CN109702567A - 一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：首先定义圆弧刃前刀面工艺特征，包括圆弧刃在磨削平面中的瞬时前刀面、切深磨削点轨迹曲线(同时约束圆弧前刀面的宽度和前角)；其次计算在瞬时前刀面中的砂轮磨削轨迹和姿态；最后经过空间坐标变换，得出砂轮实际加工轨迹。本发明针对整体立铣刀的圆弧刃前刀面磨削方法进行了深入研究，提出一套能满足光滑过渡、且能同时约束前角和宽度的圆弧前刀面磨削算法。根据仿真和加工结果表明该方法可以有效地用于刀具加工，证明了该磨削方法的准确性和可行性，为刀具的实际生产加工提供了理论参考。

Description

一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法

技术领域

本发明涉及整体立铣刀加工技术领域，具体为圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的一种数控磨削轨迹求解方法。

背景技术

整体式圆弧头立铣刀是目前常见的高速切削刀具，具有制造成本低、材料切除率大等特点。在加工工件圆弧角时，圆弧头立铣刀比球头立铣刀刚性更大，加工效率更高；在高硬材料加工、高速大进给加工、深雕三维加工时，比直角头立铣刀的抗缺损性能更高。

整体式圆弧头立铣刀的工作部分主要包括周齿和端齿两大部分，而圆弧刃则是端齿的重要组成部分。设计圆弧刃部分首先需要建立其刀刃曲线的数学建模，再针对圆弧后刀面或圆弧前刀面进行磨削工艺设定。目前，关于立铣刀端齿部分磨削技术的研究较多，但是针对端齿前刀面的磨削过渡问题，国内外均鲜有研究，且没有较通用的圆弧刃前刀面磨削设计方式，这使得国内在制造圆弧头立铣刀时，对圆弧刃前刀面常常凭经验进行磨削加工。虽然圆弧刃前刀面面积很小，亦会影响刀具制造及生产加工的稳定性和精确性，在高速精密加工中起到不可忽视的作用。

发明内容

本发明针对整体式圆弧头立铣刀磨削中周齿前刀面与端齿前刀面的过渡问题，提出一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法，旨在提高刀具磨削加工的稳定性和精确性。

本发明的目的是这样实现的：一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：首先定义圆弧刃前刀面工艺特征，包括圆弧刃在磨削平面中的瞬时前刀面、圆弧坐标系、切深磨削点轨迹曲线(同时约束圆弧前刀面的宽度和前角)；其次计算在瞬时前刀面中的砂轮磨削轨迹和姿态；最后经过空间坐标变换，得出砂轮实际加工轨迹。

一、圆弧刃前刀面工艺特征定义

圆弧刃前刀面的磨削工艺中，采用锥形砂轮进行磨削；建立工件坐标系O-XYZ，Z轴与刀具轴线一致；在确定刀刃曲线的情况下，通过宽度及前角对前刀面进行约束；在本方法中，给定任意圆弧刃曲线的刃线公式，均能计算相应的砂轮磨削轨迹姿态，因此将圆弧刃刃线视为已知曲线；磨削过程中砂轮与刀体之间呈空间位置关系，难以直接确定砂轮姿态，本方法将磨削过程投影至圆弧刃瞬时前刀面进行计算，并通过切深磨削点轨迹曲线约束磨削最低点；

(1)圆弧刃瞬时前刀面是圆弧刃线所在的圆弧回转面被某一时刻刃线处磨削点P和刀具中心轴线所构成的平面所截而形成的二维平面，设为磨削点P处的回转角，即在XOY平面内，磨削点与X轴的夹角；瞬时前刀面会随着刃线处磨削点的移动而变化；

(2)工件坐标系O-XYZ，Z轴与刀具轴线一致，XOY平面位于刀具周齿的端面位置；

(3)在瞬时前刀面上建立圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r，坐标原点O_r为该瞬时前刀面上圆弧刃的圆心点，其中Z_r轴与刀具中心轴线平行，X_r轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外；

