CN109343466A - 螺旋锥齿轮形性协同加工参数混合反调修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种螺旋锥齿轮形性协同加工参数混合反调修正方法，给出一种几何与物理性能协同优化方案，优化目标是可任意预设的ease‑off齿面，优化结果是带反调量的精确加工参数，使反调过程变成理论设计齿面向预设ease‑off目标齿面的无穷最小化逼近过程，逼近程度定义残余ease‑off来评判。考虑ease‑off齿面的高阶性能，建立考虑误差齿面高阶特性的可预设制造精度的通用加工参数反调模型，优化加工参数为最优设计变量，考虑建立目标函数的强烈非线性，并探究其原因，提供更高效更精确更稳定的非线性最小二乘鲁棒性算法，获得可靠稳定的数值解。同时借助齿面接触性能分析的主要手段有限元LTCA技术，提出几何与物理性能协同优化的通用加工参数混合反调的主动创成方法。

Description

螺旋锥齿轮形性协同加工参数混合反调修正方法

技术领域

本发明属于螺旋锥齿轮加工领域，具体为一种螺旋锥齿轮形性协同加工参数混合反调修正方法。

一直以来，理论设计齿面几何形貌与实际加工齿面的精确匹配都是齿轮精度控制的主要目标，而满足齿面接触使役性能要求的精确齿面几何优化则成为推动齿轮加工技术不断发展的动力。在齿轮设计中，齿面几何形状与性能要求的协同优化，已经成为一个日益重要的环节。而对于螺旋锥齿轮来说，其复杂的展成运动和冗余的加工参数使得其形性协同设计方案充满挑战。为此，几大著名螺旋锥齿轮生产厂家都开发了各自的先进集成商用软件包：Gleason公司的CAGE^TM和Klingelnberg(与Oerlikon合并为一家)的KIMOS^TM。

目前有一种基于螺旋锥齿轮参数驱动设计方法，它可将齿面通用建模、齿面误差修正、齿面接触分析拓展并集成一个全闭环的UMC加工参数驱动的形性协同齿轮加工系统。通过加工参数的反调来修正所谓的齿面ease-off形貌，以达到齿面几何与物理性能协同优化的目的。

但是它在加工误差反调修正中，一般只考虑齿面几何性能要求即齿面误差或者ease-off，整个过程实际上就是设计齿面向实际加工齿面的无穷逼近过程。同时，建立的目标函数是关于设计齿面与实际加工齿面的无穷最小，这意味着理论求解的带反调量的加工参数获得齿面必须与实际加工齿面一致，也意味着理论上的制造精度为零，很显然这种方案设计是存在很大的局限性,具体原因如下：

首先，实际加工过程中必然存在着或多或少的误差，不可能使得理论设计的齿面就是所需要的实际齿面，这将导致求解的精确参数缺乏实用性。

其次，在反调建模中，以实际齿面作为逼近的目标齿面，将导致这个设计方案缺乏柔性和灵活性。

再次，在无穷最小逼近过程中，其逼近程度没有给出相应的度量或者评价标准，缺乏足够的精度。

最后，由于建立的目标函数具有强烈的非线性，无法获得足够稳定的数值解。

发明内容

本发明的目的在于提供一种考虑几何与物理性能协同优化的加工参数反调修正方法，提供螺旋齿轮加工的决策模型，输出最终优化的精确加工参数。

本发明提供的这种螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，包括以下两个步骤：

i)通过几何性能残余ease-off的高阶加工参数反调修正来评价齿面几何性能；

ii)利用有限元LTCA的比例反调，对i)考虑几何性能反调后的齿面进行物理性能评价与决策，输出最终优化的精确加工参数；

iii)确定形性协同制造的决策方案；

其中步骤i)包括以下分步：

i.1)将ease-off定义为任何设计齿面相对于其基本齿面的几何修正量(h_i ⁽⁰⁾)，将其根据制造精度要求预设为一个理论设计与实际加工之间的容差，并根据预设ease-off要求来确定最终的目标齿面；

i.2)建立考虑误差齿面高阶特性的可预设加工精度的通用加工参数反调模型，确定其目标函数；

i.3)通过鲁棒性算法对已确定的目标函数进行精确计算求解，实现参数驱动设计齿面并达到与目标齿面的精确匹配；

其中步骤ii)包括以下分步：

ii.1)确定基于LTCA的齿面物理性能评价指标

最大齿面接触应力CP_MAX；最大载荷传动误差LTE_MAX和齿面重合度ε_γ；

ii.2)考虑几何与物理性能协同的比例反调

基于敏感性分析的优化加工参数选择；

确定考虑几何与物理性能的形性协同制造参数的比例协调方案。

上述技术方案的一种实施方式中，步骤i.1)的具体步骤如下：

通过离散法获得基本齿面网格点，在基本齿面采样点网格中，第i个点的矢量及其法向矢量表示为

式中，(u，θ)是曲面表达高斯参数，而φ则是最基本的运动参数；x⁽⁰⁾表示初始加工参数，即在万能运动展成(UGM)框架下的8的通用加工参数书分别为：滚比R_a,刀位S_r,垂直轮位E_m,床位X_B,水平轮位X_D,机床安装角γ_m,刀倾角σ,刀转角ζ；一旦某一套加工参数被给定x＝x⁽⁰⁾，一个基本齿面即可通过建模得到；相对于该基本齿面，一个设计齿面的第i个目标离散点为

式中，设计齿面与基本齿面之间的偏差值h_i ⁽⁰⁾就是ease-off。

上述技术方案的一种实施方式中，步骤i.2)的具体步骤如下：

当一个含有m个离散点p_i ⁽⁰⁾的基本齿面通过给定的初始加工参数x⁽⁰⁾建模求得后，含预设ease-off值的离散点p_i ^*所组成的目标齿面为

在无穷小逼近目标齿面过程中，设计齿面与目标齿面的法向偏差h_i∈h＝(h₁,…,h_m)(i∈[1,m])定义为残余ease-off，用来评价其精度，ease-off的单位阈值可以根据实际齿面CMM测量来确定；同样的，所求点的法向矢量表示为n＝(n₁,…,n_m)；则该匹配过程也是一个预设ease-off的有效补偿过程，它构成了含4个未知标量即(u,θ,φ_i)∈R³及h_i∈R的系统，

