CN113065205A - 一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法。首先提出了一种参数化设计的圆弧头刀刃曲线模型，并根据其模型定义了一系列活动坐标系及其转换关系。然后在其对应的坐标系下定义砂轮磨削姿态模型和相关参数，且通过其转换关系得到在工件坐标系下统一表达。本发明通过仿真和实际加工进行验证，并用检测仪对后刀面相关参数进行精度测量，验证了该算法的正确性和有效性。

Description

一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法

技术领域

本发明涉及立铣刀结构设计技术领域，具体为一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法。

背景技术

圆弧头立铣刀作为整体式立铣刀的一种类型，广泛应用于复杂形状零件的自由曲面加工制造，具有材料切除速率高和加工表面质量好的优点。圆弧头后刀面是圆弧头立铣刀关键的结构之一，主要用于减少刀具和工件之间的摩擦，对刀具的使用寿命影响极大。其磨削工艺的加工质量将直接影响圆弧头立铣刀刃线和回转轮廓的精度。

立铣刀后刀面按刀具结构分为周刃后刀面和端刃后刀面。对于周刃后刀面，Pham等根据形状不同分为平面型、偏心型、凹面型三种形式，其中偏心型后刀面具有较大的刀尖角，刀尖强度大，具有良好的切削性能和加工表面质量。平面型后刀面刃口强度介于凹面型和偏心型之间，应用最为普遍。李国超等对上述三种形式的后刀面进行了刃磨工艺分析，给出了三种周刃后刀面刃磨砂轮初始姿态的求解模型；孙长富等利用端截面游动坐标系法和几何描述法对周刃平面型后刀面进行了建模计算；李光业等描述了用碗形砂轮端面和平行砂轮周边分别磨削周刃平面型后刀面的加工工艺分析，给出了磨削时砂轮刀位数学模型。针对端刃后刀面，刘建军等基于提出的圆弧头通用刃线数学模型，研究了立铣刀端齿后刀面的磨削加工工艺分析并计算出了砂轮的运动轨迹和轴矢量；张潇然等针对圆弧头立铣刀端齿后刀面后角和宽度的约束等问题，定义了一种后刀面约束曲线实现对端齿后角及后刀面宽度的控制。综上，目前的磨削工艺主要侧重于采用碗形砂轮端面进行平面型后刀面磨削，且对端刃和周刃后刀面磨削工艺研究是分段进行的，导致刀刃连接区域不光滑。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的问题而提供一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法，旨在周刃和端刃连续加工的圆弧头立铣刀后刀面磨削轨迹算法。该算法不仅可加工周刃偏心型后刀面，而且通过周刃和端刃后刀面的磨削姿态连续变换，以保证周刃和端刃后刀面的光滑过渡，提高磨削加工效率、表面质量和精度。

本发明的目的是这样实现的：

一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立圆弧头立铣刀周刃曲线模型

周刃刀刃曲线模型在许多文献中均有描述。建立以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w；以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标表达为：

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度。

步骤2：建立圆弧头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d轴与Z_w轴同轴，以圆弧头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d；其转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)圆弧回转面曲线部分

定义为由圆弧回转面与非正交螺旋面求交线获得的曲线P_0dP_1d；则该段曲线上刀刃点P₀坐标表达为：

式中自变量θ为纬度角，R为圆弧中心距，r为端刃圆弧半径，

表示刀刃点P₀处回转角；

(2)平面曲线部分

定义为在平面M上的一段圆弧曲线P_1dP_2d；由公式(3)得圆弧回转面末点P_1d的坐标表达式，则该段曲线上刀刃点P₀坐标表达为：

式中

为表示平面M与X_d轴的夹角，η为直线刃内倾角；

(3)直线刃部分

定义为在平面M上的一直线段P_2dP_3d；根据公式(4)得到平面曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则该段曲线刀刃点P₀坐标表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h0 (5)

式中l_h0为端刃直线刃长度；

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

(1)周刃坐标系

定义为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m；其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴；则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)圆弧回转面坐标系

