JP2016157174A - ３次元空間データ補間プログラム、ならびに、それを組み合わせて実現する形状発生プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】 ３次元空間にまで有効で、折れ曲がりがなく、演算の容易なデータ補間プログラムを提供すること。【解決手段】 離散データが与えられた、３次元空間中の等間隔な立体格子点位置に対して、格子点の単位立方体を８等分した立方体ごとに、各座標成分に対して２次式となる単独の補間式を求める。単位立方体同士の境界面で、偏微分値が両側の線形補間式の偏微分値の平均値に等しくなるという条件と、単位立方体内で、導関数のグラフの下の面積が、線形補間式の導関数のグラフの下の面積に等しくなるという条件と、を満たすようにすることで、補間式は一意的に定まり、折れ曲がりがなく、四則演算だけで成り立つ、１次元、２次元および３次元空間で有効なデータ補間プログラムが実現できる。【選択図】 図３

Description

本発明は、連続する数値が分布する３次元空間において、立体格子点状の標本点で数値データ（標本値）が与えられている場合に、格子点が囲む空間内でデータを補間する方法及び装置に関するものである。さらに詳しくは、与えられた標本点を通過する滑らかな形状を、コンピューターの演算機能を利用して、発生させる方法に関するものである。

等間隔に与えられた数値データ（標本値）を補間する単純な方法は、線形補間（直線補間）であり、図１のように、１次元（座標軸が１つの次元）に分布する数値pは、座標値xを使った式

を用いて、x₀≦x≦x₁の区間において補間される。

ここで、x₀，x₁は隣り合う標本点で、標本点間の距離（x₁−x₀）を１に定義し、この距離を単位として表している。また、P₀はx₀における標本値であり、P₁はx₁における標本値である。ただし、説明を簡略化するために、添え字を便宜的に０と１にしているが、これは隣り合う２つの数字という意味であって、０と１に限定しているのではない。

数１は、x軸方向にだけ着目したものであるが、３次元に拡張するために、数１における標本値Pの添え字を３つに増やした式が、

で、Pの添え字は順に、x軸、y軸、z軸に関するものである（図２参照）。

数２を用いて、y軸に対する線形補間を組み入れた式が、

で、これは、y₀≦y≦y₁の区間における補間を行うものである。

さらに、数３を用いて、z軸に対する線形補間を組み入れた式が、

であり、これは、z₀≦z≦z₁の区間における補間を行うものである。

数４に数３と数２を代入して、x，y，zで表すと、

となる。ここで、定数A₁〜A₈は、下記の値を持つ。ただし、P_{i j k}とは、(x_i，y_j，z_k)における標本値であることを意味する（図２参照）。

数５が、３次元空間における線形補間の式である。数５は、x，y，zの順に組み立てたものであるが、x，y，zを入れ替えても、同じ内容の式が得られる。

数５において、z＝z₀としたとき、

が得られる。３次元空間中に２次元平面が包含されているが、この式は、２次元平面における線形補間の式である。

さらに、数７において、y＝y₀としたとき、

が得られる。２次元平面中に１次元直線が包含されているが、この式は、１次元直線における線形補間の式であり、数１と同じ内容である。

補間によって得られる数値p自体を１つの次元として捉えるならば、数８は、２次元平面（xp平面）上に描かれる折れ線グラフを表しているといえる。数７と数５も、同様な捉え方ができ、それぞれで３次元空間（xyp空間）と４次元空間（xyzp空間）を使って、補間値を表現することが、理屈の上では可能である。

上述のような線形補間は、演算が容易であるため、一般に広く用いられているが、自然現象を補間するのに、さらに適した方法も考案されている。ただし、最小二乗法近似のように、標本点において正確に標本値になることが保証されていない補間方法は、対象外とする。

補間方法の一例として、特許文献１では、ニュートンの前進補間法を３個の標本点（２区間）に対して適用し、２区間ごとに異なる２次式を使って、補間値を算出している。特許文献１の方法は、２次元平面に分布する数値を補間する方法である。

特許文献２では、該特許文献の発明者が見いだした２次の区分多項式としての標本化関数（sinc関数）を使って、得られた値を用いて、畳み込み演算を行うことにより、補間値を算出している。特許文献２の方法は、１次元（座標軸が１つの次元）に分布する数値を補間する方法である。