其中，刀具与齿坯的相对速度v^c-b为

v^c-b((u,θ,φ_i),x)＝ω^(c)((u,θ,φ_i),x)×r^(c)((u,θ,φ_i),x)-ω^(b)((u,θ,φ_i),x)×r^(b)((u,θ,φ_i),x) (5)

式中，w和r分别表示角速度和位移矢量，上标c和b分别表示刀盘刀具和齿坯。很显然，f((u,θ,φ_i),x)＝0表示齿面建模过程中的啮合方程，则残余ease-off为

[p_i*-p((u,θ,φ_i),x)]·n((u,θ,φ_i),x)＝h_i (6)

由于齿面点数目远大于加工参数数目，即m>n，f:则求解的n个为指标量和没有求解的m-n个未知变量是相互依赖的，即使它们共同构成了所求齿面的参数化表达；所以，加工参数反调实际上就是残余ease-off的非线性最小化过程；所以传统的只考虑几何性能优化的反调可拓展为高阶形式，构成了螺旋锥齿轮高阶加工参数反调方法，其目标函数可以表示为：

式中，表示人为预设的齿面ease-off要求的精度阈值。

上述技术方案的一种实施方式中，步骤i.3)的具体步骤如下：

对于方程(7)，其目标函数可转化为：

其求解主要考虑尤其强烈的非线性造成的两个问题：i)加工参数的之间的耦合作用；ii)雅克比矩阵的病态问题。

首先，计算目标函数F的偏导，尤其ease-off齿面形貌具有高阶特性，则函数f具有连续二阶偏导，其泰勒展开式为

f(x+d)＝f((u,θ,φ_i),x)+J((u,θ,φ_i),x)d+O(||d||²) (9)

式中J∈R^m×n为雅克比矩阵；考虑到齿面ease-off的微小精确高阶补偿修正，有限差分法用来表示未知变量和齿面ease-off之间的复杂的函数关系，有

而雅克比矩阵的病态问题和齿面加工参数之间的耦合作用也密切相关，对于函数F:方程(8)的一阶计算公式为

在该非线性方程求解中，迭代过程十分复杂，不得不对迭代步进行优化规划；这样，目标函数F(x)的梯度为

F′(x):→F′(x)＝F′((u,θ,φ_i),x)＝J((u,θ,φ_i),x)^Tf((u,θ,φ_i),x) (12)

在迭代中，也需要计算F(x)的海森矩阵，则在(j,k)处的单元为

有

在加工参数高阶反调中，最终的输出结果是确定含有反调量的精确的加工参数x*:＝((u,θ,φ_i),x)，从而实现参数驱动设计齿面并达到与目标齿面精确匹配的目的。

上述技术方案的一种实施方式中，针对步骤ii.1)，在LTCA中，接触印痕及接触应力可以直接输出来，根据不同颜色区分的云图，确定反映出较大接触应力的基本位置，再通过更为精确的等值线云图分布情况进一步确定接触应力最大值CP_MAX。

上述技术方案的一种实施方式中，其特征在于：针对步骤ii.1)，载荷传动误差LTE_MAX是齿轮副传动中噪声和振动的主要激励源之一；载荷传动误差定义为从动齿轮实际转动位置与理论转动位置的偏差；理论转动位置是完全刚性的主动轮和从动轮按照恒定的传动比完美接触共轭位置；如果大轮被认为从动轮，则传动误差函数表示为

式中，△ε₁和△ε₂分别表示小轮和大轮的旋转角度，z₁和z₂分别表示小轮和大轮的齿数；在齿轮副传动过程中各个时刻的大轮和小轮的旋转角度△ε₂和△ε₁可以通过后处理直接输出来，导入到公式(21)就可得到传动误差曲线，并可以提取最大值LTE_MAX。

上述技术方案的一种实施方式中，针对步骤ii.1)，螺旋锥齿轮的齿轮副处于啮合状态时，齿面上必然会产生接触力；一旦齿轮副啮出时，接触力消失；通过监测单齿从啮入到啮出过程中所经历的时间△T，以及该齿啮入到相邻单齿啮入的时间间隔△t，齿轮接触的重合度为

对应的时间间隔都可以直接在基于有限元软件LTCA的输出结果中提取得到。

上述技术方案的一种实施方式中，针对步骤ii.2)，敏感性分析法被用来对初始的加工参数进行优化选择可表示为

式中，k表示所选择的优化加工参数x_OPT*的数目，i表示优化加工参数的序号，j表示初始加工加工参数的数目；在优化加工参数的选择中，对应参数的敏感性系数矩阵J_iOPT是关键；k_MAX＝4为宜。

上述技术方案的一种实施方式中，步骤ii.2)的具体步骤如下：

ii.2.1)设定优化加工参数x_OPT的比例K_p(p＝1,…,N)；基于选定的加工参数初值，设定反调的比例范围尽量小于3％，有

并且，K_p＝N+1/2＝1表示初始值的比例；N表示设计方案的数目；在每次修正中的比例的变化量ρ_PM可用来确立最终方案。

ii.2.2)确立总的比例反调方案，主要包括以下设置：

N个微调参数K_px_OPT；

设定载荷工况；

N个比例修正方案；

ii.2.3)LTCA和对应每一种比例反调方案的三个指标CP_MAX，LTE_MAX，和ε_γ的数字提取及确定；

ii.2.4)物理性能协同评价和最终加工参数的确定；

这里，考虑到工程设计系统中优化方法和最优解的重要性，在提出的比例反调中会涉及物理性能指标的多目标综合优化评价，其目标函数可表示为

式中，表示k维决策变量；残余ease-off的标准方差h_RSME用来表示主要的几何性能评价；f₁，f₂，f₃和f₄分别表示对应的几何与物理性能评价项h_RSME，CP_MAX，LTE_MAX和ε_γ的目标函数；l和u分别表示N个关于优化比例加工参数K_px_OPT的不等式约束的上下边界。另外，w₁，w₂，w₃和w₄分别表示4个评价指标的权重因子为

