CN108662115A - 摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及机械设计制造技术领域，公开了一种摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，包括如下步骤：取得标准摆线轮齿廓方程，转角修形摆线轮齿廓方程，等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程，进而取得最先接触点T的针齿接触力为F_T的表达式，采用迭代法取得F_T，然后取得等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程与最先接触点T的针齿接触力F_T作为目标函数的矩阵Z及约束条件，代入NSGA‑Ⅱ算法进行多目标求解，输出最优解。本发明摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法在综合考虑摆线轮啮合特性和齿面接触力的基础上，建立了摆线轮多目标优化模型，采用NSGA‑Ⅱ算法进行优化求解，实现了摆线轮的综合性能最优。

Description

摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法

技术领域

本发明涉及机械设计制造技术领域，具体涉及一种摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法。

背景技术

标准摆线轮与针齿为无间隙啮合，不能补偿制造误差和满足润滑条件，因此在实际使用中，不能直接使用标准摆线轮，必须对摆线轮齿廓进行修形。常见的修形方式有等距修形、移距修形、转角修形及其组合修形。转角修形是最为理想的修形方式，修形之后的齿形为共轭啮合齿形，侧隙均匀，但在齿顶与齿根处没有啮合间隙，转角加等距或转角加移距修形的加工工艺复杂，修形时间长，通常采用等距加移距的修形方式，拟合转角修形齿廓，以获得在齿顶和齿根处存在合理啮合间隙的共轭啮合齿形，因此摆线轮齿廓修形是摆线轮设计制造过程中及其重要的一环，研究并确定摆线轮的最佳修形量对于提高摆线轮各项性能具有重要意义和实际价值。已有多个学者对摆线轮修形方法进行了研究分析，何卫东等提出了一种负等距加负移距的摆线轮优化方法，该方法能较好地提高摆线轮的啮合性能和减小误差；关天民等提出了一种“反弓齿廓”的优化方法，该方法得到的最佳修形量可以有效的减小最大齿面接触力；Chmurawa等通过摆线轮齿形优化实现了更好的传动性能，研究修形参数对载荷分布、应力等的影响。这些都对研究摆线轮最佳修形优化方法奠定了良好的基础，但是，在对摆线轮齿廓进行优化设计时，都是采用单一的目标函数，寻求某一指标的极大值，而没有考虑其他重要性能指标，无法实现摆线轮综合性能最优。

发明内容

本发明的目的就是针对上述技术的不足，提供一种摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，在综合考虑摆线轮啮合特性和齿面接触力的基础上，建立了摆线轮多目标优化模型，采用NSGA-Ⅱ算法进行优化求解，将优化结果与单目标齿廓修形方法进行对比，实现了摆线轮的综合性能最优。

为实现上述目的，本发明所设计的摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，包括如下步骤：

A)取得标准摆线轮齿廓方程：

式中，x为标准摆线轮齿廓的横坐标，y为标准摆线轮齿廓的纵坐标，rp为针齿中心圆半径，rrp为针齿半径，zp为针齿齿数，i为摆线轮与针轮的相对传动比，i＝zp/zc，zc为摆线轮齿数，为针齿相对于转臂的转角，a为摆线轮偏心距，K为摆线轮的短幅系数；

B)对标准摆线轮进行转角修形，转角修形量为δ，以替换所述步骤A)中标准摆线轮齿廓方程中的取得转角修形量为δ的转角修形摆线轮齿廓方程：

式中，x_c为转角修形摆线轮齿廓的横坐标，y_c为转角修形摆线轮齿廓的纵坐标，取得与转角修形量为δ的转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分两界限点B、C位置针齿相对于转臂的转角将界限点B、C区间的值均分为m-1等份，取得 将m个值代入转角修形量为δ的摆线轮齿廓方程，取得转角修形摆线轮齿廓上m个点的坐标；

C)对标准摆线轮采用等距加移距的修形方式，等距修形量为Δrrp，移距修形量为Δrp，等距加移距修形后摆线轮的短幅系数变更为K′＝a*zp/(rp+Δrp)，将K′、rrp+Δrrp和rp+Δrp分别替换所述步骤A)中标准摆线轮齿廓方程的K、rrp和rp，取得等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程：

