CN105425725B - 一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法，首先根据离散刀具轨迹建立拟合曲线，其次通过采样点将所述拟合曲线划分为多个采样区间，并通过计算多个采样区间内的最大弦高差，以及离散刀具轨迹到拟合曲线的距离，从而判断所述拟合曲线的最大弦高差是否超过加工系统的弦高差阈值，以及所述拟合曲线的光顺性是否满足加工系统的要求，然后根据检测结果对拟合曲线进行调整，最终建立具有满足加工系统误差以及光顺性要求的轨迹曲线。通过本发明，能高效率地全面检测拟合曲线上超过加工系统的误差阈值的区间，从而使得离散刀具轨迹的拟合曲线不仅能满足弦高差的精度要求，同时也满足光顺性要求，使得数控加工产品具有更高的精度以及更好的加工质量。

Description

一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法

技术领域

本发明属于数控加工领域，更具体地，涉及一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法。

背景技术

在计算机辅助制造及数控加工领域中，离散刀具轨迹可以用B样条曲线进行拟合，然后进行质量检测，使得拟合的曲线能够满足加工要求，如果拟合的曲线质量不符合加工要求，则重新进行拟合，以免影响加工质量。拟合样条曲线的质量检测主要包括两个方面：检测拟合样条与离散刀具轨迹组成的折线段之间的弦高差是否满足精度要求，以及检测拟合样条的曲率和弧长是否满足光顺性要求。

拟合样条与离散刀具轨迹组成的折线段之间的弦高差一般用Hausdorff 距离来计算，但由于直接计算Hausdorff距离计算量大，计算缓慢，不适用于高速高精数控加工。在非专利文献《基于NURBS曲线拟合的刀具路径优化方法》、《数控加工中的连续多段直线轨迹B-Spline拟合》和《数控加工中连续微线段轨迹的B样条曲线拟合》中，均采用下列方法：首先等分参数区间，然后计算B样条上等分点处的弦高差，最后计算所有弦高差的最大值。该方法无法遍历B样条曲线上所有点，只能通过提高离散密度而提高计算精度；当离散稀疏时，计算精度则很低。因此需要一种计算速度快且计算精确的弦高差检测方法。

在拟合样条的质量检测中，除了检测弦高差，拟合曲线的光顺性也是一个很重要的检测指标。光顺性良好是指曲率光顺，不存在打折、波动、尖点和多余拐点的情况。在现有技术中通常通过判断曲线的曲率上是否具有连续性作为判断光顺性的指标，例如非专利文献《CATIA中曲线、曲面的光顺性检查及修形处理的方法》(中国航空学会总体分会几何设计分会学术交流会,2004)中，以及非专利文献《曲面光顺性的检查及改进方法》(重庆理工大学学报(自然科学版)2010,24(1))。然而，曲线的打折现象无法通过该方法检测，如图1所示，虚线为离散刀具轨迹，圆点为离散刀具轨迹的数据点，光滑实线为拟合的B样条曲线，曲线出现了打折现象，但曲率变化均匀，而拟合样条的弧长明显超过了折线段的弦长，在加工中会导致刀具磨损且加工质量变差。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法，其目的在于通过采样点将所述拟合曲线划分为多个采样区间，并分别对不同采样区间的误差和光顺性进行检测，从而拟合出一条满足弦高差要求和光顺性要求的曲线。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，首先根据离散刀具轨迹建立拟合曲线，其次通过采样点将所述拟合曲线划分为多个采样区间，并通过计算多个采样区间内的最大弦高差，以及离散刀具轨迹到拟合曲线的最近距离，从而判断所述拟合曲线是否超过加工系统的误差阈值，以及所述拟合曲线的光顺性是否满足加工系统的要求，然后根据判断结果对拟合曲线进行调整，最终建立具有满足加工系统误差以及光顺性要求的轨迹曲线。

优选地，所述离散刀具轨迹的曲线拟合方法的具体步骤如下：

(1)根据离散刀具轨迹V(u)，建立B样条曲线c(t)，其中，所述离散刀具轨迹V(u)为N个数据点V_j依次组成的N-1条线段，j为1到N的整数，所述线段的索引依次为1至N-1；

(2)对所述B样条曲线c(t)采样，使得所述B样条曲线c(t)上每个节点区间都至少有一个采样点，得到M个采样点c(t_i)，i为1到M的整数；

(3)在1～M之间遍历i，计算c(t_i)到离散刀具轨迹的弦高差B_i，所述c(t_i)在所述离散刀具轨迹上的投影点V(u_i)，以及所述投影点V(u_i)所在线段的索引A_i；