特許文献３では、特許文献２と同じ方法で、Ｘ方向に沿って補間処理を行い、その後この補間処理によって得られたＸ方向補間値を用いてＹ方向に沿って補間処理を行うものである。特許文献３の方法は、２次元平面に分布する数値を補間する方法である。

特開平１０−１６４６０８号公報（図１） 特開２０００−１０９６０号公報（図３） 特開平１１−３５３３０６号公報（図６）

等間隔に与えられた数値データ（標本値）を線形補間（直線補間）によって、補間する場合には、標本点において折れ曲がる。標本点は偶然定まった点であるにも関わらず、補間すべき他の点と異なって、折れ曲がるという自然現象にない特別な性質を持ってしまうという課題を有していた。

特許文献１では、２区間ごとに２次式を使って補間するため、１区間ごとに折れ曲がる線形補間よりは改善されるものの、２区間ごとに折れ曲がることは避けられないという課題を有していた。

特許文献２と特許文献３とは、原理が同じであって、いずれも、標本化関数により得られた値に対して、畳み込み演算を行うという方法であるが、線形補間のような明確さや単純さを欠いているという課題を有していた。また、特許文献２が１次元を扱い、特許文献３が２次元を扱う、という統一性がないということに加え、３次元を扱っていないという課題も有していた。３次元空間における補間の対象としては、具体的には、３次元空間での温度分布や電位分布とか、Ｘ線ＣＴやＭＲＩ等の連続スライス濃淡画像とか、２次元平面での輝度分布に時間軸を加えた輝度分布履歴といったものが、挙げられる。

本発明は、以上のような課題を解決しようとするもので、線形補間の欠点である折れ曲がりをなくし、線形補間のように単純明快な方法で、容易に演算できる補間方法を提供することを目的とする。しかも、３次元空間を補間対象とすることで、２次元や１次元に座標軸を減じたときも含めて、包括的に扱えるものとする。

上記の目的を達成するため、本発明は、一般に利用される線形補間（直線補間）の方法を発展させる形をとり、線形補間の１次式に次いで演算の容易な２次式を用いて、線形補間では標本点間に１つの数式（１次式・直線）を割り当てているのに対して、本補間法では標本点間の中央で分けて１軸に付き２つの数式（２次式・放物線）を割り当てるという方法を用いて、３次元空間において補間を行うことを特徴とする。なお、本発明による補間は、標本点においては必ず標本値に一致し、また、どの位置でも折れ曲がることがない、という条件を満たす補間法である。

線形補間が、標本点で折れ曲がるのは、傾き（導関数）が標本点で不連続に変化するためである。そこで、本補間法では、標本点における傾き（微分値）に、線形補間における、前後２つの傾き（微分値）の平均値を割り当てることにした。平均値をとることで、前後の順序に依存することなく、前後の重みを均等、対称に扱うことができる（図３(ｂ)参照）。

本発明を説明するにあたって、簡略化するために、標本点に関する添え字を便宜的に−１，０，１，２にしているが、これは隣り合う４つの数字という意味であって、−１，０，１，２に限定しているのではない。対象がｉ番目であれば、ｉ−１，ｉ，ｉ＋１，ｉ＋２というのと同じ意味である。

標本点x₀を基準にすれば、２次式は、a(x−x₀)²＋b(x−x₀)＋cの形で表され、a，b，cの３つの係数によって決定できるため、３つの条件を与える３元連立方程式により、係数が求められる。１区間の標本点間を１つの２次式で表そうとするならば、区間両端における標本点の標本値２つと傾き（微分値）２つによる合計４つの条件を満たさなければならず、条件が１つ多過ぎて、係数を求めることができない。３次式にすれば、係数が１つ多くなるため、係数を求めることが可能となるが、演算量が多くなるため、本発明においては、３次式を使わず、標本点間の中央位置で、別々の２次式（放物線）に分けて補間する手法を考案した（図３(ｃ)参照）。

x軸に着目するならば、標本点x₀とx₁の間の補間を考える場合、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間と(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁の区間とで、別々の２次式を割り当てることになるが、中央を選んだことで、前後の順序に依存することなく、前後の重みを均等、対称に扱うことができる。

x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間について見ると、３元連立方程式として、まず、標本点x₀において、標本値と傾き（微分値）の２つの条件式が与えられる。残りの１つの条件式には、x＝(x₀＋x₁)／2における、傾き（微分値）を用いる。この傾き（微分値）は、(x₀＋x₁)／2≦x≦x₁の区間における２次式とも共通した値とすることで、x＝(x₀＋x₁)／2において、折れ曲がることがなくなる。