式中，x′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的横坐标，y′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的纵坐标，设定等距修形量Δrrp和移距修形量Δrp，将所述步骤B)中取得的代入等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓上m个点的坐标，令y′_cn＝y_cn，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程：

D)设摆线轮和针齿在空载时的最先接触点为T，则最先接触点T的相对转角为：

式中，为最先接触点T处针齿相对于转臂的转角，此时，摆线轮初始啮合间隙为：

设摆线轮和针齿的接触点的针齿接触力为F，变形量为ε，则在最先接触点T的针齿接触力为F_T，变形量为ε_T，针齿接触力F与变形量ε和初始啮合间隙之差成线性关系，即：

式中：

由力矩平衡取得：

式中，D为输出转矩，D＝9310N*m，v、w分别为开始啮合齿号和终止啮合齿号，其中，变形量ε包括摆线轮与针齿的接触变形及针齿与针齿壳的接触变形，变形量ε通过赫兹公式计算：

式中，E为摆线轮的弹性模量，E＝2.06*10^5MPa，u为摆线轮的泊松比，u＝0.3，b为摆线轮的宽度，R1和R2分别为两个接触圆柱的曲率半径，ρ为当量曲率半径，其中，当摆线轮与针齿接触时，

ρ＝2|ρ′|*rrp/(|ρ′|+rrp)

式中，ρ′为摆线轮处的曲率半径，

当针齿与针齿壳接触时，

ρ＝2rsp*rrp/(rsp-rrp)

式中，rsp为针齿壳针销孔半径；

E)采用迭代法，为F_T赋值F₀，通过所述步骤D)中的变形量ε赫兹公式计算出对应的变形量ε₀，再由变形量ε₀通过所述步骤D)中的公式：

计算出对应的F₁，比较F₀和F₁，若两者之差的绝对值大于0.1％F₁，则继续迭代计算，直至|F_k-F_k-1|<0.1％F_k，k为自然数，取得F_T＝(F_k+F_k-1)/2；

F)采用等距加移距的修形方式，等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程与最先接触点T的针齿接触力F_T作为目标函数，取得矩阵Z：

Z＝min[f(Δrrp,Δrp),F_T]

定义Δr为摆线轮齿根与齿顶处留有的合理径向间隙，Δr＝Δrrp-Δrp，则Δrp＝Δrrp-Δr，代入矩阵Z，同时对Δrrp和Δr进行约束，将矩阵Z及Δrrp和Δr的约束条件代入NSGA-Ⅱ算法进行多目标求解，输出Δrrp和Δr的最优解，进而求得Δrp的最优解。

优选地，所述步骤F)中，Δrrp和Δr的约束条件为：

优选地，所述步骤F)中，NSGA-Ⅱ算法参数设置为：种群大小N＝50，迭代次数n＝200，交叉率为0.9，变异率为0.1。

本发明与现有技术相比，具有以下优点：

1、本发明提出了一种摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，在综合考虑摆线轮啮合特性和齿面接触力的基础上，建立了摆线轮多目标优化模型，采用NSGA-Ⅱ算法进行优化求解，将优化结果与单目标齿廓修形方法进行对比，实现了摆线轮的综合性能最优；

2、本方法便于开发计算机数学软件进行模拟仿真，有助于摆线轮齿廓修形，具有很高的使用价值；

3、本方法能嵌入到摆线轮优化设计软件中，具有良好的社会价值和经济价值。

附图说明

图1为本发明摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法中标准摆线轮齿廓曲线的结构示意图；

图2为本发明中修形之后摆线轮的初始啮合间隙的结构示意图；

图3为本发明中NSGA-Ⅱ算法流程图；

图4为本发明中NSGA-Ⅱ算法迭代图；

图5为本发明中摆线轮齿廓修形多目标优化后的摆线轮齿廓曲线的结构示意图；

图6为本发明中摆线轮齿廓修形多目标优化后的摆线轮齿面接触力分布图；

图7为三种方法对摆线轮进行修形后的摆线轮齿廓对比图；

图8为图7的局部放大示意图。

图中各部件标号如下：

标准摆线轮齿廓1、等距加移距修形齿廓2、修形摆线轮齿廓3。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