(4)在1～M-1之间遍历i，判断采样区间(c(t_i),c(t_i+1))内是否存在弦高差大于B_i和B_i+1，且可能超过误差阈值U₀的点，并根据判断结果计算采样区间[c(t_i),c(t_i+1)]内的最大弦高差H_i；

同时在1～N之间遍历j，计算数据点V_j到B样条曲线c(t)的最近距离 G_j；

(5)如果所述B样条曲线c(t)不存在系统误差点，进入步骤(6)；否则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)；

(6)判断所述B样条曲线c(t)是否符合加工系统的光顺性要求，是则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)，否则离散刀具轨迹的拟合结束。

作为进一步优选地，所述步骤(2)的具体方法为：

S21.根据B样条曲线c(t)的参数区间[t_s,t_e]，得到M个采样点c(t_i)，i为1到M的整数；

S22.遍历c(t)的节点区间，判断当前节点区间的采样点个数，如果个数为0，则在当前节点区间插入采样点，令M＝M+1，直至所有节点区间都至少有一个采样点；

S23.对所有采样点重新排序得到{c(t₁),c(t₂),………,c(t_M)}。

作为进一步优选地，在所述步骤(2)中，2N≤M≤3N。

作为进一步优选地，所述步骤(3)具体为：

S31.令i＝1，将c(t_i)的候选区间设置为所述离散刀具轨迹起始的2个～ 4个连续线段组成的线段轨迹；

S32.找出所述候选区间中离c(t_i)距离最近的线段，令该线段的索引为A_i， c(t_i)在该线段上的投影点为V(u_i)，c(t_i)与该线段的距离为c(t_i)的弦高差B_i；

S33.如果所述投影点V(u_i)≠V₁或V_N，且所述投影点V(u_i)位于所述候选区间的两端时，将所述c(t_i)的候选区间重新设置为包括所述投影点V(u_i) 在内的2个～4个连续线段组成的线段轨迹，且使得所述投影点V(u_i)不位于所述候选区间的两端，返回S32；否则进入S34；

S34.i≠M，则i＝i+1，进入S35，否则进入步骤(4)；

S35.当A_i-1＝1或N-1时，设置c(t_i)的候选区间c(t_i-1)的候选区间相同，否则将c(t_i)的候选区间设置为包括所述c(t_i-1)的投影点V(u_i-1)的2个～4 个连续线段组成的线段轨迹，且使得所述投影点V(u_i-1)不位于所述候选区间的两端，进入S32。

作为进一步优选地，在所述步骤(4)中，还包括判断所述采样区间 ((c(t_i),c(t_i+1))内是否存在打折现象：如果A_i＞A_i+1，则所述采样区间 ((c(t_i),c(t_i+1))内存在打折现象；

在所述步骤(5)中，所述B样条曲线c(t)不存在系统误差点，且没有存在打折现象的采样区间，进入步骤(6)；否则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)。

作为进一步优选地，所述步骤(4)中最大弦高差H_i的计算方法具体为：

S411.令j为1到N的整数；

令i＝1；

S412.如果A_i＞A_i+1，记录采样区间((c(t_i),c(t_i+1))内存在打折现象或令 H_i＝max(B_i,B_i+1)，进入S416；

如果A_i＝A_i+1，则进入S413；

否则进入S414；

S413.将f(t,A_i)弧长参数化为h(l),l∈(l_i,l_i+1)，其中，l_i和l_i+1分别对应 t_i和t_i+1的弧长参数；

如果h′(l_i)>0,h′(l_i+1)<0,

且h(l_i+1)+(l_i-l_i+1)h′(l_i+1)或h(l_i)+(l_i+1-l_i)h′(l_i)中任意一项超过误差阈值U₀，

则H_i＝maxf(t,A_i),t∈(t_i,t_i+1)；

否则H_i＝max(B_i,B_i+1)；

进入S416；

S414.令F(t)＝min[f(t,A_i),f(t,A_i+1),…f(t,A_i+1)]；

h_i＝maxF(t)，t∈(t_i,t_i+1)；

如果A_i+1＝A_i+1，进入S415，否则H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)，进入S416；

S415.计算c(t_i)到线段的距离a以及c(t_i+1)到线段的距离b，若所述距离a和所述距离b的最大值max(a,b)大于误差阈值U₀，则 H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)；

