CN110765583B - 基于三次Bezier的分段曲线拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，涉及计算机图形曲线拟合技术领域。该方法采用分段连续的三次Bezier曲线拟合一条光滑曲线，使得曲线在分段连接点处具有二阶连续性，使得拟合曲线避免了龙格现象的产生；该方法能够避免求解已知量，如每个分段曲线的首端控制点和尾端控制点等，从而降低了算法的复杂度，提高了算法的执行效率，因而能够满足实际工业生产的需要；该方法可以同时拟合闭合和非闭合曲线，算法灵活度较高，能够适应多种实际情况的要求。

Description

基于三次Bezier的分段曲线拟合方法

技术领域

本发明涉及计算机图形曲线拟合技术领域，具体而言，涉及一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法。

背景技术

Bezier曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。工业设计中也经常用Bezier曲线来为产品的主体进行设计，例如在航天导航相关地形软件中，一般具有提供模拟飞行的功能：用户输入一些控制点，制定一条飞行路线，然后沿模拟路线飞行；在一些工业产品设计中，也常常要求用户输入一些工业产品的外轮廓点，然后根据轮廓点拟合出轮廓线，最后通过机床根据轮廓线进行产品加工。简言之，这要求我们根据所给控制点拟合出一条最佳曲线(闭合或非闭合)。

传统的曲线拟合方法有高次多项式插值法，利用多项式对某一函数的近似逼近，计算相应的函数值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确，但是随着插值次数越高，会出现插值结果越偏离原函数的龙格现象。另外，有人提出用分段曲线的方法，但仅仅保证了分段曲线连接点处的连续性，整体曲线不具有光滑性。还有的人提出分段连续三次Bezier曲线控制点的构造算法，但是这种方法拟合出的曲线通过所有控制点，算法复杂，计算量较大，不具有光滑效果，且当相邻控制点距离很近时，此方法拟合出的曲线往往会出现变形等错误结果。

发明内容

本发明在于提供一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，以解决现有曲线拟合方法存在的复杂度较高，效率低和不能同时拟合闭合或非闭合曲线的技术问题。

本发明采取的技术方案如下：

本发明提供了一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，包括以下步骤：

S1、输入原始点p₁,p₂,…,p_n；

S2、在原始点中选择若干个点q₁,q₂,…,q_m，作为各分段曲线的端点，其它原始点作为各分段曲线的中间连接点；

S3、若相邻两个端点之间的中间连接点少于两个，则通过插值方法在该两个端点之间补充虚拟原始点作为中间连接点，否则继续执行步骤S4；

S4、将各分段曲线的首端点作为首端控制点，尾端点作为尾端控制点，根据各分段曲线的中间连接点，构建以分段曲线的中间控制点为求解目标的线性方程组，求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点，具体包括以下步骤：

S41、获取三次Bezier公式如式(1)所示：

其中t为参数，通过分段曲线中间连接点与首端点之间的距离除以分段曲线中所有原始点依次连接后的总长度获得；P_i为分段曲线的控制点，P₀和P_n分别与分段曲线的首端点和尾端点重合；B_i,3(t)为伯恩斯坦基函数，如式(2)所示：

在每个分段曲线中构造三次Bezier曲线，则：

使每个分段曲线中，相邻两段Bezier曲线相对于它们的中间连接点对称，则有：

则得到目标方程：

S42、用最小二乘法求解目标方程，得线性方程组：

S43、若拟合非闭合曲线，则k＝1,…,m-1，并且使用公式(9)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；若拟合闭合曲线，则k＝1,…,m-2并使用公式(10)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；

S5、根据所有的首端控制点、尾端控制点以及中间控制点，拟合Bezier曲线。

本技术方案的技术效果是：采用分段连续的三次Bezier曲线拟合一条光滑曲线，使得曲线在分段连接点处具有二阶连续性，使得拟合曲线避免了龙格现象的产生；本方法能够避免求解已知量，如每个分段曲线的首端控制点和尾端控制点等，从而降低了算法的复杂度，提高了算法的执行效率，因而能够满足实际工业生产的需要；本方法可以同时拟合闭合和非闭合曲线，算法灵活度较高，能够适应多种实际情况的要求。

可选地，所述步骤S1中，各端点依次等间距排列。

为使本发明的上述目的、特征和优点能更明显易懂，下文特举本发明实施例，并配合所附附图，作详细说明如下。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，应当理解，以下附图仅示出了本发明的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关的附图。

图1是本发明实施例中所述基于三次Bezier的分段曲线拟合方法流程图；

图2是本发明实施例中其中一种闭合曲线的拟合结果图，其中图2(a)为输入的原始点，图2(b)为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果；