(4)砂轮在磨削临界位置时在刃线上的磨削点为临界刃线磨削点P_t，设磨削点P_t的纬度角为临界纬度角θ_t；

(5)法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以刃线磨削点P点为原点O_n，Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向，X_n轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外

(6)切深磨削点轨迹曲线是指砂轮磨削过程中在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的径向最低切深位置的磨削点轨迹曲线，用于约束刀面宽度，在瞬时前刀面上对切深磨削点轨迹曲线进行定义，分为直线和圆弧两部分；定义纬度角θ为在X_rO_rZ_r平面内，磨削点与X_r轴的夹角；

1)切深磨削点轨迹曲线直线段为砂轮的切入引导线，其末点与圆弧部分起点C₀处重合并相切，即直线部分与Z_r轴方向夹角为θ₀，亦等于周齿锥度角κ；在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深磨削点轨迹曲线方程为

2)切深磨削点轨迹曲线圆弧段采用平面圆弧，圆心为圆弧坐标系原点，半径为r₀，起点 C₀和末点C₁的纬度角与圆弧刃线的起止纬度角相等，分别设为θ₀和θ₁；在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深曲线方程为

二、砂轮磨削轨迹计算

为保证圆弧刃前刀面与周齿前刀面光滑连接，由临界纬度角θ_t将磨削过程分为切入和圆弧两部分，最低磨削点分别由切深曲线的两段进行约束；刃线处磨削点均用P表示，不同位置下标不同，设砂轮大端圆半径为R_g，圆弧刃半径为r；

(1)临界纬度角计算

当砂轮大端圆心位于临界位置时，其临界砂轮大端圆心点设为O_gt。此时砂轮与切深曲线相切于点C₀，临界刃线磨削点P_t的纬度角即为临界纬度角θ_t；在该位置，圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的临界砂轮大端圆心点O_gt坐标值为

设临界位置的刃线磨削点P_t坐标值为

由于临界砂轮大端圆心点O_gt与临界刃线磨削点P_t之间的距离为R_g，则

将式(3)、(4)代入式(5)即可解得

式(6)中

(2)切入部分砂轮轨迹计算

1)圆弧坐标系下的砂轮圆心坐标计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线直线段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ₀≤θ≤θ_t；

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，任一纬度角θ对应刃线磨削点P坐标值为

设非临界位置处的砂轮大端圆心点为O_g，其坐标的约束如下：

①砂轮大端圆与引导切入线相切，砂轮大端圆心O_g与引导切入线距离为砂轮半径R_g

②砂轮大端圆心点O_g与刃线磨削点P间的距离为R_g

联立式(7)、(8)、(9)解得圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的砂轮圆心O_g坐标为

式(10)中

2)圆弧坐标系下的砂轮轴矢计算

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的砂轮轴矢方向沿Y_r轴正方向，即轴矢量F_g的初始参数值为[0 1 0]；通过前角的约束，砂轮轴矢将在初始值的基础上进行变换；为了准确地描述前刀面前角所产生的刀轴变换过程，在刃线磨削点P处建立法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以P点为原点O_n， Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向；把砂轮的坐标和轴矢转换至法截面坐标系下，并将砂轮在P点绕Z_n轴旋转前刀面前角μ；

从圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r转换至法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n的变换关系为：

O_gn＝M_nO_g-T_n (11)

F_gn＝F_g (12)

式(11)、(12)中，O_gn和O_g、F_gn和F_g分别为端齿法截面坐标系和圆弧坐标系中的砂轮大端圆圆心坐标值、轴矢量；M_n、T_n分别为旋转和平移矩阵，其表达式分为：

然后在坐标系O_n-X_nY_nZ_n下绕Z_n轴旋转角度μ，得到了经过前角变换后的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量F'_g，变换关系为：

O′_g＝M_znO_gn (13)