否则，H_i＝max(B_i,B_i+1)；

S416.i≠M-1，则i＝i+1，返回S412；否则最大弦高差H_i的计算结束。

作为进一步优选地，所述步骤(4)中最近距离G_j的计算方法具体为：

S421.令j＝1，g(t,j)＝(c(t)-V_j)×c′(t)；

S422.如果j＝1，令c(t_p)为B样条曲线c(t)的起始点，否则令c(t_p)为离所述数据点V_j前端最近的投影点对应的采样点；

如果j＝N，令c(t_q)为B样条曲线c(t)的终止点，否则令c(t_q)为离所述数据点V_j后端最近的投影点对应的采样点；

G_j＝ming(t,j),t∈[t_p,t_q]；

S423.j≠N，则j＝j+1，返回S422；否则最近距离G_j的计算结束。

作为进一步优选地，所述步骤(6)的具体方法为：

遍历c(t)的节点区间，判断当前节点区间的弧长比弦长是否超过第一光顺性阈值，且同时最大曲率相对值是否超过第二光顺性阈值，是则当前节点区间存在光顺性问题；如果所述c(t)有存在光顺性问题的节点区间，则重新建立B样条曲线c(t)返回步骤(2)，否则离散刀具轨迹的拟合结束。

作为更进一步优选地，所述最大曲率相对值的计算方法具体为：找出当前节点区间内具有最大曲率k(t_i)_max的采样点c(t_i)，令k′(t_i)为的曲率、的曲率或者的曲率与的曲率的平均值，则所述最大曲率相对值为k(t_i)_max/k′(t_i)，i＝1,2,…M。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，由于将离散刀具轨迹的拟合曲线划分为不同的采样区间，并计算采样点在离散刀具轨迹上的投影点，能够取得下列有益效果：

1、将拟合曲线划分为不同的采样区间，并分段进行最大弦高差的搜索和计算，从而提高了弦高差计算的效率和精度，同时为拟合曲线的质量提供了依据；

2、通过弧长和曲率两个指标来检测拟合曲线的精度以及光顺性问题，能够为改进B样条拟合曲线提供依据，并且保证传递给数控系统光顺性良好的拟合曲线，从而保证加工工件的精度和质量。

3、优选通过检测拟合曲线采样点在离散刀具轨迹上投影的顺序，来帮助判断是否存在打折的光顺性问题，针对该打折现象对拟合曲线进行调整，使得拟合曲线具有更好的光顺性；

4、优选将弦高差函数弧长参数化，来评估采样区间内是否存在超过弦高差阈值的点，并仅对存在超过弦高差阈值的点的采样区间进一步搜索，从而进一步提高了弦高差计算的效率和精度。

附图说明

图1为拟合的B样条曲线出现打折现象的示意图；

图2为采样点c(t_i)到邻近4条线段的距离；

图3为采样点的投影线段搜索示意图；

图4为相邻两个采样点投影到不同线段示意图；

图5为估计最大弦高差上限示意图；

图6为搜索数据点的投影区间的示意图；

图7为数据点到B样条曲线的最近距离示意图；

图8为最大弦高差检测结果示意图；

图9为检测拟合样条的波动示意图；

图10为检测出图1中拟合样条打折示意图；

在所有附图中，相同的附图标记用来表示相同的元件或结构，其中： 1-数据点，2-拟合的B样条。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明提供了一种离散刀具轨迹曲线拟合的方法，包括以下步骤：

(1)建立B样条曲线c(t)

若离散刀具轨迹V(u)的数据点为V_j(j＝1,2,…N)则离散刀具轨迹为 V₁V₂,V₂V₃,V₃V₄直至V_N-1V_N的N-1条线段；首先计算V(u)的数据点参数和 B样条的节点参数，再采用数据点与B样条上同参数点的距离的平方和最小作为目标函数，通过直接解方程或迭代方法求解控制点，最后得到k次B 样条拟合曲线c(t)。

(2)对B样条曲线c(t)采样

对B样条曲线c(t)采样，使得所述B样条曲线c(t)上每个节点区间上(即相邻两个节点之间的B样条曲线)都至少有一个采样点，得到M个采样点 c(t_i)，i为1到M的整数。

当采样点个数过少，容易影响精度，使得后面计算步骤的循环次数变多，而采样点个数过多，数据量过大，会造成计算浪费；因此，采样点的个数为离散刀具轨迹V(u)的数据点个数的2到3倍时，计算效率最高。具体执行时，可以根据采样点个数细分参数区间[t_s,t_e]，例如可以按公式i＝1,2…M，进行细分；然后按照B样条公式可计算得到采样点同时为保证每个节点区间都能够被采样，依次判断c(t)每个节点区间的采样点参数个数，若个数为 0，则在该节点区间插入采样点参数(例如，在该节点区间的中间值)，得到新的采样点，直至所有节点区间内都至少有一个采样点。