图3是本发明实施例中另一种闭合曲线的拟合结果图，其中图3(a)为输入的原始点，图3(b)为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果；

图4是本发明实施例中非闭合曲线的拟合结果图，其中图4(a)为输入的原始点，图4(b)为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。

因此，以下对在附图中提供的本发明的实施例的详细描述并非旨在限制要求保护的本发明的范围，而是仅仅表示本发明的选定实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

请参照图1，本实施例提供了一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，包括以下步骤：

S1、输入原始点p₁,p₂,…,p_n；

S2、在原始点中选择若干个点q₁,q₂,…,q_m，作为各分段曲线的端点，各端点的选取应尽量满足等间隔分布，其它原始点作为各分段曲线的中间连接点；

S3、若相邻两个端点之间的中间连接点少于两个，则通过插值方法在该两个端点之间补充虚拟原始点作为中间连接点，否则继续执行步骤S4；

S4、将各分段曲线的首端点作为首端控制点，尾端点作为尾端控制点，根据各分段曲线的中间连接点，构建以分段曲线的中间控制点为求解目标的线性方程组，求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点，具体包括以下步骤：

S41、获取三次Bezier公式如式(1)所示：

其中t为参数，通过分段曲线中间连接点与首端点之间的距离除以分段曲线中所有原始点依次连接后的总长度获得；P_i为分段曲线的控制点，P₀和P_n分别与分段曲线的首端点和尾端点重合；B_i,3(t)为伯恩斯坦基函数，如式(2)所示：

在每个分段曲线中构造三次Bezier曲线，则：

使每个分段曲线中，相邻两段Bezier曲线相对于它们的中间连接点对称，则有：

则得到目标方程：

S42、用最小二乘法求解目标方程，得线性方程组：

其中，i,j都是遍历符号。

S43、若拟合非闭合曲线，则k＝1,…,m-1，并且使用公式(9)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；若拟合闭合曲线，则k＝1,…,m-2并使用公式(10)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；

S5、根据所有的首端控制点、尾端控制点以及中间控制点，拟合Bezier曲线。

在本实施例中，基本思想是采用分段连续的三次Bezier曲线拟合一条光滑曲线，使得曲线在分段连接点处具有二阶连续性。为得到最优曲线即拟合曲线和原始点之间的误差最小，使用最小二乘法构造线性方程组，通过求解方程组得到每个分段曲线的中间控制点，最后使用最初选定的端点以及求解得到的中间控制点在每个分段中构造三次Bezier曲线，完成曲线拟合，如图2、图3和图4即采用本实施例所述的方法拟合的曲线示例，其中图2为闭合曲线的拟合(左图为输入的原始点，右图为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果)，图3也为闭合曲线的拟合(左图为输入的原始点，右图为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果)，图4为非闭合曲线拟合(左图为输入的原始点，右图为采用本方法对原始点进行拟合得到的结果)。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、输入飞行控制原始点p₁,p₂,…,p_n；

S2、在原始点中选择若干个点的下标q₁,q₂,…,q_m，作为各分段曲线的端点，其它原始点作为各分段曲线的中间连接点；

S3、若相邻两个端点之间的中间连接点少于两个，则通过插值方法在该两个端点之间补充虚拟原始点作为中间连接点，否则继续执行步骤S4；

S4、将各分段曲线的首端点作为首端控制点，尾端点作为尾端控制点，根据各分段曲线的中间连接点，构建以分段曲线的中间控制点为求解目标的线性方程组，求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点，具体包括以下步骤：

S41、获取三次Bezier公式如式(1)所示：

其中t为参数，通过分段曲线中间连接点与首端点之间的距离除以分段曲线中所有原始点依次连接后的总长度获得；P_i为分段曲线的控制点，P₀和P_n分别与分段曲线的首端点和尾端点重合；B_i(t)为伯恩斯坦基函数，如式(2)所示：

在每个分段曲线中构造三次Bezier曲线，则：

使每个分段曲线中，相邻两段Bezier曲线相对于它们的中间连接点对称，则有：

则得到目标方程：

S42、用最小二乘法求解目标方程，得线性方程组：

S43、若拟合非闭合曲线，则k＝1,…,m-1，并且使用公式(9)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；若拟合闭合曲线，则k＝1,…,m-2并使用公式(10)求得各分段曲线位于首端控制点和尾端控制点之间的两个中间控制点；

S5、根据所有的首端控制点、尾端控制点以及中间控制点，拟合Bezier曲线，得到飞行模拟路线。

2.根据权利要求1所述基于三次Bezier的分段曲线拟合方法，其特征在于，所述步骤S1中，各端点依次等间距排列。

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