CN107450471B - 一种基于三次ph曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，包括如下步骤：(1)采用三次PH曲线对两相邻数据点进行局部插值，得到若干条三次PH曲线，由各相邻数据点之间PH曲线的集合构成插值曲线；(2)将插值曲线转换成一条整体B样条曲线，对整体B样条曲线进行等参数采样；(3)计算采样点的弧长参数，建立以弧长参数为变量的目标函数；(4)利用ELSPIA算法求解目标函数，得到近似参数弧长化的B样条；本发明提供的这种参数弧长化的方法，对整体的B样条等参数采样，提高了刀具轨迹B样条拟合算法的效率，并实现了参数弧长化，减少加工中存在的速度波动，可有效改善刀具轨迹形状缺陷和误差不满足的现象。

Description

一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法

技术领域

本发明属于计算机辅助制造及数控加工技术领域，更具体地，涉及一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法。

背景技术

目前，数控加工的刀具轨迹通常以小线段来表达，小线段由CAM软件按照加工误差将原始曲面离散获得。小线段表示刀具轨迹存在以下缺点：(1)小线段数量巨大，数据存储和传输量大；(2)刀具轨迹只具有G0连续性，G1、G2不连续，系统频繁地加减速，容易引起机床振动，降低零件的加工精度和表面质量；(3)刀具轨迹光顺性差，零件轮廓加工精度和表面质量差。小线段表示的刀具轨迹很难满足数控高速高精度的加工需求，因此，实际加工中，通常会使用几何连续性更好的参数曲线对小线段表示的刀具轨迹拟合。几何连续性的定义为：①G0连续，即两段曲线连接于同一点；②G1连续，即两段曲线在连接处的切线方向相同；③G2连续，即两段曲线在连接处的曲率矢量相同。

B样条曲线以其通用性和易实现的特性被广泛应用在刀具轨迹拟合中。B样条由控制点和节点矢量即可定义，以其表示刀具轨迹可以简化G代码，减少数据存储量。此外B样条本身具备较高的连续性，拟合后的轨迹有更好的光顺性，且不经过原有数据点，具有较好的噪声抑制效果；此外相对原始小线段表示的轨迹，拟合后的轨迹变长，适合高速加工，如西门子840D，实现了样条曲线的实时插补，有效地简化了加工代码，改善了加工质量。

样条插补时，曲线弧长和参数之间是非线性关系。这种非线性关系使得实时插补中难以高效地计算下一个插补参数，从而产生速度波动，影响加工效率。若样条曲线以弧长为参数，实现参数弧长化，那么在实时插补中，可根据线性关系快速精确的得到下一个插补参数，避免速度波动，提高实时插补效率。

样条曲线的参数和弧长没有准确的解析表达式，目前常用的插补参数计算方法主要有四种：Taylor展开法、微分方程的数值法、迭代逼近法和参数弧长拟合法。

参数弧长化的主要解决方法如下：将给定的非参数弧长化的刀具轨迹转换成参数弧长化的B样条刀具轨迹。首先将一条非参数弧长化的B样条刀具轨迹分解成若干条Bezier线段，然后对这些Bezier线段采样并计算采样点的弧长，最后利用最小二乘法拟合这些采样点，得到一条参数弧长化的B样条曲线；但三次Bezier曲线计算弧长时无解析解，只能用数值积分方法计算弧长，无法精确计算。

《Arc-length parameterized spline curves for real-time simulation》一文公开了计算输入的三次B样条的分段弧长，然后根据弧长在样条上找若干个均匀分布的采样点，并通过二分法计算采样点的参数，最后构造一条插值曲线通过这些采样点；但三次B样条曲线弧长只能通过数值积分方法计算得到，无法精确计算。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，其目的在于得到一条近似参数弧长化的B样条，且B样条弧长能精确计算，满足保型约束和较少的控制点的加工要求。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)根据离散刀具轨迹采用三次PH曲线对两相邻数据点进行局部插值，得到若干条三次PH曲线；由各相邻数据点之间PH曲线的集合构成插值曲线；

(2)将插值曲线转换成一条整体B样条曲线，对所述整体B样条曲线进行等参数采样；

(3)计算采样点的弧长参数，建立以弧长参数为变量的目标函数；

(4)利用ELSPIA算法求解目标函数，得到近似参数弧长化的B样条。

优选地，所述步骤(1)包括如下子步骤：

S11、将参与插值的两相邻数据点Q₀,Q₁作为三次PH曲线插值的首、末控制点，通过Renner法获取两相邻数据点Q₀,Q₁处的单位切向量T₀,T₁；其中，首控制点b₀＝Q₀，末控制点b₃＝Q₁；

S12、通过三次PH曲线的参数表达式和端点处G1连续的条件，求出A₀、A₁；确定控制点{b₀,b₁,b₂,b₃}、数据点Q₀,Q₁的关系如下：

根据上述的关系计算控制点b₁,b₂，建立数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，以及所有相邻数据点之间的三次PH曲线；