(3)计算采样点的最大弦高差

从i＝1开始，遍历i，找到所述离散刀具轨迹上离所述采样点c(t_i)距离最小的线段，同时记录下对应每个采样点的最大弦高差的线段索引为A_i， i＝1,2,…M，且1≤A_i≤N-1，c(t_i)在该线段上的投影点为V(u_i)，c(t_i)与该线段的距离为B_i；

为了简化计算步骤，对于任一采样点c(t_i)，可以不遍历所有的线段，只计算到相邻若干线段的距离，注意此处计算的是点到线段的距离，而不是点到直线的距离，如图2所示，虚线为采样点c(t_i)与到邻近4条线段 V_jV_j+1,V_j+1V_j+2,V_j+2V_j+3以及V_j+3V_j+4的最近点的连线。在寻找采样的邻近线段时，可以用前一个采样点的最近距离线段做参考，其具体步骤如下：

S31.令i＝1，设置所述离散刀具轨迹起始的2个～4个连续线段作为c(t_i) 的候选区间；

S32.找出所述候选区间中离c(t_i)距离最小的线段，则该线段的索引为A_i， c(t_i)在该线段上的投影点为V(u_i)，c(t_i)与该线段的距离为B_i；

S33.如果投影点V(u_i)≠V₁或V_N，且所述投影点V(u_i)为所述候选区间的端点时，将所述候选区间重新设置为包括所述投影点V(u_i)的2个～4个连续线段，且使得所述投影点V(u_i)不为所述候选区间的端点，返回S32；

否则进入S34；

S34.i≠M，则i＝i+1，进入S35，否则进入步骤(4)；

S35.当A_i-1＝1或N-1时，设置c(t_i)的候选区间与c(t_i-1)相同，否则将 c(t_i)的候选区间设置为包括所述c(t_i-1)的投影点V(u_i-1)的2个～4个连续线段，且V(u_i-1)不为所述候选区间的端点，进入S32。

当每次搜索3条线段时，该具体步骤可进一步为：

S’31.令i＝1时，c(t_i)的候选区间为V₁V₂,V₂V₃以及V₃V₄,进入S’32；

S’32.找出所述候选区间中离c(t_i)距离最小的线段，则该线段的索引为 A_i，c(t_i)在该线段上的投影点为V(u_i)，c(t_i)与该线段的距离为B_i；

S’33.当V(u_i)＝V_j-1且j≠2时，j＝j-1，当V(u_i)＝V_j+2且j≠N-2时，j＝j+1，返回S’32；否则进入S’34；

S’34.i＝M，则搜索结束，否则令i＝i+1，进入S’35。

S’35.当A_i-1＝1时，令j＝2，当A_i-1＝N-1时，令j＝N-2，否则令j＝A_i-1，设置c(t_i)的候选区间为V_j-1V_j,V_jV_j+1,V_j+1V_j+2，进入S’32，如图3所示。

(4)分别计算采样区间[c(t_i),c(t_i+1)]内的最大弦高差H_i，以及数据点 V_j到B样条曲线c(t)的最近距离G_j，i＝1,2,…M-1，j＝1,2,…N；

S41.如图4所示，采样点c(t_i)与c(t_i+1)分别投影到了线段V_j-1V_j和线段 V_jV_j+1，从图中可以看出，在区间[t_i,t_i+1]内存在比采样点c(t_i)与c(t_i+1)处更大弦高差的点，因此需要在区间[t_i,t_i+1]内精确搜索才能找出该最大弦高差的点，其具体方法为：

S411.令弦高差函数j为1到N的整数；

令i＝1；

S412.如果A_i＞A_i+1，说明采样点c(t_i)的投影线段在c(t_i+1)的投影线段的后方，这段拟合曲线有打折现象，记录采样区间(c(t_i)，c(t_i+1))内存在打折现象，或者令H_i＝max(B_i,B_i+1)，进入S416；

如果A_i＝A_i+1，则进入S413；

否则进入S414；

S413.当A_i＝A_i+1，首先需要判断采样区间[c(t_i),c(t_i+1)]内是否具有比B_i和B_i+1弦高差值更大的点，在没有弦高差值更大的点时，则直接令 H_i＝max(B_i,B_i+1)，以提高计算效率；因此，我们将f(t,A_i)弧长参数化为 h(l),l∈(l_i,l_i+1)，其中，l_i和l_i+1分别对应t_i和t_i+1的弧长参数；