式中，HTP_MAX和HTP_MAX分别表示确定的h_RSME(k＝1)，CP_MAX(k＝2)，LTE_MAX(k＝3)和ε_γ(k＝4)的最大值和最小值。

本发明突破现有技术只考虑几何性能即齿面误差或ease-off的反调方案的缺陷，给出了一种几何与物理性能协同优化方案，这种协同优化是通过两种方式集成得来的：i)考虑残余ease-off的高阶加工参数反调修正，用来评价几何性能；ii)利用有限元TCA包括载荷接触分析(LTCA)或动态接触分析(DTCA)的比例反调，对考虑几何性能反调后的齿面进行物理性能评价与决策，输出最终优化的精确加工参数。具体来说，本发明将传统设计中的齿面误差修正补偿、加工参数确定以及ease-off齿面修形重新定义为加工参数反调。采用更加通用的ease-off概念来定义加工参数反调的几何性能，同时可根据实际加工要求任意预设ase-off作为理论设计与实际加工之间的容差，并根据预设ease-off要求来确定最终的目标齿面。优化目标是可任意预设的ease-off齿面，优化结果是带反调量的精确加工参数。使整个反调过程变成了理论设计齿面向预设ease-off目标齿面的无穷最小化逼近过程，该过程的逼近程度则定义残余ease-off来评判。同时充分考虑ease-off齿面的高阶性能，建立了考虑误差齿面高阶特性的可预设制造精度的通用加工参数反调模型，优化加工参数作为最优设计变量，考虑建立目标函数的强烈非线性，充分探究造成目标函数强烈非线性的原因，提供了更加高效更加精确更加稳定的非线性最小二乘鲁棒性算法，获得可靠稳定的数值解。同时，借助齿面接触性能分析的主要手段有限元LTCA技术，提出几何与物理性能协同优化的通用加工参数混合反调的主动创成方法，并匹配了两种全闭环参数驱动决策方案，以获得最终高性能齿轮产品制造的精确加工参数。

附图说明

图1为定义几何性能齿面ease-off的示意图。

图2为基于参数驱动设计的加工参数反调模型示意图。

图3为确定物理性能指标最大齿面接触应力CP_MAX的示意图。

图4为确定物理性能指标最大载荷传动误差LTE_MAX的示意图。

图5为确定物理性能指标齿面重合度ε_γ的示意图。

图6为几何与物理性能协同优化的比例反调流程示意图。

图7为基于有限元LTCA/DTCA混合反调示意图。

图8为基于有限元LTCA/DTCA形性协同混合反调的基本决策流程示意图。

图9为针对不同的预设ease-off的拓扑图和分布图。

图10为齿面ease-off的敏感系数图。

图11为加工参数的敏感系数图。

图12为优化加工参数的敏感系数图：(a)R_a；(b)β；(c)q。

图13为优化反调和一般反调两种不同反调方案设定的迭代质量评价图。

图14为优化反调后的残余ease-off图：(a)拓扑图；(b)分布图。

图15为小轮的有限元网格模型图。

图16为不同接触单元条件下的最大接触应力的计算结果分析与比较图。

图17为基于LTCA的混合反调后的最优齿面物理性能结果图：(a)齿面接触应力；(b)齿根弯曲应力；(c)载荷传动误差。

图18为基于DTCA的混合反调后的最优齿面物理性能评价结果图：(a)FEM模型和接触单元位置；(b)动态齿面接触应力；(c)动态齿根弯曲应力。

具体实施方式

下面结合附图和算例对本发明的上述技术方案进一步说明。

本发明公开的这种螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，包括以下两个步骤：

i)通过几何性能残余ease-off的高阶加工参数反调修正来评价齿面几何性能；

ii)利用有限元LTCA的比例反调，对考虑几何性能反调后的齿面进行物理性能评价与决策，输出最终优化的精确加工参数；

iii)确定形性协同制造的决策方案；

其中步骤i)加工参数反调的具体过程如下：

i.1)定义齿面ease-off

目前，ease-off通常被定位为大小齿轮在共轭接触状态时的偏差，而在本发明取其更通用有效的定义，ease-off被定义为任何相对于其基本设计齿面的几何修正量。一般而言，齿面都必须离散化去获得目标齿面网格点。如图1所示，在基本齿面采样点网格中，第i个点的矢量及其法向矢量表示为

式中，x⁽⁰⁾表示初始加工参数；一旦某一套加工参数被给定x＝x⁽⁰⁾，一个基本齿面即可通过建模得到；相对于该基本齿面，一个设计齿面的第i个目标离散点为

特别值得强调的是，基本齿面和设计齿面之间的偏差值h_i ⁽⁰⁾就是ease-off，其矢量表示为h_i ⁽⁰⁾＝(h₁ ⁽⁰⁾,…,h_m ⁽⁰⁾)。它跟传统意义上的齿面误差有一定的区别，需要人为设定，一般可以根据制造精度要求预设为一个实际设计与制造之间的容差。

i.2)建立参数驱动模型

目前有一种基于参数驱动设计的加工参数反调模型用来补偿实际制造与设计之间的齿面误差。它理想化的齿面设计，追求齿面误差的无限最小化甚至趋近于零。由于在实际制造过程中，存在太多的无法避免的随机性误差，必然会导致理论设计与实际制造出现偏差，故这种理论化设计是没有实际意义的；这同时也意味着需要反复的加工参数反调过来，来不断修正设计结果直至满足制造要求。