RV-550E型减速器是一种典型的精密重载RV减速器，具有承载能力大、传动精度高、寿命长等特点，广泛应用于机器人、机床等领域，RV-550E型减速器摆线轮基本参数如表1。

表1摆线轮参数表

采用以下三种方法对RV-550E型减速器摆线轮进行修形：

方法1：以摆线轮齿面接触力最小为单目标函数；

方法2：以啮合特性最佳为单目标函数；

方法3：综合考虑齿面接触力及啮合特性，即本发明的摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法。

方法1和方法2为常规修形方法，方法3对RV-550E型减速器摆线轮进行齿廓修形多目标优化设计方法，包括如下步骤：

A)取得标准摆线轮齿廓方程：

式中，x为标准摆线轮齿廓的横坐标，y为标准摆线轮齿廓的纵坐标，rp为针齿中心圆半径，rrp为针齿半径，zp为针齿齿数，i为摆线轮与针轮的相对传动比，i＝zp/zc，zc为摆线轮齿数，为针齿相对于转臂的转角，a为摆线轮偏心距，K为摆线轮的短幅系数，标准摆线轮齿廓如图1所示；

B)对标准摆线轮进行转角修形，转角修形量为δ，以替换步骤A)中标准摆线轮齿廓方程中的取得转角修形量为δ的转角修形摆线轮齿廓方程：

式中，x_c为转角修形摆线轮齿廓的横坐标，y_c为转角修形摆线轮齿廓的纵坐标，取得与转角修形量为δ的转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分两界限点B、C位置针齿相对于转臂的转角将界限点B、C区间的值均分为m-1等份，取得 将m个代入转角修形量为δ的摆线轮齿廓方程，取得转角修形摆线轮齿廓上m个点的坐标；

C)对标准摆线轮采用等距加移距的修形方式，等距修形量为Δrrp，移距修形量为Δrp，等距加移距修形后摆线轮的短幅系数变更为K′＝a*zp/(rp+Δrp)，将K′、rrp+Δrrp和rp+Δrp分别替换步骤A)中标准摆线轮齿廓方程的K、rrp和rp，取得等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程：

式中，x′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的横坐标，y′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的纵坐标，设定等距修形量Δrrp和移距修形量Δrp，将步骤B)中取得的代入等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓上m个点的坐标，令y′_cn＝y_cn，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程：

D)设摆线轮和针齿在空载时的最先接触点为T，则最先接触点T的相对转角为：

式中，为最先接触点T处针齿相对于转臂的转角，此时，摆线轮初始啮合间隙为：

摆线轮初始啮合间隙如图2所示。

设摆线轮和针齿的接触点的针齿接触力为F，变形量为ε，则在最先接触点T的针齿接触力为F_T，变形量为ε_T，针齿接触力F与变形量ε和初始啮合间隙之差成线性关系，即：

式中：

由力矩平衡取得：

式中，D为输出转矩，D＝9310N*m，v、w分别为开始啮合齿号和终止啮合齿号，其中，变形量ε包括摆线轮与针齿的接触变形及针齿与针齿壳的接触变形，变形量ε通过赫兹公式计算：

式中，E为摆线轮的弹性模量，E＝2.06*10^5MPa，u为摆线轮的泊松比，u＝0.3，b为摆线轮的宽度，R1和R2分别为两个接触圆柱的曲率半径，ρ为当量曲率半径，其中，当摆线轮与针齿接触时，

ρ＝2|ρ′|*rrp/(|ρ′|+rrp)

式中，ρ′为摆线轮处的曲率半径，

当针齿与针齿壳接触时，

ρ＝2rsp*rrp/(rsp-rrp)

