CN112989517A - 一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法。该方法首先建立了一种具有齿偏中心量参数化设计的球头立铣刀刀刃曲线模型，根据其模型定义了一系列活动坐标系及其转换关系。然后在其对应的坐标系下定义了砂轮初始磨削姿态模型和工艺参数，并通过其转换关系得到在工件坐标系下统一表达。本发明经仿真和实际加工验证，不仅可加工周刃偏心型后刀面，而且通过周刃和端刃后刀面的磨削姿态连接变化，保证了周刃、端刃后刀面的光滑连接，具有磨削加工效率高，加工质量好以及加工精度高等特点。

Description

一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法

技术领域

本发明涉及立铣刀结构设计技术领域，具体为一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法。

背景技术

球头立铣刀由于加工复杂曲面时有较好的自适应性和减振性，可以十分方便地加工模具内腔型面以及其他复杂曲面，广泛应用于加工自由曲面机械构件、模具等产业。球头后刀面是球头立铣刀关键的结构之一，主要用于减少刀具和工件之间的摩擦，对刀具的使用寿命影响极大。其磨削工艺的加工质量将直接影响球头立铣刀刃线和回转轮廓的精度。

立铣刀后刀面按刀具结构分为周刃后刀面和端刃后刀面。对于周刃后刀面，Pham等根据形状不同分为平面型、偏心型、凹面型三种形式，其中偏心型后刀面具有较大的刀尖角，刀尖强度大，具有良好的切削性能和加工表面质量。平面型后刀面刃口强度介于凹面型和偏心型之间，应用最为普遍。李国超等对上述三种形式的后刀面进行了刃磨工艺分析，给出了三种周刃后刀面刃磨砂轮初始姿态的求解模型；针对端刃后刀面，Nguyen等提出了一种用于制作具有等法向后角后刀面球头立铣刀端齿部分的数学模型，并计算了砂轮的位置、方向和干涉的条件。Chen等在五轴磨床上设计并采用圆锥滚子磨削球头铣刀后刀面，建立了等间隙角后刀面的数学模型，并对后刀面的不同形状进行了设计和优化。陈逢军等根据现有的五轴数控磨床刃磨运动的特点，运用几何学与运动学原理，基于正交螺旋“S”形刀刃曲线，分别建立了磨削球头立铣刀前刀面和后刀面的刀位轨迹求解模型。何彪等基于已建立的球头立铣刀前刀面加工数学模型，通过分析加工中前刀面与后刀面坐标系的空间运动关系，根据微分几何理论建立了后刀面的加工数学模型。梁志强等基于球面等导程螺旋线切削刃曲线，提出了球头端刃等径向后角后刀面的刃磨模型。综上，目前的球头后刀面磨削工艺的研究主要侧重于端刃部分，且对端刃和周刃后刀面是分段进行磨削，导致刀刃连接区域不光滑。

发明内容

针对现有技术存在的问题而提供一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法，旨在不仅可加工周刃偏心型后刀面，而且通过周刃和端刃后刀面的磨削姿态连续变化，以保证周刃、端刃后刀面的光滑连接，以提高磨削加工效率、表面质量和精度。

本发明的目的是这样实现的：一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立球头立铣刀周刃曲线模型

周刃刀刃曲线模型在许多文献中均有描述。本发明建立以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w。以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标可表达为：

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度。

步骤2：建立球头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d与Z_w轴同轴，以球头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d。其转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)非正交“S”形刀刃曲线模型

本发明以CHENG等设计的一种具有齿偏中心量h的非正交“S”形球头刀刃曲线进行建模。曲线上刀刃点P₀坐标可表达为：

式中θ为自变量纬度角，R_d为球头半径，

表示刀刃点P₀处回转角。θ其取值范围为[0,θ_d]，同时受齿达中心量l_h的影响，“S”形曲线末点处P_2d的纬度角θ_d为：

(2)齿过中心曲线建模

齿过中心曲线段采用直线设计。根据公式(3)可得“S”形曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则有该段曲线刀刃点P₀坐标可表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h (5)

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

(1)周刃坐标系

定义周刃坐标系为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m，。其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴。则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)“S”形曲线坐标系

定义“S”形曲线坐标系为跟随非正交“S”形刀刃曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt；其以非正交“S”形曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴；则有“S”形曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(4)；

(3)齿过坐标系

定义齿过坐标系为跟随齿过中心曲线的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms；其以齿过中心曲线刀刃点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Z_mt轴，Y_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Y_mt轴；则有齿过坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮初始磨削姿态及工艺参数

(1)周刃偏心型后刀面的初始磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α，α由螺旋角β和周刃后角λ_m决定；

