廓点，且相邻两个轮廓点之间采用线段相连；

步骤2、依次遍历各轮廓点，若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点；

步骤3、以拐点作为原始轮廓的分区点，将相邻两个分区点之间的轮廓点作为原始轮廓的一个区间，进行原始轮廓的分区间拟合，包括：

步骤3.1、构建三次B样条曲线总方程；

步骤3.2、将待拟合的区间M_j中的轮廓点作为本次需要拟合的型值点，且两个型值点之间的线段作为原始线段；

步骤3.3、采用向心参数化法参数化区间M_j中的型值点，利用参数化后的型值点根据三次B样条曲线总方程求取得到过型值点的样条曲线；

步骤3.4、依次取样条曲线上相邻的两个型值点的坐标，并在两个坐标之间以预设步长增长，将样条曲线离散化，得到离散点；

步骤3.5、取区间M_j中相邻两个型值点之间的原始线段，计算各离散点与该原始线段之间的最大距离，若最大距离大于弓高误差阈值，则在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，该轮廓点为由原始线段的中点沿垂直于原始线段的方向朝靠近离散点一侧偏移弓高误差阈值后得到，更新区间M_j，并执行步骤3.6；否则执行步骤3.7；

步骤3.6、取最新的区间M_j，重新执行步骤3.2，即重新拟合区间M_i；

步骤3.7、判断本次取的型值点是否为区间M_j中的最后两个型值点，若是则结束区间M_j的拟合，并取下一区间重新执行步骤3.2，直至完成所有区间的拟合；否则继续取区间M_j中新的两个相邻型值点并重新执行步骤3.5；

步骤4、依次取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，完成原始轮廓的拟合优化。

作为优选，所述若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点，包括：

获取与同一轮廓点相连的两条线段中各线段对应的两个轮廓点的坐标；

根据轮廓点的坐标计算得到两条线段的直线方程为：l_i:A₁x+B₁y+C₁＝0和l_i+1:A₂x+B₂y+C₂＝0；

利用直线夹角公式

求取两条线段的夹角θ_i，其中i＝1,2,3...n，n为原始轮廓中轮廓点的总数；

若θ_i为直角或锐角，则与两条线段相连的轮廓点为拐点。

作为优选，所述构建三次B样条曲线总方程如下：

其中，P_i表示样条曲线的第i个控制点，所述控制点为控制样条曲线的走向的点，F_i,k(u)为K阶B样条基函数，所述F_i,k(u)的表达式如下：

其中，u表示自变量，u_i表示自变量参数化后所得区间中的第i个区间节点。

作为优选，所述采用向心参数化法参数化区间M_j中的型值点，利用参数化后的型值点根据三次B样条曲线总方程求取得到过型值点的样条曲线，包括：

参数化型值点得到自变量u参数化后所得区间中的区间节点如下：u₀＝u₁＝u₂＝u₃＝0，

u_n+3＝u_n+4＝u_n+5＝u_n+6＝1，其中i＝1,2,3...n，x_i和x_i+1为原始轮廓上相邻轮廓点之间的距离；

建立关系式如下：

F*P＝X

其中，F为基函数矩阵，P为待求解的控制点矩阵，X为原始轮廓上型值点矩阵；

根据最小二乘法求解控制点矩阵：

P＝X*F^-1

将求解得到的控制点矩阵和参数化型值点得到的区间节点代入三次B样条曲线总方程，得到样条曲线。

作为优选，所述在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，该轮廓点为由原始线段的中点沿垂直于原始线段的方向朝靠近离散点一侧偏移弓高误差阈值后得到，包括：

令两个型值点为X_i和X_i+1，且对应的坐标为(X_ix,X_iy)、(X_(i+1)x,X_(i+1)y)，根据两型值点的坐标计算得到两型值点对应的原始线段的斜率为k；