式中，rsp为针齿壳针销孔半径；

E)采用迭代法，为F_T赋值F₀，通过步骤D)中的变形量ε赫兹公式计算出对应的变形量ε₀，再由变形量ε₀通过步骤D)中的公式：

计算出对应的F₁，比较F₀和F₁，若两者之差的绝对值大于0.1％F₁，则继续迭代计算，直至|F_k-F_k-1|<0.1％F_k，k为自然数，取得F_T＝(F_k+F_k-1)/2；

F)采用等距加移距的修形方式，等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程与最先接触点T的针齿接触力F_T作为目标函数，取得矩阵Z：

Z＝min[f(Δrrp,Δrp),F_T]

定义Δr为摆线轮齿根与齿顶处留有的合理径向间隙，Δr＝Δrrp-Δrp，则Δrp＝Δrrp-Δr，代入矩阵Z，同时对Δrrp和Δr进行约束，Δrrp和Δr的约束条件为：

将矩阵Z及Δrrp和Δr的约束条件代入NSGA-Ⅱ算法进行多目标求解，NSGA-Ⅱ算法参数设置为：种群大小N＝50，迭代次数n＝200，交叉率为0.9，变异率为0.1，算法流程图如图3所示，算法迭代图如图4所示，输出Δrrp和Δr的最优解，选取一组Pareto最优解，Δrrp＝0.1173mm，Δr＝0.0234mm。

查看优化结果，如图5和图6所示，其中图5为摆线轮修形齿廓，图6为摆线轮齿面接触力的分布图，与转角修形齿廓的偏离程度和摆线轮齿面最大接触力分别为0.0127和2694.5N，从图5可以看出，优化得到的摆线轮修形齿廓与转角修形齿廓的拟合度很高，转角修形齿廓在齿根和齿顶处没有啮合间隙，而双目标优化修形齿廓在齿根与齿顶处存在一定的径向间隙，其值为0.0234mm，可以补偿制造误差，满足润滑条件，同时，由图6可知，优化后的摆线轮齿廓为“反弓”齿廓，摆线轮齿载荷分布均匀，能有效地减小齿面接触力。

另外，如图7所示，为各优化修形方法的齿廓外形，为更加直观反映各修形齿廓在工作部分的差异，放大齿廓的工作部分，如图8所示，从图8可以看出，方法3和方法2修形齿廓比方法1更加逼近转角修形齿廓。三种优化修形方法与转角修形齿廓的偏离程度分别为0.0503、0.0024、0.0127，虽然相比方法2，方法3的修形齿廓与转角修形齿廓的拟合度较低，但方法3的修形齿廓在转角修形齿廓的外侧，可以减小摆线轮与其他零件装配产生的侧隙，提高RV减速器的精度。

如表2所示：为三种优化修形方法的摆线轮齿面最大接触力，相较于方法2，方法3的摆线轮最大齿面接触力更小，其主要原因在于，方法3的修形量与径向间隙均较小，使得摆线轮初始啮合间隙较小，施加同等大小的转矩时，方法3的同时啮合齿数较多，即增加了承载的轮齿，减小了摆线轮的最大齿面接触力。方法1和方法3最大齿面接触力分别相对方法2减少了12.51％和5.02％，虽然方法3齿面接触力比方法1大，但是其修形量和径向间隙较大，与转角修形齿廓的偏离程度较小，优化得到的摆线轮啮合性能较好。

综合来看，相比于单目标优化修形方法，本文提出的修形多目标优化设计方法获得的摆线轮齿廓在与转角修形齿廓具有较高拟合度的同时，有效地减少了最大齿面接触力，实现了摆线轮性能综合最优。

表2摆线轮齿面最大接触力

Claims (3)

1.一种摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：

A)取得标准摆线轮齿廓方程：

式中，x为标准摆线轮齿廓的横坐标，y为标准摆线轮齿廓的纵坐标，rp为针齿中心圆半径，rrp为针齿半径，zp为针齿齿数，i为摆线轮与针轮的相对传动比，i＝zp/zc，zc为摆线轮齿数，为针齿相对于转臂的转角，a为摆线轮偏心距，K为摆线轮的短幅系数；