另一种是可预设齿面误差范围的柔性化加工参数反调，即在基本齿面和实际所需要的齿面之间预设一个考虑误差范围的过渡齿面作为目标齿面，而整个加工参数反调变成一个目标齿面的无穷最小匹配过程。在该匹配目标齿面的过程中，残余ease-off作为新的评判标准。同时，含ease-off的目标齿面可以根据制造要求进行任意改动，是整个加工参数反调具有更好的灵活性和实用性。本发明在此基础上进行了改进，改进后加工参数反调模型如图2所示。

当一个含m个离散点p_i ⁽⁰⁾的基本齿面通过给定的初始加工参数x⁽⁰⁾建模求得后，含预设ease-off值的离散点p_i*所组成的目标齿面为

在无穷小逼近目标齿面过程中，设计齿面与目标齿面的法向偏差h_i∈h＝(h₁,…,h_m)(i∈[1,m])定义为残余ease-off，用来评价其精度，一般ease-off的单位阈值可以根据实际齿面CMM测量来确定；同样的，所求点的法向矢量表示为n＝(n₁,…,n_m)。则改匹配过程也是一个预设ease-off的有效补偿过程，类似于上一章的齿面误差补偿，它构成了含4个未知标量即(μ,θ,φ_i)∈R³及h_i∈R的系统，

其中，刀具于齿坯的相对速度v^c-b为

v^c-b((u,θ,φ_i),x)＝ω^(c)((u,θ,φ_i),x)×r^(c)((u,θ,φ_i),x)-ω^(b)((u,θ,φ_i),x)×r^(b)((u,θ,φ_i),x) (5)

式中，ω和r分别表示角速度和位移矢量，上标c和b分别表示刀盘刀具和齿坯。很显然，f((u,θ,φ_i),x)＝0表示齿面建模过程中的啮合方程，则残余ease-off为

[p_i*-p((u,θ,φ_i),x)]·n((u,θ,φ_i),x)＝h_i (6)

由于齿面点数目远大于加工参数数目，即m>n，f:则求解的n个为指标量和没有求解的m-n个未知变量是相互依赖的，即使他们共同构成了所求齿面的参数化表达。综上所述，加工参数反调实际上就是残余ease-off的非线性最小化过程。此处，区别于以往误差齿面的一阶或者二阶组成，残余ease-off齿面形貌h(x)的高阶组成将以高阶多项式形式进行参数化表达。因此，传统的只考虑几何性能优化的反调可拓展为高阶形式，构成了螺旋锥齿轮高阶加工参数反调方法。则其目标函数可以表示为：

式中，表示认为预设的齿面ease-off要求的精度阈值。这是一个具有无法避免的病态问题的超定方程组。针对该方程组的求解，目前主要有三类方法：i)单步法；ii)迭代法；iii)含控制步长的迭代法。

i.3)精确非线性最小二乘鲁棒性算法

对于方程(7)，其目标函数可转化为：

其求解主要考虑尤其强烈的非线性造成的两个问题：i)加工参数的之间的耦合作用；ii)雅克比矩阵的病态问题。

首先，计算目标函数F(x)的偏导，尤其ease-off齿面形貌具有高阶特性，则函数f具有连续二阶偏导，其泰勒展开式为

f(x+d)＝f((u,θ,φ_i),x)+J((u,θ,φ_i),x)d+O(||d||²) (9)

式中J∈R^m×n为雅克比矩阵；考虑到齿面ease-off的微小精确高阶补偿修正，有限差分法用来表示未知变量和齿面ease-off之间的复杂的函数关系，有

而雅克比矩阵的病态问题和齿面加工参数之间的耦合作用也密切相关，对于函数F:方程(8)的一阶计算公式为

在该非线性方程求解中，迭代过程十分复杂，不得不对迭代步进行优化规划；这样，目标函数F(x)的梯度为

F′(x):→F′(x)＝F′((u,θ,φ_i),x)＝J((u,θ,φ_i),x)^Tf((u,θ,φ_i),x) (12)

在迭代中，也需要计算F(x)的海森矩阵，则在(j,k)处的单元为

有

在加工参数高阶反调中，最终的输出结果是确定含有反调量的精确的加工参数x*:＝((u,θ,φi),x)，从而实现参数驱动设计齿面并达到与目标齿面精确匹配的目的。

总结近些年来的研究可得，含迭代补偿控制策略的非线性迭代算法是求解上述目标函数的主流算法。所以，具体的求解首先需要回到非线性最小二乘的范畴，其中G-N(高斯-牛顿)迭代算法和L-M(列格博文-马夸尔特)算法是最常见的两种方法。G-N算法是基于函数f在精确值x附近的线性逼近：对于较小的迭代步||d||，进行泰勒展开有

则G-N迭代步长为

得

但具有奇异性时，该迭代方向是没有意义的；当d_k ^GN较大时，它靠近奇异点。这样，L-M算法对该迭代步进行进一步的改进为

改变阻尼系数μ_k，能够有效地处理矩阵的秩序缺陷和雅克比矩阵的病态问题。所以，L-M算法的一个关键问题就变成了如何通过选择μ_k来控制迭代步。这需要在每一个迭代步修正信赖域半径的反调策略，且L-M算法属于信赖域算法的范畴，这样最后的问题变成了怎样求解关于信赖域的子问题。根据相关引理，有下列方程

当且仅当0≤μ_k∈R存在时，G_k+μ_kI是半正定的。

此时，L-M算法迭代步长为

式中，能计算出唯一值μ_k使||d(μ_k)||＝△_k成立；除非出现||d(0)||≤△_k时，其最终迭代步变成d_k ^GN。

从上述算法可以看出，本发明对于在考虑残余ease-off几何性能的高阶反调的计算中，主要采用带信赖域策略的L-M算法，已经证明能够有效解决强烈的非线性问题得到鲁棒性的数值解。

