CN115857432A - 基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统 - Google Patents

基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统 Download PDF

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CN115857432A
CN115857432A CN202211474786.1A CN202211474786A CN115857432A CN 115857432 A CN115857432 A CN 115857432A CN 202211474786 A CN202211474786 A CN 202211474786A CN 115857432 A CN115857432 A CN 115857432A
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curvature
spline
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黄诺帝
华力
张杨
朱利民
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Shanghai Jiaotong University
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Shanghai Jiaotong University
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Abstract

本发明提供了一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统，包括：步骤1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；步骤2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；步骤3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；步骤4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。本发明在保证离散点拟合精度的前提下，降低了B样条拟合曲线的曲率极大值。

Description

基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统
技术领域
本发明涉及刀具轨迹光顺技术领域，具体地，涉及一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统。
背景技术
在数控加工中，大多数的刀具轨迹由大量线性路径段组成，直接运行会导致在线性段交点处产生速度和加速度的波动甚至突变，降低加工效率和质量。目前主流的解决方法是在公差范围内生成处处连续且光顺的参数曲线加工路径来取代原线性路径，其中B样条曲线在各种参数曲线中被应用得最为广泛。因此其对于提高数控加工的加工质量和效率具有显著意义，而选择合适的B样条光顺方法对于提高B样条加工路径的质量更是至关重要。
目前有关刀具轨迹的B样条光顺方法可以局部光顺和全局光顺两大类。局部光顺方法主要在线性段拐角处插入满足公差要求的B样条曲线以光顺尖角。该方法执行简便，计算量小，但是光顺后的加工路径混合有线性段和B样条曲线段，为数控系统的插补带来难题。另外局部光顺方法对微米尺度的尖锐拐角的光顺效果不佳。全局光顺方法利用一条B样条曲线取代多段线性路径，可进一步分为插值法和拟合法。其中利用插值法生成的B样条曲线控制点数量与轨迹离散点数量相同，且会精确通过每一个离散点；拟合法允许用更少的控制点数生成B样条曲线，并控制离散点到B样条曲线的距离满足公差。插值法和拟合法均关注轨迹离散点的拟合精度，忽略了点之间B样条曲线的几何信息，例如曲率分布、曲线到直线段的弓高误差等等。然而B样条曲线的曲率信息将直接影响数控系统对于B样条刀具路径的速度规划与插补，并最终在加工效率与加工质量上得到反映，不应被忽视。
专利文献CN114675601A(申请号为202210316526.5)公开了一种基于优势点的线性刀轨的B样条拟合方法，其先选取能体现轨迹几何特征的优势点，基于最小二乘拟合得到B样条曲线，再通过增加优势点修正B样条曲线，使其满足误差要求。专利文献CN114545863A(申请号为202210221917.9)公开了一种基于B样条曲线拟合的数控加工的轨迹平滑方法，其根据轨迹离散点的曲率信息选择特征点，并用三次B样条曲线对特征点进行插值，通过增加插值点可以提高B样条曲线的精度。上述两种方法均侧重于降低轨迹离散点的拟合误差，未对B样条曲线的曲率进行优化。
发明内容
针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法和系统。
根据本发明提供的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，包括：
步骤1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；
步骤2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；
步骤3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；
步骤4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。
优选的，所述步骤1包括：
利用二阶差商估计二阶微商的方法求取离散点的离散曲率，设刀具轨迹上两条相邻线性段Qj-1Qj和QjQj+1包含三个离散点Qj-1、Qj、Qj+1，则点Qj的离散曲率为：
Figure BDA0003959414970000021
其中，αj表示向量
Figure BDA0003959414970000022
和/>
Figure BDA0003959414970000023
所成的夹角；
根据所有离散点的离散曲率，找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序，在取到离散曲率极小值的点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹，被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure BDA0003959414970000024
其中，
Figure BDA0003959414970000025
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure BDA0003959414970000026
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。
优选的，所述步骤2包括：
当子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化，对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题由如下优化模型描述：
Figure BDA0003959414970000031
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，qs、qe为分割点Qs和Qe的变化矢量，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；s、j、e为对应位置点的序列号；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，通过如下计算得到：
Figure BDA0003959414970000032
/>
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure BDA0003959414970000033
与/>
Figure BDA0003959414970000034
之间的夹角。
优选的，所述步骤3包括：