定义为跟随圆弧回转面曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt；其以圆弧回转面曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴；则有圆弧回转面坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(3)；

(3)平面曲线坐标系

定义为跟随平面曲线的活动坐标系O_ts-X_tsY_tsZ_ts；其为将圆弧回转面曲线末点的坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt绕Y_mt轴旋转刀刃点P₀对应的角度t，然后平移到平面曲线上的P₀点得到；其中t的取值范围为[0,η]；则有平面曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ts-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(4)；

(4)直线刃坐标系

定义为跟随直线刃的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms；其以直线刃磨削点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴以平行于平面曲线末点的Z_ts轴，Y_ms轴平行于平面曲线末点的Y_ts轴；则有直线刃坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮磨削姿态

(1)周刃偏心型后刀面的磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α，α由螺旋角β和周刃后角λ_m决定；

(2)端刃圆弧回转面后刀面的磨削姿态

令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为圆弧回转面后角λ_mt；

(3)端刃平面曲线和直线刃后刀面的磨削姿态

针对端刃平面曲线后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ts轴上，并且砂轮端面在平面X_tsY_ts内的投影与Y_ts轴的夹角为平面曲线后角λ_ts；

同理，针对直线刃后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ms轴上，并且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为直线刃后角λ_ms；

步骤5：定义后刀面连接处的砂轮过渡设置

根据上述磨削姿态定义知，周刃和圆弧回转面后刀面部分砂轮磨削姿态不一致；因此为了保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡；周刃末点即为端刃起点，该点处的周刃坐标系与圆弧回转面坐标系重合；因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到圆弧回转面后角λ_mt；

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；为了便于加工，应用公式(2)(6)(7)(8)(9)将砂轮轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据磨削姿态定义，并考虑到周刃到圆弧回转面部分后刀面的过渡设置，得到在砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下的坐标表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)圆弧回转面部分后刀面

根据砂轮磨削圆弧回转面后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

(3)平面曲线部分后刀面

根据砂轮磨削平面曲线后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在平面曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在平面曲线坐标系下表达为：

(4)直线刃部分后刀面

定义直线刃后刀面的法矢为F_g0；当磨削直线刃部分后刀面时，为了防止砂轮与其它刀刃发生干涉，砂轮绕矢量F_g0旋转砂轮摆角μ；添加砂轮摆角后，砂轮轴矢量不变，同时对砂轮摆角μ进行线性过渡保证连续性，其表达为：

则砂轮端圆中心点O_g坐标在直线刃坐标系下表达为

其砂轮轴矢量F_g在直线刃坐标系下表达为：

本发明的有益效果是：本发明对球头立铣刀后刀面的数控磨削工艺进行了研究。建立了一种分段式且能保证各段之间光滑过渡的圆弧头立铣刀刀刃曲线模型。根据周刃偏心型后刀面形成原理，将其磨削方式扩展到端刃部分，提出了一套保证砂轮姿态连续变换的周刃和端刃后刀面的砂轮磨削轨迹算法。通过磨削仿真和实际加工，验证了该算法的正确性和有效性。

附图说明

图1为周刃刀刃曲线建模示意图。

图2为端刃圆弧回转面部分建模示意图。

图3为端刃平面曲线和直线刃建模示意图。

图4为平面曲线坐标系和直线刃坐标系。

图5为磨削后刀面时砂轮姿态示意图。

图6为磨削直线刃后刀面时砂轮姿态示意图。

图7为砂轮磨削姿态过渡示意图。

图8为圆弧头立铣刀后刀面磨削轨迹算法验证流程图。

图9为圆弧头立铣刀后刀面仿真结果图。

图10为实际加工现场和检测图。

具体实施方式

附图中，1-周刃螺旋线，2-圆弧回转面，3-端刃圆弧刃，4-非正交螺旋回转面。

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

步骤1：建立圆弧头立铣刀周刃曲线模型

周刃刀刃曲线模型在许多文献中均有描述。建立以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w，如图1所示。以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标可表达为

