CN108628255B - 一种指令点纠正平滑处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种指令点纠正平滑处理方法。本发明用圆弧纠正方法对刀具路径上的指令点进行纠正，提高刀具路径上指令点的平滑性；然后，对刀具路径进行分段，在此基础上，通过三次样条拟合对刀具路径段中的每一个指令点进行纠正；最后，NURBS曲线对拟合区域的刀具路径进行平滑处理。与小线段相比，用NURBS曲线描述刀具可以保证刀具路径斜率和曲率连续，实现指令点的平滑处理。

Description

一种指令点纠正平滑处理方法

技术领域

本发明涉及数控技术领域的小线段加工技术，具体的说是一种适用于数控系统的指令点纠正平滑处理方法。

背景技术

在CAD(Computer Aided Design)系统中，因为模具型腔、汽车发动机和航空结构件广泛采用自由曲线、曲面进行结构描述，所以自由曲面的高速、高精和高质量加工却一直是研究的难点。数控加工过程中，CAM(Computer Aided Manufacturing)系统将自由曲面离散成小线段，生成对应的刀具路径。由于连续小线段之间存在拐角，因此，当数控系统对小线段进行直接加工时，势必引起加速度的频繁波动，降低加工速度，加工过程中刀具的剧烈抖动会在加工件的表面留下多余的刀痕，同时，小线段的拐角会在工件表面留下折痕，影响加工结果的表面光洁度。因此，需要对小线段表示的加工路径进行拟合平滑处理。现有的小线段拟合方法均假设刀具路径上的指令点位于CAM系统期望的刀具路径曲线上，并直接对指令点进行拟合，拟合区域包含的刀具路径范围较小，且拟合结果不够平滑。而实际应用中，CAM系统生成的指令点却是位于期望曲线的内外公差范围之内，因此，在拟合刀具路径之前，对刀具路径上的指令点进行修正，可以有效提高拟合区中所包含的小线段长度，并提高拟合结果的平滑性。

发明内容

为解决现有技术中的上述问题，本发明提供了一种适用于数控系统的指令点纠正平滑处理方法。

具体技术方案如下：

一种指令点纠正平滑处理方法，适用于数控系统，具体步骤如下：

(1)圆弧纠正对拟合区域中的指令点进行纠正，并将刀具路径上的指令点划分为拟合区域与非拟合区域，

(11)圆弧纠正具体如下：

由刀具路径获得经过3个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1的圆弧及圆弧的半径R和圆心坐标O，然后，圆心坐标不变，半径R减少一个加工方要求的最大轮廓误差值u得到新圆弧，以及新圆弧与3个连续指令点对应的刀具路径的交点Q_2i、Q_2i+1，该交点为纠正后的指令点，删除指令点P_i，处理后的刀具路径上的新指令点为P_i-1、Q_2i、Q_2i+1、P_i+1，获得的新指令点使得拟合区域的指令点更加平滑；

(12)刀具路径上的指令点划分为拟合区域，

将步骤(11)圆弧纠正后获得的新指令点序列上的指令点依次重新命名为P_i(i＝0....n)，其中n为刀具路径经过圆弧纠正后的指令点个数，然后，判断新指令点序列的拟合区域，具体如下：

刀具路径上存在三个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1，θ_i为P_i-1P_i与P_iP_i+1之间的夹角，R为经过P_i-1,P_i和P_i+1三个指点的圆弧的半径，O为该圆弧的圆心，线段P_i-1P_i的长度为l_i-1，线段P_iP_i+1的长度为l_i，

为∠P_i-1OP_i的一半，

为∠P_iOP_i+1的一半，圆O上的弦线P_i-1P_i对应的弦高为δ_i-1，弦线P_iP_i+1对应的弦高为δ_i，弦高δ_i-1与δ_i表示加工过程中的误差，其表达式如下所示：

其中，

E为加工方要求的最大加工轮廓误差，

如果δ_i-1与δ_i的值小于E，

则指令点P_i-1,P_i和P_i+1为拟合区域中的指令点；

(2)对刀具路径上拟合区域的指令点进行进一步的纠正，具体步骤如下：

(21)对连续区域分段分段，如下步骤：

P_i-1、P_i和P_i+1为刀具路径的AB段上的三个连续指令点，向量P_i-1P_i与向量P_iP_i+1叉积的方向向量定义为P，P称之为刀具路径AB的方向向量；Q_i-1、Q_i和Q_i+1为刀具路径的BC段上的三个连续指令点，向量Q_i-1Q_i与向量Q_iQ_i+1叉积的方向向量定义为Q，Q称之为刀具路径段BC的方向向量，

