CN115470584B - 应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及行星齿轮‑滚动轴承领域，具体涉及应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法，包括：建立坐标系步骤；建立齿轮副模型，获取获得齿轮啮合力步骤；建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，获得滚动轴承的等效约束力步骤；实时计算各构件的平移和旋转位移，以得到中心构件的支撑力步骤；计算系统各构件所受到的广义力步骤；计算系统的质量和转动惯量、系统约束方程的雅克比矩阵步骤；获得行星齿轮‑滚动轴承耦合系统的多体动力学模型步骤。本发明将行星齿轮和滚动轴承视为一个耦合系统，考虑行星齿轮与滚动轴承之间动态特性的相互影响，实时计算与更新系统各构件的广义力，并重新组装行星齿轮‑滚动轴承耦合系统动力学模型，实现动态响应。

Description

应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法

技术领域

本发明涉及行星齿轮-滚动轴承领域，具体涉及应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法。

背景技术

行星齿轮-滚动轴承系统具有结构紧凑、承载力强、传动比大等优点，广泛应用于汽车、航空、航天、船舶和能源等诸多领域，为了更好的了解与掌握行星齿轮-滚动轴承系统的动力学特征，学者们对行星齿轮-滚动轴承系统开展了诸多研究。

例如，中国专利文献公开了专利号为CN106354975B的一种获取行星齿轮错位量的有限元方法，本发明涉及一种获取行星齿轮错位量的有限元方法,包括以下步骤：1)建立轴部件的有限元模型；2)建立行星架的有限元模型；3)建立滚动轴承的有限元模型；4)建立行星齿轮有限元模型；5)建立行星齿轮传动系统静力学模型：根据轴部件、滚动轴承、行星架、齿轮之间的连接关系，采用有限元方法组集各部件的刚度矩阵，建立完整的行星齿轮传动系统静力学模型；6)传动系统静力学求解:采用牛顿-拉弗森方法求解系统非线性静力学方程；7)计算行星齿轮错位量：即太阳轮和行星轮的错位量以及齿圈和行星轮的错位量。上述方法通过有限元法对行星齿轮-滚动轴承系统进行建模，将实际连续体离散为若干互不重叠的单元进行求解，虽然运用有限元法对行星齿轮-滚动轴承系统建模具有计算精度高的优势，但其存在求解耗时，对计算机内存和存储空间等硬件要求非常高，且后处理困难的问题。

为了解决上述问题，中国专利文献公开了专利号为CN113609609A的一种多级行星齿轮结构动态特性的分析方法，包括以下步骤：根据集中质量法分别建立单级直齿轮传动系统非线性动力学模型；分析相邻两构件之间的相对位移关系和运动传递关系，基于Lagrange方程建立三级行星齿轮传动系统动力学方程；基于时变啮合刚度、动态传递误差、啮合相位建立三级行星齿轮传动非线性动力学方程；基于Runger-Kutta法分析三级行星齿轮传动系统动态特性；该分析方法全面考虑时变啮合刚度和动态传递误差等非线性影响大素，将集中质量法、拉格朗方程和Runger-Kutta法相结合，应用于三级行星齿轮传动系统动态特性求解。

上述方案通过采用集中参数法进行建模，虽然很好的解决了上述求解耗时，对计算机内存和存储空间等硬件要求非常高，且后处理困难的问题，但是其动力学模型将行星齿轮、滚动轴承视为两个独立的子系统开展研究，但在实际中行星齿轮与滚动轴承是一个耦合系统，两者之间的动态特性是相互影响的，采用这种单独的行星齿轮和滚动轴承模型预测动力学特性时，由于忽略了行星齿轮和滚动轴承之间动态特性的相互影响势必带来巨大的误差。

发明内容

本发明旨在提供应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法，以将行星齿轮和滚动轴承视为一个耦合系统，考虑行星齿轮与滚动轴承之间动态特性的相互影响，从系统的角度建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学模型，从而使行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学模型预测结果更为准确。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：应用于行星齿轮与滚动轴承耦合系统的动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤1：建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统坐标系；