由于我们在采样时保证了每个节点区间内都至少有一个采样点，即两个采样点之间仅有0个或1个节点，所以投影到同一线段的采样点区间的函数h(l)为单峰函数。如果h′(l_i)>0,h′(l_i+1)<0，则曲线在该采样点区间内必然存在比端点更大的值。如图5中，h(l)为弧长参数化的函数,L₁(l)和 L₂(l)是分别对应于(l_i,h(l_i))和(l_i+1,h(l_i+1))处的切线方程；区间[l_i,l_i+1]之间的弦高差最大值不可能超过L₁(l_i+1)＝h(l_i+1)+(l_i-l_i+1)h′(l_i+1)或L₂(l_i)＝h(l_i)+(l_i+1-l_i)h′(l_i)中任意一项，因此我们仅在该值可能超过误差阈值U₀时，即当L₁(l_i+1)或L₂(l_i)中任意一项超过误差阈值U₀时进一步搜索，此时H_i＝maxf(t,A_i)，t∈(t_i,t_i+1)，该方程可利用黄金分割法、二分法或者牛顿法等方法计算求解；

在不需要进一步搜索的情况下，可以直接令H_i＝max(B_i,B_i+1)；

S414.令F(t)＝min[f(t,A_i),f(t,A_i+1),…f(t,A_i+1)]；

h_i＝maxF(t)，t∈(t_i,t_i+1)；

当A_i+1＝A_i+1时，即当两个相邻采样点c(t_i)和c(t_i+1)投影到两个相邻线段时，也需要先判断曲线在采样区间内是否可能存在超过误差阈值U₀的值；而该值不可能超过c(t_i)到线段的距离a以及c(t_i+1)到线段的距离b，当所述距离的最大值max(a,b)大于误差阈值U₀时，则该采样点区间可能存在超过U₀的点。此时，需同时搜索c(t)上某一点到两条线段的距离，并取两者之中的较小值为该点的弦高差F(t)，最后求出采样区间(c(t_i),c(t_i+1))内所有弦高差F(t)中的最大距离为该区间内的最大弦高差h_i；

h_i＝maxF(t)＝min(f₁(t),f₂(t))

该优化问题可以通过黄金分割法求解，且能够保证一定有解，则 H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)。

如果所述距离的最大值max(a,b)小于误差阈值U₀，则该采样点区间内不可能出现超过误差阈值的点，则无需计算采样点区间内的最大弦高差，直接令H_i＝max(B_i,B_i+1)。

进入S416。

S415.当A_i+1>A_i+1，即c(t_i)和c(t_i+1)的投影线段之间还有其它线段时，可按照S414中类似的方法，首先计算出位于(t_i,t_i+1)区间上的B样条离两条投影线段以及两条投影线段之间其它线段的最近距离F(t)，再求出所有最近距离中的最大距离为采样区间(c(t_i),c(t_i+1))内的最大弦高差h_i，求出后，再和采样区间两端采样的弦高差B_i和B_i+1进行比较，即得到该采样区间的最大弦高差，即H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)，进入S416。

S416.i≠M-1，则i＝i+1，进入S412，否则最大弦高差H_i的计算结束。

S42.由于曲线到线段轨迹的最近距离，为曲线上一点到该线段的垂线的距离，如在图4中，c从离散刀具轨迹至B样条曲线的距离，可能大于B样条曲线至离散刀具轨迹的距离，为了进一步找出误差点，还需要在1～N之间遍历j，找到数据点V_j到B样条曲线c(t)的最近距离点及其对应的最近距离G_j，若G_j大于所述弦高差阈值，则记录所述最近距离点为系统误差点；

为简化计算步骤，可先获得V_j在B样条曲线c(t)上的投影区间 [c(t_p),c(t_q)]，其具体方法为：

S421.令j＝1，g(t,j)＝(c(t)-V_j)×c′(t)；

S422.如果j＝1，令c(t_p)为B样条曲线c(t)的起始点，否则令c(t_p)为离所述数据点V_j前端最近的投影点对应的采样点；如果j＝N，令c(t_q)为B样条曲线c(t)的终止点，否则令c(t)为离所述数据点V_j后端最近的投影点对应的采样点；

如图6a所示，则数据点V₁的投影区间就是[c(t₁),c(t₂)]，数据点V₂的投影区间就是[c(t₂),c(t₃)]；如图6b所示，则数据点V₃～V₈的投影区间都为 [c(t₄),c(t₅)]。