向量P与向量Q之间的夹角为π，

则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1在同一个方向段上，

否则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1分别在两个不同的方向段上，

方向段划分的具体步骤如下：

M_i、M_i+1、M_i+2和M_i+3为刀具路径上拟合区域中的任意四个连续指令点，M₁为连续刀具路径的第一个指令点，则连续刀具路径段分段过程的步骤如下：

1)令i＝1，

2)计算向量a＝M_iM_i+1×M_i+1M_i+2，b＝M_i+1M_i+2×M_i+2M_i+3，

3)如果arccos(a b)＝π，则M_i+2为相邻方向段的分割指令点，令i＝i+2，如果i＜n-3返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，如果i≥n-3，则结束分段过程；

4)如果arccos(a b)＜π，则M_i+2不是相邻方向段的分割指令点，如果i＜n-3，先令i＝i+1，其中，n为连续刀具路径上的指令点个数，然后，返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，

如果i≥n-3，则结束分段过程；

(22)对指令点拟合，具体步骤如下：

M_i(i＝1...n)为一个方向段内的指令点，C(u)为拟合产生的曲线，其表达式如下：

C(u)＝Au³+Bu²+Cu+D u∈[0,1] (3)

因此，确定系数A、B、C和D后，即可确定曲线C(u)，系数A、B、C和D的计算步骤如下：

1)根据M₁、M₂、M₃和M₄计算M₁点处的切向量C(0)'，

A:向心参数化对点M₁、M₂、M₃和M₄进行参数化，即：

其中，u_i为指令点P_i处的参数值，l_i-1和l_j-1分别为线段

和

的长度，

B:假设过点M₁、M₂、M₃和M₄的三次样条曲线为C₁(u)，表达式如下所示：

C₁(u)＝A₁u³+B₁u²+C₁u+d₁ (5)

其中，A₁、B₁、C₁和d₁的值如下所示：

C:则M₁点处的切向量表的值为：C(0)'＝C₁，

2)按照1)的相同步骤求出点M_n处的切向量C(1)'；

3)则系数A、B、C和D的表达式如下：

(23)根据系统允许的加工误差E和拟合曲线的参数u，计算修正后的指令点，方向段内的指令点M_mid经过三次样条拟合纠正后的指令点为M'_mid，

M'_mid的计算步骤如下所示：

A向心参数化计算方向段内指令点的参数，其中定义M_mid处的参数为s_mid，

B计算向量M_midC(u_mid)与C'(u_mid)间的夹角α，

如果α＝π/2，

M'_mid＝M_mid，纠正后的指令点M'_mid的计算过程结束，执行步骤E，

C如果α＜π/2，

确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s'_{mid_left}＝s_mid，s′_mid__right＝1,

如果α＞π/2，确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s′_{mid_left}＝0，s′_{mid_right}＝s_mid

D然后在区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]上迭代计算M'_mid的位置，直到参数u使α＝π/2成立，此时参数u对应的点即为M'_mid，

E如果|M_midM'_mid|＜E成立，则M'_mid为M_mid修正后的指令点，否则指令点M_mid不可修正，E为加工方要求的最大加工轮廓误差；

(3)NURBS曲线对拟合区域的指令点进行平滑处理，NURBS曲线控制点的具体步骤如下：

经过三次样条纠正后的指令点为M_i'，i∈[0,....,sum]，sum+1为纠正后指令点的个数，

令P₀＝M'₀，P_n＝M'_sum，其中，P₀表示第一个控制，P_n表示第二个控制点，向心参数化对M_i'进行参数化，然后最小二乘拟合对M_i'进行NURBS曲线拟合，拟合曲线剩余的控制点(P₁...P_n-1)如下所示：

P＝(N₁ ^TN₁)^-1R (7)

其中，

为基函数，

P＝[P₁ P_(n-1)]^T，

获得的控制点(P₀...P_n)即唯一确定指令点平滑后的NURBS曲线，保证刀具路径斜率和曲率连续。

相比现有技术，采用上述方法进行指令点纠正平滑处理，有效的扩大了刀具路径上拟合区域包含的路径长度；使拟合区域指令点分布的更加均匀。同时，经过指令点纠正后，刀具路径可以在更大范围内被平滑处理，而且产生的刀具路径曲率变化更加均匀，平滑性更好。进一步的，与小线段相比，用NURBS曲线描述刀具可以保证刀具路径斜率和曲率连续，实现指令点的平滑处理。