对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数tj的方法如下：
Figure BDA0003959414970000035
提取特征点的过程如下：
计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure BDA0003959414970000036
其中，s为邻域的半宽度；
被选取的特征点满足以下条件：
σj>0andσj>σj-1andσj>σj+1
邻域的半宽度取值越大，选取的特征点数越少，若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure BDA0003959414970000041
a、b、c为对应特征点的领域宽度；
确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线的过程如下：
设选取的特征点共有m+1个，3≤m<n，将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure BDA0003959414970000042
则B样条曲线节点矢量的元素确定如下：
Figure BDA0003959414970000043
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure BDA0003959414970000044
在新离散点序列/>
Figure BDA0003959414970000045
中的编号；
初始节点的矢量表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]；
构造初始三次B样条曲线为：
Figure BDA0003959414970000046
其中，
Figure BDA0003959414970000047
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
优选的，所述步骤4包括：
计算新离散点的拟合误差的方法如下：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure BDA0003959414970000048
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure BDA0003959414970000049
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure BDA00039594149700000410
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure BDA00039594149700000411
处的值，进一步表示为：
Figure BDA0003959414970000051
对于B样条拟合曲线是否满足拟合公差的判断方法为：
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure BDA0003959414970000052
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，通过下式确定：
Figure BDA0003959414970000053
其中，d是步骤2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离；
新增控制点的过程如下：
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure BDA0003959414970000054
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置；
节点区间[ua,ua+1)的自由度通过下式来评价：
Figure BDA0003959414970000055
选择
Figure BDA0003959414970000056
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点，控制点的每步迭代更新表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当系数
Figure BDA0003959414970000057
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值，由此得到新的B样条拟合曲线为
Figure BDA0003959414970000061
每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，并同时更新节点矢量和矩阵A，来保证拟合误差计算的精度，使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure BDA0003959414970000062
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
根据本发明提供的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，包括：
模块M1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；
模块M2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；
模块M3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；
模块M4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。
优选的，所述模块M1包括：
利用二阶差商估计二阶微商的方法求取离散点的离散曲率，设刀具轨迹上两条相邻线性段Qj-1Qj和QjQj+1包含三个离散点Qj-1、Qj、Qj+1，则点Qj的离散曲率为：
Figure BDA0003959414970000063
其中，αj表示向量
Figure BDA0003959414970000064
和/>
Figure BDA0003959414970000065
所成的夹角；
根据所有离散点的离散曲率，找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序，在取到离散曲率极小值的点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹，被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure BDA0003959414970000066
其中，
Figure BDA0003959414970000071
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure BDA0003959414970000072
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。
优选的，所述模块M2包括：
当子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化，对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题由如下优化模型描述：
Figure BDA0003959414970000073
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，qs、qe为分割点Qs和Qe的变化矢量，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；s、j、e为对应位置点的序列号；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，通过如下计算得到：
Figure BDA0003959414970000074
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure BDA0003959414970000075