線形補間の場合には、x₀≦x≦x₁の区間では、傾き（導関数）をグラフにすると、水平な線分で表される。本補間法では、傾き（導関数）をグラフにすると、２次式が２つあるため、傾斜した２本の線分で表され、x＝(x₀＋x₁)／2の位置で折れ曲がった状態になる（図３(ｂ)の導関数のグラフ参照）。

x＝x₀の位置で、線形補間と本補間法とでは同じ標本値になり、x＝x₁の位置でも、両者は同じ標本値になるため、x₀≦x≦x₁の区間で、傾き（導関数）を積分すると、両者は同じ積分値になる。積分を視覚的にとらえるならば、グラフの下側の面積として表すことができる。すなわち、傾き（導関数）のグラフの下側の面積は、線形補間と本補間法とでは同じ値にならなければならない。このことから、x＝(x₀＋x₁)／2の位置における、傾き（微分値）の値が一意的に求められることになり、３元連立方程式の３番目の条件式が決定する。

x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間での、補間に用いる２次式の係数を求めるための３元連立方程式を構成する３つの条件をまとめると以下のようになる。

《条件１》 x＝x₀の位置における値は、与えられている標本値である。

《条件２》 x＝x₀の位置における傾き（微分値）は、線形補間における、この位置の前後２つの傾き（微分値）の平均値であるとする。

x＝x₁の位置における傾き（微分値）も、線形補間における、この位置の前後２つの傾き（微分値）の平均値であるとして、次の条件３を定める。

《条件３》 x＝(x₀＋x₁)／2の位置における傾き（微分値）と、x＝x₀の位置における傾き（微分値）（条件２による）と、x＝x₁の位置における傾き（微分値）との、３つを結ぶ２つの線分によるグラフの下側の面積は、x₀≦x≦x₁の区間における、線形補間の傾き（導関数）（一定）のグラフの下側（矩形）の面積に等しい。

上記の３つの条件に基づく３つの方程式からなる、３元１次方程式を解くことで、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間における、補間に用いる２次式の３つの係数が決定できる。

残りの(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁の区間については、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間と対称的になっているため、x₀とx₁の位置関係を逆にし、（x−x₀）を（x₁−x）に置き換えることで、補間式が得られる。

ここまでは、x軸のみに着目して説明してきたが、x軸の補間が済んでいると、y軸方向に補間する場合には、元々の標本点に加え、x軸方向での補間値も標本値として使うことにより、xy平面上での補間式を導き出すことができる。この場合、x軸とy軸の順序を逆にして、補間式を導き出しても、同じ内容の補間式が得られる。

さらに、xy平面上での補間が済んでいると、z軸方向に補間する場合には、元々の標本点に加え、xy平面上での補間値も標本値として使うことにより、xyz空間（３次元空間）での補間式を導き出すことができる。この場合、x軸、y軸、z軸の順序を入れ替えて、補間式を導き出しても、同じ内容の補間式が得られる。

以上のように、本発明によれば、線形補間のような折れ曲がりを発生させないで、３次元空間における、すべての標本点を満足させる補間が可能となり、しかも、単純な四則演算だけで実現しているため、演算量を低減することができる。また、３次元空間中に、２次元平面や１次元直線が包含されているため、用途の広い１次元や２次元の補間にも簡単に対応できる。

背景技術であり、本発明の元になった線形補間に関する説明図である。 線形補間を３次元に拡張するときの標本値の位置関係を示す説明図である。 線形補間と本発明の補間方法の関係を示す説明図である。 本発明における、補間方法の標本値の３次元的位置関係を示す説明図である。 本発明における、補間方法の補間式が成立する範囲を示す説明図である。 本発明の実施形態のデータ処理装置の構成を示す図である。 本発明の実施例１における、等間隔測量の地形作図に関する説明図である。 本発明の実施例２における、任意間隔測量の地形作図に関する説明図である。 本発明の実施例３における、開曲線の補間に関する説明図である。 本発明の実施例４における、閉曲線の補間に関する説明図である。 本発明の実施例５における、２次元平面上での補間に関する説明図である。 本発明の実施例６における、２次元座標変換に関する説明図である。