其中i、j、k表示笛卡尔坐标系中的单位向量，A₀、A₁表示四元数；A₀ ^*、A₁ ^*表示A₀、A₁的共轭四元数。

优选地，所述步骤(2)包括如下子步骤：

S21、将插值曲线转换为一条整体的B样条；对于数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，令B样条的节点向量为U＝[0,0,0,0,1,1,1,1]，控制点为b₀,b₁,b₂,b₃，将Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)转换为B样条，并将所有的分段三次PH曲线转换为分段三次B样条；

将数据点参数作为节点，且内节点的重复度为3，得到一条插值于所有数据点的初始B样条c(t)，初始B样条的控制点为b₀,b₁,b₂,b₃,…,b_n，数据点为：其中b_3k＝Q_k，k＝0,1,2,3,…,m；n＝3m；

S22、对整体的B样条进行等参数采样；

对于节点区间[t_s,t_e]，采样点参数

其中，M是采样点的个数减1，M＝3*(m+1)，m是数据点的个数减1；

若节点区间内没有采样点参数，插入节点区间的中间值作为新的采样点参数；

若采样点的参数为通过B样条的定义公式，得到采样点

优选地，所述步骤(3)包括如下子步骤：

S31、通过直接积分依次得到相邻两个采样点C_i和C_i+1之间的弧长

获取初始样条曲线的总弧长

获取采样点的弧长参数s₀＝0；

S32、建立目标函数并求解拟合B样条c(ss)，使得 ss_j表示数据点弧长参数，j＝1,2,3,…,m。

通过本发明所构思的以上技术方案，与现有技术相比，本发明具有的优势：

(1)本发明提供的基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，对整体的B样条等参数采样，提高了刀具轨迹B样条拟合算法的效率；

(2)本发明提供的基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，实现了参数弧长化，且初始样条曲线满足弧长能精确计算，保型约束和较少的控制点等加工要求，减少加工中存在的速度波动，有效改善刀具轨迹的形状缺陷和误差不满足的现象。

附图说明

图1是实施例提供的基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法的流程图；

图2实施例中的三次PH曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

实施例提供的基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，其流程如图1所示意的，包括以下步骤：

(1)根据离散刀具轨迹采用三次PH曲线对两相邻数据点进行局部插值，得到若干条三次PH曲线；由各相邻数据点之间PH曲线的集合构成插值曲线；包括如下子步骤：

S11、将参与插值的两相邻数据点Q₀,Q₁作为三次PH曲线插值的首、末控制点，通过Renner法获取Q₀,Q₁处的单位切向量T₀,T₁；其中，首控制点b₀＝Q₀，末控制点b₃＝Q₁；

S12、通过三次PH曲线的参数表达式和端点处G1连续的条件，求出A₀、A₁，确定控制点{b₀,b₁,b₂,b₃}、数据点Q₀,Q₁、的关系如下：

P′(t)＝A(t)iA(t)^* (3)

A(t)＝A₀(1-t)+A₁(t) (4)

根据上述关系式计算控制点b₁,b₂，建立数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，以及所有相邻数据点之间的三次PH曲线，且三次PH曲线为三次Bezier曲线；插值曲线是所有三次PH曲线的集合，其控制点为b₀,b₁,b₂,b₃,…,b_n。

其中，i、j、k表示笛卡尔坐标系中的单位向量；A₀、A₁表示四元数；A₀ ^*、A₁ ^*表示A₀、A₁的共轭四元数；B_i,3(t)为三次Bezier曲线的基函数；根据上式(2)可以知道，计算出的三次PH曲线具有三次Bezier曲线的表达形式；根据式(3)可知，可以通过积分精确计算三次PH曲线的弧长；

步骤(1)采用插值方法得到的曲线的控制点数目是数据点个数的2～3倍，造成较大的存储量，且插值曲线在数据点处仅G1连续；为了减少控制点数量，提高拟合曲线的质量，保证采样点均匀分布，首先将插值曲线转换成一条整体B样条曲线c(t)，再对整体B样条曲线c(t)进行等参数采样，采样点包含原数据点。

(2)将插值曲线转换成一条整体B样条曲线，对整体B样条曲线进行等参数采样，具体包括如下子步骤：

S21、将插值曲线转换为一条整体的B样条；插值曲线是各相邻数据点之间三次PH曲线的集合。

节点向量定义的p次B样条曲线的基函数等于p次Bezier曲线的基函数；对于数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，令B样条的节点向量为U＝[0,0,0,0,1,1,1,1]，控制点为b₀,b₁,b₂,b₃，那么可以将Q₀,Q₁之间的PH曲线P(t)转换为B样条，并可将所有的分段PH曲线转换为分段三次B样条。

当B样条定义域内有重复度为p的节点时，p次B样条插值于相应的控制点。由于Bezier曲线局部插值，所有数据点均属于控制点，因此令数据点参数作为节点，且内节点的重复度为3，可以得到一条插值于所有数据点的初始B样条c(t)，初始B样条的控制点为b₀,b₁,b₂,b₃,…,b_n，数据点为：其中b_3k＝Q_k,，k＝0,1,2,3,…,m；n＝3m。