步骤2：建立齿轮副模型，计算啮合轮齿的接触载荷并叠加以获得齿轮啮合力；

步骤3：利用赫兹接触理论建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，计算各承载滚动体的接触载荷并叠加以获得所述滚动轴承的等效约束力；

步骤4：实时计算各构件的平移和旋转位移，将各构件的平移和旋转位移代入中心构件的支撑力公式，以得到中心构件的支撑力；

步骤5：将齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和行星齿轮的重力代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受到的广义力；

步骤6：计算行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵；

步骤7：将行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵以及各构件所受到的广义力整理代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型。

本方案的原理及优点是：实际应用时，首先建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统坐标系，便于描述位置和角度；然后，建立齿轮副模型，计算啮合轮齿的接触载荷并叠加以获得齿轮啮合力；同时，利用赫兹接触理论建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，计算各承载滚动体的接触载荷并叠加以获得所述滚动轴承的等效约束力；与此同时，实时计算各构件的平移和旋转位移，将各构件的平移和旋转位移代入中心构件的支撑力公式，以得到中心构件的支撑力；已知负载和行星齿轮的重力均为已知常量，最后，将齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和重力代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受到的广义力；并计算行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵，将行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵以及各构件所受到的广义力整理代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型，实现行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学系统的更新和重新组装。

现有技术对行星齿轮-滚动轴承耦合系统的研究，是将行星齿轮和滚动轴承分开研究，忽略了行星齿轮和滚动轴承动态特性的相互影响，导致仿真与实际结果偏差较大；本模型将行星齿轮和滚动轴承视为一个耦合系统，从系统的角度进行建模，所建模型考虑了行星齿轮与滚动轴承之间动态特性的相互影响，从而使行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学模型预测结果更为准确。

优选的，作为一种改进，所述步骤2中，获得齿轮啮合力具体步骤包括：

步骤21，建立齿轮副模型，将连续齿轮轮廓离散为一系列的均匀分布的离散点；

步骤22，在每个啮合轮齿的接触载荷计算的步骤中循环判断这些离散点之间是否满足接触条件；

步骤23，在识别出齿轮轮廓的离散点满足接触条件后，计算啮合轮齿的接触载荷；

步骤24，将所述啮合轮齿的接触载荷叠加以获得齿轮啮合力，具体公式如下：

太阳轮所受啮合力及该力对太阳轮中心产生的扭矩可表示为：

式中，a_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮-太阳轮啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第g对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；/>分别为第g对啮合轮齿的最大深度接触点相对太阳轮中心在X和Y方向上的距离；

内齿圈所受啮合力及该力对内齿圈中心产生的扭矩可表示为：

式中，A_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮-内齿圈啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第G对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；/>分别为第G对啮合轮齿的最大深度接触点相对内齿圈中心在X和Y方向上的距离。

行星轮所受啮合力及该力对行星轮中心产生的扭矩可表示为：

式中，分别为第g对外啮合轮齿的最大深度接触点相对行星轮中心在X和Y方向上的距离；/>分别为第G对内啮合轮齿的最大深度接触点相对行星轮中心在X和Y方向上的距离。

技术效果：将齿轮的连续齿廓曲线离散为一系列的离散点，能更准确的描述和反应真实齿廓；太阳轮与行星轮啮合组成外啮合齿轮副，其啮合力称为外啮合齿轮副的啮合力；内齿圈与行星轮啮合组成内啮合齿轮副，其啮合力称为内啮合齿轮副的啮合力；因此，此处的齿轮啮合力包括太阳轮、行星轮、内齿圈所受的啮合力。

优选的，作为一种改进，所述步骤3中，获得滚动轴承的等效约束力具体步骤包括：

步骤31，建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型；

步骤32，在计算各承载滚动体的接触载荷的步骤中，循环判断各滚动轴承中各滚动体是否与滚道接触且产生弹性形变；

步骤33，在识别到各滚动轴承中各滚动体与滚道接触且产生弹性形变后，计算各承载滚动体的接触载荷；

步骤34，叠加所述各承载滚动体的接触载荷以获得滚动轴承的等效约束力，具体公式如下：

式中，F_nx，F_ny分别为滚动轴承n的等效约束力在X与Y方向上的分量。

技术效果：滚动轴承中的滚动体的动态接触载荷是开展系统中滚动轴承的强度校核、疲劳寿命预测和磨损分析的基础，但现有技术中，行星齿轮系统动力学模型无法获得滚动轴承中各滚动体的动态接触载荷，本模型能够计算获得行星齿轮-滚动轴承中各滚动体的动态接触载荷，克服了现有技术存在的缺陷。