以下、本発明のデータ補間方法の実施形態について、具体的な数式を用いて、詳細に説明する。

まず、図３(ａ)に示すように、x軸に着目して、標本点x₀とx₁の間の補間を考える。ただし、標本点の間隔は、１に定義する。

x₀における微分値をα_lとし、線形補間における、x₀の前後２つの傾き（微分値）の平均値を割り当てることにする。α_lは、

の式によって求められる。

数９を見ると、α_lは、x₀の前後の標本点である、x_-1とx₁における標本値を結んだ直線の傾きであるとともに、実は、x_-1とx₀とx₁における、３つの標本値を通過する２次式（放物線）のx₀における傾きにもなっている。

同様に、x₁における微分値をα_rとし、線形補間における、x₁の前後２つの傾き（微分値）の平均値を割り当てることにするならば、α_rは、

の式によって求められる。

α_lとα_rの和は、

となる。

数１１を用いると、図３(ｂ)の導関数のグラフにおいて、S₃における微分値をα_cとするならば、S₁S₂ S₃ S₄ S₅の５点に囲まれる五角形（右上がりのハッチング部分）の面積は、左右２つの台形に分けることで、

の式によって求められる。

x＝x₀の位置で、線形補間と本補間法とでは同じ標本値P₀になり、x＝x₁の位置でも、両者は同じ標本値P₁になるため、x₀≦x≦x₁の区間で、傾き（導関数）を積分すると、両者は同じ積分値になる。積分を視覚的にとらえるならば、グラフと座標軸で挟まれる面積として表すことができる。すなわち、傾き（導関数）のグラフの下側の面積は、線形補間と本補間法とでは同じ値にならなければならない。ただし、x軸の下側の部分では、面積をマイナスとして扱う。

したがって、図３(ｂ)の導関数のグラフで、S₁S₂ S₃ S₄ S₅の５点に囲まれる五角形（右上がりのハッチング部分）の面積は、S₁ S₆S₇ S₅の４点に囲まれる矩形（右下がりのハッチング部分）の面積と等しくなる。この関係を式で表すと、

となり、この式を変形すると、α_cは、

として求められる。

ここで、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間において、

で補間式が与えられるものとし、係数a，b，cを求めることを考える。

数１５をxで微分すると、

となる（偏微分の記号を使用）。

数１５に、x＝x₀における標本値を代入すると、

となり、係数cが求められる。

数１６に、x＝x₀における微分値を代入すると、

となり、係数bが求められる。

数１６を用いて、x＝(x₀＋x₁)／2における微分値を求めると、

となる。

この微分値は、数１４で求めたα_cであるため、

となる。

係数bは既に数１８で求まっているので、数２０を変形して、係数aを求めると、

となる。

数２１と数１８と数１７で得られた係数a，b，cを数１５に代入することで、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間における補間式が、次式のように求められる（図３(ｃ)の本補間法による結果のグラフ参照）。

残りの(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁の区間については、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2の区間と対称的になっているため、x_-1〜x₂の位置関係を逆にし、（x−x₀）を（x₁−x）に置き換えることで、補間式を求めることができる。x₁−x₀＝1であるので、(x₁−x)＝(−x＋x₀＋1)である。(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁の区間の補間式は、

となる（図３(ｃ)の本補間法による結果のグラフ参照）。

標本値P_-1P₀ P₁ P₂が直線状に並んでいる場合には、P_-1＝2P₀−P₁，P₂＝2P₁−P₀の関係が成り立ち、数２２は、

となり、数２３は、

となる。これらは、数１と同じで、直線状に並ぶ標本値を、本補間法によって補間した結果は、線形補間の結果と同じ直線になることが分かる。

数２２および数２３では、x₀≦x≦x₁の区間を補間するのに、１区間外側のx_-1とx₂における標本値P_-1とP₂が必要になる。したがって、そのままでは、最も外側の区間での補間ができない。そこで、図３(ｂ)のx_-1≦x≦x₀の区間のグラフで示すように、最も外側の区間では、微分値を、線形補間における、x_-1の前後２つの傾き（微分値）の平均値とするのではなく、x_-1の後ろの傾き（微分値）そのものを使うことにする。これを言い換えるならば、x_-2における標本値をP_-2＝2P_-1−P₀として与えて、数２２および数２３で補間することと同じである。また、最後の標本点をP_nとするならば、P_n+1＝2P_n−P_n-1とすることで、最後の区間の補間もできるようになる。すなわち、最も外側の線形補間を、さらに外へ延長することにより、存在していない標本値を作り出すのである。