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面的初始磨削姿态

令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为“S”形后角λ_mt；

(3)端刃齿过中心部分后刀面的初始磨削姿态

针对齿过中心部分后刀面，保持非正交“S”形部分末点P_2d的砂轮初始磨削姿态，令砂轮圆心O_g位于平面X_msZ_ms内，砂轮圆周面在平面X_msZ_ms内的投影与Z_ms轴的夹角为纬度角θ_d，且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为齿过中心后角λ_ms；

(4)工艺参数定义

考虑到实际加工过程中为控制磨削质量，避免干涉，在保证后刀面形貌的同时砂轮姿态通常要进行一些调整；定义后刀面的法矢量为F_g0，砂轮绕法矢量F_g0旋转砂轮摆角μ避免干涉；

步骤5：定义后刀面连接处的过渡设置

(1)从周刃和非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡

根据初始姿态定义，周刃和非正交“S”形曲线部分砂轮磨削姿态不一致，不能连续过渡；为保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡；周刃末点即为非正交“S”形起点，在该点处的周刃坐标系与“S”形曲线坐标系重合；因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到圆弧回转面的“S”形后角λ_mt；

(2)后刀面连接处参数的过渡设置

实际生产中各段后刀面结构参数和工艺参数会出现不一致的情况，需要在各段后刀面之间设置过渡方式；首先根据每条刃线段的起始点定义磨削参考点；端刃非正交“S”形曲线两端分别与周刃螺旋线和端刃齿过中心曲线相连接，故定义四个磨削参考点，分别是：周刃螺旋线起点S₁，周刃螺旋线末点S₂，端刃非正交“S”形曲线末点S₃，端刃齿过中心曲线末点S₄；将参数在各个参考点之间的过渡形式描述为线性过渡；从而，周刃、端刃非正交“S”形曲线和齿过中心部分后刀面角度和砂轮摆角过渡的参数表达式为：

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；现对第一后刀面的磨削轨迹计算进行描述，同时为了便于加工，应用公式(2)(6)(7)(8)将砂轮最终轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据周刃初始磨削姿态定义，并考虑到周刃到非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡，砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面

根据磨削端刃非正交“S”形部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

(3)齿过中心部分后刀面

根据磨削端刃齿过中心部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g坐标在齿过坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在齿过坐标系下表达为：

(4)添加砂轮摆角后

为便于进行计算，引入绕空间任一单位矢量N＝N_xi+N_yj+N_zk旋转角度θ的旋转矩阵通式：

式中，versθ＝1-cosθ；

根据砂轮摆角的定义，在周刃坐标系下则有：

式中后刀面法矢量F_g0在周刃坐标系下表达式为：

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明对球头立铣刀后刀面的数控磨削工艺进行了研究。根据一种具有齿偏中心量的球头立铣刀刀刃曲线建模和周刃偏心型后刀面形成原理，将其后刀面磨削方式扩展到端刃部分，提出了一套保证砂轮姿态连续变换的周刃和端刃后刀面的砂轮磨削轨迹算法。通过磨削仿真和实际加工，成功制造了半径为5mm的四刃球头立铣刀，且其周刃和端刃后刀面光滑过渡，加工精度误差不超过0.4％，验证了该磨削轨迹算法的正确性和有效性。

附图说明

图1为周刃刀刃曲线建模示意图。

图2为非正交“S”形球头刀刃曲线建模示意图。

图3为纬度角取值范围示意图。

图4为周刃和非正交“S”形部分后刀面砂轮磨削姿态示意图。

图5为齿过中心部分后刀面磨削姿态示意图。

图6为砂轮摆角定义示意图。

图7为砂轮磨削姿态过渡示意图。

图8为磨削参考点示意图。

图9为球头立铣刀后刀面磨削轨迹算法验证流程图。

图10为四刃球头立铣刀后刀面仿真结果图。

图11在刀具检测仪上的球头立铣刀实物图。

具体实施方式

附图中，1-周刃螺旋线，2-非正交“S”形刃线，3-引导螺旋线，4-齿过中心曲线。

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

步骤1：建立球头立铣刀周刃曲线模型

周刃刀刃曲线模型在许多文献中均有描述。本发明建立以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w，如图1所示。以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标可表达为

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度；

步骤2：建立球头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d与Z_w轴同轴，以球头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d；该端刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)非正交“S”形刀刃曲线模型

本发明以CHENG等设计的一种具有齿偏中心量h的非正交“S”形球头刀刃曲线进行建模，如图2所示。P_1dP_2d段曲线上刀刃点P₀坐标可表达为：

式中θ为自变量纬度角，R_d为球头半径，

表示刀刃点P₀处回转角。

如图3所示，θ其取值范围为[0,θ_d]，同时受齿达中心量l_h的影响，“S”形曲线末点处P_2d的纬度角θ_d为：

(2)齿过中心曲线建模

齿过中心曲线段采用直线设计；根据公式(3)得“S”形曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则有该段曲线刀刃点P₀坐标表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h (24)

