CN110826273B - 一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法 - Google Patents
一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法，该方法结合行星齿轮系统TCA技术求解各个齿轮副有限个接触离散点的初始齿面间隙；应用有限元法获得齿面节点柔度矩阵，各外(内)齿轮辐接触点的法向柔度通过分别插值太阳轮和行星轮齿面(行星轮和齿圈齿面)节点柔度并叠加获得；根据变形协调、法向力的平衡、齿面非嵌入条件、齿轮副法向力相等原理建立多齿对受力接触方程组，求解得到加载后的离散点载荷、轮齿变形及径向浮动量。本发明将行星轮系各齿轮副齿面几何分析与力学分析结合，计算获得加载后的齿面变形、啮合刚度、载荷分布、均载系数、径向浮动量，为高性能行星传动系统齿面的修形设计、均载分析、动力学分析奠定了理论基础。
Description
技术领域
本发明属于航空、航海齿轮技术领域，具体涉及一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法。
背景技术
行星齿轮传动系统具有大传动比、承载能力高、高扭矩质量比、高传动效率、结构紧凑等优点，其广泛应用于航空、航海等高速、重载功率分流式的齿轮传动系统，其性能优劣直接影响着国防安全。齿轮承载接触分析(LTCA)技术是对重载下轮齿啮合过程进行数值仿真的一种重要分析方法，是联接几何设计与力学分析的一座桥梁，在各类齿轮的研究中起了相当关键的作用。LTCA仿真获得的齿面静态载荷分布及承载传动误差是衡量齿面啮合性能的主要指标。目前，LTCA方法主要是应用于单对齿轮副啮合的情况，由于行星齿轮传动功率分流的特点、各构件的浮动特性使得各齿轮副存在间隙及力的耦合关系，因此，传统的单对齿轮副LTCA方法不适用于多个星轮啮合的情况。尽管商业有限元软件是很有效的分析工具，然而有限元模型网格质量、齿面节点几何精度、齿轮副的正确装配已成为影响LTCA求解精度的关键因素，且分析计算非常耗时，增加了设计人员工作量。考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触分析(FPLTCA)技术是行星齿轮传动啮合性能的主要评价指标，国、内外在这方面目前尚处于空白，为了解决上述技术问题，特提出一种新的技术方案。
发明内容
本发明的目的是为了克服上述现有技术存在的不足，借鉴单对齿轮副LTCA技术，针对斜齿行星传动系统而提供一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触分析(FPLTCA)数值方法，获得齿面载荷分配、承载传动误差、啮合刚度、均载系数、径向浮动量等，该方法将齿轮系统的准确齿面几何与力学分析紧密结合，避免了有限元网格及方程的多次计算，极大的减少了计算工作量，为高性能行星传动齿面的修形优化设计、均载分析、动力学分析等奠定了理论基础。
本发明采用如下技术方案来实现的：
一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法，该方法首先根据齿轮啮合原理将刀具齿形表示在齿轮坐标系中获得标准渐开线齿面，内、外齿轮副的修形均放在行星轮上，通过修形齿条刀具获得修形齿面；结合行星齿轮系统几何接触分析技术求解的齿面各个齿轮副有限个离散点的齿面初始接触间隙，应用有限元法获得系统各齿轮的节点柔度矩阵，并插值得到内/外齿轮副同时啮合齿对的有限个接触离散点组成的柔度矩阵，根据变形协调、各行星轮力相等、同时啮合齿对力平衡原理建立多齿对受力接触方程组，通过非线性规划方法求解得到加载后的离散点载荷、轮齿变形及径向浮动量。