与/>
Figure BDA0003959414970000076
之间的夹角。
优选的，所述模块M3包括：
对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数tj的方法如下：
Figure BDA0003959414970000077
提取特征点的过程如下：
计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure BDA0003959414970000081
其中，s为邻域的半宽度；
被选取的特征点满足以下条件：
σj>0andσj>σj-1andσj>σj+1
邻域的半宽度取值越大，选取的特征点数越少，若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure BDA0003959414970000082
a、b、c为对应特征点的领域宽度；
确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线的过程如下：
设选取的特征点共有m+1个，3≤m<n，将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure BDA0003959414970000083
则B样条曲线节点矢量的元素确定如下：
Figure BDA0003959414970000084
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure BDA0003959414970000085
在新离散点序列/>
Figure BDA0003959414970000086
中的编号；
初始节点的矢量表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]；
构造初始三次B样条曲线为：
Figure BDA0003959414970000087
其中，
Figure BDA0003959414970000088
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
优选的，所述模块M4包括：
计算新离散点的拟合误差的方法如下：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure BDA0003959414970000089
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure BDA00039594149700000810
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure BDA0003959414970000091
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure BDA0003959414970000092
处的值，进一步表示为：
Figure BDA0003959414970000093
对于B样条拟合曲线是否满足拟合公差的判断方法为：
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure BDA0003959414970000094
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，通过下式确定：
Figure BDA0003959414970000095
/>
其中，d是模块M2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离；
新增控制点的过程如下：
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure BDA0003959414970000096
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置；
节点区间[ua,ua+1)的自由度通过下式来评价：
Figure BDA0003959414970000097
选择
Figure BDA0003959414970000098
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点，控制点的每步迭代更新表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当系数
Figure BDA0003959414970000101
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值，由此得到新的B样条拟合曲线为/>
Figure BDA0003959414970000102
每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，并同时更新节点矢量和矩阵A，来保证拟合误差计算的精度，使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure BDA0003959414970000103
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：
本发明通过优化组成刀具轨迹的离散点的位置，减小了离散点离散曲率的极大值，并进一步减小了拟合曲线曲率的极大值；采用先构造B样条曲线，再进行控制点更新的渐进式迭代方法，避免了反解控制点所需的大规模矩阵求逆，提高了运算效率；在保证离散点拟合精度的前提下，降低了B样条拟合曲线的曲率极大值。
附图说明
通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：
图1为基于曲率极大值优化的B样条刀具轨迹光顺方法流程图；
图2为实施例采用的蝴蝶型刀具轨迹图；
图3为步骤1中所述分割点选择方法示意图；
图4为蝴蝶型刀具轨迹上需要优化的离散点示意图；
图5为最终生成的蝴蝶型刀具轨迹的B样条拟合曲线示意图；
图6为B样条拟合曲线对于原离散点的拟合误差示意图；
图7为不同方法得到的B样条拟合曲线的曲率局部对比图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变化和改进。这些都属于本发明的保护范围。
实施例1：
本发明提供了一种基于曲率极大值优化的B样条刀具轨迹光顺方法，其流程图如图1所示，本实施例选择图2所示的蝴蝶型轨迹对本发明内容详细说明，其主要包括四个步骤：
步骤S1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率信息把原轨迹划分为多条子轨迹：
设组成蝴蝶型刀具轨迹的离散点序列为
Figure BDA0003959414970000111
则点Qj的离散曲率可以如下计算得到：
Figure BDA0003959414970000112
其中，αj表示向量
Figure BDA0003959414970000113
和/>
Figure BDA0003959414970000114
所成的夹角。轨迹首末端点的离散曲率为0。
根据所有离散点的离散曲率，可以找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序。如图3所示，在取到离散曲率极小值的离散点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹。被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure BDA0003959414970000115
其中，
Figure BDA0003959414970000116
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure BDA0003959414970000117
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。特别地，刀具轨迹的首末端点一定会被选为分割点。
步骤S2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；当该子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化。蝴蝶型刀具轨迹上需要进行位置优化的离散点如图4所示。