步骤ii)基于LTCA的齿面物理性能评价指标时，选择FEA仿真商用软件包，重点探讨其物理性能评价项：最大齿面接触应力CP_MAX；最大载荷传动误差LTE_MAX和齿面重合度ε_γ，具体如下：

接触印痕及接触应力可以直接输出来，根据不同颜色区分的云图，确定反映出较大接触应力的基本位置，再通过更为精确的等值线云图分布情况进一步确定接触应力最大值CP_MAX，如图3所示。

载荷传动误差LTE_MAX是齿轮副传动中噪声和振动的主要激励源之一；载荷传动误差定义为从动齿轮实际转动位置与理论转动位置的偏差；理论转动位置是完全刚性的主动轮和从动轮按照恒定的传动比完美接触共轭位置；如果大轮被认为从动轮，则传动误差函数表示为

式中，△ε₁和△ε₂分别表示小轮和大轮的旋转角度，z₁和z₂分别表示小轮和大轮的齿数；在齿轮副传动过程中各个时刻的大轮和小轮的旋转角度△ε₂和△ε₁可以通过后处理直接输出来，导入到公式(21)就可得到传动误差曲线，并可以提取最大值LTE_MAX，如图4所示。

螺旋锥齿轮的齿轮副处于啮合状态时，齿面上必然会产生接触力；一旦齿轮副啮出时，接触力消失；通过监测单齿从啮入到啮出过程中所经历的时间△T，以及该齿啮入到相邻单齿啮入的时间间隔△t，齿轮接触的重合度为

如图5所示，对应的时间间隔都可以直接在基于有限元软件LTCA的输出结果中提取得到。

前述加工参数反调过程就是一个典型的参数驱动设计，基本的输入和输出都是通用加工参数，可直接用于齿轮建模，也可以直接用于实际加工，这就为考虑几何与物理性能协同优化的高性能加工提供了基础。但是只考虑齿面的几何性能即残余ease-off，而缺乏了更为重要的齿面物理性能如齿面接触强度的设计。而实际传动过程中，齿面的接触性能如齿面接触应力、传动误差等造成齿面噪声与振动以及疲劳破坏的主要来源。因此，将齿面的物理性能优化引入到考虑几何性能的加工参数反调中，其意义不言而喻。而有限元LTCA作为一种已经成熟的齿面物理性能分析方法，为此几何与物理性能协同设计创造了条件。

步骤ii)考虑几何与物理性能协同的比例反调时，包括两个步骤：基于敏感性分析的优化加工参数选择；考虑几何与物理性能的形性协同制造参数比例反调。

关于基于敏感性分析的优化加工参数选择

在相关文献中和前述的数值求解算法中已经证明，造成反调目标函数强烈非线性的主要原因之一就是作为未知设计变量的加工参数太多，导致了雅克比矩阵的奇异性和参数之间的数值耦合影响，从而严重影响整个反调过程的求解精度和效率，同时影响求解数值结果的实用性。针对齿轮切削加工而言，无论是端面铣削(face-milling)还是端面滚切(face-hobbing)，都有一定的精确要求和既定阈值。众所周知，0.004mm是齿轮磨削加工精度的量级；而比它精度要求低很多的切削加工的量级只会远大于0.004mm。而在一些加工参数反调求解过程中，许多加工参数求解的数值结果即反调修正量没有实际意义。例如：刀位S_r和垂直轮位E_M的反调修正量分别为0.0003mm和0.0005mm；很明显这些数值结果太小，小到对实际加工没有太大的意义。因此，加工参数的数目的合理选择具有十分重要的意义。

现在采用敏感性分析法被来对初始的加工参数进行优化选择，可表示为

式中，k表示所选择的优化加工参数x_OPT ^*的数目，i表示优化加工参数的序号，j表示初始加工加工参数的数目。在优化加工参数的选择中，对应参数的敏感性系数矩阵J_iOPT是关键。一般而言，k_MAX＝4为宜。考虑整个反调过程的精度和效率，采取以下选择优化策略：

在第一轮中，只选取具有较大敏感性系数的2至3个参数，进行优化加工参数的反调，并验证结果；

如果结果不满意，则通过以下两种改进方案并进行新一轮反调：

增加多项式系数表达的加工参数的运动系数的阶次；增加优化加工参数的数目。

关于考虑几何与物理性能的形性协同制造参数比例反调

根据前述确立的各项齿面接触物理性能指标，一个考虑物理性能的优化参数比例反调方案被提出来。比例反调是一项十分成熟的技术，用于Gleason公司的齿面误差修正中。然而，它是一个不断试错并重复的过程，需要十分丰富的经验和熟练的操作技巧，精度低，效率差。而在本发明所提出的比例反调中，是在考虑几何性能残余ease-off的优化加工参数反调之后，辅助的考虑物理性能优化的加工参数为微调过程，主要包括以下步骤：

1)设定优化加工参数x_OPT的比例K_p(p＝1,…,N)。基于选定的加工参数初值，设定反调的比例范围尽量小于3％，有

并且，K_p＝N+1/2＝1表示初始值的比例；N表示设计方案的数目，一般为奇数；在每次修正中的比例的变化量为ρ_PM，可用来确立最终方案。

2)确立总的比例反调方案，主要包括以下设置：

N个微调参数K_px_OPT；

设定载荷工况；

N个比例修正方案。

3)LTCA和对应每一种比例反调方案的三个指标CP_MAX，LTE_MAX，和ε_γ的数字提取及确定。

4)物理性能协同评价和最终加工参数的确定。

这里，考虑到工程设计系统中优化方法和最优解的重要性，在提出的比例反调中会涉及物理性能指标的多目标综合优化评价，其目标函数可表示为

式中，表示k维决策变量；残余ease-off的标准方差h_RSME用来表示主要的几何性能评价；f₁，f₂，f₃和f₄分别表示对应的几何与物理性能评价项h_RSME，CP_MAX，LTE_MAX和ε_γ的目标函数；l和u分别表示N个关于优化比例加工参数K_px_OPT的不等式约束的上下边界。另外，w₁，w₂，w₃和w₄分别表示4个评价指标的权重因子为