本发明进一步的改进在于，该方法具体包括以下步骤：
步骤1：输入行星齿轮系统齿轮参数确定其它参数
齿轮基本参数包括：齿数、模数、压力角、螺旋角、齿宽、齿顶高、齿根高和刀具圆角半径，安装误差即轴交角误差、中心距简化为太阳轮、齿圈相对参考坐标系误差，各行星轮无安装误差；
步骤2：行星轮修形齿面表达
行星轮的两侧分别与齿圈和太阳轮啮合，齿圈由于尺寸较大，加工工艺复杂通常不修形，对齿圈的修形可放在行星轮上；对太阳轮的修形也可放在行星轮上；通过标准渐开线齿面与法向修形曲面叠加构造行星轮的修形齿面，或者通过修形齿条刀具获得行星轮齿面；太阳轮渐开线齿面通过齿条刀具展成获得，齿圈渐开线齿面通过渐开线齿轮按照插齿原理展成获得；
步骤3：单个完整齿面网格节点计算及单元、单元节点的编号
齿面有限元网格模型是有限元柔度系数的计算基础，一个完整斜齿划分为：齿面、齿根、轮体、轮体左侧齿槽和轮体右侧齿槽；首先，根据单个齿的径向、轴向的各部分节点数，确定廓形的各节点位置，结合这些位置点，左边斜齿的齿面和齿根廓形离散点坐标数值根据刀具刃形确定；然后，根据齿根的径向边界点与轮体深度确定轮体离散点的轮廓坐标，将轮体的左、右侧轮廓旋旋转1个齿所占角度得到右、左齿槽的离散点轮廓坐标；结合这些廓形，根据齿厚方向各部分的节点数，通过坐标旋转变换用离散点“填充”廓形之间的实体部分，这样就用离散点构建出了齿轮的实体；最后，根据单个齿的径向、轴向、齿厚方向按照设定规律，将所有离散点按照8节点六面体线性单元节点顺序进行单元及单元节点编号；
步骤4：3齿8节点三维有限元网格的自动生成
通过以上步骤单个齿全部节点已经确定，旋转坐标变换可阵列生成全部的齿；根据有限元网格生成的要求，对节点重新编号，通过三层循环控制，外层从齿顶至轮体最后一层控制径向方向，次外层从一侧至另一侧控制齿厚方向，最里层从一个端面到另一个端面控制轴向方向，依次逐齿从新排序全部节点，再按照8节点六面体线性单元节点顺序从新进行单元及单元节点的编号；
步骤5：行星齿轮系统齿面初始接触间隙计算
无载下的齿面间隙即初始间隙由齿间间隙和齿面法向间隙两部分组成；过对行星齿轮系统的齿面接触分析得到，行星齿轮TCA不同于单对齿轮TCA的是：各内、外啮合齿轮副TCA方程须转化到统一的固定坐标系，且各齿轮副的传动误差计算采用相同的初始转角，这样才能反映出各修形齿轮副在安装误差下的接触齿面的相对初始间隙；TCA原理为连续相切接触两齿面在同一坐标系中任意时刻都有公共接触点和公法线即：
式中：Ri、ni分别为齿面位矢及单位法矢，i＝s,p,r表示太阳轮、行星齿轮、齿圈；为各齿轮的啮合转角；Mfi为从齿轮运动坐标系到安装参考坐标系变换矩阵，Lfi为其上3×3子矩阵；Rfi、Nfi为齿面在参考坐标系的位矢及单位法矢；上式得到五个独立的标量方程，取一系列的/>为输入量，求解其余5个未知量得到两齿面啮合位置的所有接触点和转角；TCA分析得到行星轮相对太阳轮、齿圈相对行星轮几何传动误差为：
式中，Zs、Zr和Zp分别为太阳轮、齿圈和行星轮齿数，分别为太阳轮、齿圈和行星轮初始转角；因此，某瞬时各内/外齿轮副接触线上离散点的初始齿面间隙用向量表示为w：
w＝[w11…wa1,w12…wa2,…,w11…wab],其中wij＝δij+bij (5)
式中wij为接触线离散点初始齿面间隙，i＝1,…,a，a为接触线离散点个数，j＝1,…,b，b为同时啮合的接触齿对个数，bij为接触点法向间隙，δij为接触点齿间间隙；
步骤6：行星轮的啮合相位和齿面接触序列
某一啮合位置，同时接触的各内/外齿轮副初始间隙根据啮合副相位和接触序列确定，行星传动各外/内啮合副相位差为：