技术分析如下：

现有的小线段拟合方法均假设刀具路径上的指令点位于CAM系统期望的刀具路径曲线上，并直接对指令点进行拟合，拟合区域包含的刀具路径范围较小，且拟合结果不够平滑。本发明提出的指令点纠正平滑处理方法相比现有技术，创新性在于：用圆弧纠正方法对刀具路径上的指令点进行纠正，提高刀具路径上指令点的平滑性；然后，根据刀具路径的方向对刀具路径进行分段，在此基础上，通过三次样条拟合对刀具路径段中的每一个指令点进行纠正；最后，NURBS曲线对拟合区域的刀具路径进行平滑处理。本发明提出的指令点纠正方法扩大了拟合区域刀具路径的范围，提高了指令点间的平滑性；对拟合区域的指令点进行平滑，产生的刀具路径曲率变化更加均匀，刀具路径的平滑性更高。

附图说明

图1圆弧纠正步骤示意图；

图2双弦高步骤示意图；

图3方向段分段步骤示意图；

图4三次样条纠正步骤示意图；

图5实施例1的刀具路径图；

图6实施例1的拟合区域图；

图7(a)实施例1的拟合区域PartA局部放大图；

图7(b)实施例1的拟合区域PartB局部放大图；

图8(a)实施例1的PartA部分的指令点修正前图；

图8(b)实施例1的PartA部分的指令点修正后图；

图9(a)实施例1的Part B部分的指令点修正前图；

图9(b)实施例1的PartB部分的指令点修正后图；

图10实施例1的PartA部分处理后的刀具路径图；

图11实施例1的PartB部分处理后的刀具路径图；

图12实施例1的PartB部分处理后的刀具路径的曲率图。

具体实施方式

实施例1

一种适用于数控系统的指令点纠正平滑处理方法，包括如下步骤：

(1)圆弧纠正对拟合区域中的指令点进行纠正，并将刀具路径上的指令点划分拟合区域，

(11)圆弧纠正具体如下：

如图1所示，由刀具路径获得经过3个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1的圆弧及圆弧的半径R和圆心坐标O，然后，圆心坐标不变，半径R减少一个加工方要求的最大轮廓误差值u得到新圆弧，以及新圆弧与3个连续指令点对应的刀具路径的交点Q_2i、Q_2i+1，该交点为纠正后的指令点，删除指令点P_i，处理后的刀具路径上的新指令点为P_i-1、Q_2i、Q_2i+1、P_i+1，获得的新指令点使得拟合区域的指令点更加平滑；

(12)刀具路径上的指令点划分拟合区域，

将步骤(11)圆弧纠正后获得的新指令点序列上的指令点依次重新命名为P_i(i＝0....n)，其中n为刀具路径经过圆弧纠正后的指令点个数，然后，判断新指令点序列的拟合区域，具体如下：

如图2所示，刀具路径上存在三个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1，θ_i为P_i-1P_i与P_iP_i+1之间的夹角，R为经过P_i-1,P_i和P_i+1三个指点的圆弧的半径，O为该圆弧的圆心，线段P_i-1P_i的长度为l_i-1，线段P_iP_i+1的长度为l_i，

为∠P_i-1OP_i的一半，

为∠P_iOP_i+1的一半，圆O上的弦线P_i-1P_i对应的弦高为δ_i-1，弦线P_iP_i+1对应的弦高为δ_i，弦高δ_i-1与δ_i表示加工过程中的误差，其表达式如下所示：

其中，

E为加工方要求的最大加工轮廓误差，

如果δ_i-1与δ_i的值小于E，

则指令点P_i-1,P_i和P_i+1为拟合区域中的指令点；

(2)对刀具路径上拟合区域的指令点进行进一步的纠正，具体步骤如下：

(21)对连续区域分段分段，如下步骤：

图3为方向段分段步骤，是自由曲线离散后产生的刀具路径，P_i-1、P_i和P_i+1为刀具路径的AB段上的三个连续指令点，向量P_i-1P_i与向量P_iP_i+1叉积的方向向量定义为P，P称之为刀具路径AB的方向向量；Q_i-1、Q_i和Q_i+1为刀具路径的BC段上的三个连续指令点，向量Q_i-1Q_i与向量Q_iQ_i+1叉积的方向向量定义为Q，Q称之为刀具路径段BC的方向向量，