G_j＝ming(t,j),t∈[t_p,t_q]；

S423.j≠N，则j＝j+1，返回S422；否则最近距离G_j的计算结束。

当曲线不存在打折现象时，G_j为唯一解；如果存在多个解，则记录V_j到曲线c(t)上的对应点存在打折现象，或者记录多个解中的最小值为G_j。

(5)可以将当前采样区间中所有最近距离G_j与最大弦高差H_i对比，取两者之间的最大值，得到当前采样区间最终的最大弦高差，该最大弦高差若超过加工系统误差阈值U₀，则对应的B样条曲线c(t)上的点为系统误差点；也可在把步骤(4)中所有超过系统误差的最近距离G_j与最大弦高差H_i所对应的B样条曲线上的点记录为系统误差点，如图8所示，B样条曲线和离散刀具轨迹上的黑色方块之间的距离超过了系统误差阈值。在数控加工中，零部件的加工要求一般在±0.05mm～±0.1mm，为了对其他因素导致的误差留有空间，在拟合过程中，系统误差阈值U₀一般设置为 0.005mm～0.03mm。

遍历c(t)的节点区间，判断所述c(t)是否存在打折现象或系统误差点，是则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)，否则进入下一步；或者仅判断c(t)是否存在系统误差点，在步骤(6)中再进行打折现象的检测。

对于一个k次的B样条曲线时，调整一个控制点或增加一个节点会影响到相邻的k+1个节点区间，因此在重新建立B样条曲线c(t)时，可根据前面步骤中的计算结果进行调整：a.如果k+1个相邻的节点区间内，有一个区间有打折现象或同时有系统误差点，则对该节点区间对应的控制点进行调整；b.如果有一个区间仅有系统误差点，则在该节点区间内增加一个节点； c.如果有相邻的多个节点区间有打折现象或同时有系统误差点，则选择对应相邻的多个节点区间的控制点进行调整；d.如果有多个相邻的节点区间仅有系统误差点，则选择其中一个节点区间内增加一个节点，即按误差排序且相邻索引相差大于k的节点区间插入节点。调整控制点或增加节点的位置，则可以参考系统误差点在B样条曲线c(t)上的具体位置。

按照上述方法可重新建立B样条曲线c(t)后返回步骤(2)后再次进行采样分析，直至B样条曲线c(t)不存在系统误差点(或者同时也不存在打折现象)后进入下一步。

(6)在步骤(4)中，可以通过判断采样点的投影索引来判断B样条上是否存在打折，但有些打折或波动通过此方法不能检测出来(如图9所示，曲线的局部出现了波动，但该部分的采样点的投影线段为同一条线段，通过弦高差方法无法检测出来)，因此本发明增加了最大曲率相对值和弧长比弦长两个指标来判断光顺性，满足光顺性有以下两点要求：

条件一：B样条上的曲率与折线段上对应点的曲率比例不能太大，即 k(t_i)_max/k′(t_i)-1≤ε₁，k(t_i)_max为该节点区间内采样点的最大曲率，k′(t_i) 为对应数据点的曲率，ε₁为曲率误差阈值；首先计算每一节点区间内的所有采样点的最大曲率，其对应的折线段上点的曲率可通过数据点的离散曲率近似计算，即，将采样点c(t_i)对应最近距离线段的两端点的曲率的平均值(即)或者其中一个端点的曲率(即或)作为对应数据点的曲率。

在B样条曲线和离散刀具轨迹中，可以分别用采样点和数据点的离散曲率近似代替c(t)或V(u)上任意一点的曲率，其中，可以根据B样条曲线 c(t)的曲率计算公式直接计算采样点的曲率，并取其中的最大值为该节点区间内的k(t_i)_max；其对应数据点处的曲率k′(t_i)可以由离散曲率近似得到，在离散刀具轨迹中，用弦长代替弧长，采用二阶差商近似计算得到离散刀具轨迹上任意一点的曲率。

条件二：两节点之间的B样条弧长与弦长的比例不能太大：r 为两节点之间的B样条弧长，L为弧长对应的弦长，ε₂为弧长误差阈值。

在本发明中，因为出现打折和波动的地方肯定会有不正常的控制点分配，因此采用B样条曲线的节点进行分段计算。当拟合曲线贴近原数据点时，k(t_i)_max/k′(t_i)≈1。当k(t_i)_max/k′(t_i)过大时，说明B样条上该点的曲率过大，可能存在光顺性问题，如图9所示的波动现象和图10所示的打折现象。