F′_g＝M_znF_gn (14)

其中M_zn为旋转矩阵，表达式为：

(3)圆弧部分砂轮轨迹计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线圆弧段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ_t≤θ≤θ₁；

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r中，确定砂轮大端圆心O_g坐标位置的约束如下：

①砂轮大端圆心点O_g与磨削点P之间的距离为砂轮半径R_g

②砂轮大端圆心点O_g与切深磨削点轨迹曲线圆弧圆心点O_r之间的距离为R_g+r

联立式(7)、(15)、(16)即解得圆弧坐标系中的砂轮大端圆心点坐标；

式(17)中

圆弧部分砂轮的轴矢计算与切入部分砂轮轨迹计算完全一致，这里不再赘述；

上述的磨削轨迹是在法截面坐标系下得出的结果；为将计算结果用于数控工具磨床实际加工，还需把砂轮大端圆心点坐标和砂轮轴矢量转换至工件坐标系下，计算步骤如下：

①将经过上述计算得出的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量值F'_g绕X_n轴旋转圆弧刃线螺旋角β；已设圆弧刃线为已知曲线，则螺旋角β为已知量；

②将第1步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Y_n轴旋转纬度角θ；其中纬度角θ为：θ₀≤θ≤θ_t；

③将第2步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Z_n轴旋转回转角其中回转角为即在XOY平面内，磨削点P与X轴的夹角；

④将端齿法截面坐标原点位移至工件坐标系原点处，即将砂轮大端圆心点进行位移变化，位移量是该处纬度角θ对应的刃线磨削点P在工件坐标系下的坐标值(x_P,y_P,z_P)，而砂轮轴矢量值保持不变；

综上，最终的砂轮运动轨迹与姿态为：

O″_g＝M₃M₂M₁O′_g+T (18)

F″_g＝M₃M₂M₁F′_g (19)

式(17)、(18)中

本发明的有益效果是：

本发明基于立铣刀的几何结构特征，以切深磨削点轨迹曲线为约束，控制了圆弧刃前刀面宽度和角度，对圆弧立铣刀的圆弧前刀面建立了一套通用的磨削模型，计算了砂轮在加工中的姿态和运动轨迹，实现周齿与端齿前刀面的光滑连接。弥补了该磨削工艺的理论不足，为实际磨削加工提供理论参考，为进一步完善整体立铣刀工艺提供依据。

本发明针对整体立铣刀的圆弧刃前刀面磨削方法进行了深入研究，提出一套能满足光滑过渡、且能同时约束前角和宽度的圆弧前刀面磨削算法。根据实际加工结果，表明该方法可以有效地用于刀具加工，证明了该磨削方法的准确性和可行性，为刀具的实际生产加工提供了理论参考。

附图说明

图1a是圆弧头立铣刀的圆弧刃前刀面示意图。

图1b是图1a沿A-A线剖视图。

图2a、图2b分别是本文定义的瞬时前刀面及切深磨削点轨迹曲线模型示意图。

图3a、图3b分别是前刀面磨削步骤中切入部分和圆弧部分的示意图。

图4a是前刀面磨削前角约束示意图。

图4b是图4a中将砂轮的坐标和轴矢转换至法截面坐标系下，并将砂轮在P点绕Z_n轴旋转前刀面角μ的示意图。

图5是圆弧刃前刀面磨削仿真效果图。

图6是圆弧刃前刀面实际加工效果图。

图中，1为圆弧刃前刀面，2为刀刃曲线，3为前角，4为切深磨削点轨迹曲线直线段，5 为切深磨削点轨迹曲线圆弧段。

具体实施方式

技术方案如下：

1.圆弧刃前刀面工艺特征定义

圆弧刃前刀面的磨削工艺中，采用锥形砂轮进行磨削。建立图1a所示工件坐标系O-XYZ， Z轴与刀具轴线一致。在确定刀刃曲线的情况下，通过宽度及前角对前刀面进行约束。在本算法中，给定任意圆弧刃曲线的刃线公式，均能计算相应的砂轮磨削轨迹姿态，因此将圆弧刃刃线视为已知曲线。磨削过程中砂轮与刀体之间呈空间位置关系，难以直接确定砂轮姿态，本算法将磨削过程投影至圆弧刃瞬时前刀面进行计算，并通过切深磨削点轨迹曲线约束磨削最低点。