对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题可以由如下优化模型描述：
Figure BDA0003959414970000121
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表了优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，可以通过如下计算得到：
Figure BDA0003959414970000122
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure BDA0003959414970000123
与/>
Figure BDA0003959414970000124
之间的夹角。
经过步骤S1和步骤S2，可以得到新的离散点序列
Figure BDA0003959414970000125
步骤S3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；
对新离散点进行弦长参数化，每个点对应的参数确定如下：
Figure BDA0003959414970000126
从新离散点中选取能体现刀具轨迹几何信息的特征点。首先，计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure BDA0003959414970000127
其中，s为邻域的半宽度。被选取的特征点满足以下条件：
σj>0 and σj>σj-1 and σj>σj+1
若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure BDA0003959414970000131
将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure BDA0003959414970000132
则B样条曲线节点矢量的元素可以如下确定：/>
Figure BDA0003959414970000133
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure BDA0003959414970000134
在新离散点序列/>
Figure BDA0003959414970000135
中的编号。初始节点矢量可以表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]。
因此，可以构造初始三次B样条曲线为：
Figure BDA0003959414970000136
其中，
Figure BDA0003959414970000137
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
步骤S4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure BDA0003959414970000138
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure BDA0003959414970000139
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure BDA00039594149700001310
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure BDA00039594149700001311
处的值，可以进一步表示为：
Figure BDA00039594149700001312
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure BDA0003959414970000141
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，可以通过下式确定：
Figure BDA0003959414970000142
其中，d是步骤S2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离。
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure BDA0003959414970000143
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置。节点区间[ua,ua+1)的自由度可以通过下式来评价：
Figure BDA0003959414970000144
选择
Figure BDA0003959414970000145
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点。
特别地，每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，以保证拟合误差计算的精度。使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj可以利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure BDA0003959414970000146
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
求得新插入节点参数、新增控制点以及各离散点对应的新参数后，需要更新节点矢量和矩阵A，并确定新的B样条曲线控制点位置。控制点的每步迭代更新可以表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当
Figure BDA0003959414970000147
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值。由此可以得到新的B样条拟合曲线为/>
Figure BDA0003959414970000151
蝴蝶型刀具轨迹最终的B样条拟合曲线如图5所示。对轨迹上原离散点的拟合误差如图6所示，所有离散点的拟合误差均小于设置的拟合公差值。
特别地，使用本发明方法和不含曲率极大值优化(不含步骤S1和S2)的B样条光顺方法分别对蝴蝶型刀具轨迹进行拟合，二者所得的B样条曲线曲率局部对比如图7所示，本发明方法所得的B样条曲线曲率极大值明显减小。
实施例2：
本发明还提供一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，所述基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统可以通过执行所述基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法的流程步骤予以实现，即本领域技术人员可以将所述基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法理解为所述基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统的优选实施方式。
根据本发明提供的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，包括：模块M1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；模块M2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；模块M3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；模块M4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。
所述模块M1包括：利用二阶差商估计二阶微商的方法求取离散点的离散曲率，设刀具轨迹上两条相邻线性段Qj-1Qj和QjQj+1包含三个离散点Qj-1、Qj、Qj+1，则点Qj的离散曲率为：
Figure BDA0003959414970000152
其中，αj表示向量