优选的，作为一种改进，所述步骤4中，所述中心构件的支撑力公式为：

式中，k_i(i＝s，c，r)为中心构件的支承刚度；d_ix，d_iy分别为中心构件偏心矢量在X与Y方向上的距离。

技术效果：得到中心构件的支撑力，对中心构件起到支撑效果。

优选的，所述步骤5中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式为：

式中，和T_k(k＝s,c,r,1,2,…,N)分别为构件k所受广义力及该力产生的扭矩。

优选的，所述步骤5还包括获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受扭矩。

技术效果：系统广义力矢量F主要由齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和重力5种力的影响，太阳轮、行星架、内齿圈和行星轮分别受到这5种力中的部分力的影响，同时，各构件均受到扭矩力，扭矩力起到了防止各构件旋转的作用，因此在建模过程中需要考虑以减小误差。

优选的，作为一种改进，所述步骤6获取行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、行星齿轮-滚动轴承耦合系统约束方程的雅克比矩阵的具体步骤包括：

步骤61，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量为：

式中，m_k、I_k分别为构件k的质量和转动惯量；

步骤62，行星齿轮-滚动轴承耦合系统约束方程的雅克比矩阵为：

技术效果：系统约束方程的雅克比矩阵Φ_q起到约束系统中各个构件的作用；质量和转动惯量M是构件的固有属性，在运动时会产生惯性力，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型考虑系统约束方程的雅克比矩阵Φ_q和质量和转动惯量M，预测结果更准确。

优选的，作为一种改进，所述步骤7中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程为：

式中，λ为拉格朗日乘子；分别为系统的广义速度矢量和加速度矢量；下标q，t表示对q，t求导；α和β为稳定控制参数，用于确保数值计算的收敛性。

优选的，作为一种改进，所述行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型中，所有齿轮的真实齿廓采用齿轮啮合原理定义，系统的各构件是被装配。

技术效果：系统由各构件装配组成，所有齿轮的真实齿廓采用齿轮啮合原理定义，提供建模理论基础，使所建行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型适于实用。

优选的，作为一种改进，所述步骤4中，各构件包括太阳轮、行星架、内齿圈、销轴、滚动轴承；所述中心构件包括太阳轮，行星架和内齿圈，所述中心构件浮动支撑被简化为恒定支撑刚度。

技术效果：中心构件浮动支撑被简化为恒定支撑刚度，便于行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型的建立。

附图说明

图1为本发明实施例的行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学模型结构示意图。

图2为本发明实施例的滚动轴承n动力学建模结构示意图。

图3为本发明实施例的滚动轴承n的广义力分析结构示意图。

图4为本发明实施例的齿廓接触分析结构示意图。

图5为本发明实施例的啮合轮齿接触力的广义力分析结构示意图。

具体实施方式

应当指出的是，下述参照附图对本发明实施方式的说明旨在对本发明的总体构思进行详细的解释，不应当理解为对本发明的限制。

下面通过具体实施方式进一步详细说明：

说明书附图中的附图标记包括：太阳轮1、行星架2、滚动轴承3、销轴4、行星轮5、内齿圈6。

实施例基本如附图1所示：

步骤1：建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统坐标系；

步骤2：建立齿轮副模型，计算啮合轮齿的接触载荷并叠加以获得齿轮啮合力；

步骤3：利用赫兹接触理论建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，计算各承载滚动体的接触载荷并叠加以获得所述滚动轴承的等效约束力；

步骤4：实时计算各构件的平移和旋转位移，将各构件的平移和旋转位移代入中心构件的支撑力公式，以得到中心构件的支撑力；

步骤5：将齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和重力代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受到的广义力；

步骤6：计算行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵；

步骤7：将行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵以及各构件所受到的广义力整理代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型。