(1)圆弧刃瞬时前刀面是圆弧刃线所在的圆弧回转面被某一时刻刃线处磨削点P和刀具中心轴线所构成的平面所截而形成的二维平面，设为磨削点P处的回转角，即在XOY平面内，磨削点与X轴的夹角；瞬时前刀面会随着刃线处磨削点的移动而变化；

(2)工件坐标系O-XYZ，Z轴与刀具轴线一致，XOY平面位于刀具周齿的端面位置；

(3)在瞬时前刀面上建立圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r，坐标原点O_r为该瞬时前刀面上圆弧刃的圆心点，其中Z_r轴与刀具中心轴线平行，X_r轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外；

(4)砂轮在磨削临界位置时在刃线上的磨削点为临界刃线磨削点P_t，设磨削点P_t的纬度角为临界纬度角θ_t；

(5)法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以刃线磨削点P点为原点O_n，Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向，X_n轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外

(6)切深磨削点轨迹曲线是指砂轮磨削过程中在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的径向最低切深位置的磨削点轨迹曲线，用于约束刀面宽度，在瞬时前刀面上对切深磨削点轨迹曲线进行定义，分为直线和圆弧两部分；定义纬度角θ为在X_rO_rZ_r平面内，磨削点与X_r轴的夹角；

1)切深磨削点轨迹曲线直线段为砂轮的切入引导线，其末点与圆弧部分起点C₀处重合并相切，即直线部分与Z_r轴方向夹角为θ₀，亦等于周齿锥度角κ。在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深磨削点轨迹曲线方程为

2)切深磨削点轨迹曲线圆弧段采用平面圆弧，圆心为圆弧坐标系原点，半径为r₀，起点 C₀和末点C₁的纬度角与圆弧刃线的起止纬度角相等，分别设为θ₀和θ₁。在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深磨削点轨迹曲线方程为

2.砂轮磨削轨迹计算

为保证圆弧刃前刀面与周齿前刀面光滑连接，由临界纬度角θ_t将磨削过程分为切入和圆弧两部分，最低磨削点分别由切深磨削点轨迹曲线的两段进行约束。刃线处磨削点均用P表示，不同位置下标不同，如图3a、图3b所示。设砂轮半径为R_g，圆弧刃半径为r。

(1)临界纬度角计算

如图3a、图3b所示，当砂轮大端圆心位于临界砂轮大端圆心点O_gt时即为磨削过程中的临界位置，此时砂轮与切深磨削点轨迹曲线相切于点C₀，临界刃线磨削点P_t的纬度角即为临界纬度角θ_t。在该位置，圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的临界砂轮大端圆心点O_gt坐标值为

设临界位置的刃线磨削点P_t坐标值为

由于临界砂轮大端圆心点O_gt与点P_t之间的距离为R_g，则

将式(3)、(4)代入式(5)即可解得

式(6)中

(2)切入部分砂轮轨迹计算

1)圆弧坐标系下的砂轮圆心坐标计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线直线段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ₀≤θ≤θ_t，如图3(a)所示。

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，任一纬度角θ对应刃线磨削点P坐标值为

定义非临界位置处的砂轮大端圆心点为O_g，其坐标的约束如下：

①砂轮大端圆与引导切入线相切，且砂轮大端圆心O_g与引导切入线距离为R_g

②砂轮大端圆心点O_g与刃线磨削点P间的距离为R_g

联立式(7)、(8)、(9)解得圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的砂轮大端圆心O_g坐标为