则原始线段的中点坐标(tx，ty)的计算公式如下：

tx＝(X_ix+X_(i+1)x)/2

ty＝(X_iy+X_(i+1)y)/2

根据原始线段的斜率k以及中点坐标(tx，ty)，求解得到过中点且与原始线段垂直的直线方程为：

令新增的轮廓点的坐标为(addx，addy)，由于轮廓点位于与原始线段垂直的直线上，且与中点距离为弓高误差阈值，则根据以下公式进行求解：

其中，ε为弓高误差阈值，且求解后得到两组坐标，取位于当前两型值点对应的原始线段与离散点之间的坐标作为新增的轮廓点的坐标。

作为优选，所述取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，包括：

若线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1之间的夹角为锐角，其中A_i-1，A_i，A_i+1为原始轮廓上的轮廓点，则轮廓点A_i即为拐点；

添加线段A_i-1A_i+1，形成三角形A_i-1A_iA_i+1；

求三角形A_i-1A_iA_i+1的内切圆，并计算内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，若该距离大于预设的误差阈值，则以拐点、内切圆分别与线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1的切点形成新的三角形，并重新作该三角形的内切圆，判断新的内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，直至该距离小于误差阈值；

取圆心与拐点A_i之间的距离小于误差阈值的内切圆，取该内切圆上位于两切点之间且朝向拐点侧的圆弧代替两切点之间的折线，即代替拐点。

本申请提供的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，当用三次B样条拟合出现误差大于预设误差后，在原始轮廓中与B样条曲线产生误差的小段的中间增加一个轮廓点，重新拟合曲线，这样可以在既不会改变原有轮廓的形状的前提下减少拟合误差；并且对于原始轮廓中锐角的处理通过内切圆来逐步逼近原始轮廓，防止样条曲线处理锐角出现过拟合的现象，从而得到光滑的切割轮廓，大大减少加工时间，使整个切割系统的工作效率大幅度提高。

附图说明

图1为本申请的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法的流程图；

图2为本申请的原始轮廓的一种实施例示意图；

图3为本申请的优化样条曲线的示意图；

图4为本申请优化拐点的一种实施例示意图。

具体实施方式

下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

除非另有定义，本文所使用的所有的技术和科学术语与属于本申请的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本文中在本申请的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是在于限制本申请。

其中一个实施例中，提供一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，用于根据原始轮廓进行拟合，得到便于切割的光滑轮廓。

如图1所示，实施例的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，包括：

步骤1、取待拟合的原始轮廓，该原始轮廓包括若干个有序排列的轮廓点，且相邻两个轮廓点之间采用线段相连。

步骤2、依次遍历各轮廓点，若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点。

在一实施例中，提供一种标记拐点的步骤如下：

获取与同一轮廓点相连的两条线段中各线段对应的两个轮廓点的坐标。

根据轮廓点的坐标计算得到两条线段的直线方程为：l_i:A₁x+B₁y+C₁＝0和l_i+1:A₂x+B₂y+C₂＝0。

利用直线夹角公式

求取两条线段的夹角θ_i，其中i＝1,2,3...n，n为原始轮廓中轮廓点的总数。需要说明的是，由于确定拐点时需获取与同一轮廓点相连的两条线段，由于本实施例中的原始轮廓为封闭性原始轮廓，因此第一个轮廓点和最后一个轮廓点计算时均会使用到第一条线段，即i为n，i+1为n+1时，l_n+1取的即为线段l₁。

若θ_i为直角或锐角，则与两条线段相连的轮廓点为拐点。如图2所示，图中的线条为原始轮廓，图中的菱形标记原始轮廓上的轮廓点，图中的小圆圈标注处即为该轮廓的拐点。

步骤3、以拐点作为原始轮廓的分区点，将相邻两个分区点之间的轮廓点作为原始轮廓的一个区间，进行原始轮廓的分区间拟合，包括：

步骤3.1、构建三次B样条曲线总方程。

在一实施例中，所构建三次B样条曲线总方程如下：

其中，P_i表示样条曲线的第i个控制点，所述控制点为控制样条曲线的走向的点，F_i,k(u)为K阶B样条基函数，所述F_i,k(u)的表达式如下：

其中，u表示自变量，u_i表示自变量参数化后所得区间中的第i个区间节点。

以四个控制点为例对三次B样条曲线总方程进一步详述：四个控制点时，B样条曲线总方程为：P(u)＝P₀*F_0,3(u)+P₁*F_1,3(u)+P₂*F_2,3(u)+p₃*F_3,3(u)，利用基函数方程式求得各段的基函数的方程式为：