Δt＝dec(Zs(i-1)/N)T (6)
式中dec(A)表示取A小数部分，T为啮合周期，N为行星轮数；
步骤7：行星齿轮系统齿面接触点法向柔度矩阵的建立
取边界条件为齿轮轮体部分两侧及下部边缘固定，利用有限元计算得到N×N个网格节点柔度系数fij，再通过二元插值获得齿面离散点的柔度系数；外/内齿轮副的法向柔度矩阵通过各行星轮与太阳轮/齿圈的法向柔度矩阵叠加得到；假设一个周期有5个啮合位置，PLTCA模型针对某一位置的齿面初始间隙w、法向柔度F进行承载研究，行星齿轮系统的5啮合位置法向柔度矩阵计算如下：
其中Fe为瞬时接触椭圆长轴n个离散点的柔度矩阵；Fp为某啮合位置同时接触的M对轮齿的法向柔度矩阵插值；Fk为K个行星轮与太阳轮或行星轮与齿圈分别同时啮合时接触齿对的柔度矩阵；
步骤8：考虑浮动特性的多体齿轮承载接触分析方程
以中心轮作为浮动件，当星轮Pi受载不均匀时，就会引起浮动件移动，直至多个星轮载荷趋于均匀为止；中心轮浮动的过程实际上是各内/外齿轮副相对齿面初始间隙的逐渐协调趋近一致的过程，构件浮动后导致某啮合位置各内/外齿轮副的法向力接近一致，FPLTCA方程表示如下：
其中sk为径向浮动后齿轮副k的法向间隙，sk+wk的数值通过PTCA求解获得；FPLTCA方法的关键技术是构件浮动后各内/外齿轮副的相对齿间间隙计算，给定径向窜动为以后，进行PTCA分析时，须有统一的初始转角，其次通黄金分割法确定径向窜动量时，还须确定径向窜动的方向；
步骤9：主要计算结果
上式已知量为Fk、wk、P，采用数学规划法求解加载轮齿接触问题得到结果为承载后的法向位移Zl(l＝s,r)、离散载荷p、对应于sk的径向窜动量及齿面法向间隙d；将Zl转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为
Te＝3600×180Zl/(πRbcosβ) (9)
式中，Rb、β分别为各齿轮副被动轮基圆半径和螺旋角；某内/外齿轮副行星轮m的轮齿在齿对k接触线上的载荷分配系数为
某内/外齿轮副行星轮m的均载系数为
行星轮m对应的内/外齿轮副啮合刚度为
本发明至少具有如下有益的技术效果：
本发明无需借助商业有限元软件进行建模、装配、前处理等完成行星齿轮系统的加载分析，该方法考虑了安装误差条件下的齿面准确几何形态，提出行星齿轮TCA方法并获得外(内)各齿轮副的相对齿面间隙；通过一次有限元柔度系数计算获得系统各齿轮的柔度系数，各外(内)齿轮辐接触点的法向柔度通过分别插值太阳轮和行星轮齿面(行星轮和齿圈齿面)接触点柔度并叠加获得；借鉴单对齿轮LTCA数值方法，将行星轮系各齿轮副齿面几何分析与力学分析巧妙结合，齿轮副受力接触转化为求解某一瞬时同时啮合的内(外)齿轮副齿面有限个离散接触点的力学平衡问题，通过数学规划方法求解；该方法仅需要一次有限元计算极大地减少了计算工作量，通过编程输入行星齿轮系统基本参数、安装误差，获得加载后的齿面变形、啮合刚度、载荷分布、均载系数、径向浮动量，为高性能行星传动系统齿面的修形设计、均载分析、动力学分析奠定了理论基础。
附图说明
图1为本发明斜齿端面各部分的位置标记；
图2a为本发明齿圈3齿齿面有限元模型；
图2b为本发明太阳轮3齿齿面有限元模型；
图2c为本发明行星轮3齿齿面有限元模型；
图3a为本发明齿间间隙示意；
图3b为本发明齿面法向间隙示意；
图4a为本发明行星行星齿轮系统安装坐标系；
图4b为本发明某一外啮合副安装坐标系；
图5为本发明齿面接触位置序列；
图6为本发明齿面接触线在网格旋转投影面示意；
图7为本发明行星齿轮系统齿面承载接触示意；