式中，HTP_MAX和HTP_MAX分别表示确定的h_RSME(k＝1)，CP_MAX(k＝2)，LTE_MAX(k＝3)和ε_γ(k＝4)的最大值和最小值。

图6给出了考虑本发明几何与物理性能协同优化的比例反调流程。主要包括三个关键点：基于敏感性的优化加工参数的选择；高性能评价指标的数值提取及确定；考虑几何与物理性能的多目标协同优化。

需要强调的是，在步骤ii)中的多目标物理性能评价中，主要是基于有限元LTCA来进行。同样的，基于有限元软件(如ANSYS/)动态接触分析(DTCA)也可以进行多目标物理性能评价，考虑动态齿根弯曲应力、动态齿面接触应力等，构成新的比例反调方案。

综上所述，本发明突破以往只考虑几何性能即齿面误差或ease-off的反调方案的缺陷，给出了一种几何与物理性能协同优化方案，这种协同优化方案是通过两种方式集成得来的：i)考虑残余ease-off的高阶加工参数反调修正，用来评价几何性能；ii)利用有限元TCA包括载荷接触分析(LTCA)或动态接触分析(DTCA)的比例反调，对考虑几何性能反调后的齿面进行物理性能评价与决策，输出最终优化的精确加工参数。

iii)确定形性协同制造的决策方案

特别强调，以上分别考虑几何与物理性能的两种加工参数反调方式可以集成为一个新的加工参数混合反调方案。

如图7所示，基于残余ase-off+LTCA/DTCA的混合反调方案，也可以为几何性能与物理性能协同优化的螺旋锥齿轮加工提供决策模型。和基于LTCA的混合反调方案类似，只是在比例反调的物理性能多目标修正中多考虑几项基于DTCA的动态接触性能评价。由于该决策与前述反调流程基本一致，此处具体的步骤不再赘述。

图8给出了考虑LTCA/DTCA的混合反调的形性协同制造基本决策流程。基本方法和思路都在前面已经论述，就是将齿轮测量、齿轮制造、加工参数反调三个主要部分集成了一个全闭环系统，完成几何与物理性能协同优化的加工参数的精确确定。只是在DTCA的物理性能评价中，根据一般齿轮强度设计要求，选取动态齿根弯曲应力和动态齿面弯曲应力设置为新的多目标评价项之一。

算例

为了论证本发明的主要内容：i)考虑残余ease-off的高阶加工参数反调的鲁棒性算法；ii)基于有限元LTCA混合反调的高性能加工参数驱动决策；iii)基于有限元LTCA/DTCA混合反调的高性能加工参数驱动决策，本发明分别给出了对应的算例，来论证提出本发明的实用性。算例中为了验证提出混合反调算法的实用性，针对同样齿轮齿面设计参数，给出了通用加工参数及其考虑几何性能的反调结果，如表1所示。

表1考虑几何性能的通用加工参数反调求解结果

为了进一步体现所提出的混合反调方案的稳定性和可靠性，给出了不同的预设ease-off，如图9所示。其中，预设ease-off的RMSE(均方根误差)为19.3483μm；最大值为29.3637μm，靠近小端齿根区域；最小值为12.2625μm，位于中间靠近小端区域。这样，共有m＝5×9个齿面点和n＝11个加工参数参与到混合反调设计中，需要计算45×11个敏感系数来选择优化加工参数。

如图10所示，选取了沿齿宽方向的部分齿面点p(2,1)-p(2,9)的敏感系数，进行了三维分布云图表示，由图可知，较大的敏感系数主要集中在b，q，R_a和γ_m等加工参数，其中最大值是关于R_a的出现在点(2,1)，为-175.8757。图11表示了所有加工参数的敏感系数的RMSE结果。通过前述关于基于敏感性分析的优化加工参数选择策略，较大敏感性的b,q和R_a被选来进行优化加工参数反调，即K＝3。图12则表示了优化加工参数的敏感系数。表2给出了考虑几何性能残余ease-off的优化加工参数反调的结果，特别值得注意的是，还给出了不考虑加工参数优化选择的一般反调设计方案。很明显，优化反调比一般反调具有更重要的实际意义。例如，在一般反调方案中，有很多加工参数得到的反调量是没有实际意义的，如X_D的0.00015mm和X_B的0.00052mm等，毕竟在实际过程中任何一个随机性误差都可能消除其反调作用。而只考虑优化的三项加工参数反调，由于本发明所采用的通用加工参数的万能运动特性，所以本方法也适用于一般机械式机床加工参数(如表2)的加工，所得到的反调量都可直接输入机床完成实际加工。

表2考虑几何性能的优化加工参数反调结果

图13给出了以上一般和优化两种反调方案的迭代质量，应用相同的算法，优化方案只需要11次迭代就收敛，而一般迭代需要21次迭代才收敛。这也是为什么太多的加工参数设定为未知变量是造成非线性问题的主要原因。

另外，为了进一步论证本发明所提方法的实用性，图14给出了优化反调后的残余ease-off。其中，RMSE为0.0153μm，最大值为0.02641μm，靠近小端齿根区域，最小值为0.0106μm，靠近中间齿面齿根区域。由此，可进一步说明本发明所提的优化反调方案的可行性和精确性。

进行考虑几何性能残余ease-off的优化加工参数高阶反调后，依照所提出的反调修正规划，则需要进行基于有限元法(FEM)的DTCA仿真^[65]来评价齿面动态接触性能。图15给出了小轮的有限元网格模型。其中，在齿面接触区域要保证足够的网格密度，即在发生齿面接触位置要划分足够多的单元网格^[70]。