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度；

步骤2：建立圆弧头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d轴与Z_w轴同轴，以圆弧头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d；其转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)圆弧回转面曲线部分

定义为由圆弧回转面与非正交螺旋面求交线获得的曲线P_0dP_1d，如图2所示。则该段曲线上刀刃点P₀坐标可表达为：

式中自变量θ为纬度角，R为圆弧中心距，r为端刃圆弧半径，

表示刀刃点P₀处回转角；

(2)平面曲线部分

定义为在平面M上的一段圆弧曲线P_1dP_2d。如图3所示。由公式(3)得圆弧回转面末点P_1d的坐标表达式，则该段曲线上刀刃点P₀坐标可表达为：

式中

为表示平面M与X_d轴的夹角，η为直线刃内倾角；

(3)直线刃部分

定义为在平面M上的一直线段P_2dP_3d；根据公式(4)得到平面曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则该段曲线刀刃点P₀坐标表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h0 (23)

式中l_h0为端刃直线刃长度；

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

为了方便描述后刀面几何参数和计算磨削轨迹，本发明根据刀刃曲线模型，定义如下坐标系：

(1)周刃坐标系

定义为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m，如图1所示。其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴。则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)圆弧回转面坐标系

定义为跟随圆弧回转面曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt，如图2所示。其以圆弧回转面曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴。则有圆弧回转面坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(3)；

(3)平面曲线坐标系

定义为跟随平面曲线的活动坐标系O_ts-X_tsY_tsZ_ts，如图3所示。其为将圆弧回转面曲线末点的坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt绕Y_mt轴旋转刀刃点P₀对应的角度t，然后平移到平面曲线上的P₀点得到。其中t的取值范围为[0,η]。则有平面曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ts-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(4)；

(4)直线刃坐标系

定义为跟随直线刃的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms，如图4所示。其以直线刃磨削点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴以平行于平面曲线末点的Z_ts轴，Y_ms轴平行于平面曲线末点的Y_ts轴。则有直线刃坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮磨削姿态

(1)周刃偏心型后刀面的磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α(其由螺旋角β和周刃后角λ_m决定)，如图5所示。

(2)端刃圆弧回转面后刀面的磨削姿态

如图5所示，令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为圆弧回转面后角λ_mt。

(3)端刃平面曲线和直线刃后刀面的磨削姿态

针对端刃平面曲线后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ts轴上，并且砂轮端面在平面X_tsY_ts内的投影与Y_ts轴的夹角为平面曲线后角λ_ts。

同理，针对直线刃后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ms轴上，并且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为直线刃后角λ_ms，如图6所示。

步骤5：定义后刀面连接处的砂轮过渡设置

根据上述磨削姿态定义可知，周刃和圆弧回转面后刀面部分砂轮磨削姿态不一致。因此为了保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡。周刃末点即为端刃起点，该点处的周刃坐标系与圆弧回转面坐标系重合。因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到圆弧回转面后角λ_mt。如图7所示。

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；为了便于加工，应用公式(2)(6)(7)(8)(9)将砂轮轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据磨削姿态定义，并考虑到周刃到圆弧回转面部分后刀面的过渡设置，得到在砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下的坐标表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)圆弧回转面部分后刀面

根据砂轮磨削圆弧回转面后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

(3)平面曲线部分后刀面

根据砂轮磨削平面曲线后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在平面曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在平面曲线坐标系下表达为：

(4)直线刃部分后刀面

定义直线刃后刀面的法矢为F_g0；当磨削直线刃部分后刀面时，为了防止砂轮与其它刀刃发生干涉，砂轮绕矢量F_g0旋转砂轮摆角μ；添加砂轮摆角后，砂轮轴矢量不变，同时对砂轮摆角μ进行线性过渡保证连续性，其表达为：

