CN103047393B - 基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副，该蜗轮蜗杆啮合副包括相互啮合的蜗轮和蜗杆，所述蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Г₁与蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Г₂为共轭曲线，且所述蜗杆的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Г₁等距的圆心曲线Г₁'运动的球面族管状包络面，所述蜗轮的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Г₂等距的圆心曲线Г'₂运动的球面族管状包络面。本发明基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，相互啮合的蜗轮和蜗杆的齿廓曲面均为球面族管状包络面，且蜗轮和蜗杆之间的啮合点沿着共轭曲线运动；该蜗轮蜗杆啮合副继承了共轭曲线的啮合特点，并且凹凸点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、磨损小。

Description

基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副

技术领域

本发明属于蜗轮蜗杆传动技术领域，具体的为一种基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副。

背景技术

蜗杆传动是传递交错轴间的动力或运动的传动机构。轴线在空间交错使得主要运动特性为相对滑动而不是相对滚动，即其共轭齿面接触点的相对速度总大于蜗杆或蜗轮的圆周速度，齿面易产生磨料磨损和粘着性磨损。目前的圆柱蜗杆传动主要分为直纹面圆柱蜗杆传动和曲纹面圆柱蜗杆传动。直纹面圆柱蜗杆传动共轭齿面的啮合为凸面和凸面相接触，而曲纹面中的圆弧齿圆柱蜗杆传动齿面的啮合为凸面(蜗轮)和凹面(蜗杆)相接触，因此圆弧齿圆柱蜗杆传动具有较大的诱导曲率半径，对液体动压油膜的形成、降低赫兹应力值具有良好的几何条件。

圆弧齿圆柱蜗杆传动存在线接触和点接触两种啮合制的传动形式，当采用对偶范成法加工时，蜗杆传动为线接触；当采用非对偶范成法加工时，蜗杆传动为点接触。一般情况下线接触啮合副齿面间的滑动率大，齿廓间未实现良好润滑时金属直接接触齿面磨损严重，易产生热量和功耗，降低传动效率；而点接触能实现合理的啮合部位，安装、工艺性好，能补偿制造和安装误差，可以减少刀具的品种降低成本，能提高承载能力和传动效率。但是目前的圆弧齿蜗杆传动中将蜗杆的齿面设计为凹面，啮合过程中蜗杆易产生热量，齿面易产生粘着磨损，降低蜗杆传动的效率和使用寿命。

有鉴于此，本发明旨在探索一种基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副，该基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副具有接触强度大、承载能力高和跑合性能良好的有点，并容易在啮合齿面间形成润滑油膜，延长蜗轮蜗杆的使用寿命，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提出一种基于共轭曲线的蜗杆、蜗轮及其啮合副，该基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副具有接触强度大、承载能力高和跑合性能良好的有点，并容易在啮合齿面间形成润滑油膜，延长蜗轮蜗杆的使用寿命，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

要实现上述技术目的，本发明首先提出了一种基于共轭曲线的蜗杆，该蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧，且该蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

式中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值；

所述蜗杆的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ₁'为接触曲线Γ₁沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定方向法线的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量。

进一步，所述蜗杆的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

式中，φ₁、α₁为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，0≤α₁≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

本发明还提出了一种与如上所述蜗杆啮合的基于共轭曲线的蜗轮，该蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧，且该蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂与所述接触曲线Γ₁为共轭曲线，其曲线方程为：

其中，t为曲线参数；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处沿给定方向的法线矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量；

所述蜗轮的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定方向法线的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。

进一步，所述蜗轮的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

式中，φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₂≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

本发明还提出了一种基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，包括相互啮合的蜗轮和蜗杆，所述蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线，且所述蜗杆的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Γ₁等距的圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，所述蜗轮的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Γ₂等距的圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面。

进一步，所述接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

根据共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗轮蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处沿给定法线方向的法矢；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量。

进一步，所述圆心曲线Γ₁'的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

所述圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定方向法线的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定方向法线的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。

进一步，所述蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧曲线，所述蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧曲线。

进一步，所述蜗杆的齿廓曲面方程Σ₁为：

${\mathrm{\Σ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

所述蜗轮的齿廓曲面方程Σ₂为：

${\mathrm{\Σ}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

其中，φ₁、α₁、φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₁≤2π，0≤α₂≤2π； 为单参数球面族包络面的啮合方程。

