CN109062137B - 一种基于刀轴稳定性的五轴b样条刀轨弧长参数化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于计算机辅助加工相关技术领域，其公开了一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，该方法包括以下步骤：(1)依次在相邻两刀位点之间建立三次Bezier曲线；(2)对相邻两刀位点之间的三次Bezier曲线进行等参采样，以得到刀位点样条采样点；(3)计算刀位点样条采样点的弧长参数，以作为六维空间的目标采样点的弧长参数，并计算刀位点的刀轴矢量及弧长参数；(4)计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点，继而获得六维空间的目标采样点；(5)依据六维空间的目标采样点及弧长参数来建立目标函数，由此求得近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹。本发明减少了加工中的速度波动，且提高了加工质量及效率。

Description

一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助加工相关技术领域，更具体地，涉及一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法。

背景技术

五轴数控加工的刀具轨迹通常用小线段来表示，而小线段表示的刀具轨迹存在G1、G2不连续，加工过程中速度和加速度不平滑，从而降低零件加工精度和表面质量。实际加工中，通常会适用连续性更好的参数曲线，如B样条曲线，对小线段表示的刀具轨迹进行拟合。

其中，B样条曲线表达的刀具轨迹具有以下优点：1.B样条曲线由控制点和节点矢量组成，用B样条曲线表示刀具轨迹，可以减少数据的存储和传输任务；2.B样条曲线连续性好，三次B样条曲线就能达到G1、G2连续，用B样条曲线表示刀具轨迹，可以减少加工过程中的速度和加速度波动，从而提高零件的加工精度和表面质量；3.相比于原始的G01小线段，拟合后的刀具轨迹变长，且连续性得到了提高，满足高速加工的要求。

弧长是曲线最本质的参数，但是B样条曲线不是以弧长为参数的曲线，由于B样条曲线弧长和参数之间的非线性关系，在进行样条插补时会产生较大的速度波动。相应地，本领域存在着发展一种满足刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法的技术需求。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其基于B样条曲线的特点，研究及设计了一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法。所述拟合方法通过建立曲线参数和弧长之间的线性关系，得到一条近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹，减少加工中存在的速度波动；且五轴B样条刀具轨迹满足刀轴稳定性的要求，可以减少加工过程中的刀轴变化，提高了加工质量及加工效率。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，该方法包括以下步骤：

(1)依次在相邻两刀位点之间建立三次Bezier曲线，以得到若干条G1连续或者G2连续且满足弦高差约束、保型约束和光顺性约束的三次Bezier曲线；

(2)所有相邻两刀位点之间三次Bezier曲线的集合，称为刀位点插值曲线，将刀位点插值曲线转换成一条整体的刀位点B样条曲线，接着依次对刀位点B样条曲线两相邻刀位点之间的节点区间进行等参采样，以得到刀位点样条采样点；

(3)计算刀位点样条采样点的弧长参数，以作为六维空间目标采样点的弧长参数，并计算获得刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数；

(4)基于刀轴稳定性，利用刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数来计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点；接着将刀位点样条采样点与刀轴点样条采样点组合成六维空间的目标采样点；

(5)依据六维空间的目标采样点及其对应的弧长参数来建立目标函数，并利用六维空间的ELSPIA算法求解得到近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹c(s)。

进一步地，在[0，1]上的三次Bezier曲线采用公式(1)进行表示，公式(1)为：

其中，{P₀，P₁，P₂，P₃}表示控制点，{B_0，3(t)，B_1，3(t)，B_2，3(t)，B_3，3(t)}表示伯恩斯坦基函数；

B_0，3(t)＝(1-t)³，B_1，3(t)＝3t(1-t)²，

B_2，3(t)＝3t²(1-t)，B_3，3(t)＝t³。

进一步地，三次Bezier曲线端点处保证G1连续的条件为：

c′₁(0)＝l₀T₀，c′₁(1)＝l₁T₁

其中，l₀、l₁分别表示单位切向量T₀，T₁的长度；T₀，T₁是相邻两刀位点处的单位切向量；c′₁(0)＝3(P₁-P₀)，c′₁(1)＝3(P₃-P₂)。

进一步地，三次Bezier曲线的控制点与刀位点、单位切向量T₀，T₁的关系采用公式(2)进行表示，公式(2)为：

式中，{P₀，P₁，P₂，P₃}表示控制点；T₀，T₁是相邻两刀位点处的单位切向量；l₀、l₁分别表示单位切向量T₀，T₁的长度。

进一步地，l₀，l₁的计算公式分别为：

其中，δ为四分之一的拟合公差；θ₁，θ₂分别为T₀，T₁与矢量的夹角。

进一步地，对于相邻两刀位点之间的节点区间[t_s，t_e]，刀位点样条采样点参数采用以下公式进行计算：

其中，S表示采样比例。

进一步地，根据式(4)，在相邻两刀位点之间，通过弧长参数、等比例插值计算出与刀位点样条采样点对应的刀轴矢量，以使得相邻两刀位点之间的刀轴变化率最小；然后，取刀轴矢量方向单位长度的点为刀轴点；公式(4)为：