式(10)中

2)圆弧坐标系下的砂轮轴矢计算

由图3a、图3b可知，在该坐标系下的砂轮轴矢方向沿Y_r轴正方向，即轴矢量F_g的初始参数值为[010]。通过前角的约束，砂轮轴矢将在初始值的基础上进行变换。为了准确地描述前刀面前角所产生的刀轴变换过程，在刃线磨削点P处建立法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以P 点为原点O_n，Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向。把砂轮的坐标和轴矢转换至法截面坐标系下，并将砂轮在P点绕Z_n轴旋转前刀面前角μ，如图4a、图4b所示。

从圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r转换至法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n的变换关系为：

O_gn＝M_nO_g-T_n (11)

F_gn＝F_g (12)

式(11)、(12)中，O_gn和O_g、F_gn和F_g分别为端齿法截面坐标系和圆弧坐标系中的砂轮大端圆心坐标值、轴矢量；M_n、T_n分别为旋转和平移矩阵，其表达式分为：

然后在坐标系O_n-X_nY_nZ_n下绕Z_n轴旋转角度μ，得到了经过前角变换后的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量F'_g，变换关系为：

O′_g＝M_znO_gn (13)

F′_g＝M_znF_gn (14)

其中M_zn为旋转矩阵，表达式为：

(3)圆弧部分砂轮轨迹计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线圆弧段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ_t≤θ≤θ₁，如图3(b)所示。

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r中，确定砂轮大端圆心O_g坐标位置的约束如下：

①砂轮大端圆心点O_g与磨削点P之间的距离为R_g

②砂轮大端圆心点O_g与切深磨削点轨迹曲线圆弧圆心点O_r之间的距离为R_g+r₀

联立式(7)、(15)、(16)即解得圆弧坐标系中的砂轮大端圆心点坐标。

圆弧部分的砂轮轴矢计算与切入部分砂轮轨迹计算完全一致，这里不再赘述。

上述的磨削轨迹是在法截面坐标系下得出的结果。为将计算结果用于数控工具磨床实际加工，还需把砂轮大端圆心点坐标和砂轮轴矢量转换至工件坐标系下，计算步骤如下：

①将经过上述计算得出的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量值F'_g绕X_n轴旋转圆弧刃线螺旋角β。已设圆弧刃线为已知曲线，则螺旋角β为已知量；

②将第1步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Y_n轴旋转纬度角θ。其中纬度角θ如图3所示；

③将第2步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Z_n轴旋转回转角其中回转角如图1a所示；

④将端齿法截面坐标原点位移至工件坐标系原点处，即将砂轮大端圆心点进行位移变化，位移量是该处纬度角θ对应的刃线磨削点P在工件坐标系下的坐标值(x_P,y_P,z_P)，而砂轮轴矢量值保持不变。

综上，最终的砂轮运动轨迹与姿态为：

O″_g＝M₃M₂M₁O′_g+T (17)

F″_g＝M₃M₂M₁F′_g (18)

式(17)、(18)中

基于上述磨削算法，在VC++环境开发了一套算法模块，输入表1所示的相关参数以后，即可得到刀位轨迹，部分运算结果如表2所示。最后使用五轴数控磨床进行实际加工验证。

表1圆弧刃前刀面工艺参数

表2部分刀位轨迹运算结果

实际加工后得到的刀具如图5所示。

Claims (2)

1.一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：首先定义圆弧刃前刀面工艺特征，包括圆弧刃在磨削平面中的瞬时前刀面、圆弧坐标系、切深磨削点轨迹曲线(同时约束圆弧前刀面的宽度和前角)；其次计算在瞬时前刀面中的砂轮磨削轨迹和姿态；最后经过空间坐标变换，得出砂轮实际加工轨迹。