进一步，所述蜗杆、蜗轮之间啮合的公法线与接触曲线Γ₁、接触曲线Γ₂之间的公法线重合。

本发明的有益效果为：

本发明基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，相互啮合的蜗轮和蜗杆的齿廓曲面均为球面族管状包络面，即蜗轮和蜗杆的法面齿廓曲线为圆弧形，其中，蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧形，蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧形，且蜗轮和蜗杆之间的啮合点沿着共轭曲线运动；该蜗轮蜗杆啮合副继承了共轭曲线的啮合特点，并且凸凹点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、磨损小，因此，本发明基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副是一种应用前景广阔的高性能齿轮传动。

附图说明

图1为本发明基于共轭曲线的蜗轮实施例的结构示意图；

图2为本发明基于共轭曲线的蜗杆实施例的结构示意图；

图3为本发明基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副实施例的结构示意图；

图4为本实施例基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副的共轭曲线啮合示意图；

图5为本实施例基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副的齿廓曲面示意图；

图6为本实施例基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副的坐标系示意图；

图7为本实施例基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副的齿廓曲面形成原理图；

图8为本实施例基于共轭曲线的蜗杆蜗轮啮合副的齿廓啮合示意图。

附图标记说明：

1-蜗杆齿廓曲线；2-蜗轮齿廓曲线；3-蜗杆接触曲线Γ₁；4-蜗轮接触曲线Γ₂；5-蜗轮齿廓曲面Σ₂；6-蜗杆齿廓曲面Σ₁。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作详细说明。

如图2所示，为本发明基于共轭曲线的蜗杆实施例的结构示意图。本实施例基于共轭曲线的蜗杆，该蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧，且该蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

式中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值。

蜗杆的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ₁'为接触曲线Γ₁沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定方向的法线矢量的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量。

蜗杆的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

式中，φ₁、α₁为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，0≤α₁≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

本实施例的接触曲线Γ₁设定为圆柱螺旋线，其曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R\cos t\\ y_1=R\sin t\\ z_1=\mathrm{pt}\end{array}\right.$

圆心曲线Γ₁'的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=R\cos t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=R\sin t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=\mathrm{pt}+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

齿廓曲面的曲面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=R\cos t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=R\sin t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=\mathrm{pt}+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{x1}=\frac{-\mathrm{uR}\cos t+v\frac{\mathrm{pR}\sin t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{y1}=-\frac{\mathrm{uR}\sin t-v\frac{\mathrm{pR}\cos t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{z1}=\frac{v\frac{R^2}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\end{array}\right.$

式中R为螺旋曲线所在圆柱面半径；p为螺旋参数。

优选的，接触曲线Γ₁为光滑曲线，使蜗杆啮合过程平稳。

如图1所示，本发明基于共轭曲线的蜗轮实施例的结构示意图。本实施例基于共轭曲线的蜗轮，该蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧，且该蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂与所述接触曲线Γ₁为共轭曲线，由共轭原理可知，接触曲线Γ₂曲线方程为：

其中，t为曲线参数；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处沿给定方向法线的法矢；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量；

蜗轮的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定方向的法线矢量的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。

蜗轮的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

式中，φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₂≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

同理，本实施例的接触曲线Γ₂与接触曲线Γ₁共轭，也为圆柱螺旋线，接触曲线Γ₂曲线方程为：

式中，

$\left\{\begin{array}{c}U=i_{21}{z}_1{n}_{x1}-i_{21}{x}_1{n}_{z1}\\ V=i_{21}{z}_1{n}_{y1}-i_{21}{y}_1{n}_{z1}\\ W=n_{x1}{y}_1-n_{y1}{x}_1-n_{z1}{i}_{21}a\end{array}\right.$

同理可知，蜗轮齿廓曲面的曲面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{\α})\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{x1}=\frac{-\mathrm{uR}\cos t+v\frac{\mathrm{pR}\sin t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{y1}=-\frac{\mathrm{uR}\sin t-v\frac{\mathrm{pR}\cos t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{z1}=\frac{v\frac{R^2}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\end{array}\right.$

其中，R为螺旋曲线所在圆柱面半径；p为螺旋参数。

优选的，接触曲线Γ₂为光滑曲线，使蜗杆啮合过程平稳。

如图3所示，为本发明基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副实施例的结构示意图。本实施例基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，包括相互啮合的蜗轮和蜗杆，蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线，且蜗杆的齿廓曲面为球心沿着与接触曲线Γ₁等距的圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，蜗轮的齿廓曲面为球心沿着与接触曲线Γ₂等距的圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面。