式中，离散的C_i序列是分割后的刀位点，T_i是依附在C_i上的刀轴方向，S_i+1，i＝C_i+1-C_i是每一段线段的弧长；E是离散后刀轴矢量的能量泛函；M为离散后的段数。

进一步地，基于刀轴稳定性，采用公式(5)计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点，公式(5)为：

式中，为刀位点对应的弧长参数，为刀位点样条采样点对应的弧长参数，相邻两刀位点为和对应的刀轴矢量为和c₁，c₂为相邻两刀位点之间的采样点，o₀，o₁，o₂，o₃为相邻两刀位点之间的刀轴点样条采样点。

进一步地，所述目标函数为：

式中，c(s)为五轴B样条刀具轨迹，s_i为六维空间的目标采样点的弧长参数；D_i为六维空间的目标采样点；M为目标采样点的最大索引。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法主要具有以下有益效果：

1.所述拟合方法将刀位点插值曲线转换成一条整体的刀位点B样条曲线，接着对刀位点B样条曲线进行等参采样以得到刀位点样条采样点，并基于刀轴稳定性得到了刀轴点样条采样点，提高了五轴刀具轨迹B样条拟合的效率。

2.所述拟合方法建立了曲线参数与弧长之间的线性关系，且满足了刀轴稳定性的加工要求；同时减少了加工中存在的速度波动，且能够获取稳定的刀轴矢量，有效地提高了加工质量及效率。

3.采用六维空间的ELSPIA算法求解得到近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹c(s)，弥补了三轴B样条刀具轨迹弧长参数化算法的缺陷。

4.依次在相邻两刀位点之间建立三次Bezier曲线，且三次Bezier曲线满足端点G1连续、弦高差约束、光顺性约束和保型约束的要求，避免三次Bezier出现形状缺陷的同时，严格控制轨迹的拟合精度，从而提高零件加工效率和表面质量。

附图说明

图1是本发明提供的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法的流程图。

图2是图1中的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法涉及的相邻两个刀位点之间的三次Bezier曲线的示意图。

图3是图1中的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法涉及的五轴刀具轨迹的示意图。

图4是图1中的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法涉及的相邻两个刀位点之间的刀轴点样条采样点示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1，本发明提供的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法主要包括以下步骤：

S1，依次在相邻两刀位点之间建立三次Bezier曲线，以得到若干条G1/G2连续且满足弦高差约束、保型约束和光顺性约束的三次Bezier曲线。

若相邻两刀位点之间的三次Bezier曲线存在形状缺陷或弦高差不满足加工要求的情况，则在三次Bezier曲线上等参采样得到的刀位点样条采样点，且通过采样点计算出的弧长参数就会存在问题；通过六维空间的ELSPIA算法求解得到的刀位点样条曲线则可能出现相同的问题，从而影响五轴B样条刀具轨迹的整体质量。因此期望在相邻两刀位点之间建立的三次Bezier曲线均满足弦高差约束、保型约束和光顺性约束的加工要求。

具体地，定义在相邻两刀位点之间[0，1]上的三次Bezier曲线表示为：

其中，{P₀，P₁，P₂，P₃}表示控制点，{B_0，3(t)，B_1，3(t)，B_2，3(t)，B_3，3(t)}表示伯恩斯坦基函数；i＝0，1，2，3；

B_0，3(t)＝(1-t)³，B_1，3(t)＝3t(1-t)²，

B_2，3(t)＝3t²(1-t)，B_3，3(t)＝t³。

请参阅图2，其中，T₀，T₁是相邻两刀位点处的单位切向量，θ₁，θ₂分别为T₀，T₁与矢量的夹角。根据三次Bezier曲线的性质，可得：

c′₁(0)＝3(P₁-P₀)，c′₁(1)＝3(P₃-P₂)

三次Bezier曲线端点处保证G1连续的条件为：

c′₁(0)＝l₀T₀，c′₁(1)＝l₁T₁

其中，l₀、l₁分别表示单位切向量T₀，T₁的长度，且为未知参数。

三次Bezier曲线的控制点与刀位点、单位切向量T₀，T₁的关系采用公式(2)进行表示：

由公式(2)可知，l₀、l₁的值决定了控制点的位置，从而直接影响相邻两刀位点之间的三次Bezier曲线的形状；如果l₀、l₁的值不合理的话，可能会造成三次Bezier曲线出现形状缺陷或弦高差不满足加工要求的情况。综合考虑弦高差约束、保型约束和光顺性约束的要求，得到切矢模长l₀，l₁的计算公式分别为：