ここまでは、x軸にのみ着目して補間式を求めてきたが、次にy軸およびz軸を含めた３次元における補間式について記述する。

数２２に現れる定数に対して、

のように定義すると、数２２は、

となる。ただし、３次元に拡張するために、数２２における標本値Pの添え字は３つに増やしてあり、この添え字は順に、x軸、y軸、z軸に関するものである（図４参照）。

y軸を追加したxy平面における補間式を、数２７を使って求めると、

となる。これは、x軸の補間が済んだ状態で、y軸方向に補間するために、元々の標本点に加え、x軸方向での補間値も標本値として使うことにより、xy平面上での補間式を導き出したものである。

さらに、z軸を追加したxyz空間における補間式を、数２８を使って求めると、

となる。これは、xy平面上での補間が済んだ状態で、z軸方向に補間するために、元々の標本点に加え、xy平面上での補間値も標本値として使うことにより、xyz空間における補間式を導き出したものである。

数２９は、図４において、P_{0 0 0}，P_{1 0 0}，P_{1 1 0}，P_{0 1 0}，P_{0 0 1}，P_{1 0 1}，P_{1 1 1}，P_{0 1 1}の標本値を持つ８点で囲まれる、立方体の内部を対象とした補間式である。

数２８と数２９は、x，y，z軸の順に、補間結果を求めて、計算する形式になっているが、これを展開すると、x，y，z軸の順序に関係なく、どの順でも全く同じ数式となることが分かっている。

数２９に、数２８と数２７を代入すると、

の形となる。ここで、B₁〜B₂₇は、標本値を使って表される値である。この式が、本発明による３次元空間におけるデータ補間式である。

数３０における、B₁〜B₂₇を求める式を、以下に示す。

数３０において、z＝z₀としたとき、

が得られる。３次元空間中に２次元平面が包含されているが、この式は、本発明による２次元平面におけるデータ補間式である。３次元では3³＝27個必要だった係数が、２次元ではB₁₉〜B₂₇の3²＝9個に減っている。

さらに、数５８において、y＝y₀としたとき、

が得られる。２次元平面中に１次元直線が包含されているが、この式は、本発明による１次元直線におけるデータ補間式である。１次元では、必要な係数は、B₂₅〜B₂₇の3¹＝3個だけである。

数５９に、数５５〜数５７を代入してできる

の式は、数２２と同じである。

数３０は、区間の前半、すなわち、x₀≦x≦(x₀＋x₁)／2かつy₀≦y≦(y₀＋y₁)／2かつz₀≦z≦(z₀＋z₁)／2の範囲における補間式である。この範囲は、図５のハッチングしてある部分である。１つの区間の立方体は、８等分した８つの立方体に分割し、それぞれの分割した立方体ごとに、補間式を変える。

図５のハッチングしてある部分以外の７つの分割立方体、すなわち、(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁または(y₀＋y₁)／2＜y≦y₁または(z₀＋z₁)／2＜z≦z₁の区間においては、数３０において、対称性を利用して、該当するx，y，z軸に対して、下記のような変更を加えることで対処できる。

(x₀＋x₁)／2＜x≦x₁の範囲の場合は、数３０に対して、x_-1〜x₂の位置関係を逆にし、（x−x₀）を（x₁−x）＝(−x＋x₀＋1)に置き換える。つまり、標本値に関しては、P_{-1 j k}→P_{2 j k}，P_{0 j k}→P_{1 j k}，P_{1 j k}→P_{0 j k}，P_{2 j k}→P_{-1 j k}と置き換える。

(y₀＋y₁)／2＜y≦y₁の範囲の場合は、数３０に対して、y_-1〜y₂の位置関係を逆にし、（y−y₀）を（y₁−y）＝(−y＋y₀＋1)に置き換える。つまり、標本値に関しては、P_{i -1 k}→P_{i 2 k}，P_{i 0 k}→P_{i 1 k}，P_{i 1 k}→P_{i 0 k}，P_{i 2 k}→P_{i -1 k}と置き換える。