为了最大还原原始轮廓的形状，本实施例采用样条曲线过轮廓的型值点，然后反算出控制点，再由控制点控制样条曲线的走向，即采用插值拟合。

步骤3.2、将待拟合的区间M_j中的轮廓点作为本次需要拟合的型值点，且两个型值点之间的线段作为原始线段。区间M_j应理解为将原始轮廓的分区间后所得的第j个区间，且1≤j≤J，J为原始轮廓拆分后的区间总数。

步骤3.3、采用向心参数化法参数化区间M_j中的型值点，利用参数化后的型值点根据三次B样条曲线总方程求取得到过型值点的样条曲线。

参数化型值点得到自变量u参数化后所得区间中的区间节点如下：u₀＝u₁＝u₂＝u₃＝0，

u_n+3＝u_n+4＝u_n+5＝u_n+6＝1，其中i＝1,2,3...n，x_i和x_i+1为原始轮廓上相邻轮廓点之间的距离。与步骤2中的直线方程同理，这里取距离时x_n+1即为距离x₁，但是由于u_n+3已经赋值，因此为了避免重复赋值浪费计算资源实际计算时计算至i＝n-1即可停止运算。

为使样条曲线过型值点需要反算出控制点，由三次B样条曲线总方程可知，基函数的值可以通过基函数公式求得，要经过的轮廓的型值点已知，因此在求解控制点时建立关系式如下：

F*P＝X

其中，F为基函数矩阵，P为待求解的控制点矩阵，X为原始轮廓上型值点矩阵。在一实施例中，根据曲线总返程求和展开得到如下方程组：

由于前四个区间节点为0，故第一个控制点和第一个型值点重合，同理最后一个控制点和最后一个型值点重合，故得到上述方程组。

在得到方程组后然后根据最小二乘法求解控制点矩阵：

P＝X*F^-1

将求解得到的控制点矩阵和参数化型值点得到的区间节点代入三次B样条曲线总方程，得到样条曲线。

由于切割系统无法解析曲线方程，故需要离散化曲线使之转换成一段段小线段来代替曲线。因为样条曲线本身就是光滑，因此离散后的曲线要比原轮廓的小线段光滑的多。

步骤3.4、依次取样条曲线上相邻的两个型值点的坐标，并在两个坐标之间以预设步长增长，将样条曲线离散化，得到离散点。

例如取到的两个点的坐标为u₃＝0，u₄＝0.286，则u带入B样条返程的值u∈{0,0.001,0.002,0.003.....0.286}，求得函数值为离散后的值。

步骤3.5、取区间M_j中相邻两个型值点之间的原始线段，计算各离散点与该原始线段之间的最大距离，若最大距离大于弓高误差阈值，则在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，该轮廓点为由原始线段的中点沿垂直于原始线段的方向朝靠近离散点一侧偏移弓高误差阈值后得到，更新区间M_j，并执行步骤3.6；否则执行步骤3.7。

在一实施例中，为了降低样条曲线拟合的误差，在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，包括以下步骤：

令两个型值点为X_i和X_i+1，且对应的坐标为(X_ix,X_iy)、(X_(i+1)x,X_(i+1)y)，根据两型值点的坐标计算得到两型值点对应的原始线段的斜率为k。

则原始线段的中点坐标(tx，ty)的计算公式如下：

tx＝(X_ix+X_(i+1)x)/2

ty＝(X_iy+X_(i+1)y)/2

根据原始线段的斜率k以及中点坐标(tx，ty)，求解得到过中点且与原始线段垂直的直线方程为：

令新增的轮廓点的坐标为(addx，addy)，由于轮廓点位于与原始线段垂直的直线上，且与中点距离为弓高误差阈值，则根据以下公式进行求解：

其中，ε为弓高误差阈值，且求解后得到两组坐标，取位于当前两型值点对应的原始线段与离散点之间的坐标作为新增的轮廓点的坐标。

如图3所示，图中最上方的直线段即为原始线段，图中中间星号标记的即为补偿样条曲线拟合误差后的曲线，该曲线上圆圈所示处的点即为上一次新增的轮廓点，图中最下方的菱形标记的即为补偿样条曲线拟合误差前的曲线。由图可看出，补偿后得到的曲线更加接近原始轮廓。