图8为本发明中心轮浮动时行星轮上内(外)啮合副法向力分配；其中图8(a)为星轮载荷分配均匀时，内啮合副法向啮合力构成正边形，图8(b)为星轮载荷分配不均匀时，内啮合副法向啮合力构成不等边形，图8(c)为星轮载荷分配均匀时，外啮合副法向啮合力构成正边形，图8(d)为星轮载荷分配不均匀时，外啮合副法向啮合力构成不等边形；
图9为本发明考虑径向浮动行星齿轮承载接触分析(FPLTCA)流程；
图10a为本发明无径向浮动时行星齿轮几何啮合(PTCA)仿真；
图10b为本发明太阳轮及齿圈径向浮动后的径向窜动量；
图10c为本发明径向浮动后行星齿轮几何啮合(PTCA)仿真；
图10d为本发明无径向浮动与有径向浮动时的内(外)齿轮副承载变形；
图10e为本发明无径向浮动时内(外)齿轮副的齿面载荷分配系数；
图10f为本发明径向浮动后内(外)齿轮副的齿面载荷分配系数；
图10g为本发明无径向浮动时内(外)齿轮副的啮合位置均载系数；
图10h为本发明径向浮动后内(外)齿轮副的啮合位置均载系数。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明做出进一步的说明。
如图9所示，本发明提供的一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触分析方法，包括以下步骤：
(1)输入齿轮副参数确定其他参数。基本参数见表1包括：齿数、模数、压力角、螺旋角、单侧齿宽、退刀宽、齿顶高、齿根高、刀具圆角半径等参数。内、外啮合齿轮副的安装误差(轴交角误差、中心距)简化为太阳轮、齿圈相对参考坐标系误差，各行星轮无安装误差。
(2)行星轮修形齿面表达。行星轮的两侧分别与齿圈和太阳轮啮合，齿圈由于尺寸较大，加工工艺复杂通常不修形，对齿圈的修形可放在行星轮上；对太阳轮的修形也可放在行星轮上。可通过标准渐开线齿面与法向修形曲面叠加构造行星轮的修形齿面，也可通过修形齿条刀具获得行星轮齿面，这里主要通过修形齿条刀具对行星轮进行修形。太阳轮渐开线齿面通过齿条刀具展成获得，齿圈渐开线齿面通过渐开线齿轮按照插齿原理展成获得。
(3)单个完整齿面网格节点计算及单元、单元节点的编号。齿面有限元网格模型是有限元柔度系数的计算基础，一个完整斜齿可划分为：齿面、齿根、轮体、轮体左侧齿槽、轮体右侧齿槽如图1所示。X、Y、Z方向分别为齿厚、径向、轴向，齿面部分为abih，齿根部分为bcji，轮体左侧齿槽部分为efdc，轮体右侧齿槽部分为jklm，轮体部分为cdkj。首先，根据单个齿的径向、轴向的各部分节点数，确定廓形的各节点位置，结合这些位置点，左边斜齿的齿面部分ab、ih段和齿根bc、ji段的廓形离散点坐标数值根据刀具刃形确定；根据径向、轴向划分网格数可以确定齿廓部分和齿根过度部分齿面网格节点坐标。然后，根据齿根的径向边界点“c”和“i”与轮体深度确定轮体cd段和jl段离散点的轮廓坐标，将轮体cd段jl段坐标分别旋转1个齿所占角度确定齿槽段ef段和lm段的离散点轮廓坐标；有了这些廓形，根据齿厚方向各部分的节点数，通过坐标旋转变换用离散点“填充”廓形之间的实体部分，这样就用离散点构建出了齿轮的实体；将所有离散点按照8节点六面体线性单元节点顺序编写单元的编号以及组成单元的节点编号。
(4)3齿8节点三维有限元网格的自动生成。通过以上步骤单个齿全部节点已经确定，旋转坐标变换可阵列生成全部的齿，但是需要注意的交接处(侧面)的节点不可以重复。根据有限元网格生成的要求，必须对节点重新编号，通过三层循环控制，外层从齿顶至轮体最后一层控制径向方向，次外层从一侧至另一侧控制齿厚方向，最里层从一个端面到另一个端面控制轴向方向，依次逐齿从新排序全部节点，再按照8节点六面体线性单元节点顺序从新进行单元及单元节点的编号。图2a,b,c为齿圈、太阳轮、行星轮三齿轮有限元模型。