具体实施过程如下：

模型中所有齿轮的真实齿廓采用齿轮啮合原理定义，且系统的各构件是被装配。

如图1所示，行星架2与销轴4固定连接，行星轮5与销轴4之间采用滚动轴承3连接；滚动轴承3的外圈与行星轮5固定连接，滚动轴承3的内圈与销轴4固定连接；中心构件包括太阳轮、行星架和内齿圈，为满足均载性能，行星齿轮-滚动轴承系统的中心构件采用浮动设计；为了建模方便，中心构件的浮动支撑被简化为恒定支撑刚度。本方案中的步骤只是为了方便描述而进行的命名，并不进行顺序的限制，行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统建模过程如下：

如图1所示，下标s、r、c、n、p_n(n＝1,2,…,N)分别代表太阳轮1、内齿圈6、行星架2、行星轮5和销轴4，其中行星轮5、销轴4和滚动轴承3为一组，本方案中共有N组。

步骤1，建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统中的3种坐标系：

1)中心构件的局部坐标系o_ix_iy_i(i＝s，c，r)；

2)销轴局部坐标系o_pnx_pny_pn，也是滚动轴承内圈的局部坐标系；

3)行星轮局部坐标系o_nx_ny_n，也是滚动轴承外圈的局部坐标系；

各构件的局部坐标系原点均位于几何中心。为相邻销轴在行星架圆周方向上的夹角，/>k_i(i＝s，c，r)为中心构件的支承刚度；k_rt为内齿圈的扭转刚度。由于行星轮和滚动轴承中的滚动体均有多个，分别建立局部坐标系方便各个位置的和角度的描述，在后续计算中均进行了统一换算，得到对应的行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义坐标矢量。

行星齿轮-滚动轴承耦合系统模型中，共有3+N个刚体，由太阳轮1、行星架2、内齿圈6和N个行星轮5组成。在平面内各刚体具有3个自由度。因此，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义坐标矢量可表示为：

式中，x_k、y_k(k＝s,c,r,1,2,…,N)为构件k的局部坐标系原点在广义坐标系下的平移位移；θ_k为构件k的局部坐标系相对广义坐标系的旋转角度。

步骤61中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量为：

式中，m_k、I_k分别为构件k的质量和转动惯量。

在步骤62中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统约束由运动学约束和驱动约束组成，本方案模型的运动学约束被力约束替代，且仅在太阳轮1上施加一个驱动约束以控制输入转速。因此，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的约束方程就等于太阳轮1的驱动约束方程，其表达式为：

Φ＝(θ_s-θ₀-ω_st)＝0 (3)

式中，θ₀为太阳轮的初始旋转角度；θ_s为太阳轮的旋转角度；ω_s为太阳轮的角速度；t为时间。

系统约束方程的雅克比矩阵为：

所述步骤5中，系统的广义力矢量为：

式中，和T_k(k＝s,c,r,1,2,…,N)分别为构件k所受广义力及该力产生的扭矩。

步骤7，获得M，Φ_q和F后，整理并带入式(6)，即可获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程为：

式中，λ为拉格朗日乘子；分别为系统的广义速度矢量和加速度矢量；下标q，t表示对q，t求导；α和β为稳定控制参数，用于确保数值计算的收敛性。

为了构建和求解行星齿轮-滚动轴承系统的动力学方程，获取行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量M及系统约束方程的雅克比矩阵Φ_q时，还需要获取关键的行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量F，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量F主要由5部分组成：

1)齿轮啮合力；

2)滚动轴承的等效约束力；

3)中心构件的支撑力；

4)行星齿轮的重力；

5)负载。

其中，行星齿轮的重力和负载均为已知常量。

接下来将详细介绍系统广义力矢量F的建模推导过程：

步骤31，利用赫兹接触理论建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，如图2所示，滚动轴承3的内圈中心o_pn在广义坐标系下的位置矢量r_pn可以表示为：

r_pn＝r_c+A_pns_pn (7)

式中，r_c为行星架局部坐标系原点o_c在广义坐标系下的位置矢量；A_pn为滚动轴承3的内圈局部坐标系在广义坐标系下的坐标转换矩阵；s_pn为滚动轴承内圈中心o_pn在行星架局部坐标系下的位置矢量。