步骤3.6、取最新的区间M_j，重新执行步骤3.2，即重新拟合区间M_j。

步骤3.7、判断本次取的型值点是否为区间M_j中的最后两个型值点，若是则结束区间M_j的拟合，并取下一区间重新执行步骤3.2，直至完成所有区间的拟合；否则继续取区间M_j中新的两个相邻型值点并重新执行步骤3.5。

步骤4、依次取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，完成原始轮廓的拟合优化。

为了避免样条曲线出现过拟合现象，在一实施例中，设定夹角为直角的拐点可直接输出，对夹角为锐角的拐点作以下处理：

如图4所示，若线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1之间的夹角为锐角，其中A_i-1，A_i，A_i+1为原始轮廓上的轮廓点，则轮廓点A_i即为拐点。

添加线段A_i-1A_i+1，形成三角形A_i-1A_iA_i+1。

求三角形A_i-1A_iA_i+1的内切圆，并计算内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，若该距离大于预设的误差阈值，则以拐点、内切圆分别与线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1的切点形成新的三角形，并重新作该三角形的内切圆，判断新的内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，直至该距离小于误差阈值。该误差阈值可以设置为铣刀的半径。

即i＝2，构成的三角形为A₁A₂A₃，若三角形A₁A₂A₃的内切圆圆心O与拐点A₂的距离大于预设的误差阈值，则圆心为O的内切圆与三角形A₁A₂A₃的切点A′₁和A＇₃、以及拐点A₂形成新的三角形，重新作内切圆并判断距离，依次循环直至距离小于误差阈值。

取圆心与拐点A_i之间的距离小于误差阈值的内切圆，取该内切圆上位于两切点之间且朝向拐点侧的圆弧代替两切点之间的折线，即代替拐点。

本实施例提供逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法把轮廓中的坐标进行拟合，得到一条在允许误差内的光滑曲线，然后进行切割进行。该方法可以在加工的时间大大减少，切割出光滑的轮廓，使整个切割系统的工作效率大幅度的提高。

以上所述实施例的各技术特征可以进行任意的组合，为使描述简洁，未对上述实施例中的各技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。

以上所述实施例仅表达了本申请的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本申请的保护范围。因此，本申请专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (6)

1.一种基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，包括：

步骤1、取待拟合的原始轮廓，该原始轮廓包括若干个有序排列的轮廓点，且相邻两个轮廓点之间采用线段相连；

步骤2、依次遍历各轮廓点，若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点；

步骤3、以拐点作为原始轮廓的分区点，将相邻两个分区点之间的轮廓点作为原始轮廓的一个区间，进行原始轮廓的分区间拟合，包括：

步骤3.1、构建三次B样条曲线总方程；

步骤3.2、将待拟合的区间M_j中的轮廓点作为本次需要拟合的型值点，且两个型值点之间的线段作为原始线段；

步骤3.3、采用向心参数化法参数化区间M_j中的型值点，利用参数化后的型值点根据三次B样条曲线总方程求取得到过型值点的样条曲线；

步骤3.4、依次取样条曲线上相邻的两个型值点的坐标，并在两个坐标之间以预设步长增长，将样条曲线离散化，得到离散点；

步骤3.5、取区间M_j中相邻两个型值点之间的原始线段，计算各离散点与该原始线段之间的最大距离，若最大距离大于弓高误差阈值，则在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，该轮廓点为由原始线段的中点沿垂直于原始线段的方向朝靠近离散点一侧偏移弓高误差阈值后得到，更新区间M_j，并执行步骤3.6；否则执行步骤3.7；

步骤3.6、取最新的区间M_j，重新执行步骤3.2，即重新拟合区间M_j；

步骤3.7、判断本次取的型值点是否为区间M_j中的最后两个型值点，若是则结束区间M_j的拟合，并取下一区间重新执行步骤3.2，直至完成所有区间的拟合；否则继续取区间M_j中新的两个相邻型值点并重新执行步骤3.5；