(5)行星齿轮系统齿面初始接触间隙计算。无载下的齿面间隙(初始间隙)由齿间间隙(见图3a)和齿面法向间隙(见图3b)两部分组成。通过对行星齿轮系统的齿面接触分析(PTCA)得到，行星齿轮TCA不同于单对齿轮TCA的是：各内、外啮合齿轮副TCA方程需要转化到统一的固定坐标系且各齿轮副的传动误差计算，需要采用相同的初始转角，这样才能反映出各修形齿轮副在安装误差下的接触齿面的相对初始间隙。如图4a所示，Of-XfYfZf是以行星架旋转中心为原点的统一固定坐标系，且Yf轴经过第1个行星轮中心，行星轮参考坐标系Ofpi-XfpiYfpiZfpi(i＝1，2...N，N为行星轮数)与之平行，行星轮均布，太阳轮、齿圈参考坐标系为Ofs-XfsYfsZfs、Ofr-XfrYfrZfr；Opi-XpiYpiZpi、Os-XsYsZs、Or-XrYrZr是行星轮、太阳轮及齿圈的动坐标系，原点与各自的参考坐标系重合且绕z轴旋转；安装误差简化为：内、外啮合齿轮副的安装误差(轴交角误差、中心距误差)；分别表示为各齿轮参考坐标系相对Of-XfYfZf误差，各行星轮无安装误差。某一外啮合齿轮副安装见图4b，θp1、θs、E分别是行星轮、太阳轮转角及安装中心距，γs、ΔEs分别是轴交角和中心距安装误差，内啮合参考之建立。TCA原理为连续相切接触两齿面在同一坐标系Of-XfYfZf中任意时刻都有公共接触点和公法线即：
式中：Ri、Ni(i＝s,p,r表示太阳轮、行星齿轮、齿圈)为齿面位矢及单位法矢；为各齿轮的啮合转角。Mfi为从齿轮运动坐标系到安装参考坐标系变换矩阵，Lfi为其上3×3子矩阵；Rfi、Nfi为齿面在参考坐标系的位矢及单位法矢；上式可得到五个独立的标量方程，取一系列的/>为输入量，求解其余5个未知量可得到两齿面啮合位置的所有接触点和转角。TCA分析得到行星轮相对太阳轮、齿圈相对行星轮几何传动误差为：
式中，Zs、Zr和Zp分别为太阳轮、齿圈和行星轮齿数，分别为太阳轮、齿圈和行星轮初始转角。因此，某瞬时各内(外)齿轮副接触线上离散点的初始齿面间隙用向量表示为w：
w＝[w11…wa1,w12…wa2,…,w11…wab],其中wij＝δij+bij (5)
式中wij为接触线离散点初始齿面间隙，i＝1,…,a，a为接触线离散点个数，j＝1,…,b，b为同时啮合的接触齿对个数，bij为接触点法向间隙，δij为接触点齿间间隙。
(6)行星轮的啮合相位和齿面接触序列。假定了单个齿轮副的几何特性和力学特性都是按齿重复的。由于太阳轮、行星轮、齿圈齿数存在一定的关系，行星轮个数不同导致各内(外)齿轮副存在相位差，各齿轮副同时接触齿对的位置不同，将影响齿面初始间隙大小，特别是修形齿面，因此这将进一步影响承载后的承载变形和齿面载荷分配。某单对轮辐的齿面接触序列标记如图5所示，
某一啮合位置，同时接触的各内(外)齿轮副初始间隙需要根据啮合相位和接触序列确定。行星传动各外(内)啮合副相位差为
Δt＝dec(Zs(i-1)/N)T (6)
式中，dec(A)表示取A小数部分，T为啮合周期，N为行星轮数,Zs为太阳轮(齿圈)齿数。
以文中表1参数为例，一个啮合周期分成5等份，共12个接触位置，当行星轮个数取N＝4，各齿轮副无相位差。齿对接触序列如表2所示，T为啮合周期即在0时刻各行星轮在齿面位置“1”、“6”“11”接触，则4个行星轮共计12条接触线。
(7)行星齿轮系统齿面接触点法向柔度矩阵的建立。取边界条件为齿轮轮体部分两侧及下部边缘固定，利用有限元计算得到N×N个网格节点柔度系数fij，再通过二元插值获得齿面瞬时接触线离散点(图6中○为网格节点，□表示插值点)的柔度系数。外(内)齿轮副的法向柔度矩阵通过各行星轮与太阳轮(齿圈)的法向柔度矩阵叠加得到。假设一个周期有5个啮合位置，PLTCA模型针对某一位置的齿面初始间隙w(几何特性)、法向柔度F(力学特性)进行承载研究，行星齿轮系统的5啮合位置法向柔度矩阵计算如下：