Figure BDA0003959414970000153
和/>
Figure BDA0003959414970000154
所成的夹角；
根据所有离散点的离散曲率，找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序，在取到离散曲率极小值的点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹，被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure BDA0003959414970000155
其中，
Figure BDA0003959414970000156
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure BDA0003959414970000157
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。
所述模块M2包括：当子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化，对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题由如下优化模型描述：
Figure BDA0003959414970000161
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，qs、qe为分割点Qs和Qe的变化矢量，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；s、j、e为对应位置点的序列号；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，通过如下计算得到：
Figure BDA0003959414970000162
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure BDA0003959414970000163
与/>
Figure BDA0003959414970000164
之间的夹角。
所述模块M3包括：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数tj的方法如下：
Figure BDA0003959414970000165
提取特征点的过程如下：
计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure BDA0003959414970000166
其中，s为邻域的半宽度；
被选取的特征点满足以下条件：
σj>0andσj>σj-1andσj>σj+1
邻域的半宽度取值越大，选取的特征点数越少，若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure BDA0003959414970000171
a、b、c为对应特征点的领域宽度；
确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线的过程如下：
设选取的特征点共有m+1个，3≤m<n，将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure BDA0003959414970000172
则B样条曲线节点矢量的元素确定如下：
Figure BDA0003959414970000173
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure BDA0003959414970000174
在新离散点序列/>
Figure BDA0003959414970000175
中的编号；
初始节点的矢量表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]；
构造初始三次B样条曲线为：
Figure BDA0003959414970000176
其中，
Figure BDA0003959414970000177
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
所述模块M4包括：计算新离散点的拟合误差的方法如下：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure BDA0003959414970000178
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure BDA0003959414970000179
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure BDA00039594149700001710
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure BDA00039594149700001711
处的值，进一步表示为：
Figure BDA0003959414970000181
对于B样条拟合曲线是否满足拟合公差的判断方法为：
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure BDA0003959414970000182
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，通过下式确定：
Figure BDA0003959414970000183
其中，d是模块M2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离；
新增控制点的过程如下：
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure BDA0003959414970000184
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置；
节点区间[ua,ua+1)的自由度通过下式来评价：
Figure BDA0003959414970000185
选择
Figure BDA0003959414970000186
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点，控制点的每步迭代更新表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当系数
Figure BDA0003959414970000187
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值，由此得到新的B样条拟合曲线为
Figure BDA0003959414970000191
每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，并同时更新节点矢量和矩阵A，来保证拟合误差计算的精度，使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure BDA0003959414970000192
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
本领域技术人员知道，除了以纯计算机可读程序代码方式实现本发明提供的系统、装置及其各个模块以外，完全可以通过将方法步骤进行逻辑编程来使得本发明提供的系统、装置及其各个模块以逻辑门、开关、专用集成电路、可编程逻辑控制器以及嵌入式微控制器等的形式来实现相同程序。所以，本发明提供的系统、装置及其各个模块可以被认为是一种硬件部件，而对其内包括的用于实现各种程序的模块也可以视为硬件部件内的结构；也可以将用于实现各种功能的模块视为既可以是实现方法的软件程序又可以是硬件部件内的结构。
以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。在不冲突的情况下，本申请的实施例和实施例中的特征可以任意相互组合。

Claims (10)

1.一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，其特征在于，包括：