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

为了方便描述后刀面相关参数和计算磨削轨迹，本发明根据刀刃曲线模型，定义如下坐标系：

(1)周刃坐标系

定义周刃坐标系为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m，如图1所示。其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴。则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)“S”形曲线坐标系

定义“S”形曲线坐标系为跟随非正交“S”形刀刃曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt，如图2所示。其以非正交“S”形曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴。则有“S”形曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(24)；

(3)齿过坐标系

定义齿过坐标系为跟随齿过中心曲线的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms；其以齿过中心曲线刀刃点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Z_mt轴，Y_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Y_mt轴；则有齿过坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮初始磨削姿态及工艺参数

砂轮初始磨削姿态是指，各项工艺参数为零时的砂轮姿态。各项工艺参数均以初始姿态为基准，对砂轮实际磨削姿态进行参数化调整。为了方便计算和保证磨削的连续性，周刃和端刃后刀面的砂轮初始磨削姿态均根据刀刃曲线建模定义在对应的坐标系下。

(1)周刃偏心型后刀面的初始磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α(其由螺旋角β和周刃后角λ_m决定)，如图4所示。

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面的初始磨削姿态

如图4所示，令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为“S”形后角λ_mt。

(3)端刃齿过中心部分后刀面的初始磨削姿态

针对齿过中心部分后刀面，如图5所示，保持非正交“S”形部分末点P_2d的砂轮初始磨削姿态，令砂轮圆心O_g位于平面X_msZ_ms内，砂轮圆周面在平面X_msZ_ms内的投影与Z_ms轴的夹角为纬度角θ_d，且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为齿过中心后角λ_ms。

(4)工艺参数定义

考虑到实际加工过程中为控制磨削质量，避免干涉，在保证后刀面形貌的同时砂轮姿态通常要进行一些调整。本发明定义后刀面的法矢为F_g0，砂轮可绕矢量F_g0旋转砂轮摆角μ避免干涉。如图6所示。

步骤5：定义后刀面连接处的过渡设置

(3)从周刃和非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡

根据初始姿态定义可知周刃和非正交“S”形曲线部分砂轮磨削姿态不一致，不能连续过渡。因此为了保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡。周刃末点即为非正交“S”形起点，在该点处的周刃坐标系与“S”形曲线坐标系重合。因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到后角λ_mt。如图7所示。

(4)后刀面连接处参数的过渡设置

实际生产中各段后刀面结构参数和工艺参数会出现不一致的情况，需要在各段后刀面之间设置过渡方式。首先根据每条刃线段的起始点定义磨削参考点。端刃非正交“S”形曲线两端分别与周刃螺旋线和端刃齿过中心曲线相连接，故定义四个磨削参考点，分别是：周刃螺旋线起点S₁，周刃螺旋线末点S₂，端刃非正交“S”形曲线末点S₃，端刃齿过中心曲线末点S₄，如图8所示。

此时，每个磨削参考点对应的后刀面角度和砂轮摆角参数名称如表1所示。

表1各磨削参考点后刀面宽度和砂轮摆角参数名称

本发明将参数在各个参考点之间的过渡形式描述为线性过渡。从而，周刃、端刃非正交“S”形曲线和齿过中心部分后刀面角度和砂轮摆角过渡的参数表达式为：

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；现对第一后刀面的磨削轨迹计算进行描述，同时为了便于加工，应用公式(21)(25)(26)(27)将砂轮最终轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据周刃初始磨削姿态定义，并考虑到周刃到非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡，砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面

根据磨削端刃非正交“S”形部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

(3)齿过中心部分后刀面

根据磨削端刃齿过中心部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g坐标在齿过坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在齿过坐标系下表达为：

(4)添加砂轮摆角后

为便于进行计算，引入绕空间任一单位矢量N＝N_xi+N_yj+N_zk旋转角度θ的旋转矩阵通式：

式中，versθ＝1-cosθ；

根据砂轮摆角的定义，在周刃坐标系下则有：

式中后刀面法矢量F_g0在周刃坐标系下表达式为：

算法验证：

为了验算所提出的砂轮磨削轨迹算法，本发明进行了如图9所示的流程验证。其中球头后刀面砂轮磨削轨迹的计算和机床NC程序的获取，是在VC++环境开发一套算法模块来实现的。输入球头后刀面相关结构参数和工艺参数，根据提出的砂轮磨削轨迹算法，输出其刀位轨迹文件；再以刀位轨迹文件为输入，根据坐标变换进行后置处理，输出数控机床的NC程序。其后置处理过程本发明由于篇幅省略。

三维仿真则使用Vericut8.0来实现，选择四刃球头立铣刀进行磨削轨迹仿真，其仿真数据如表2所示，其仿真结果如图10所示。

表2四刃球头立铣刀后刀面相关参数

在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工，并利用刀具检测仪PG-1000进行刀具结构参数测量，参数测量结果如表3所示，实物结果如图11所示。