则砂轮端圆中心点O_g坐标在直线刃坐标系下表达为

其砂轮轴矢量F_g在直线刃坐标系下表达为：

算法验证：

为为了验算所提出的砂轮磨削轨迹算法，本发明进行了如图8所示的流程验证。其中圆弧头后刀面砂轮磨削轨迹的计算和机床NC程序的获取，是在VC++环境开发一套算法模块来实现的。输入圆弧头后刀面相关几何参数和工艺参数，根据提出的砂轮磨削轨迹算法，输出其刀位轨迹文件；再以刀位轨迹文件为输入，根据坐标变换进行后置处理，输出数控机床的NC程序。

三维仿真则使用Vericut8.0来实现，选择四刃圆弧头立铣刀进行磨削轨迹仿真，其仿真数据及结果如下。

表1四刃圆弧头立铣刀后刀面相关参数

表2部分磨削轨迹运算结果

在Vericut8.0中进行磨削仿真的结果如图9所示。

在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工，并利用刀具检测仪PG-1000进行刀具结构参数测量，结果如图10所示。

Claims (1)

1.一种采用平行砂轮磨削圆弧头后刀面的轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立圆弧头立铣刀周刃曲线模型

建立以刀具回转轴为Z_w轴，以周刃起点所在的端面为X_wO_wY_w平面，圆心为原点O_w的工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w；以Z_w轴的坐标值z为自变量，则周刃上刀刃点P₀坐标表达为：

式中R_w为刀具回转半径，L_w为周刃长度，

表示点P₀相对于X_w轴绕Z_w轴的回转角度；

步骤2：建立圆弧头立铣刀端刃曲线模型

建立以Z_d轴与Z_w轴同轴，以圆弧头端刃底面为X_dO_dY_d平面，其圆心为原点O_d的端刃坐标系O_d-X_dY_dZ_d；其转换到工件坐标系的变换矩阵T_d-w为：

将在端刃坐标系下进行端刃曲线建模描述：

(1)圆弧回转面曲线部分

定义为由圆弧回转面与非正交螺旋面求交线获得的曲线P_0dP_1d；则该段曲线上刀刃点P₀坐标表达为：

式中自变量θ为纬度角，R为圆弧中心距，r为端刃圆弧半径，

表示刀刃点P₀处回转角；

(2)平面曲线部分

定义为在平面M上的一段圆弧曲线P_1dP_2d；由公式(3)得圆弧回转面末点P_1d的坐标表达式，则该段曲线上刀刃点P₀坐标表达为：

式中

为表示平面M与X_d轴的夹角，η为直线刃内倾角；

(3)直线刃部分

定义为在平面M上的一直线段P_2dP_3d；根据公式(4)得到平面曲线末点P_2d的坐标表达式和切矢量F_p，引入自变量t，则该段曲线刀刃点P₀坐标表达为：

P_{P0_d}＝P_{P2_d}+t·F_P,0≤t≤l_h0 (5)

式中l_h0为端刃直线刃长度；

步骤3：定义后刀面坐标系及转换

(1)周刃坐标系

定义为跟随周刃的活动坐标系O_m-X_mY_mZ_m；其以周刃曲线上的点P₀为坐标原点O_m，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_m轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_m轴；则有周刃坐标系转换到工件坐标系的变换矩阵T_m-w为：

式中自变量z的取值范围同公式(1)；

(2)圆弧回转面坐标系

定义为跟随圆弧回转面曲线的活动坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt；其以圆弧回转面曲线上的点P₀为坐标原点O_mt，以点P₀对应的回转体母线切线为Z_mt轴，以点P₀对应的圆周切线为Y_mt轴；

则有圆弧回转面坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_mt-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(3)；

(3)平面曲线坐标系

定义为跟随平面曲线的活动坐标系O_ts-X_tsY_tsZ_ts；其为将圆弧回转面曲线末点的坐标系O_mt-X_mtY_mtZ_mt绕Y_mt轴旋转刀刃点P₀对应的角度t，然后平移到平面曲线上的P₀点得到；其中t的取值范围为[0,η]；则有平面曲线坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ts-d为：