其中Fe为瞬时接触椭圆长轴n个离散点的柔度矩阵；Fp为某啮合位置同时接触的M对轮齿的法向柔度矩阵插值(忽略齿面摩擦)；Fk为K个行星轮与太阳轮(行星轮与齿圈)分别同时啮合时接触齿对的柔度矩阵。
(8)考虑浮动特性的多体齿轮承载接触分析方程。以包含两个行星齿轮的系统为例，齿面过瞬时接触椭圆长轴的法截面如图7所示，图中实际是沿啮合面将各齿轮接触受力展开示意图，轮齿变形前，假设各内啮合齿轮副某一啮合位置同时啮合的齿对为Im和IIm(m＝1,2)，各外啮合齿轮副啮合齿对为IIIm和IVm。沿齿面瞬时接触线的接触离散为有限个离散点的接触，各接触齿对齿面初始间隙为：wab(下标a表示接触线离散点个数，b为齿对是标记)。某啮合位置，在载荷P作用下轮齿发生弹性变形，变形后满足变形协调、法向力的平衡、齿面非嵌入条件。
此外，由于行星齿轮系的宏观均载(各行星齿之间的载荷分配)与构件的浮动有很大关系，通常以中心轮作为浮动件，当星轮Pi受载不均匀时，就会引起浮动件移动，直至多个星轮载荷趋于均匀为止。图8为中心轮浮动时星轮载荷分配原理图，在理想刚度和制造精度下，太阳轮(内齿圈)浮动，星轮对太阳轮(内齿圈)作用力主矢为0，其主矩等于输入扭矩。若各星轮载荷分配均匀时，则5个法向啮合力构成正五边形(图8a,c)；若结构设计不合理，制造和安装误差过大，则5个法向啮合力构成不等边五边形(图8b,d)，星轮载荷分配不均匀。实际产品中的受力均为近似等边多边形，中心轮浮动的过程实际上是各内(外)齿轮副相对齿面初始间隙的逐渐协调趋近一致的过程，构件浮动后导致某啮合位置各内(外)齿轮副的法向力接近一致，即还应满足各齿轮副法向力相等的条件。综上所述FPLTCA方程表示如下：
其中sk为径向浮动后齿轮副k的法向间隙，sk+wk的数值通过PTCA求解获得。FPLTCA方法的关键技术是构件浮动后各内外齿轮副的相对齿间间隙计算，给定径向窜动为以后，进行PTCA分析时，需要有统一的初始转角，其次通黄金分割法确定径向窜动量时，还需确定径向窜动的方向。径向窜动仅保证各齿轮副间的宏观载荷趋于相等，FPLTCA计算流程如图9所示。
(9)主要结果计算。上式已知量为Fk、wk、P，采用数学规划法求解加载轮齿接触问题得到结果为承载后的法向位移Zl(l＝s,r)、离散载荷p、对应于sk的径向窜动量及齿面法向间隙d。将Zl转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为
Te＝3600×180Zl/(πRbcosβ) (9)
式中，Rb、β分别为各齿轮副被动轮基圆半径和螺旋角。某内(外)齿轮副行星轮m的轮齿在齿对k接触线上的载荷分配系数为
某内(外)齿轮副行星轮m的均载系数为
行星轮m对应的内(外)齿轮副啮合刚度为
以表1行星齿轮传动为例，太阳轮输入扭矩1500N·m安装误差为ΔEr＝ΔEr＝0.005mm，γs＝γr＝0.5′。行星轮个数为N＝4，这里主要考虑的是各齿轮副无啮合相位差的情况，即无安装误差情况下内、外各齿轮副均同时进入啮合。通过修形齿条刀具获得行星轮修形齿面，齿条刀具法向齿形为抛物线，齿顶最大修形量为0.01mm。