向量P与向量Q之间的夹角为π，

则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1在同一个方向段上，

否则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1分别在两个不同的方向段上，

方向段划分的具体步骤如下：

M_i、M_i+1、M_i+2和M_i+3为刀具路径上拟合区域中的任意四个连续指令点，M₁为连续刀具路径的第一个指令点，则连续刀具路径段分段过程的步骤如下：

1)令i＝1，

2)计算向量a＝M_iM_i+1×M_i+1M_i+2，b＝M_i+1M_i+2×M_i+2M_i+3，

3)如果arccos(ab)＝π，则M_i+2为相邻方向段的分割指令点，令i＝i+2，如果i＜n-3返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，如果i≥n-3，则结束分段过程；

4)如果arccos(ab)＜π，则M_i+2不是相邻方向段的分割指令点，如果i＜n-3，先令i＝i+1，其中，n为连续刀具路径上的指令点个数，然后，返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，

如果i≥n-3，则结束分段过程；

(22)对指令点拟合，具体步骤如下：

如图4所示，M_i(i＝1...n)为一个方向段内的指令点，C(u)为拟合产生的曲线，其表达式如下：

C(u)＝Au³+Bu²+Cu+D u∈[0,1] (3)

系数A、B、C和D的计算步骤如下：

1)根据M₁、M₂、M₃和M₄计算M₁点处的切向量C(0)'，

A:向心参数化对点M₁、M₂、M₃和M₄进行参数化，即：

其中，u_i为指令点P_i处的参数值，l_i-1和l_j-1分别为线段

和

的长度，

B:假设过点M₁、M₂、M₃和M₄的三次样条曲线为C₁(u)，表达式如下所示：

C₁(u)＝A₁u³+B₁u²+C₁u+d₁ (5)

其中，A₁、B₁、C₁和d₁的值如下所示：

C:则M₁点处的切向量表的值为：C(0)'＝C₁，

2)按照1)的相同步骤求出点M_n处的切向量C(1)'；

3)则系数A、B、C和D的表达式如下：

(23)根据系统允许的加工误差E和拟合曲线的参数u，计算修正后的指令点，

如图4所示，方向段内的指令点M_mid经过三次样条拟合纠正后的指令点为M′_mid，

M'_mid的计算步骤如下所示：

A向心参数化计算方向段内指令点的参数，其中，定义M_mid处的参数为s_mid，

B计算向量M_midC(u_mid)与C'(u_mid)间的夹角α，

如果α＝π/2，

M'_mid＝M_mid，纠正后的指令点M'_mid的计算过程结束，执行步骤E，

C如果α＜π/2，

确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s'_{mid_left}＝s_mid，s′_{mid_right}＝1,

如果α＞π/2，确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s′_{mid_left}＝0，s′_{mid_right}＝s_mid

D然后在区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]上，对步骤B和步骤C递归计算M'_mid的位置，直到参数u使α＝π/2成立，此时参数u对应的点即为M'_mid，

E如果|M_midM'_mid|＜E成立，则M'_mid为M_mid修正后的指令点，否则指令点M_mid不可修正，E为加工方要求的最大加工轮廓误差；

(3)NURBS曲线对拟合区域的指令点进行平滑处理，NURBS曲线控制点的具体步骤如下：

经过三次样条纠正后的指令点为M_i'，i∈[0,....,sum]，sum+1为纠正后指令点的个数，

令P₀＝M'₀，P_n＝M'_sum，其中，P₀表示第一个控制，P_n表示第二个控制点，向心参数化对M_i'进行参数化，对M_i'进行NURBS曲线拟合，拟合曲线剩余的控制点(P₁...P_n-1)如下所示：

P＝(N₁ ^TN₁)^-1R (7)

其中，

为基函数，

P＝[P₁ P_(n-1)]^T，

获得的控制点(P₀...P_n)即唯一确定指令点平滑后的NURBS曲线，保证刀具路径斜率和曲率连续。

将本例中的上述方法于下述环境予以测试：

沈阳高精数控智能技术股份有限公司生产的GJ301数控统采用主频1.66GHZ的Inter Atom N450处理器,512MB内存，以及RTlinux实时系统，插补周期为0.2ms。采用GJ301数控系统对一种刀具路径平滑压缩的方法实施。为了验证本发明提出的方法的性能，对图5所示的刀具路径进行处理。