图16给出了在齿面接触位置设置不同的接触单元数目对齿面最大接触应力的影响。其中，还考虑了计算误差和时间，而参考对象是Hertz计算公式，同时CPU的配置参数主要为，2.5GHz处理器和1Gbyte RAM。数值结果表明，在相同的载荷条件和材料属性下，在接触位置的网格密度越高计算精度越高，但耗时长、效率低。因此，在本发明的有限元分析中，设置了合理的接触单元数目，为128316个单元。根据提出的决策二中相关，除了LTCA的评价项外，动态齿面接触应力和动态齿根弯曲应力作为DTCA的两个主要评价项。而进行有限元仿真的基本设置为：输入扭矩3E+5N·mm，弹性模量209000MPa，泊松比0.3，摩擦因子0.3。

图17给出了基于LTCA的比例反调最终确定的优化结果。其中，对于齿面某瞬时的接触应力，最大值为857.36Mpa，主要分布区域呈长条形椭圆分布，且先齿宽方向呈现对角倾斜状态，表明了齿面具有足够的接触强度。为了方便显示结果，齿面的Mises应力由于接触而隐藏，主要显示了齿根的Mises应力，结果发现主要集中在齿根中间区域，且变化明显，最大值为114.36Mpa。而最大载荷传动误为13.35arec sec，且变化趋势平稳，传动噪声和振动性能好。

图18给出了基于DTCA混合反调后的最优齿面物理性能评价结果。选用的FEA仿真软件是ANSYS/LS_DYNA，通过设定齿面接触单元位置，提取接触单元在接触过程中的动态齿面接触应力和齿根弯曲应力的数值，进行齿面动态接触性能的多目标综合评价。根据齿轮啮合运动的时变特性，采用3的接触单元点位置跟踪齿面动态接触应力，而采样5的单元跟踪齿根动态弯曲应力。另外，在齿面接触区的接触单元的大小近似为1mm。由图所知，相应的动态齿面接触应力和齿根弯曲应力在沿齿宽方向的中点单元位置出现了最大值。这意味着，齿面接触单元B(H74610)的动态齿面接触应力最大，为1.17E+3MPa；而齿面接触单元B(H72250)的动态齿根弯曲应力最大，为22.34Mpa。通过与NASA报告比较，动态接触应力和弯曲应力有基本一致的变化趋势和幅值大小。考虑LTCA/DTCA的混合反调确定的最后加工参数结果如表3。

表3基于LTCA/DTCA优化加工参数混合反调结果

Claims (9)

1.一种螺旋锥齿轮形性协同加工参数混合反调修正方法，包括以下两个步骤：

i)通过几何性能残余ease-off的高阶加工参数反调修正来评价齿面几何性能；

ii)利用有限元LTCA的比例反调，对步骤i)考虑几何性能反调后的齿面进行物理性能评价与决策，输出最终优化的精确加工参数；

iii)确定形性协同制造的决策方案；

其中步骤i)包括以下分步：

i.1)将ease-off定义为任何设计齿面相对于其基本齿面的几何修正量，将ease-off根据制造精度要求预设为一个理论设计与实际加工之间的容差，并根据预设ease-off要求来确定最终的目标齿面；

i.2)建立考虑误差齿面高阶特性的可预设加工精度的通用加工参数反调模型，确定其目标函数；

i.3)通过非线性最小二乘鲁棒性算法对已确定的目标函数进行精确计算求解，实现参数驱动设计齿面并达到与目标齿面的精确匹配；

步骤ii)包括以下分步：

ii.1)确定基于LTCA的齿面物理性能评价指标

最大齿面接触应力CP_MAX；最大载荷传动误差LTE_MAX和齿面重合度ε_γ；

ii.2)考虑几何与物理性能协同的比例反调

基于敏感性分析的优化加工参数选择；

确定考虑几何与物理性能的形性协同制造参数的比例反调方案。

2.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：步骤i.1)的具体步骤如下：

通过离散化获得基本齿面网格点，在基本齿面采样点网格中，第i个点的矢量及其法向矢量表示为

式中(u，θ)是曲面表达高斯参数，而φ则是最基本的运动参数；x⁽⁰⁾表示初始加工参数，即在万能运动展成(UGM)框架下的的通用加工参数分别为：滚比R_a,刀位S_r,垂直轮位E_m,床位X_B,水平轮位X_D,机床安装角γ_m,刀倾角σ,刀转角ζ；一旦某一套加工参数被给定x＝x⁽⁰⁾，一个基本齿面即可通过建模得到；相对于该基本齿面，一个设计齿面的第i个目标离散点为

式中，设计齿面与基本齿面之间的偏差值h_i ⁽⁰⁾就是ease-off。

3.如权利要求2所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：步骤i.2)的具体步骤如下：

当一个含有m个离散点p_i ⁽⁰⁾的基本齿面通过给定的初始加工参数x⁽⁰⁾建模求得后，含预设ease-off值的离散点p_i ^*所组成的目标齿面为

在无穷小逼近目标齿面过程中，设计齿面与目标齿面的法向偏差h_i∈h＝(h₁,…,h_m)(i∈[1,m])定义为残余ease-off，用来评价其精度，ease-off的单位阈值可以根据实际齿面CMM测量来确定；同样的，所求点的法向矢量表示为n＝(n₁,…,n_m)；则该匹配过程也是一个预设ease-off的有效补偿过程，它构成了含4个未知标量即(μ,θ,φ_i)∈R³及h_i∈R的系统，

其中，刀具与齿坯的相对速度v^c-b为

v^c-b((μ,θ,φ_i),x)＝ω^(c)((u,θ,φ_i),x)×r^(c)((u,θ,φ_i),x)-ω^(b)((u,θ,φ_i),x)×r^(b)((u,θ,φ_i),x) (5)