无径向浮动时，PTCA仿真表明各齿轮副间相对间隙增大，中心距误差引起节圆位置发生变化，导致齿轮副接触迹线径向发生变化(图10a)；太阳轮及齿圈径向浮动后，其径向窜动量见图10b，各齿轮几何传动误差接近相同即齿间相对间隙减小且基本相等(图10c)。太阳轮及齿圈径向浮动后，内(外)齿轮副的承载变形较无浮动时减小，有利于提高轮齿轮副综合啮合刚度(图10d)。以外齿轮副为例，无径向浮动时，由于齿间间隙(行星轮2<行星轮1<行星轮3<行星轮4)变化，而齿面间隙越小，承担的载荷越多，因此最大载荷分配系数是相应逐渐变化(行星轮2>行星轮1>行星轮3>行星轮4)，同一啮合位置的所有齿轮副的齿面载荷之和等于总载荷，例如位置1、6、11的载荷之和等于1(图10e)，径向浮动后，各齿轮副承担的载荷基本相等(图10f)。均载系数反映了行星轮间宏观的载荷分配，无径向窜动时各齿轮副的均载系数远离1(图10g)，径向窜动后各齿轮副的均载系数趋于1即各齿轮副承担的载荷基本相等(图10h)。可见齿圈(太阳轮)的径向浮动保证各内(外)齿轮副宏观上承担扭矩相等。
表1行星传动齿轮副基本参数
表2外啮合多齿对接触序列(无相位差)
Claims (1)
1.一种考虑浮动特性的行星传动多体齿轮承载接触特性分析方法，其特征在于，该方法首先根据齿轮啮合原理将刀具齿形表示在齿轮坐标系中获得标准渐开线齿面，内、外齿轮副的修形均放在行星轮上，通过修形齿条刀具获得修形齿面；结合行星齿轮系统几何接触分析技术求解的齿面各个齿轮副有限个离散点的齿面初始接触间隙，应用有限元法获得系统各齿轮的节点柔度矩阵，并插值得到内/外齿轮副同时啮合齿对的有限个接触离散点组成的柔度矩阵，根据变形协调、各行星轮力相等、同时啮合齿对力平衡原理建立多齿对受力接触方程组，通过非线性规划方法求解得到加载后的离散点载荷、轮齿变形及径向浮动量；该方法具体包括以下步骤：
步骤1：输入行星齿轮系统齿轮参数确定其它参数
齿轮基本参数包括：齿数、模数、压力角、螺旋角、齿宽、齿顶高、齿根高和刀具圆角半径，安装误差即轴交角误差、中心距简化为太阳轮、齿圈相对参考坐标系误差，各行星轮无安装误差；
步骤2：行星轮修形齿面表达
行星轮的两侧分别与齿圈和太阳轮啮合，齿圈由于尺寸较大，加工工艺复杂通常不修形，对齿圈的修形可放在行星轮上；对太阳轮的修形也可放在行星轮上；通过标准渐开线齿面与法向修形曲面叠加构造行星轮的修形齿面，或者通过修形齿条刀具获得行星轮齿面；太阳轮渐开线齿面通过齿条刀具展成获得，齿圈渐开线齿面通过渐开线齿轮按照插齿原理展成获得；
步骤3：单个完整齿面网格节点计算及单元、单元节点的编号
齿面有限元网格模型是有限元柔度系数的计算基础，一个完整斜齿划分为：齿面、齿根、轮体、轮体左侧齿槽和轮体右侧齿槽；首先，根据单个齿的径向、轴向的各部分节点数，确定廓形的各节点位置，结合这些位置点，左边斜齿的齿面和齿根廓形离散点坐标数值根据刀具刃形确定；然后，根据齿根的径向边界点与轮体深度确定轮体离散点的轮廓坐标，将轮体的左、右侧轮廓旋旋转1个齿所占角度得到右、左齿槽的离散点轮廓坐标；结合这些廓形，根据齿厚方向各部分的节点数，通过坐标旋转变换用离散点“填充”廓形之间的实体部分，这样就用离散点构建出了齿轮的实体；最后，根据单个齿的径向、轴向、齿厚方向按照设定规律，将所有离散点按照8节点六面体线性单元节点顺序进行单元及单元节点编号；
步骤4：3齿8节点三维有限元网格的自动生成
通过以上步骤单个齿全部节点已经确定，旋转坐标变换可阵列生成全部的齿；根据有限元网格生成的要求，对节点重新编号，通过三层循环控制，外层从齿顶至轮体最后一层控制径向方向，次外层从一侧至另一侧控制齿厚方向，最里层从一个端面到另一个端面控制轴向方向，依次逐齿从新排序全部节点，再按照8节点六面体线性单元节点顺序从新进行单元及单元节点的编号；
步骤5：行星齿轮系统齿面初始接触间隙计算