S22、对整体的B样条等参数采样；

在ELSPIA拟合算法的小循环中，控制点是通过数据点的差异向量组成的调整向量更新的；采样密度影响ELSPIA拟合算法的效率，采样点个数过少对于控制点的调整向量作用不大；采样点个数过多造成计算量大，ELSPIA拟合效率低，本发明中，采样点的个数是数据点个数的2～3倍时，ELSPIA拟合效率能得到有效改善。

对于节点区间[t_s,t_e]，

采样点参数

其中，M是采样点的个数减1，通常M＝3*(m+1)，m是数据点的个数减1；

为保证采样点包含原数据点，将原数据点参数作为新的采样点参数；为保证相邻两个节点之间至少有一个采样点，若节点区间内没有采样点参数，插入节点区间的中间值作为新的采样点参数。若采样点的参数为通过B样条的定义公式，可以得到采样点

(3)计算采样点的弧长参数，建立以弧长参数为变量的目标函数，包括如下子步骤：

S31、计算采样点的弧长参数，建立目标函数并求解拟合B样条c(ss)；相邻两个采样点C_i与C_i+1之间的弧长l_i如下：

其中c′(t)表示初始样条的导数；

三次PH曲线计算弧长时有精确解，直接积分依次得到两相邻采样点之间弧长l_i；初始样条曲线的总弧长采样点的弧长参数如下：

建立目标函数求解拟合B样条c(ss)，使得：

ss_j表示数据点弧长参数，j＝1,2,3,…,m。

(4)利用ELSPIA算法求解目标函数，得到近似参数弧长化的B样条，并输出。

ELSPIA拟合算法包含小循环，中循环，大循环和chord error refinement算法；小循环采用LSPIA拟合算法，中循环更新foot point参数，大循环插入控制点；三个循环控制数据点误差满足加工误差要求，chord error refinement算法控制样条曲线的chorderror满足加工误差要求；

采用ELSPIA拟合时，不更新foot Point参数，只检查原数据点的data error和chord error，小循环中利用采样点更新控制点。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于三次PH曲线插值实现刀具轨迹参数弧长化的方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)根据离散刀具轨迹采用三次PH曲线对两相邻数据点进行局部插值，得到若干条三次PH曲线；由各相邻数据点之间PH曲线的集合构成插值曲线；

(2)将插值曲线转换成一条整体B样条曲线，对所述整体B样条曲线进行等参数采样；

(3)计算采样点的弧长参数，建立以弧长参数为变量的目标函数；

(4)利用ELSPIA算法求解目标函数，得到近似参数弧长化的B样条。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤(1)包括如下子步骤：

S11、将参与插值的两相邻数据点Q₀,Q₁作为三次PH曲线插值的首、末控制点，通过Renner法获取两相邻数据点Q₀,Q₁处的单位切向量T₀,T₁；其中，首控制点b₀＝Q₀，末控制点b₃＝Q₁；

S12、通过三次PH曲线的参数表达式和端点处G1连续的条件，求出A₀、A₁；确定控制点{b₀,b₁,b₂,b₃}、数据点Q₀,Q₁的关系如下：

根据上述的关系计算控制点b₁,b₂，建立数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，以及所有相邻数据点之间的三次PH曲线；

其中i、j、k表示笛卡尔坐标系中的单位向量，A₀、A₁表示四元数；A₀ ^*、A₁ ^*表示A₀、A₁的共轭四元数。

3.如权利要求1或2所述的方法，其特征在于，所述步骤(2)包括如下子步骤：

S21、将插值曲线转换为一条整体的B样条；对于数据点Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)，令B样条的节点向量为U＝[0,0,0,0,1,1,1,1]，控制点为b₀,b₁,b₂,b₃，将Q₀,Q₁之间的三次PH曲线P(t)转换为B样条，并将所有的分段三次PH曲线转换为分段三次B样条；

将数据点参数作为节点，且内节点的重复度为3，得到一条插值于所有数据点的初始B样条c(t)，初始B样条的控制点为b₀,b₁,b₂,b₃,…,b_n，数据点为：其中b_3k＝Q_k，k＝0,1,2,3,…,m；n＝3m；

S22、对整体的B样条进行等参数采样；

对于节点区间[t_s,t_e]，采样点参数

其中，M是采样点的个数减1，M＝3*(m+1)，m是数据点的个数减1；

若节点区间内没有采样点参数，插入节点区间的中间值作为新的采样点参数；

若采样点的参数为通过B样条的定义公式，得到采样点

4.如权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤(3)包括如下子步骤：

S31、通过直接积分依次得到相邻两个采样点C_i和C_i+1之间的弧长

获取初始样条曲线的总弧长

获取采样点的弧长参数

S32、建立目标函数并求解拟合B样条c(ss)，使得 ss_j表示数据点弧长参数，j＝1,2,3,…,m。