需要说明的是，在本例中将不经过指令点纠正直接进行拟合处理的方法称之为传统方法。

测试结果如下：

采用双弦高法获得的拟合区域如图6所示，其中星形线表示刀具路径，星号表示刀具路径上的指令点，圆圈表示该部分刀具路径为拟合区域的一部分。

图5中所示刀具路径所含指令点较多，为了简便期间，对图5中方框所示的刀具路径PartA和PartB进行分析,结果如图7(a)、7(b)所示。从图7(a)可知，PartA部分含有14个指令点，但只有六个指令点符合拟合区域的条件，且这六个指令点分成了两个不相接的部分。从图7(b)可知，PartB部分含有13个指令点，并且完全符合拟合区域的要求。

采用本例中的方法对PartA和PartB部分的刀具路径进行修正。PartA部分的指令点在修正前后的对比如图8(a)、8(b)所示，图8(a)为修正前的指令点，图8(b)为修正后的指令点。PartB部分的指令点在修正前后的对比如图9(a)、9(b)所示，图9(a)为修正前的指令点，图9(b)为修正后的指令点。可以看出修正后的指令点对应的刀具路径上，指令点分布更加均匀，刀具路径间的夹角，变化更加平顺。PartA部分的指令点经过修正后，指令点之间的位置关系符合双弦高的要求，该部分的刀具路径成为拟合区域的一部分。

对PartA和Part B部分修正后的刀具路径进行拟合处理，PartA部分处理后的刀具路径如图10所示。可以看出采用传统方法，PartA部分的刀具路径只能采用小线段方法进行表示，其结果如图8(a)所示，但是采用本例方法，可以将该部分刀具路径拟合成为一个连续、平滑的NURBS曲线，其结果如图10所示。Part B部分处理后的刀具路径如图11所示。其中实线表示原始刀具路径，点横线表示未经指令点纠正后拟合产生的刀具路径，加号表示拟合产生的NURBS曲线的控制点；虚线表示经指令点纠正后拟合产生的刀具路径，圆圈表示拟合产生的NURBS曲线的控制点。在X∈[90,105]的区间内，与传统方法相比，本例的方法产生的刀具路径更加平滑。

为了更加清楚的对比传统方法和本例方法产生的刀具路径二者之间的平滑性，计算传统方法和本例方法产生的刀具路径的曲率值，结果如图12所示，其中，实线表示传统方法产生的曲率曲线，虚线表示本例方法产生的曲率曲线。在图12中，通过对比可以看出，本例方法产生的曲线的曲率值更小，不仅曲线上曲率极值点的个数较传统方法生的曲线上的曲率极值点的个数少，而且极值点处曲率值的大小也小于传统方法产生的曲线上的极值点处曲率值的大小，说明本例中使用的方法获得的刀具路径更加平滑。

Claims (1)

1.一种指令点纠正平滑处理方法，其特征在于具体步骤如下：

(1)圆弧纠正对拟合区域中的指令点进行纠正，并将刀具路径上的指令点划分拟合区域，

(11)圆弧纠正具体如下：

由刀具路径获得经过3个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1的圆弧及圆弧的半径R和圆心坐标O，然后，圆心坐标不变，半径R减少一个加工方要求的最大轮廓误差值E得到新圆弧，以及新圆弧与3个连续指令点对应的刀具路径的交点Q_2i、Q_2i+1，该交点为纠正后的指令点，删除指令点P_i，处理后的刀具路径上的新指令点为P_i-1、Q_2i、Q_2i+1、P_i+1，获得的新指令点使得拟合区域的指令点更加平滑；

(12)刀具路径上的指令点划分拟合区域，

将步骤(11)圆弧纠正后获得的新指令点序列上的指令点依次重新命名为P_i(i＝0....n)，其中n为刀具路径经过圆弧纠正后的指令点个数，然后，判断新指令点序列的拟合区域，具体如下：

刀具路径上存在三个连续指令点P_i-1、P_i、P_i+1，θ_i为P_i-1P_i与P_iP_i+1之间的夹角，R为经过P_i-1,P_i和P_i+1三个指点的圆弧的半径，O为该圆弧的圆心，线段P_i-1P_i的长度为l_i-1，线段P_iP_i+1的长度为l_i，

为∠P_i-1OP_i的一半，

为∠P_iOP_i+1的一半，圆O上的弦线P_i-1P_i对应的弦高为δ_i-1，弦线P_iP_i+1对应的弦高为δ_i，弦高δ_i-1与δ_i表示加工过程中的误差，其表达式如下所示：