无载下的齿面间隙即初始间隙由齿间间隙和齿面法向间隙两部分组成；过对行星齿轮系统的齿面接触分析得到，行星齿轮TCA不同于单对齿轮TCA的是：各内、外啮合齿轮副TCA方程须转化到统一的固定坐标系，且各齿轮副的传动误差计算采用相同的初始转角，这样才能反映出各修形齿轮副在安装误差下的接触齿面的相对初始间隙；TCA原理为连续相切接触两齿面在同一坐标系中任意时刻都有公共接触点和公法线即：
式中：Ri、ni分别为齿面位矢及单位法矢，i＝s,p,r表示太阳轮、行星齿轮、齿圈；为各齿轮的啮合转角；Mfi为从齿轮运动坐标系到安装参考坐标系变换矩阵，Lfi为其上3×3子矩阵；Rfi、Nfi为齿面在参考坐标系的位矢及单位法矢；上式得到五个独立的标量方程，取一系列的/>为输入量，求解其余5个未知量得到两齿面啮合位置的所有接触点和转角；TCA分析得到行星轮相对太阳轮、齿圈相对行星轮几何传动误差为：
式中，Zs、Zr和Zp分别为太阳轮、齿圈和行星轮齿数，分别为太阳轮、齿圈和行星轮初始转角；因此，某瞬时各内/外齿轮副接触线上离散点的初始齿面间隙用向量表示为w：
w＝[w11…wa1,w12…wa2,…,w11…wab],其中wij＝δij+bij (5)
式中wij为接触线离散点初始齿面间隙，i＝1,…,a，a为接触线离散点个数，j＝1,…,b，b为同时啮合的接触齿对个数，bij为接触点法向间隙，δij为接触点齿间间隙；
步骤6：行星轮的啮合相位和齿面接触序列
某一啮合位置，同时接触的各内/外齿轮副初始间隙根据啮合副相位和接触序列确定，行星传动各外/内啮合副相位差为：
Δt＝dec(Zs(i-1)/N)T (6)
式中dec(A)表示取A小数部分，T为啮合周期，N为行星轮数；
步骤7：行星齿轮系统齿面接触点法向柔度矩阵的建立
取边界条件为齿轮轮体部分两侧及下部边缘固定，利用有限元计算得到N×N个网格节点柔度系数fij，再通过二元插值获得齿面离散点的柔度系数；外/内齿轮副的法向柔度矩阵通过各行星轮与太阳轮/齿圈的法向柔度矩阵叠加得到；假设一个周期有5个啮合位置，PLTCA模型针对某一位置的齿面初始间隙w、法向柔度F进行承载研究，行星齿轮系统的5啮合位置法向柔度矩阵计算如下：
其中Fe为瞬时接触椭圆长轴n个离散点的柔度矩阵；Fp为某啮合位置同时接触的M对轮齿的法向柔度矩阵插值；Fk为K个行星轮与太阳轮或行星轮与齿圈分别同时啮合时接触齿对的柔度矩阵；
步骤8：考虑浮动特性的多体齿轮承载接触分析方程
以中心轮作为浮动件，当星轮Pi受载不均匀时，就会引起浮动件移动，直至多个星轮载荷趋于均匀为止；中心轮浮动的过程实际上是各内/外齿轮副相对齿面初始间隙的逐渐协调趋近一致的过程，构件浮动后导致某啮合位置各内/外齿轮副的法向力接近一致，FPLTCA方程表示如下：
其中sk为径向浮动后齿轮副k的法向间隙，sk+wk的数值通过PTCA求解获得；FPLTCA方法的关键技术是构件浮动后各内/外齿轮副的相对齿间间隙计算，给定径向窜动为以后，进行PTCA分析时，须有统一的初始转角，其次通黄金分割法确定径向窜动量时，还须确定径向窜动的方向；
步骤9：主要计算结果
上式已知量为Fk、wk、P，采用数学规划法求解加载轮齿接触问题得到结果为承载后的法向位移Zl(l＝s,r)、离散载荷p、对应于sk的径向窜动量及齿面法向间隙d；将Zl转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为
Te＝3600×180Zl/(πRbcosβ) (9)
式中，Rb、β分别为各齿轮副被动轮基圆半径和螺旋角；某内/外齿轮副行星轮m的轮齿在齿对k接触线上的载荷分配系数为
某内/外齿轮副行星轮m的均载系数为
行星轮m对应的内/外齿轮副啮合刚度为
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