2.根据权利要求1所述的一种圆弧头立铣刀圆弧刃前刀面的磨削轨迹求解方法，其特征在于：

一、圆弧刃前刀面工艺特征定义

圆弧刃前刀面的磨削工艺中，采用锥形砂轮进行磨削；建立工件坐标系O-XYZ，Z轴与刀具轴线一致；在确定刀刃曲线的情况下，通过宽度及前角对前刀面进行约束；在本方法中，给定任意圆弧刃曲线的刃线公式，均能计算相应的砂轮磨削轨迹姿态，因此将圆弧刃刃线视为已知曲线；磨削过程中砂轮与刀体之间呈空间位置关系，难以直接确定砂轮姿态，本方法将磨削过程投影至圆弧刃瞬时前刀面进行计算，并通过切深磨削点轨迹曲线约束磨削最低点；

(1)圆弧刃瞬时前刀面是圆弧刃线所在的圆弧回转面被某一时刻刃线处磨削点P和刀具中心轴线所构成的平面所截而形成的二维平面，设为磨削点P处的回转角，即在XOY平面内，磨削点与X轴的夹角；瞬时前刀面会随着刃线处磨削点的移动而变化；

(2)工件坐标系O-XYZ，Z轴与刀具轴线一致，XOY平面位于刀具周齿的端面位置；

(3)在瞬时前刀面上建立圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r，坐标原点O_r为该瞬时前刀面上圆弧刃的圆心点，其中Z_r轴与刀具中心轴线平行，X_r轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外；

(4)砂轮在磨削临界位置时在刃线上的磨削点为临界刃线磨削点P_t，设磨削点P_t的纬度角为临界纬度角θ_t；

(5)法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以刃线磨削点P点为原点O_n，Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向，X_n轴在磨削点与刀具轴线构成的平面内指向径外

(6)切深磨削点轨迹曲线是指砂轮磨削过程中在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的径向最低切深位置的磨削点轨迹曲线，用于约束刀面宽度，在瞬时前刀面上对切深磨削点轨迹曲线进行定义，分为直线和圆弧两部分；定义纬度角θ为在X_rO_rZ_r平面内，磨削点与X_r轴的夹角；

1)切深磨削点轨迹曲线直线段为砂轮的切入引导线，其末点与圆弧部分起点C₀处重合并相切，即直线部分与Z_r轴方向夹角为θ₀，亦等于周齿锥度角κ；在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深磨削点轨迹曲线方程为

2)切深磨削点轨迹曲线圆弧段采用平面圆弧，圆心为圆弧坐标系原点，半径为r₀，起点C₀和末点C₁的纬度角与圆弧刃线的起止纬度角相等，分别设为θ₀和θ₁；在坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，该段切深磨削点轨迹曲线方程为

二、砂轮磨削轨迹计算

为保证圆弧刃前刀面与周齿前刀面光滑连接，由临界纬度角θ_t将磨削过程分为切入和圆弧两部分，最低磨削点分别由切深磨削点轨迹曲线的两段进行约束；刃线处磨削点均用P表示，不同位置下标不同，设砂轮大端圆半径为R_g，圆弧刃半径为r；

(1)临界纬度角计算

设当砂轮位于临界位置，其临界砂轮大端圆心点为O_gt；此时砂轮与切深磨削点轨迹曲线相切于点C₀，临界刃线磨削点P_t的纬度角即为临界纬度角θ_t；在该位置，圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的临界砂轮大端圆心点O_gt坐标值为

设临界位置的刃线磨削点P_t坐标值为

由于临界砂轮大端圆心点O_gt与临界刃线磨削点P_t之间的距离为R_g，则

将式(3)、(4)代入式(5)即可解得

式(6)中

(2)切入部分砂轮轨迹计算

1)圆弧坐标系下的砂轮圆心坐标计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线直线段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ₀≤θ≤θ_t；

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下，任一纬度角θ对应刃线磨削点P坐标值为

设非临界位置处的砂轮大端圆心点为O_g，其坐标的约束如下：

①砂轮大端圆与引导切入线相切，且砂轮大端圆心O_g与引导切入线距离为R_g

x_Ogcosκ+z_Ogsinκ-x_C0cosκ-z_C0sinκ＝R_g (8)