其中，

E为加工方要求的最大加工轮廓误差，

如果δ_i-1与δ_i的值小于E，

则指令点P_i-1,P_i和P_i+1为拟合区域中的指令点；

(2)对刀具路径上拟合区域的指令点进行进一步的纠正，具体步骤如下：(21)对刀具路径拟合区域的指令点划分方向段，如下步骤：

P_i-1、P_i和P_i+1为刀具路径的AB段上的三个连续指令点，向量

与向量

叉积的方向向量定义为

称之为刀具路径AB的方向向量；Q_i-1、Q_i和Q_i+1为刀具路径的BC段上的三个连续指令点，向量

与向量

叉积的方向向量定义为

称之为刀具路径段BC的方向向量，

向量

与向量

之间的夹角为π，

则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1在同一个方向段上，

否则P_i-1、P_i、P_i+1和Q_i-1、Q_i、Q_i+1分别在两个不同的方向段上，

方向段划分的具体步骤如下：

M_i、M_i+1、M_i+2和M_i+3为刀具路径上拟合区域中的任意四个连续指令点，M₁为连续刀具路径的第一个指令点，则连续刀具路径段分段过程的步骤如下：

1)令i＝1，

2)计算向量

3)如果

则M_i+2为相邻方向段的分割指令点，令i＝i+2，如果i＜n-3返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，如果i≥n-3，则结束分段过程；

4)如果

则M_i+2不是相邻方向段的分割指令点，如果i＜n-3，先令i＝i+1，其中，n为连续刀具路径上的指令点个数，然后，返回步骤2)，开始新一轮的分段过程，

如果i≥n-3，则结束分段过程；

(22)对指令点拟合，具体步骤如下：

M_i(i＝1...n)为一个方向段内的指令点，C(u)为拟合产生的曲线，其表达式如下：

C(u)＝Au³+Bu²+Cu+Du∈[0,1] (3)

系数A、B、C和D的计算步骤如下：

1)根据M₁、M₂、M₃和M₄计算M₁点处的切向量C(0)'，

A:向心参数化对点M₁、M₂、M₃和M₄进行参数化，即：

其中，u_i为指令点P_i处的参数值，l_i-1和l_j-1分别为线段

和

的长度，

B:假设过点M₁、M₂、M₃和M₄的三次样条曲线为C₁(u)，表达式如下所示：

C₁(u)＝A₁u³+B₁u²+C₁u+d₁ (5)

其中，A₁、B₁、C₁和d₁的值如下所示：

C:则M₁点处的切向量表的值为：C(0)'＝C₁，

2)按照1)的相同步骤求出点M_n处的切向量C(1)'；

3)则系数A、B、C和D的表达式如下：

(23)根据系统允许的加工误差E和拟合曲线的参数u，计算修正后的指令点，

方向段内的指令点M_mid经过三次样条拟合纠正后的指令点为M'_mid，

M'_mid的计算步骤如下所示：

A向心参数化计算方向段内指令点的参数，其中，定义M_mid处的参数为s_mid，

B计算向量

与C'(u_mid)间的夹角α，

如果α＝π/2，

M'_mid＝M_mid，纠正后的指令点M'_mid的计算过程结束，执行步骤E，

C如果α＜π/2，

确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s'_{mid_left}＝s_mid，s′_{mid_right}＝1,

如果α＞π/2，确定修正后指令点对应参数所在的区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]，其中，s′_{mid_left}＝0，s′_{mid_right}＝s_mid

D然后在区间[s'_{mid_left},s'_{mid_left}]上，对步骤B和步骤C递归计算M'_mid的位置，直到参数u使α＝π/2成立，此时参数u对应的点即为M'_mid，

E如果|M_midM'_mid|＜E成立，则M'_mid为M_mid修正后的指令点，否则指令点M_mid不可修正，E为加工方要求的最大加工轮廓误差；

(3)NURBS曲线对拟合区域的指令点进行平滑处理，NURBS曲线控制点的具体步骤如下：

经过三次样条纠正后的指令点为M′_i，i∈[0,....,sum]，sum+1为纠正后指令点的个数，

令P₀＝M'₀，P_n＝M′_sum，其中，P₀表示第一个控制，P_n表示第二个控制点，对M′_i向心参数化，对M′_i进行NURBS曲线拟合，拟合曲线剩余的控制点(P₁...P_n-1)如下所示：

P＝(N₁ ^TN₁)^-1R (7)

其中，

为基函数，

P＝[P₁ … P_(n-1)]^T，

获得的控制点(P₀...P_n)即唯一确定指令点平滑后的NURBS曲线，保证刀具路径斜率和曲率连续。

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