步骤1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；
步骤2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；
步骤3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；
步骤4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。
2.根据权利要求1所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，其特征在于，所述步骤1包括：
利用二阶差商估计二阶微商的方法求取离散点的离散曲率，设刀具轨迹上两条相邻线性段Qj-1Qj和QjQj+1包含三个离散点Qj-1、Qj、Qj+1，则点Qj的离散曲率为：
Figure FDA0003959414960000011
其中，αj表示向量
Figure FDA0003959414960000012
和/>
Figure FDA0003959414960000013
所成的夹角；
根据所有离散点的离散曲率，找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序，在取到离散曲率极小值的点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹，被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure FDA0003959414960000014
其中，
Figure FDA0003959414960000015
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure FDA0003959414960000016
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。
3.根据权利要求1所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，其特征在于，所述步骤2包括：
当子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化，对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题由如下优化模型描述：
Figure FDA0003959414960000021
max(κ′j)
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，qs、qe为分割点Qs和Qe的变化矢量，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；s、j、e为对应位置点的序列号；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，通过如下计算得到：
Figure FDA0003959414960000022
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure FDA0003959414960000023
与/>
Figure FDA0003959414960000024
之间的夹角。
4.根据权利要求1所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，其特征在于，所述步骤3包括：
对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数tj的方法如下：
Figure FDA0003959414960000025
提取特征点的过程如下：
计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure FDA0003959414960000026
其中，s为邻域的半宽度；
被选取的特征点满足以下条件：
σj>0andσj>σj-1andσj>σj+1
邻域的半宽度取值越大，选取的特征点数越少，若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure FDA0003959414960000031
a、b、c为对应特征点的领域宽度；
确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线的过程如下：
设选取的特征点共有m+1个，3≤m<n，将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure FDA0003959414960000032
则B样条曲线节点矢量的元素确定如下：
Figure FDA0003959414960000033
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure FDA0003959414960000034
在新离散点序列/>
Figure FDA0003959414960000035
中的编号；/>
初始节点的矢量表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]；
构造初始三次B样条曲线为：
Figure FDA0003959414960000036
其中，
Figure FDA0003959414960000037
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
5.根据权利要求1所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺方法，其特征在于，所述步骤4包括：
计算新离散点的拟合误差的方法如下：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure FDA0003959414960000038
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure FDA0003959414960000039
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure FDA00039594149600000310
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure FDA00039594149600000311
处的值，进一步表示为：
Figure FDA0003959414960000041
对于B样条拟合曲线是否满足拟合公差的判断方法为：
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure FDA0003959414960000042
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，通过下式确定：
Figure FDA0003959414960000043
其中，d是步骤2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离；
新增控制点的过程如下：
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure FDA0003959414960000044
/>
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置；
节点区间[ua,ua+1)的自由度通过下式来评价：
Figure FDA0003959414960000045
选择
Figure FDA0003959414960000046
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点，控制点的每步迭代更新表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当系数
Figure FDA0003959414960000047
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值，由此得到新的B样条拟合曲线为/>