步骤4、依次取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，完成原始轮廓的拟合优化。

2.如权利要求1所述的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述若与同一轮廓点相连的两条线段的夹角为锐角或直角，则标记该轮廓点为拐点，包括：

获取与同一轮廓点相连的两条线段中各线段对应的两个轮廓点的坐标；

根据轮廓点的坐标计算得到两条线段的直线方程为：l_i:A₁x+B₁y+C₁＝0和l_i+1:A₂x+B₂y+C₂＝0；

利用直线夹角公式

求取两条线段的夹角θ_i，其中i＝1,2,3...n，n为原始轮廓中轮廓点的总数；

若θ_i为直角或锐角，则与两条线段相连的轮廓点为拐点。

3.如权利要求2所述的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述构建三次B样条曲线总方程如下：

其中，P_i表示样条曲线的第i个控制点，所述控制点为控制样条曲线的走向的点，F_i,k(u)为K阶B样条基函数，所述F_i,k(u)的表达式如下：

其中，u表示自变量，u_i表示自变量参数化后所得区间中的第i个区间节点。

4.如权利要求3所述的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述采用向心参数化法参数化区间M_j中的型值点，利用参数化后的型值点根据三次B样条曲线总方程求取得到过型值点的样条曲线，包括：

参数化型值点得到自变量u参数化后所得区间中的区间节点如下：u₀＝u₁＝u₂＝u₃＝0，

u_n+3＝u_n+4＝u_n+5＝u_n+6＝1，其中i＝1,2,3...n，x_i和x_i+1为原始轮廓上相邻轮廓点之间的距离；

建立关系式如下：

F*P＝X

其中，F为基函数矩阵，P为待求解的控制点矩阵，X为原始轮廓上型值点矩阵；

根据最小二乘法求解控制点矩阵：

P＝X*F^-1

将求解得到的控制点矩阵和参数化型值点得到的区间节点代入三次B样条曲线总方程，得到样条曲线。

5.如权利要求4所述的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述在当前的两型值点之间新增一个轮廓点，该轮廓点为由原始线段的中点沿垂直于原始线段的方向朝靠近离散点一侧偏移弓高误差阈值后得到，包括：

令两个型值点为X_i和X_i+1，且对应的坐标为(X_ix,X_iy)、(X_(i+1)x,X_(i+1)y)，根据两型值点的坐标计算得到两型值点对应的原始线段的斜率为k；

则原始线段的中点坐标(tx，ty)的计算公式如下：

tx＝(X_ix+X_(i+1)x)/2

ty＝(X_iy+X_(i+1)y)/2

根据原始线段的斜率k以及中点坐标(tx，ty)，求解得到过中点且与原始线段垂直的直线方程为：

令新增的轮廓点的坐标为(addx，addy)，由于轮廓点位于与原始线段垂直的直线上，且与中点距离为弓高误差阈值，则根据以下公式进行求解：

其中，ε为弓高误差阈值，且求解后得到两组坐标，取位于当前两型值点对应的原始线段与离散点之间的坐标作为新增的轮廓点的坐标。

6.如权利要求1所述的基于逐步逼近原始轮廓的B样条拟合优化方法，其特征在于，所述取两条线段的夹角为锐角的拐点，采用内切圆逐步逼近法得到与两条线段相交的圆弧，并利用圆弧代替拐点，包括：

若线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1之间的夹角为锐角，其中A_i-1，A_i，A_i+1为原始轮廓上的轮廓点，则轮廓点A_i即为拐点；

添加线段A_i-1A_i+1，形成三角形A_i-1A_iA_i+1；

求三角形A_i-1A_iA_i+1的内切圆，并计算内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，若该距离大于预设的误差阈值，则以拐点、内切圆分别与线段A_i-1A_i和线段A_iA_i+1的切点形成新的三角形，并重新作该三角形的内切圆，判断新的内切圆的圆心与拐点A_i之间的距离，直至该距离小于误差阈值；

取圆心与拐点A_i之间的距离小于误差阈值的内切圆，取该内切圆上位于两切点之间且朝向拐点侧的圆弧代替两切点之间的折线，即代替拐点。

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