式(7)对时间t求导，可得滚动轴承3内圈中心的速度矢量为：

式中，为滚动轴承3的内圈中心o_pn的速度矢量，/>为行星架2中心o_c的速度矢量，为转换矩阵对时间的导数。

如图2所示，由于轴承间隙和弹性接触变形的影响，在工作运行中滚动轴承3的内外圈中心之间会产生相对偏移。滚动轴承3的相对偏心矢量e_n和偏心速度v_n的计算公式分别为：

e_n＝r_n-r_pn (9)

式中，r_pn，r_n分别为滚动轴承3内外圈局部坐标系原点o_pn与o_n在广义坐标系下的位置矢量；为滚动轴承3的外圈中心o_n在广义坐标系下的速度矢量。

根据式(9)，滚动轴承3的偏心矢量e_n的幅值为：

滚动轴承3在偏心方向上的单位矢量为：

n_n＝e_n/e_n (12)

如图2所示，在偏心延长线上，定义滚动轴承3外圈与行星轮5之间的接触点为滚动轴承3内圈与销轴4之间的接触点为/>接触点/>和/>在广义坐标系下的位置矢量可分别表示为：

式中，R_n为滚动轴承3的外圈外径；R_pn为滚动轴承3的内圈内径。

如图3所示，滚动轴承3的载荷分布主要受偏心矢量e_n，轴承径向间隙P_d和滚动体位置角φ_nr的影响；由于各滚动体在内外圈滚道上均匀分布，且转速相同，滚动轴承3的滚动体r在任意时间t时的旋转角度为：

式中，N_b为滚动体的总数，ω_nr为滚动体的公转角速度。

步骤32，在计算各承载滚动体的接触载荷的步骤中循环判断各滚动轴承中各滚动体是否与滚道接触；如图3所示，滚动轴承3的滚动体r在位置角φ_nr方向上的径向偏移δ_nr及相对偏心速度ν_nr可分别表示为：

δ_nr＝e_nxcosφ_nr+e_nysinφ_nr-P_d/2 (16)

v_nr＝v_nxcosφ_nr+v_nysinφ_nr (17)

式中，ν_nx，ν_ny为相对偏心速度矢量ν_n在X和Y方向上的分量；e_nx，e_ny分别为偏心矢量e_n在X和Y方向上的分量。

如果δ_nr>P_d则滚动体与滚道接触，产生接触弹性形变；如果δ_nr＝P_d，，滚动体与滚道接触，不产生接触弹性形变；如果δ_nr<P_d，滚动体与滚道接触未接触。

步骤33，在识别到各滚动轴承中各滚动体与滚道接触且产生弹性形变后，计算各承载滚动体的接触载荷；

根据赫兹接触理论，并考虑接触阻尼的影响，滚动轴承3中滚动体r与内外圈滚道之间的接触载荷为：

式中，K_nr和C_nr分别为滚动体r与滚道之间的接触总刚度与总阻尼，β为载荷-变形指数，对球轴承，β＝3/2，对滚子轴承，β＝10/9。

如图3所示，滚动轴承3中滚动体r与内外圈滚道之间的接触刚度为：

式中，和/>分别为滚动体r与内外滚道之间的接触刚度；E_b为弹性模量；ν_b为泊松比；/>为量纲-变形影响因子；/>为接触点处的曲率和。

滚动体r与内外滚道之间的接触总刚度为：

在滚动轴承n中滚动体r与内外圈滚道之间的油膜阻尼为：

式中，分别为滚动体与内外滚道之间的油膜阻尼；/>为接触区域半径；/>为最小油膜厚度；η为绝对粘度。

在滚动轴承3中滚动体r与内、外滚道之间的接触总阻尼为：

步骤34，叠加所述各承载滚动体的接触载荷以获得滚动轴承的等效约束力，在广义坐标系下，滚动轴承3的等效约束力可由各滚动体接触载荷求和获得，其计算表达式为：

式中，F_nx，F_ny分别为滚动轴承3的等效约束力在X与Y方向上的分量。

如图3所示，和/>作用在行星5上所产生扭矩为：

式中，和/>分别为接触点/>相对行星轮5中心的广义距离。

行星架2所受N个滚动轴承3的广义力及该力对行星架2中心产生的扭矩可表示为：

式中，和/>分别为接触点/>相对行星5中心o_c在X与Y方向上的距离。

如图4所示，为了图面清晰，以行星轮5-太阳轮1啮合副上一对轮齿的齿廓接触为例。

步骤21，建立齿轮副模型，将连续齿轮轮廓离散为一系列的均匀分布的离散点； 分别代表在行星轮5和太阳轮1上齿廓曲线的离散点；N_p、N_s分别代表在行星轮5和太阳轮1上齿廓曲线的离散点总数。