Figure FDA0003959414960000051
每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，并同时更新节点矢量和矩阵A，来保证拟合误差计算的精度，使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure FDA0003959414960000052
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
6.一种基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，其特征在于，包括：
模块M1：计算组成刀具轨迹的离散点的离散曲率，根据离散曲率把原轨迹划分为多条子轨迹；
模块M2：优化子轨迹上的离散点位置，降低子轨迹的离散曲率极大值，得到优化后的新离散点；
模块M3：对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数，并从中提取特征点，确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线；
模块M4：计算新离散点的拟合误差，迭代增加、更新B样条曲线的控制点，直到生成满足公差要求的B样条拟合曲线。
7.根据权利要求6所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，其特征在于，所述模块M1包括：
利用二阶差商估计二阶微商的方法求取离散点的离散曲率，设刀具轨迹上两条相邻线性段Qj-1Qj和QjQj+1包含三个离散点Qj-1、Qj、Qj+1，则点Qj的离散曲率为：
Figure FDA0003959414960000053
其中，αj表示向量
Figure FDA0003959414960000054
和/>
Figure FDA0003959414960000055
所成的夹角；
根据所有离散点的离散曲率，找到所有的离散曲率极大值和极小值，并把极大值和极小值分别按照其对应点的顺序排序，在取到离散曲率极小值的点中选择分割点，把刀具轨迹划分为多条子轨迹，被选中的分割点的曲率κj需满足以下条件：
Figure FDA0003959414960000061
其中，
Figure FDA0003959414960000062
为κj的前一个曲率极大值；/>
Figure FDA0003959414960000063
是κj的后一个曲率极大值，δf是为了避免分割点过密而引入的滤波参数。
8.根据权利要求6所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，其特征在于，所述模块M2包括：
当子轨迹包含的离散点的曲率最大值大于所设阈值时，对该子轨迹上的离散点进行优化，对于由两分割点Qs和Qe分划而成的子轨迹，其离散点的优化问题由如下优化模型描述：
Figure FDA0003959414960000064
max(κ′j)
s.t.||qs||＝0,
||qe||＝0,
||qj||≤d,s<j<e
其中，qs、qe为分割点Qs和Qe的变化矢量，优化变量qj代表离散点位置的变化矢量；d是qj的上界，代表优化后的离散点和原离散点的最大距离，其应小于曲线拟合公差；s、j、e为对应位置点的序列号；κ′j表示优化后的离散点的离散曲率，通过如下计算得到：
Figure FDA0003959414960000065
其中，Q′j是优化后的新离散点，α′j则是向量
Figure FDA0003959414960000066
与/>
Figure FDA0003959414960000067
之间的夹角。
9.根据权利要求6所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，其特征在于，所述模块M3包括：
对新离散点进行弦长参数化，求取其对应参数tj的方法如下：
Figure FDA0003959414960000071
提取特征点的过程如下：
计算每个点的离散曲率和以其为中心的邻域内其他点离散曲率的平均值的差：
Figure FDA0003959414960000072
其中，s为邻域的半宽度；
被选取的特征点满足以下条件：
σj>0andσj>σj-1andσj>σj+1
邻域的半宽度取值越大，选取的特征点数越少，若两个相邻特征点Q′a和Q′b之间相隔一个领域的宽度，即b-a≥2s，则在Q′a和Q′b之间再选取一个新的特征点Q′c，其中
Figure FDA0003959414960000073
a、b、c为对应特征点的领域宽度；
确定节点矢量，构造初始三次B样条拟合曲线的过程如下：
设选取的特征点共有m+1个，3≤m<n，将选取的特征点当作初始三次B样条曲线的控制点
Figure FDA0003959414960000074
则B样条曲线节点矢量的元素确定如下：
Figure FDA0003959414960000075
其中，函数f(i)返回的是选取的特征点
Figure FDA0003959414960000076
在新离散点序列/>
Figure FDA0003959414960000077
中的编号；
初始节点的矢量表示为U0＝[u0,u1,…,um+3,um+4]；
构造初始三次B样条曲线为：
Figure FDA0003959414960000078
其中，
Figure FDA0003959414960000079
表示在初始节点矢量U定义下的三次B样条基函数。
10.根据权利要求6所述的基于曲率极大值优化的刀具轨迹光顺系统，其特征在于，所述模块M4包括：
计算新离散点的拟合误差的方法如下：
经过k次迭代后的三次B样条曲线记为
Figure FDA0003959414960000081
离散点的B样条拟合误差计算如下：
δk＝Q′-AkPk
其中，
Figure FDA0003959414960000082
记录所有离散点到B样条曲线的偏差矢量；Q′＝(Q′0,Q1′,…,Q′n)T记录所有优化后离散点位置信息的矩阵；/>
Figure FDA0003959414960000083
保存k次迭代后的三次B样条曲线控制点；矩阵Ak中的元素是k次迭代后各个基函数在离散点对应参数/>
Figure FDA0003959414960000084
处的值，进一步表示为：
Figure FDA0003959414960000085
/>
对于B样条拟合曲线是否满足拟合公差的判断方法为：
若曲线拟合公差为εtol，当以下条件满足时，则认为B样条曲线满足公差要求：
Figure FDA0003959414960000086
其中，wj为针对经过优化的离散点的误差放大系数，通过下式确定：
Figure FDA0003959414960000087
其中，d是模块M2中规定的优化后离散点和原离散点间最大距离；
新增控制点的过程如下：
若k次迭代后的B样条曲线不满足公差要求，则通过计算如下参数来衡量B样条曲线各个控制点的自由度：
Figure FDA0003959414960000088
其中，矩阵(Ak)T是矩阵Ak的转置；
节点区间[ua,ua+1)的自由度通过下式来评价：
Figure FDA0003959414960000091
选择
Figure FDA0003959414960000092
值最大的节点区间，将区间中值作为新插入的节点参数，利用现有的B样条节点插入算法，即可确定对应的新增控制点，控制点的每步迭代更新表示为：
Pk+1＝Pk+μ(Ak)Tδk
其中，当系数
Figure FDA0003959414960000093
时，迭代有最快的收敛速度；λmax和λmin分别是矩阵(Ak)TAk特征值的最大值和最小值，由此得到新的B样条拟合曲线为/>
Figure FDA0003959414960000094
每过十步迭代，需要对各离散点进行参数校正，并同时更新节点矢量和矩阵A，来保证拟合误差计算的精度，使用离散点在B样条曲线上的垂足点的参数tfj取代其原有参数，tfj利用牛顿法求解以下方程得到：
Figure FDA0003959414960000095
若在B样条曲线上存在同一离散点的多个垂足点，则改变牛顿法的初值条件进行多次求解，取距离离散点最近的垂足点的参数。
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