ε₁的设置与拟合精度有联系，比如误差阈值相对较大时，因此拟合曲线的形状与刀具轨迹的贴近程度相对较远，可以将ε₁适当放大；而在产品形状要求较高时，需要将该阈值尽量设置为较小的值；在本发明实例中，可以设置ε₁＝1进行检测。而ε₂的设置则和生产精度相关，例如在误差阈值U₀要求在0.01mm左右的产品加工过程中，可以设置ε₂＝0.02mm进行检测。

在本发明的光顺性检测中，可以遍历c(t)的节点区间，判断当前节点区间的弧长比弦长是否超过第一光顺性阈值(即弧长阈值ε₂+1)，且同时最大曲率相对值是否超过第二光顺性阈值(即ε₁+1)，是则当前节点区间存在光顺性问题；如果所述c(t)有存在光顺性问题的节点区间，则根据步骤(5) 中的相同方法针对出现光顺性问题的节点区间调整控制点，并重新建立B 样条曲线c(t)，返回步骤(2)，否则离散刀具轨迹的拟合结束。

在实际计算过程中，可以同时计算所有节点区间的弧长比弦长，以及最大曲率相对值，在两项计算结束后，采用条件一与条件二的交集来判断，若两个条件同时超出，则证明该处的曲线拟合轨迹出现了曲率过大，且曲线的形态与离散刀具轨迹不相符合的点，也可以仅先搜索弧长比弦长超过阈值的节点区间，然后在该区间内进一步检测最大曲率相对值。

通过以上具体实施方式可以看出，本发明的检测拟合样条质量的方法不仅能够检测出最大弦高差，还能够检测出光顺性问题，并且该算法计算简单，计算精度高，实用性高。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种离散刀具轨迹的曲线拟合方法，其特征在于，首先根据离散刀具轨迹建立拟合曲线，其次通过采样点将所述拟合曲线划分为多个采样区间，并通过计算多个采样区间内的最大弦高差，以及离散刀具轨迹到拟合曲线的最近距离，从而判断所述拟合曲线是否超过加工系统的误差阈值，以及所述拟合曲线的光顺性是否满足加工系统的要求，然后根据判断结果对拟合曲线进行调整，最终建立具有满足加工系统误差以及光顺性要求的轨迹曲线；

其具体步骤如下：

(1)根据离散刀具轨迹V(u)，建立B样条曲线c(t)，其中，所述离散刀具轨迹V(u)为N个数据点V_j依次组成的N-1条线段，j为1到N的整数，所述线段的索引依次为1至N-1；

(2)对所述B样条曲线c(t)采样，使得所述B样条曲线c(t)上每个节点区间都至少有一个采样点，得到M个采样点c(t_i)，i为1到M的整数；

(3)在1～M之间遍历i，计算c(t_i)到离散刀具轨迹的弦高差B_i，所述c(t_i)在所述离散刀具轨迹上的投影点V(u_i)，以及所述投影点V(u_i)所在线段的索引A_i；

(4)在1～M-1之间遍历i，判断采样区间(c(t_i)，c(t_i+1))内是否存在弦高差大于B_i和B_i+1，且可能超过误差阈值U₀的点，并根据判断结果计算采样区间[c(t_i)，c(t_i+1)]内的最大弦高差H_i；

同时在1～N之间遍历j，计算数据点V_j到B样条曲线c(t)的最近距离G_j；

(5)如果所述B样条曲线c(t)不存在系统误差点，进入步骤(6)；否则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)；

(6)判断所述B样条曲线c(t)是否符合加工系统的光顺性要求，是则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)，否则离散刀具轨迹的拟合结束。

2.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，所述步骤(2)的具体方法为：

S21.根据B样条曲线c(t)的参数区间[t_s,t_e]，得到M个采样点c(t_i)，i为1到M的整数；

S22.遍历c(t)的节点区间，判断当前节点区间的采样点个数，如果个数为0，则在当前节点区间插入采样点，令M＝M+1，直至所有节点区间都至少有一个采样点；

S23.对所有采样点重新排序得到{c(t₁),c(t₂),………,c(t_M)}。

3.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，在所述步骤(2)中，2N≤M≤3N。

4.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，所述步骤(3)具体为：

S31.令i＝1，将c(t_i)的候选区间设置为所述离散刀具轨迹起始的2个～4个连续线段组成的线段轨迹；

S32.找出所述候选区间中离c(t_i)距离最近的线段，令该线段的索引为A_i，c(t_i)在该线段上的投影点为V(u_i)，c(t_i)与该线段的距离为c(t_i)的弦高差B_i；