随后，在各离散点上建立局部坐标系；和分别代表在行星轮5和太阳轮1的齿廓曲线上各离散点的局部坐标系；t和n分别表示该离散点在齿廓曲线上的切矢量和法矢量。

和/>分别代表在行星轮5和太阳轮1上齿廓曲线任一离散点在广义坐标系下的位置矢量：

式中，r_s和r_n分别为太阳轮和行星轮n局部坐标系原点在广义坐标系下的位置矢量；为任一离散点/>在行星轮局部坐标系下的位置矢量；/>为任一离散点/>在太阳轮局部坐标系下的位置矢量；A_s和A_n分别为太阳轮和行星轮的局部坐标系在广义坐标系下的坐标转换矩阵，其计算表达式为：

将(26)和(27)式关于时间t求导，即可获得任一离散点在广义坐标系下的速度矢量分别为：

式中，和/>分别为太阳轮和行星轮局部坐标系原点在广义坐标系下的速度矢量；为离散点/>在行星轮局部坐标系下的速度矢量；/>为离散点/>在太阳轮局部坐标系下的速度矢量；/>和/>为坐标转换矩阵对时间的导数。

步骤22，在每个啮合轮齿的接触载荷计算的步骤中循环判断这些离散点之间是否满足接触条件；当同时满足(31)式和(32)式时，说明该对离散点是该对轮齿上的最邻近点。

最邻近点的局部坐标系的坐标轴需满足如下关系式：

最邻近点的相对位置矢量与切向矢量需满足正交关系，即：

确定最邻近点之后，接下来需要计算最邻近点的法向相对距离为：

如果则该对轮齿未接触；如果/>则轮齿相互接触；如果/>则啮合轮齿之间已形成了接触区域。

步骤23，在识别出齿轮轮廓的离散点满足接触条件后，计算啮合轮齿的接触载荷；啮合轮齿的接触载荷是啮合轮齿的法向接触载荷与切向摩擦力/>的合力；

在接触区域中，最大接触深度可表示为：

/>

当满足最邻近点条件，且时，最邻近点即为最大深度接触点。因此，最大深度接触点的相对接触速度/>在法矢量和切矢量方向上的分量分别为：

在确定最大接触深度和法矢量方向上的相对接触速度/>后，啮合轮齿的法向接触载荷为：

式中，k_sn，c_sn分别为该对啮合轮齿的接触刚度和接触阻尼。

在式(36)中，接触刚度k_sn的计算表达式为：

其中，

式中，ν_n和ν_s分别为行星轮5和太阳轮1的材料泊松比；E_n和E_s分别为行星轮5和太阳轮1的材料弹性模量,和/>分别为该对啮合轮齿在最大深度接触点处的曲率半径。

当获得法向接触载荷和相对切向接触速度/>后，啮合轮齿的切向摩擦力为：

式中，μ_sn为接触动摩擦系数；为相对切向接触速度的标量；c_d动态修正系数如下所示：

式中ν₀和ν₁是给定的速度偏差。

啮合轮齿的接触载荷是啮合轮齿的法向接触载荷与切向摩擦力/>的合力，当得到啮合轮齿的法向接触载荷/>与切向摩擦力/>计算二者合力得到啮合轮齿的接触载荷。

步骤24，将所述啮合轮齿的接触载荷叠加以获得齿轮啮合力；太阳轮1与行星轮5啮合组成外啮合齿轮副，其啮合力称为外啮合齿轮副的啮合力；内齿圈6与行星轮5啮合组成内啮合齿轮副，其啮合力称为内啮合齿轮副的啮合力，本方案中需要计算的齿轮啮合力为内啮合齿轮副的啮合力和外啮合齿轮副的啮合力，即太阳轮、行星轮和内齿圈所受啮合力。