表3四刃球头立铣刀实物参数测量结果

通过刀具检查仪可以看出，周刃、端刃后刀面实现了光滑连接。除砂轮安装位置误差和砂轮圆角造成的后刀面宽度和角度误差外，均与设计值基本保持一致，满足精度要求。综上所述，对加工实物进行测量的结果证明了磨削轨迹算法在实际加工中的正确性与有效性。

Claims (1)

1.一种采用平行砂轮磨削球头后刀面的轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立球头立铣刀周刃曲线模型

以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w；以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标表达为：

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度；

步骤2：建立球头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d与Z_w轴同轴，以球头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d；该端刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)非正交“S”形刀刃曲线模型

以具有齿偏中心量h的非正交“S”形球头刀刃曲线进行建模；曲线上刀刃点P₀坐标表达为：

式中θ为自变量纬度角，R_d为球头半径，

表示刀刃点P₀处回转角；θ其取值范围为[0,θ_d]，同时受齿达中心量l_h的影响，“S”形曲线末点处P_2d的纬度角θ_d为：

(2)齿过中心曲线建模

齿过中心曲线段采用直线设计；根据公式(3)得“S”形曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则有该段曲线刀刃点P₀坐标表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h (5)

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

(1)周刃坐标系

定义周刃坐标系为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m，；其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴；则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)“S”形曲线坐标系

定义“S”形曲线坐标系为跟随非正交“S”形刀刃曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt；其以非正交“S”形曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴；则有“S”形曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(4)；

(3)齿过坐标系

定义齿过坐标系为跟随齿过中心曲线的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms；其以齿过中心曲线刀刃点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Z_mt轴，Y_ms轴平行于非正交“S”形曲线末点的Y_mt轴；则有齿过坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮初始磨削姿态及工艺参数

(1)周刃偏心型后刀面的初始磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α，α由螺旋角β和周刃后角λ_m决定；

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面的初始磨削姿态

令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为“S”形后角λ_mt；

(3)端刃齿过中心部分后刀面的初始磨削姿态

针对齿过中心部分后刀面，保持非正交“S”形部分末点P_2d的砂轮初始磨削姿态，令砂轮圆心O_g位于平面X_msZ_ms内，砂轮圆周面在平面X_msZ_ms内的投影与Z_ms轴的夹角为纬度角θ_d，且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为齿过中心后角λ_ms；

(4)工艺参数定义

考虑到实际加工过程中为控制磨削质量，避免干涉，在保证后刀面形貌的同时砂轮姿态通常要进行一些调整；定义后刀面的法矢量为F_g0，砂轮绕法矢量F_g0旋转砂轮摆角μ避免干涉；

步骤5：定义后刀面连接处的过渡设置

(1)从周刃和非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡

根据初始姿态定义，周刃和非正交“S”形曲线部分砂轮磨削姿态不一致，不能连续过渡；为保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡；周刃末点即为非正交“S”形起点，在该点处的周刃坐标系与“S”形曲线坐标系重合；因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到后角λ_mt；

(2)后刀面连接处参数的过渡设置

实际生产中各段后刀面结构参数和工艺参数会出现不一致的情况，需要在各段后刀面之间设置过渡方式；首先根据每条刃线段的起始点定义磨削参考点；端刃非正交“S”形曲线两端分别与周刃螺旋线和端刃齿过中心曲线相连接，故定义四个磨削参考点，分别是：周刃螺旋线起点S₁，周刃螺旋线末点S₂，端刃非正交“S”形曲线末点S₃，端刃齿过中心曲线末点S₄；将参数在各个参考点之间的过渡形式描述为线性过渡；从而，周刃、端刃非正交“S”形曲线和齿过中心部分后刀面角度和砂轮摆角过渡的参数表达式为：

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；现对第一后刀面的磨削轨迹计算进行描述，同时为了便于加工，应用公式(2)(6)(7)(8)将砂轮最终轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据周刃初始磨削姿态定义，并考虑到周刃到非正交“S”形曲线连接处的砂轮姿态过渡，砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)端刃非正交“S”形部分后刀面

根据磨削端刃非正交“S”形部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在“S”形曲线坐标系下表达为：

(3)齿过中心部分后刀面

根据磨削端刃齿过中心部分后刀面砂轮初始姿态定义，则砂轮端圆中心点O_g坐标在齿过坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在齿过坐标系下表达为：

(4)添加砂轮摆角后

为便于进行计算，引入绕空间任一单位矢量N＝N_xi+N_yj+N_zk旋转角度θ的旋转矩阵通式：

式中，versθ＝1-cosθ；

根据砂轮摆角的定义，在周刃坐标系下则有：

式中后刀面法矢量F_g0在周刃坐标系下表达式为：

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