(z₀＋z₁)／2＜z≦z₁の範囲の場合は、数３０に対して、z_-1〜z₂の位置関係を逆にし、（z−z₀）を（z₁−z）＝(−z＋z₀＋1)に置き換える。つまり、標本値に関しては、P_{i j -1}→P_{i j 2}，P_{i j 0}→P_{i j 1}，P_{i j 1}→P_{i j 0}，P_{i j 2}→P_{i j -1}と置き換える。

数３０から次元数を減じて作った、数５８と数５９についても、上記と同様の置き換えを行うことで、残りの範囲の補間式を求めることができる。数５９に対して、置き換えを行うと、数２３と同じになる。３次元空間で2³＝8個の立方体に等分割したものは、２次元で2²＝4面の正方形に、１次元で2¹＝2本の線分に、それぞれ等分割して、対称性に基づいて、補間式を求めることになる。

最も外側の区間での補間では、該当する区間の線形補間を、さらに外へ延長することにより、存在していない標本値を作り出してから、補間する。たとえば、図４のように、P_{-1 -1 -1}が最も外側の標本値である場合には、



などの式で、存在しない標本値を与えてから、補間式を適用する。

図６は、本発明の実施形態のデータ処理装置の構成を示す図である。このデータ処理装置は、標本値取得手段１１、座標と標本値記憶手段１２、区間ごとの補間係数算出手段１３、区間ごとの補間係数記憶手段１４、座標に対する補間値演算手段１５を含んで構成されている。

標本値取得手段１１は、等間隔に標本値をデータ処理装置に取り込む手段のことで、センサーを使った自動入力やキーボードを使った数字入力などを意味している。前もって、標本値が固定的に与えられている場合には、標本値取得手段１１を省略することが可能である。

座標と標本値記憶手段１２は、標本値データを座標とともに記憶する手段のことで、メモリーやハードディスクなどが該当する。座標は、一般的には位置を指すが、距離、時間のほか、グラフィックメモリー上の記憶位置のような抽象的な座標も含む。逐次的に、標本値取得手段１１で、標本値を取り込みつつ、補間値を出力する場合には、補間値を求めるのに必要な範囲のみの標本値を記憶すればよい。

区間ごとの補間係数算出手段１３は、標本点の区間ごとに、補間係数を算出する手段のことで、数３１〜数５７を使って、補間係数B₁〜B₂₇を求める。２次元平面における補間の場合には、補間係数B₁〜B₁₈を省略することができる。さらに、１次元直線における補間の場合には、補間係数B₁〜B₂₄を省略することができる。図５のハッチングしてある部分の外側に対する補間係数についても、数３１〜数５７を利用して、標本点の対称性に基づいて、補間係数を算出する。

区間ごとの補間係数記憶手段１４は、標本点の区間ごとに、補間係数を記憶する手段のことで、メモリーやハードディスクなどが該当する。前もって、標本値が固定的に与えられていて、補間係数を記憶する領域に余裕がある場合には、先にすべての区間の補間係数を求めておけば、処理時間を短縮することができる。

座標に対する補間値演算手段１５は、座標に対する補間値を演算する手段のことで、区間・補間係数記憶手段１４で記憶された、補間係数B₁〜B₂₇を使って、数３０により、補間値を求める。２次元平面における補間の場合には、簡略化された数５８により、補間値を求めることができる。さらに、１次元直線における補間の場合には、簡略化された数５９により、補間値を求めることができる。図５のハッチングしてある部分の外側に対する補間値についても、数３０、数５８または数５９を利用して、標本点の対称性に基づいて、（x−x₀）を（x₁−x）に、（y−y₀）を（y₁−y）に、（z−z₀）を（z₁−z）に、それぞれ置き換えて計算することで、補間値を求める。

本発明の補間式は、スカラー値を対象としているが、標本値が２次元や３次元の座標を表す場合のように、複数の成分をもつ場合には、成分ごとに補間して、補間結果を組み合わせて使用する。