如图5所示，啮合轮齿的法向接触载荷与切向摩擦力/>可沿广义坐标轴方向分解出两个分力/>对行星轮5中心产生的扭矩可表示为：/>

式中，分别为最大深度接触点相对行星轮n中心在X和Y方向上的距离。

反作用力对太阳轮中心产生的扭矩可表示为：

式中，分别为最大深度接触点相对太阳轮中心在X和Y方向上的距离。

在行星齿轮中，太阳轮1同时与N个行星轮5啮合，且各外啮合副的啮合轮齿对数是周期性变化的，太阳轮所受广义外啮合力及该力对太阳轮中心产生的扭矩可表示为：

式中，a_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮5-太阳轮1啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第g对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；/>分别为第g对啮合轮齿的最大深度接触点相对太阳轮1中心在X和Y方向上的距离。

在行星齿轮中，内齿圈6也同时与N个行星轮5啮合，且各内啮合副的啮合轮齿对数也是周期性变化的，内齿圈6所受广义内啮合力及该力对内齿圈6中心产生的扭矩可表示为：

式中，A_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮5-内齿圈6啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第G对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；/>分别为第G对啮合轮齿的最大深度接触点相对内齿圈中心在X和Y方向上的距离。

行星轮5同时与太阳轮1和内齿圈6啮合，且内外啮合副的啮合轮齿对数也是周期性变化的，行星轮5所受广义啮合力及该力对行星轮5中心产生的扭矩可表示为：

式中，分别为第g对外啮合轮齿的最大深度接触点相对行星轮n中心在X和Y方向上的距离；/>分别为第G对内啮合轮齿的最大深度接触点相对行星轮5中心在X和Y方向上的距离。

步骤4中，中心构件的支撑力在X与Y方向上的分力可表示为：

式中，k_i(i＝s，c，r)为中心构件的支承刚度；d_ix，d_iy分别为中心构件偏心矢量在X与Y方向上的距离。

当内齿圈6与行星轮5啮合时，作用在内齿圈6上的扭矩为：

T_rt＝k_rt·(θ_r-θ_ro) (53)

式中，θ_ro，θ_r分别为内齿:6受载前后的旋转角度；k_rt为内齿圈6的扭转刚度。

所述步骤5，将齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和行星齿轮的重力代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式，即可获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受到的广义力；同时还获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受扭矩，具体为：

太阳轮所受广义力及扭矩为：

式中，g为重力加速度。

行星架所受广义力及扭矩为：

内齿圈所受广义力及扭矩为：

行星轮n所受广义力及扭矩为：

在获得齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力后，太阳轮1受到太阳轮支撑力和外啮合齿轮副啮合力影响，内齿圈6受到内齿圈支撑力和内啮合齿轮副啮合力影响，行星架2受到行星架支撑力和滚动轴承的等效约束力影响，行星轮5受到滚动轴承的等效约束力、内啮合齿轮副啮合力和外啮合齿轮副啮合力影响，整理式子，可得系统广义力矢量F为：

在获得系统广义力矢量F后，将其带入(6)式后得到系统动力学模型，由于在每个啮合轮齿的接触载荷计算的步骤中循环判断这些离散点之间是否满足接触条件，在计算各承载滚动体的接触载荷的步骤中循环判断各滚动轴承中各滚动体是否与滚道接触且产生弹性形变，还实时计算各构件的平移和旋转位移，因此得到的齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力和中心构件的支撑力处于实时更新状态，即行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力F实时更新，重新组装的行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学模型实现动态响应。

以上所述的仅是本发明的实施例，方案中公知的具体技术方案和/或特性等常识在此未作过多描述。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明技术方案的前提下，还可以作出若干变形和改进，这些也应该视为本发明的保护范围，这些都不会影响本发明实施的效果和专利的实用性。本申请要求的保护范围应当以其权利要求的内容为准，说明书中的具体实施方式等记载可以用于解释权利要求的内容。

Claims (10)