②砂轮大端圆心点O_g与刃线磨削点P间的距离为R_g

联立式(7)、(8)、(9)解得圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的砂轮大端圆心O_g坐标为

式(10)中

FAA＝(R_gcosκ+x_C0)cosκ+(R_gsinκ+z_C0)sinκ；

2)圆弧坐标系下的砂轮轴矢计算

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r下的砂轮轴矢方向沿Y_r轴正方向，即轴矢量F_g的初始参数值为[010]；通过前角的约束，砂轮轴矢将在初始值的基础上进行变换；为了准确地描述前刀面前角所产生的刀轴变换过程，在刃线磨削点P处建立法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n，以P点为原点O_n，Z_n轴方向为刀刃曲线在P点处的切线方向；把砂轮的坐标和轴矢转换至法截面坐标系下，并将砂轮在P点绕Z_n轴旋转前刀面前角μ；

从圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r转换至法截面坐标系O_n-X_nY_nZ_n的变换关系为：

O_gn＝M_nO_g-T_n (11)

F_gn＝F_g (12)

式(11)、(12)中，O_gn和O_g、F_gn和F_g分别为端齿法截面坐标系和圆弧坐标系中的砂轮大端圆心坐标值、轴矢量；M_n、T_n分别为旋转和平移矩阵，其表达式分为：

然后在坐标系O_n-X_nY_nZ_n下绕Z_n轴旋转角度μ，得到了经过前角变换后的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量F'_g，变换关系为：

O′_g＝M_znO_gn (13)

F′_g＝M_znF_gn (14)

其中M_zn为旋转矩阵，表达式为：

(3)圆弧部分砂轮轨迹计算

该部分最低磨削点沿切深磨削点轨迹曲线圆弧段运动，刃线磨削点的纬度角范围为θ_t≤θ≤θ₁；

在圆弧坐标系O_r-X_rY_rZ_r中，确定砂轮大端圆心O_g坐标位置的约束如下：

①砂轮大端圆心点O_g与磨削点P之间的距离为R_g

②砂轮大端圆心点O_g与切深磨削点轨迹曲线圆弧圆心点O_r之间的距离为R_g+r₀

(x_Og-x_Or)²+(z_Og-z_Or)²＝(R_g+r₀)² (16)

联立式(7)、(15)、(16)即解得圆弧坐标系中的砂轮大端圆心点坐标；

圆弧部分的砂轮轴矢计算与切入部分砂轮轨迹计算完全一致，这里不再赘述；

上述的磨削轨迹是在法截面坐标系下得出的结果；为将计算结果用于五轴数控工具磨床实际加工，还需把砂轮大端圆心点坐标和砂轮轴矢量转换至工件坐标系下，计算步骤如下：

①将经过上述计算得出的砂轮大端圆心点坐标O'_g及轴矢量值F'_g绕X_n轴旋转圆弧刃线螺旋角β；已设圆弧刃线为已知曲线，则螺旋角β为已知量；

②将第1步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Y_n轴旋转纬度角θ；其中纬度角θ为：θ₀≤θ≤θ_t；

③将第2步中计算得到的砂轮大端圆心点及轴矢量值绕Z_n轴旋转回转角其中回转角为即在XOY平面内，磨削点P与X轴的夹角；

④将端齿法截面坐标原点位移至工件坐标系原点处，即将砂轮大端圆心点进行位移变化，位移量是该处纬度角θ对应的刃线磨削点P在工件坐标系下的坐标值(x_P,y_P,z_P)，而砂轮轴矢量值保持不变；

综上，最终的砂轮运动轨迹与姿态为：

O″_g＝M₃M₂M₁O′_g+T (17)

F″_g＝M₃M₂M₁F′_g (18)

式(17)、(18)中