式中自变量θ的取值范围同公式(4)；

(4)直线刃坐标系

定义为跟随直线刃的活动坐标系O_ms-X_msY_msZ_ms；其以直线刃磨削点P₀为坐标原点O_ms，Z_ms轴以平行于平面曲线末点的Z_ts轴，Y_ms轴平行于平面曲线末点的Y_ts轴；则有直线刃坐标系转换到端刃坐标系的变换矩阵T_ms-d为：

式中自变量t的取值范围同公式(5)；

步骤4：定义砂轮磨削姿态

(1)周刃偏心型后刀面的磨削姿态

根据周刃偏心型后刀面的磨削原理，令砂轮圆心O_g在平面X_mZ_m内，定义砂轮端面在平面X_mZ_m内的投影与X_m轴的夹角为α，α由螺旋角β和周刃后角λ_m决定；

(2)端刃圆弧回转面后刀面的磨削姿态

令砂轮圆心O_g在位于平面X_mtZ_mt内，定义砂轮圆周面在平面X_mtZ_mt内的投影与Z_mt轴的夹角为纬度角θ，且砂轮端面在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角为圆弧回转面后角λ_mt；

(3)端刃平面曲线和直线刃后刀面的磨削姿态

针对端刃平面曲线后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ts轴上，并且砂轮端面在平面X_tsY_ts内的投影与Y_ts轴的夹角为平面曲线后角λ_ts；

同理，针对直线刃后刀面，令砂轮圆心O_g位于Z_ms轴上，并且砂轮端面在平面X_msY_ms内的投影与Y_ms轴的夹角为直线刃后角λ_ms；

步骤5：定义后刀面连接处的砂轮过渡设置

根据上述磨削姿态定义知，周刃和圆弧回转面后刀面部分砂轮磨削姿态不一致；因此为了保证磨削的连续进行，需要设置砂轮磨削姿态的过渡；周刃末点即为端刃起点，该点处的周刃坐标系与圆弧回转面坐标系重合；因此在此处坐标系下设置过渡方式为砂轮端面在平面X_mtZ_mt内的投影与X_mt轴的夹角逐渐从α变为零，在平面X_mtY_mt内的投影与Y_mt轴的夹角逐渐从零变化到圆弧回转面后角λ_mt；

步骤6：磨削轨迹计算

砂轮磨削轨迹计算分别在对应的后刀面活动坐标系下进行，包括砂轮端圆中心点坐标O_g和砂轮轴矢量F_g的计算；为了便于加工，应用公式(2)(6)(7)(8)(9)将砂轮轨迹转换到工件坐标系下表达；

(1)周刃后刀面

根据磨削姿态定义，并考虑到周刃到圆弧回转面部分后刀面的过渡设置，得到在砂轮端圆中心点O_g在周刃坐标系下的坐标表达为：

式中R_g为砂轮端圆半径；

其砂轮轴矢量F_g在周刃坐标系下表达为：

(2)圆弧回转面部分后刀面

根据砂轮磨削圆弧回转面后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在圆弧回转面坐标系下表达为：

(3)平面曲线部分后刀面

根据砂轮磨削平面曲线后刀面姿态定义，则有砂轮端圆中心点O_g在平面曲线坐标系下表达为：

其砂轮轴矢量F_g在平面曲线坐标系下表达为：

(4)直线刃部分后刀面

定义直线刃后刀面的法矢为F_g0；当磨削直线刃部分后刀面时，为了防止砂轮与其它刀刃发生干涉，砂轮绕矢量F_g0旋转砂轮摆角μ；添加砂轮摆角后，砂轮轴矢量不变，同时对砂轮摆角μ进行线性过渡保证连续性，其表达为：

则砂轮端圆中心点O_g坐标在直线刃坐标系下表达为

其砂轮轴矢量F_g在直线刃坐标系下表达为：

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