1.一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于,包括以下步骤：

步骤1：建立行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学系统坐标系；

步骤2：建立齿轮副模型，计算啮合轮齿的接触载荷并叠加以获得齿轮啮合力；

步骤3：利用赫兹接触理论建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型，计算各承载滚动体的接触载荷并叠加以获得所述滚动轴承的等效约束力；

步骤4：实时计算各构件的平移和旋转位移，将各构件的平移和旋转位移代入中心构件的支撑力公式，以得到中心构件的支撑力；

步骤5：将齿轮啮合力、滚动轴承的等效约束力、中心构件的支撑力、负载和行星齿轮的重力代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受到的广义力；

步骤6：计算行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵；

步骤7：将行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、约束方程的雅克比矩阵以及各构件所受到的广义力整理代入行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程，获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型。

2.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤2中，获得齿轮啮合力具体步骤包括：

步骤21，建立齿轮副模型，将连续齿轮轮廓离散为一系列的均匀分布的离散点；

步骤22，在每个啮合轮齿的接触载荷计算的步骤中循环判断这些离散点之间是否满足接触条件；

步骤23，在识别出齿轮轮廓的离散点满足接触条件后，计算啮合轮齿的接触载荷；

步骤24，将所述啮合轮齿的接触载荷叠加以获得齿轮啮合力，具体公式如下：

太阳轮所受啮合力可表示为：

式中，a_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮-太阳轮啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第g对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；

内齿圈所受啮合力可表示为：

式中，A_n(n＝1,2,…,N)为此时刻在行星轮-内齿圈啮合副上啮合轮齿的总数；分别为第G对啮合轮齿的接触载荷在X和Y方向上的分量；

行星轮所受啮合力可表示为：

齿轮啮合力包括太阳轮、内齿圈和行星轮所受的啮合力。

3.根据权利要求2所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤3中，获得滚动轴承的等效约束力具体步骤包括：

步骤31，建立各滚动体与滚道之间的弹性接触变形关系模型；

步骤32，在计算各承载滚动体的接触载荷的步骤中，循环判断各滚动轴承中各滚动体是否与滚道接触且产生弹性形变；

步骤33，在识别到各滚动轴承中各滚动体与滚道接触且产生弹性形变后，计算各承载滚动体的接触载荷；

步骤34，叠加所述各承载滚动体的接触载荷以获得滚动轴承的等效约束力，具体公式如下：

式中，F_nx，F_ny分别为滚动轴承n的等效约束力在X与Y方向上的分量。

4.根据权利要求3所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤4中，所述中心构件的支撑力公式为：

式中，k_i(i＝s，c，r)为中心构件的支承刚度；d_ix，d_iy分别为中心构件偏心矢量在X与Y方向上的距离。

5.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤5中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的广义力矢量公式为：

式中，和T_k(k＝s,c,r,1,2,…,N)分别为构件k所受广义力及该力产生的扭矩。

6.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤5还包括获得行星齿轮-滚动轴承耦合系统各构件所受扭矩。

7.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤6获取行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量、行星齿轮-滚动轴承耦合系统约束方程的雅克比矩阵的具体步骤包括：

步骤61，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的质量和转动惯量为：

式中，m_k、I_k分别为构件k的质量和转动惯量；

步骤62，行星齿轮-滚动轴承耦合系统约束方程的雅克比矩阵为：

8.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤7中，行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学方程为：

式中，λ为拉格朗日乘子；分别为系统的广义速度矢量和加速度矢量；下标q，t表示对q，t求导；α和β为稳定控制参数，用于确保数值计算的收敛性；M为系统的质量与转动惯量；F为系统广义力矢量；Φ为行星齿轮-滚动轴承耦合系统的约束方程。

9.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述行星齿轮-滚动轴承耦合系统的多体动力学模型中，所有齿轮的真实齿廓采用齿轮啮合原理定义，系统的各构件是被装配。

10.根据权利要求1所述的一种行星齿轮-滚动轴承耦合系统动力学建模方法，其特征在于：所述步骤4中，各构件包括太阳轮、行星架、内齿圈、销轴、滚动轴承；所述中心构件包括太阳轮，行星架和内齿圈，所述中心构件浮动支撑被简化为恒定支撑刚度。