其中，δ为四分之一的拟合公差；若确定了切矢模长l₀、l₁，则可以计算出控制点P₁，P₂，从而建立相邻两刀位点之间的三次Bezier曲线，同理可得到所有相邻两刀位点之间的三次Bezier曲线。

S2，所有相邻两刀位点之间三次Bezier曲线的集合，称为刀位点插值曲线，将刀位点插值曲线转换成一条整体的刀位点B样条曲线，接着依次对刀位点B样条曲线两相邻刀位点之间的节点区间进行等参采样，以得到刀位点样条采样点；

具体地，刀位点插值曲线是所有相邻两刀位点之间三次Bezier曲线的集合。为了采样方便，首先，将刀位点插值曲线转换成一条整体的刀位点B样条曲线；然后，依次对刀位点B样条曲线两相邻刀位点之间的节点区间进行等参采样。本实施方式中，刀位点样条采样点的个数取刀位点个数的2～3倍。

对于相邻两刀位点之间的节点区间[t_s，t_e]，刀位点样条采样点参数可以采用以下公式进行计算：

其中，S表示采样比例，通常S＝3；采样过程中，同一刀位点只被采样一次。

S3，计算刀位点样条采样点的弧长参数，以作为六维空间目标采样点的弧长参数，并计算获得刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数。

若刀位点样条采样点的参数为M为刀位点样条采样点的最大索引；通过B样条的定义公式，可以得到刀位点样条采样点因为三次Bezier曲线计算弧长时无解析解，所以利用基于Bool公式的数值积分方法计算计算相邻两个刀位点样条采样点C_i和C_i+1之间的弧长l_i。

初始样条曲线的总弧长计算刀位点样条采样点的弧长参数作为六维空间目标采样点对应的弧长参数，采用以下公式进行计算：

其中，s₀＝0。

S4，基于刀轴稳定性、以及刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数，计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点，并遍历三次B样条曲线所有的节点区间，以得到所有的刀轴点样条采样点；接着将刀位点样条采样点与刀轴点样条采样点组合成六维空间中的目标采样点。

请参阅图3，将刀位点轨迹表示成一条以t为参数的曲线c₂(t)，其中t从0到1，0和1分别对应于曲线的两端。T(t)表示与刀位点轨迹c₂(t)所对应的刀轴矢量，其中，刀位点轨迹c₂(t)和刀位点对应的刀轴矢量已知。

稳定性条件就是指单位轨迹弧长的刀轴矢量T(t)变化率最小。数学上，最小变化率表示一阶导数的值最小，需要找到单位向量场，最小化其积分泛函(能量泛函)，用公式(5)表示T(t)的变化幅度为：

弧长是曲线最本质的参数，为了保证协变性，采用弧长参数s表示任意参数t，这里使用弧长的微分ds作为积分参量，如此使积分式在任何参数化的表面上都适用。对于一个特定参数化的刀轨，比如c₂(t)，T(t)的变化幅度就可以表示成：

对连续的刀具轨迹进行有限元分析，离散的C_i序列是分割后的刀位点，T_i是依附在C_i上的刀轴方向，S_i+1，i＝C_i+1-c_i是每一段线段的弧长，共M段，M表示离散后的段数，则目标函数转化为：

为了保证刀轴稳定性条件，同时避免五轴刀具轨迹样条曲线采样时出现刀轴震荡，根据公式(7)，在相邻两刀位点之间，通过弧长参数、等比例插值计算出与刀位点样条采样点对应的刀轴矢量，以使得相邻两刀位点之间的刀轴变化率最小；然后，取刀轴矢量方向单位长度的点为刀轴点，如图4所示。

为刀位点，为刀位点对应的弧长参数，为刀位点样条采样点对应的弧长参数，其中m为刀位点的最大索引。假设相邻两刀位点为和对应的刀轴矢量为和C₁，c₂为相邻两刀位点之间的采样点，o₀，o₁，o₂，o₃为相邻两刀位点之间的刀轴点样条采样点，根据相邻两刀位点样条采样点之间的弧长参数，基于刀轴稳定性，采用公式(8)计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点，公式(8)为：

接着，依次遍历所有的三次B样条曲线所有的节点区间，得到所有的刀轴点样条采样点：同一刀轴点只被采样一次；并将刀位点样条采样点和刀轴点样条采样点组合成六维空间的目标采样点：M为六维空间目标采样点的最大索引。