本発明のデータ処理装置で求められた、座標に対する補間値は、変動電圧の出力、機械の動作位置制御、地形図の作図、デジタル画像の表示などに利用する。

地下探査を行うときには、直線状に等間隔に測量をして、求めた標高をもとに地形断面図を描く。かつては、自在定規や雲形定規を使って、手作業で地形断面図を描いていたが、発明者は、１９８２年当時、普及し始めたパーソナルコンピューターとプロッターを使った自動化を進めるにあたって、自在定規に代わる手段が必要になった。本発明の初期の目的は、図７に示すような、滑らかな地形断面図を描くことであった。図７は、標高を標本値とし、１次元直線上で補間を行った本発明の実施例であり、小さな円が、標本値を表している。これは、数６０を使って、補間した例である。

本発明は、等間隔に与えられた標本値としてのスカラー値（成分が１つ）を補間するものであるが、本発明の補間法を複数組み合わせることで、複数の成分を持つ値を補間することが可能となる。実施例１では、標高が等間隔に与えられているが、任意の間隔で与えられているときには、標高だけでなく、水平座標自体も補間することで、地形断面図を描くことができる。

図８は、任意の間隔で与えられた標高と位置を独立した標本値とし、それぞれ、１次元直線上で補間を行った本発明の実施例である。これは、横軸（位置）をu軸、縦軸（標高）をv軸とし、共通の媒介変数tによって、u＝f(t)，v＝g(t)として表される別々の関数になっているものとして、図８(ａ)と図８(ｂ)のように、それぞれ補間を行い、uv座標によって作図するものである。図８(ｃ)は、uとvに対して、別々に、数６０を使って、補間した結果を組み合わせた例である。

u＝f(t)が、直線を表しているときには、本発明の補間法は、線形補間と全く同じ結果になるため、tが等間隔ならば、uも等間隔になり、実施例１は、実施例２に含まれる特殊なケース（位置uが等間隔のケース）であると考えることができる。

実施例２では、u＝f(t)が測量の位置を表すため、単調増加であるという制約があったが、この制約を取り除いて自由度を高めたのが、図９に示す開曲線の補間であり、小さな円の座標が、標本値になっている。uv平面上にある開曲線に含まれる点列を補間するために、図９(ａ)と図９(ｂ)のように、u座標の値とv座標の値を別々に補間した上で、結合している。図９(ｃ)は、uとvに対して、別々に、数６０を使って、補間した結果を組み合わせた例である。ここで、さらに、uv平面に直交するw軸を考え、w座標の値についても同様に補間するならば、３次元空間における立体的な開曲線の補間ができる。

本発明の補間法では、最も外側の区間に対しては、さらに外側に位置する存在しない標本値を作り出すか、最も外側の区間を補間の対象範囲から除外する必要があるが、始端終端のない循環的なデータでは、こうした問題はない。図１０に示すのは、閉曲線の補間であるが、これは、実施例３と同様な点列の補間で、始端と終端を一致させたものである。図１０(ｃ)は、uとvに対して、同図(ａ)と(ｂ)のように別々に、数６０を使って、循環的に補間した結果を組み合わせた例である。この実施例でも、w軸を追加すれば、３次元空間における立体的な閉曲線の補間ができる。

実施例１は、１次元直線上で補間を行った例であったが、図１１(ａ)は、２次元平面上で本発明の補間法を適用した例である。この図は、段階的に補間値を等高線状に表示してあり、小さな円が、標本点を表している。これは、数５８を使って、補間した例である。

図１１(ｂ)は、比較のため、従来の線形補間を用いて、図１１(ａ)と同じデータを補間したものである。線形補間で折れ曲がっている部分が、本発明の補間法では、滑らかな曲線になっているのが分かる。図１１(ｂ)は、数７を使って、線形補間した例である。

魚眼レンズ等で撮影されたデジタル画像データは、座標変換により、レンズの歪み補正を行うことで、自然な画像に直すことができる。図１２(ａ)に示す実施例は、本発明の補間法により、２次元座標の座標変換を行うものであり、レンズの歪み補正のような規則的な座標変換だけでなく、不規則な座標変換にも自由に対応できる。図１２では、小さな円が標本点を示し、標本点ごとに、変換後の座標が標本値として与えられている。

元の画像の横軸をx軸、縦軸をy軸とし、座標変換後の画像の横軸をu軸、縦軸をv軸とするならば、u＝f(x,y)，v＝g(x,y)という２つの関数で、座標変換を表すことができる。したがって、座標変換には、u座標の値を標本値とする２次元平面（xy平面）上の補間と、v座標の値を標本値とする２次元平面（xy平面）上の補間とを組み合わせて、用いることになる。図１２(ａ)は、uとvに対して、別々に、数５８を使って、補間した結果を組み合わせた例である。