B)对标准摆线轮进行转角修形，转角修形量为δ，以替换所述步骤A)中标准摆线轮齿廓方程中的取得转角修形量为δ的转角修形摆线轮齿廓方程：

式中，x_c为转角修形摆线轮齿廓的横坐标，y_c为转角修形摆线轮齿廓的纵坐标，取得与转角修形量为δ的转角修形齿形吻合的摆线轮齿形工作部分两界限点B、C位置针齿相对于转臂的转角将界限点B、C区间的值均分为m-1等份，取得 将m个值代入转角修形量为δ的摆线轮齿廓方程，取得转角修形摆线轮齿廓上m个点的坐标；

C)对标准摆线轮采用等距加移距的修形方式，等距修形量为Δrrp，移距修形量为Δrp，等距加移距修形后摆线轮的短幅系数变更为K′＝a*zp/(rp+Δrp)，将K′、rrp+Δrrp和rp+Δrp分别替换所述步骤A)中标准摆线轮齿廓方程的K、rrp和rp，取得等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程：

式中，x′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的横坐标，y′_c为等距加移距修形后摆线轮齿廓的纵坐标，设定等距修形量Δrrp和移距修形量Δrp，将所述步骤B)中取得的代入等距加移距修形后的摆线轮齿廓方程，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓上m个点的坐标，令y′_cn＝y_cn，取得等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程：

D)设摆线轮和针齿在空载时的最先接触点为T，则最先接触点T的相对转角为：

式中，为最先接触点T处针齿相对于转臂的转角，此时，摆线轮初始啮合间隙为：

设摆线轮和针齿的接触点的针齿接触力为F，变形量为ε，则在最先接触点T的针齿接触力为F_T，变形量为ε_T，针齿接触力F与变形量ε和初始啮合间隙之差成线性关系，即：

式中：

由力矩平衡取得：

式中，D为输出转矩，D＝9310N*m，v、w分别为开始啮合齿号和终止啮合齿号，其中，变形量ε包括摆线轮与针齿的接触变形及针齿与针齿壳的接触变形，变形量ε通过赫兹公式计算：

式中，E为摆线轮的弹性模量，E＝2.06*10^5MPa，u为摆线轮的泊松比，u＝0.3，b为摆线轮的宽度，R1和R2分别为两个接触圆柱的曲率半径，ρ为当量曲率半径，其中，当摆线轮与针齿接触时，

ρ＝2|ρ′|*rrp/(|ρ′|+rrp)

式中，ρ′为摆线轮处的曲率半径，

当针齿与针齿壳接触时，

ρ＝2rsp*rrp/(rsp-rrp)

式中，rsp为针齿壳针销孔半径；

E)采用迭代法，为F_T赋值F₀，通过所述步骤D)中的变形量ε赫兹公式计算出对应的变形量ε₀，再由变形量ε₀通过所述步骤D)中的公式：

计算出对应的F₁，比较F₀和F₁，若两者之差的绝对值大于0.1％F₁，则继续迭代计算，直至|F_k-F_k-1|<0.1％F_k，k为自然数，取得F_T＝(F_k+F_k-1)/2；

F)采用等距加移距的修形方式，等距加移距修形后摆线轮齿廓与转角修形摆线轮齿廓的偏离程度方程与最先接触点T的针齿接触力F_T作为目标函数，取得矩阵Z：

Z＝min[f(Δrrp,Δrp),F_T]

定义Δr为摆线轮齿根与齿顶处留有的合理径向间隙，Δr＝Δrrp-Δrp，则Δrp＝Δrrp-Δr，代入矩阵Z，同时对Δrrp和Δr进行约束，将矩阵Z及Δrrp和Δr的约束条件代入NSGA-Ⅱ算法进行多目标求解，输出Δrrp和Δr的最优解，进而求得Δrp的最优解。

2.根据权利要求1所述摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，其特征在于：所述步骤F)中，Δrrp和Δr的约束条件为：

3.根据权利要求1所述摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法，其特征在于：所述步骤F)中，NSGA-Ⅱ算法参数设置为：种群大小N＝50，迭代次数n＝200，交叉率为0.9，变异率为0.1。