S5，依据六维空间的目标采样点及对应的弧长参数来建立目标函数，利用六维空间的ELSPIA算法求解得到弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹c(s)。

具体地，所述目标函数为：

式中，c(s)为五轴B样条刀具轨迹；s_i为六维空间的目标采样点的弧长参数；D_i为六维空间的目标采样点；M为目标采样点的最大索引。

本发明提供的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法利用六维空间的ELSPIA算法求解，来获得近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹，减少了加工过程中存在的速度波动，且同时满足刀轴稳定性的加工要求，提高了零件的加工质量及加工效率。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)依次在相邻两刀位点之间建立三次Bezier曲线，以得到若干条G1连续或者G2连续且满足弦高差约束、保型约束和光顺性约束的三次Bezier曲线；

(2)所有相邻两刀位点之间三次Bezier曲线的集合，称为刀位点插值曲线，将刀位点插值曲线转换成一条整体的刀位点B样条曲线，接着依次对刀位点B样条曲线两相邻刀位点之间的节点区间进行等参采样，以得到刀位点样条采样点；

(3)计算刀位点样条采样点的弧长参数，以作为六维空间目标采样点的弧长参数，并计算获得刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数；

(4)基于刀轴稳定性，利用刀位点对应的刀轴矢量及弧长参数来计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点；接着将刀位点样条采样点与刀轴点样条采样点组合成六维空间的目标采样点；

(5)依据六维空间的目标采样点及其对应的弧长参数来建立目标函数，并利用六维空间的ELSPIA算法求解得到近似弧长参数化的五轴B样条刀具轨迹c(s)。

2.如权利要求1所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：在[0,1]上的三次Bezier曲线采用公式(1)进行表示，公式(1)为：

其中，{P₀,P₁,P₂,P₃}表示控制点，{B_0,3(t),B_1,3(t),B_2,3(t),B_3,3(t)}表示伯恩斯坦基函数；

B_0,3(t)＝(1-t)³，B_1,3(t)＝3t(1-t)²，

B_2,3(t)＝3t²(1-t)，B_3,3(t)＝t³。

3.如权利要求2所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：三次Bezier曲线端点处保证G1连续的条件为：

c′₁(0)＝l₀T₀，c′₁(1)＝l₁T₁

其中，l₀、l₁分别表示单位切向量T₀，T₁的长度；T₀,T₁是相邻两刀位点处的单位切向量；c′₁(0)＝3(P₁-P₀)，c′₁(1)＝3(P₃-P₂)。

4.如权利要求1所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：三次Bezier曲线的控制点与刀位点、单位切向量T₀,T₁的关系采用公式(2)进行表示，公式(2)为：

式中，{P₀,P₁,P₂,P₃}表示控制点；T₀,T₁是相邻两刀位点处的单位切向量；l₀、l₁分别表示单位切向量T₀，T₁的长度。

5.如权利要求4所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：l₀，l₁的计算公式分别为：

其中，δ为四分之一的拟合公差；θ₁,θ₂分别为T₀,T₁与矢量的夹角。

6.如权利要求1所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：对于相邻两刀位点之间的节点区间[t_s,t_e]，刀位点样条采样点参数采用以下公式进行计算：

其中，S表示采样比例。

7.如权利要求1所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：根据式(4)，在相邻两刀位点之间，通过弧长参数、等比例插值计算出与刀位点样条采样点对应的刀轴矢量，以使得相邻两刀位点之间的刀轴变化率最小；然后，取刀轴矢量方向单位长度的点为刀轴点；公式(4)为：

式中，离散的C_i序列是分割后的刀位点，T_i是依附在C_i上的刀轴方向，S_i+1,i＝C_i+1-C_i是每一段线段的弧长；E是离散后刀轴矢量的能量泛函；M为离散后的段数。

8.如权利要求5所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：基于刀轴稳定性，采用公式(5)计算与刀位点样条采样点对应的刀轴点样条采样点，公式(5)为：

式中，为刀位点对应的弧长参数，为刀位点样条采样点对应的弧长参数，相邻两刀位点为和对应的刀轴矢量为和c₁，c₂为相邻两刀位点之间的采样点，o₀，o₁，o₂，o₃为相邻两刀位点之间的刀轴点样条采样点。

9.如权利要求1所述的基于刀轴稳定性的五轴B样条刀轨弧长参数化方法，其特征在于：所述目标函数为：

式中，c(s)为五轴B样条刀具轨迹，s_i为六维空间的目标采样点的弧长参数；D_i为六维空间的目标采样点；M为目标采样点的最大索引。