図１２(ｂ)は、比較のため、従来の線形補間を用いて、図１２(ａ)と同じ座標変換を行ったものである。線形補間で折れ曲がっている部分が、本発明の補間法では、滑らかな曲線になっているのが分かる。図１２(ｂ)は、uとvに対して、別々に、数７を使って、補間した結果を組み合わせた例である。

図１２(ａ)は、元の画像の座標の点が、変換後にはどの位置に移動するか、という観点で、描いてあるため、整列した図形が歪んだ図形に変化しているが、実際のレンズの歪み補正の場合には、逆に、変換後の画像の座標の点が、元の画像のどの位置にあったのかを求めることになり、歪んだ図形が整列した図形に変化することになる。デジタル画像データでは、等間隔のピクセル位置で画像が構成されているため、元の画像の位置がピクセル位置からずれているときには、ピクセルの値（輝度など）を標本値とした２次元平面での何らかの補間を、さらに行うことになる。ピクセルの値の補間に関しても、本発明の補間法を用いてもよいが、演算量を減らすためには、線形補間や、もっと簡単な最近傍補間を用いる方が望ましい。ピクセルの値をRGBやYUVのような成分を持つものとするなら、ここでも、成分別に補間して組み合わせることになる。

本発明の補間法および補間法の組み合わせによれば、標本値のデータとする対象によって、様々な利用法が考えられる。図形上の座標を標本値とするなら、縮尺可変の意匠図形や文字フォント形状等の曲線部分の補間に利用できたり、実測に基づくデジタル画像の変則的な歪み補正にも利用できる。物体の空間座標（直交座標、極座標）を標本値とするなら、ロボットアーム等の動作をさせる数値制御装置に広く応用できる。立体的な気温や気圧といった気象データを標本値とするなら、気象シミュレーターへの応用が期待できる。

１１ 標本値取得手段
１２ 座標と標本値記憶手段
１３ 区間ごとの補間係数算出手段
１４ 区間ごとの補間係数記憶手段
１５ 座標に対する補間値演算手段

Claims (5)

1. 等間隔の標本点から、離散データを取得する処理と、
   該離散データを記憶する処理と、
   該標本点の間のデータを折れ曲がりなく補間する処理、すなわち、
   隣り合う該標本点間を２等分して、該離散データを通過する放物線補間式を別々に割り当てるという特徴と、
   該標本点において、その両側における直線補間式の微分値の平均値に、該放物線補間式の微分値を等しくさせるという特徴と、
   隣り合う該標本点間において、標本点の２等分位置の微分値を、直線補間式の導関数の積分値に該放物線補間式の導関数の積分値を等しくさせる値に、決定するという特徴と、
   を有する放物線補間式を用いる補間演算処理と、
   をコンピューターに実行させるプログラム。
2. 請求項１記載のプログラムにおいて、前記補間演算処理では、直交する２軸に対して、同時に前記補間演算を実施することにより、２次元平面上の等間隔な格子点を標本点とした、折れ曲がりが発生しない補間演算処理をコンピューターに実行させるプログラム。
3. 請求項１記載のプログラムにおいて、前記補間演算処理では、直交する３軸に対して、同時に前記補間演算を実施することにより、３次元空間上の等間隔な立体格子点を標本点とした、折れ曲がりが発生しない補間演算処理をコンピューターに実行させるプログラム。
4. 請求項１または請求項２記載のプログラムにおいて、複数の成分を持つ前記離散データに対して、成分ごとに別々に、前記補間演算処理を実施した上で、補間後の連続データを成分として組み合わせることにより、離散データをつないだ滑らかな形状を作り出すプログラム。
5. 請求項２記載のプログラムにおいて、媒介変数ｘとｙに基づいた、２次元平面（ｕｖ座標）の座標成分、すなわち、ｕ成分、ｖ成分に関する離散データに対して、２次元平面上の前記補間演算処理を成分ごとに実施することにより、２次元平面上の滑らかな座標変換（ｘｙ座標→ｕｖ座標）、あるいは、歪み補正（ｕｖ座標→ｘｙ座標）を行うためのプログラム。