式中，ω和r分别表示角速度和位移矢量，上标c和b分别表示刀盘刀具和齿坯；很显然，f((u,θ,φ_i),x)＝0表示齿面建模过程中的啮合方程，则残余ease-off为

[p_i*-p((u,θ,φ_i),x)]·n((u,θ,φ_i),x)＝h_i (6)

由于齿面点数目远大于加工参数数目，即m>n，则求解的n个为指标量和没有求解的m-n个未知变量是相互依赖的，即使它们共同构成了所求齿面的参数化表达；所以，加工参数反调实际上就是残余ease-off的非线性最小化过程；所以传统的只考虑几何性能优化的反调可拓展为高阶形式，构成了螺旋锥齿轮高阶加工参数反调方法，其目标函数可以表示为：

式中，表示人为预设的齿面ease-off要求的精度阈值。

4.如权利要求3所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：步骤i.3)的具体步骤如下：

对于方程(7)，其目标函数可转化为：

其求解主要考虑尤其强烈的非线性造成的两个问题：加工参数之间的耦合作用；雅克比矩阵的病态问题；

首先，计算目标函数F(x)的偏导，尤其ease-off齿面形貌具有高阶特性，则函数f具有连续二阶偏导，其泰勒展开式为

f(x+d)＝f((u,θ,φ_i),x)+J((u,θ,φ_i),x)d+O(||d²||) (9)

式中J∈R^m×n为雅克比矩阵；考虑到齿面ease-off的微小精确高阶补偿修正，有限差分法用来表示未知变量和齿面ease-off之间的复杂的函数关系，有

而雅克比矩阵的病态问题和齿面加工参数之间的耦合作用也密切相关，对于函数方程(8)的一阶计算公式为

在该非线性方程求解中，迭代过程十分复杂，不得不对迭代步进行优化规划；这样，目标函数F(x)的梯度为

F′(x):→F′(x)＝F′((u,θ,φ_i),x)＝J((u,θ,φ_i),x)^Tf((u,θ,φ_i),x) (12)

在迭代中，也需要计算F(x)的海森矩阵，则在(j,k)处的单元为

有

在加工参数高阶反调中，最终的输出结果是确定含有反调量的精确的加工参数x*:＝((u,θ,φ_i),x)，从而实现参数驱动设计齿面并达到与目标齿面精确匹配的目的。

5.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：针对步骤ii.1)，在LTCA中，接触印痕及接触应力可以直接输出来，根据不同颜色区分的云图，确定反映出较大接触应力的基本位置，再通过更为精确的等值线云图分布情况进一步确定接触应力最大值CP_MAX。

6.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：针对步骤ii.1)，载荷传动误差LTE_MAX是齿轮副传动中噪声和振动的主要激励源之一；载荷传动误差定义为从动齿轮实际转动位置与理论转动位置的偏差；理论转动位置是完全刚性的主动轮和从动轮按照恒定的传动比完美接触共轭位置；如果大轮被认为从动轮，则传动误差函数表示为

式中，△ε₁和△ε₂分别表示小轮和大轮的旋转角度，z₁和z₂分别表示小轮和大轮的齿数；在齿轮副传动过程中各个时刻的大轮和小轮的旋转角度△ε₂和△ε₁可以通过后处理直接输出来，导入到公式就可得到传动误差曲线，并可以提取最大值LTE_MAX。

7.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：针对步骤ii.1)，螺旋锥齿轮的齿轮副处于啮合状态时，齿面上必然会产生接触力；一旦齿轮副啮出时，接触力消失；通过监测单齿从啮入到啮出过程中所经历的时间△T，以及该齿啮入到相邻单齿啮入的时间间隔△t，齿轮接触的重合度为

对应的时间间隔都可以直接在基于有限元软件LTCA的输出结果中提取得到。

8.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：针对步骤ii.2)，敏感性分析法被用来对初始的加工参数进行优化选择可表示为

式中，k表示所选择的优化加工参数x_OPT*的数目，i表示优化加工参数的序号，j表示初始加工参数的数目；在优化加工参数的选择中，对应参数的敏感性系数矩阵J_iOPT是关键；k_MAX＝4为宜。

9.如权利要求1所述的螺旋锥齿轮加工参数反调修正方法，其特征在于：步骤ii.2)的具体步骤如下：

ii.2.1)设定优化加工参数x_OPT的比例K_p(p＝1,…,N)；基于选定的加工参数初值，设定反调的比例范围尽量小于3％，有

并且，K_p＝N+1/2＝1表示初始值的比例；N表示设计方案的数目；在每次修正中的比例的变化量ρ_PM可用来确立最终方案；

ii.2.2)确立总的比例反调方案，主要包括以下设置：

N个微调参数K_px_OPT；

设定载荷工况；

N个比例修正方案,；

ii.2.3)LTCA和对应每一种比例反调方案的三个指标CP_MAX，LTE_MAX，和ε_γ的数字提取及确定；

ii.2.4)物理性能协同评价和最终加工参数的确定；

这里，考虑到工程设计系统中优化方法和最优解的重要性，在提出的比例反调中会涉及物理性能指标的多目标综合优化评价，其目标函数可表示为

式中，表示k维决策变量；残余ease-off的标准方差h_RSME用来表示主要的几何性能评价；f₁，f₂，f₃和f₄分别表示对应的几何与物理性能评价项h_RSME，CP_MAX，LTE_MAX和ε_γ的目标函数；l和u分别表示N个关于优化比例加工参数K_px_OPT的不等式约束的上下边界；另外，w₁，w₂，w₃和w₄分别表示4个评价指标的权重因子为

式中，HTP_MAX和HTP_MAX分别表示确定的h_RSME(k＝1)，CP_MAX(k＝2)，LTE_MAX(k＝3)和ε_γ(k＝4)的最大值和最小值。