S33.如果所述投影点V(u_i)≠V₁或V_N，且所述投影点V(u_i)位于所述候选区间的两端时，将所述c(t_i)的候选区间重新设置为包括所述投影点V(u_i)在内的2个～4个连续线段组成的线段轨迹，且使得所述投影点V(u_i)不位于所述候选区间的两端，返回S32；否则进入S34；

S34.i≠M，则i＝i+1，进入S35，否则进入步骤(4)；

S35.当A_i-1＝1或N-1时，设置c(t_i)的候选区间c(t_i-1)的候选区间相同，否则将c(t_i)的候选区间设置为包括所述c(t_i-1)的投影点V(u_i-1)的2个～4个连续线段组成的线段轨迹，且使得所述投影点V(u_i-1)不位于所述候选区间的两端，进入S32。

5.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，在所述步骤(4)中，还包括判断所述采样区间((c(t_i),c(t_i+1))内是否存在打折现象：如果A_i＞A_i+1，则所述采样区间((c(t_i),c(t_i+1))内存在打折现象；

在所述步骤(5)中，所述B样条曲线c(t)不存在系统误差点，且没有存在打折现象的采样区间，进入步骤(6)；否则重新建立B样条曲线c(t)，返回步骤(2)。

6.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，所述步骤(4)中最大弦高差H_i的计算方法具体为：

S411.令j为1到N的整数；

令i＝1；

S412.如果A_i＞A_i+1，记录采样区间((c(t_i),c(t_i+1))内存在打折现象或令H_i＝max(B_i,B_i+1)，进入S416；

如果A_i＝A_i+1，则进入S413；

否则进入S414；

S413.将f(t,A_i)弧长参数化为h(l),l∈(l_i,l_i+1)，其中，l_i和l_i+1分别对应t_i和t_i+1的弧长参数；

如果h′(l_i)>0,h′(l_i+1)<0,

且h(l_i+1)+(l_i-l_i+1)h′(l_i+1)或h(l_i)+(l_i+1-l_i)h′(l_i)中任意一项超过误差阈值U₀，

则H_i＝maxf(t,A_i),t∈(t_i,t_i+1)；

否则H_i＝max(B_i,B_i+1)；

进入S416；

S414.令F(t)＝min[f(t,A_i),f(t,A_i+1),…f(t,A_i+1)]；

h_i＝maxF(t)，t∈(t_i,t_i+1)；

如果A_i+1＝A_i+1，进入S415，否则H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)，进入S416；

S415.计算c(t_i)到线段的距离a以及c(t_i+1)到线段的距离b，若所述距离a和所述距离b的最大值max(a,b)大于误差阈值U₀，则H_i＝max(B_i,B_i+1,h_i)；

否则，H_i＝max(B_i,B_i+1)；

S416.i≠M-1，则i＝i+1，返回S412；否则最大弦高差H_i的计算结束。

7.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，所述步骤(4)中最近距离G_j的计算方法具体为：

S421.令j＝1，g(t,j)＝(c(t)-V_j)×c′(t)；

S422.如果j＝1，令c(t_p)为B样条曲线c(t)的起始点，否则令c(t_p)为离所述数据点V_j前端最近的投影点对应的采样点；

如果j＝N，令c(t_q)为B样条曲线c(t)的终止点，否则令c(t_q)为离所述数据点V_j后端最近的投影点对应的采样点；

G_j＝ming(t,j),t∈[t_p,t_q]；

S423.j≠N，则j＝j+1，返回S422；否则最近距离G_j的计算结束。

8.如权利要求1所述的拟合方法，其特征在于，所述步骤(6)的具体方法为：

遍历c(t)的节点区间，判断当前节点区间的弧长比弦长是否超过第一光顺性阈值，且同时最大曲率相对值是否超过第二光顺性阈值，是则当前节点区间存在光顺性问题；如果所述c(t)有存在光顺性问题的节点区间，则重新建立B样条曲线c(t)返回步骤(2)，否则离散刀具轨迹的拟合结束。

9.如权利要求8所述的拟合方法，其特征在于，所述最大曲率相对值的计算方法具体为：找出当前节点区间内具有最大曲率k(t_i)_max的采样点c(t_i)，令k′(t_i)为的曲率、的曲率或者的曲率与的曲率的平均值，则所述最大曲率相对值为k(t_i)_max/k′(t_i)，i＝1,2,…M。