如图6所示，S₀(O-x,y,z)和S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)均为空间固定坐标系，z轴与蜗杆的回转轴线重合，z_p轴与蜗轮的回转轴线重合，两轴线之间的夹角为90°，x轴与x_p轴重合，它们的方向为两轴线的最短距离方向，也就是中心距a；坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与蜗杆固联，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与蜗轮固联，在起始位置时，它们分别与S₀、S_p重合；本实施例的蜗杆蜗轮为右旋，蜗杆以角速度ω₁绕z轴逆时针转动，同时蜗轮以角速度ω₂绕z_p轴转动,从初始位置经过一段时间后蜗杆绕z轴转过角，相应的蜗轮绕z_p轴转过角，接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂在任意接触点P处啮合，由于接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂互为共轭曲线，因此本实施例的蜗轮蜗杆啮合副为共轭啮合。

根据坐标系，接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

根据共轭曲线原理，接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗轮蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处沿给定方向法线的法矢；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量。本实施例蜗杆、蜗轮之间啮合的公法线与接触曲线Γ₁、接触曲线Γ₂之间的公法线重合。

圆心曲线Γ₁'的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定方向的法线矢量的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定方向的法线矢量的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。且本实施例蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧曲线，蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧曲线。

蜗杆的齿廓曲面方程Σ₁为：

${\mathrm{\Σ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

蜗轮的齿廓曲面方程Σ₂为：

${\mathrm{\Σ}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

其中，φ₁、α₁、φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₁≤2π，0≤α₂≤2π； 为单参数球面族包络面的啮合方程。

设定本实施例的蜗杆的接触曲线Γ₁为圆柱螺旋线，其曲线方程为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_1=R\cos t\\ y_1=R\sin t\\ z_1=\mathrm{pt}\end{array}\right]$

有共轭原理可知，蜗轮的接触曲线Γ₂的曲线方程为：

式中，

$\left\{\begin{array}{c}U=i_{21}{z}_1{n}_{x1}-i_{21}{x}_1{n}_{z1}\\ V=i_{21}{z}_1{n}_{y1}-i_{21}{y}_1{n}_{z1}\\ W=n_{x1}{y}_1-n_{y1}{x}_1-n_{z1}{i}_{21}a\end{array}\right.$

蜗杆的齿廓曲面为球心沿着与接触曲线Γ₁等距的圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=R\cos t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=R\sin t+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=\mathrm{pt}+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_1},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_1})=0\end{array}\right.$

蜗轮的齿廓曲面为球心沿着与接触曲线Γ₂等距的圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{\α})\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{{\mathrm{\Σ\φ}}_2},r_{{\mathrm{\Σ\α}}_2})=0\end{array}\right.$

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{x1}=\frac{-\mathrm{uR}\cos t+v\frac{\mathrm{pR}\sin t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{y1}=-\frac{\mathrm{uR}\sin t-v\frac{\mathrm{pR}\cos t}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\\ n_{z1}=\frac{v\frac{R^2}{\sqrt{R^2+p^2}}}{\sqrt{u^2{R}^2+\frac{v^2{p}^2{R}^2+R^4}{R^2+p^2}}}\end{array}\right.$

其中，R为螺旋曲线所在圆柱面半径，p为螺旋参数。

当蜗杆以一定的角速度转动时，啮合点分别沿着接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂移动，同时齿廓移动一个距离在下一个啮合点啮合。此种蜗杆传动方式在跑合前，理论上啮合面仅在P点接触，但加上载荷后，齿面发生弹性变形，再经过一段时间的运转，蜗轮和蜗杆的齿廓曲面逐渐跑合，蜗杆凸圆弧形齿廓在接触点处的曲率半径逐渐增大，蜗轮凹圆弧形齿廓在接触点处的曲率半径逐渐减小，两工作齿面的曲率半径逐渐趋于相等，接触点转化为近似椭圆形状的接触迹，跑合之后，接触面积迅速增大，所以具有很高的抗点蚀抗磨损能力和承载能力。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (10)

1.一种基于共轭曲线的蜗杆，其特征在于：该蜗杆的法面齿廓曲线为凸圆弧，且该蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

式中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值；

所述蜗杆的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ₁'为接触曲线Γ₁沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定法线的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量。

2.根据权利要求1所述基于共轭曲线的蜗杆，其特征在于：所述蜗杆的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_1:=\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\φ}}_1},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\α}}_1})=0\end{array}\right.$

式中，φ₁、α₁为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，0≤α₁≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

3.一种与如权利要求1或2所述蜗杆啮合的基于共轭曲线的蜗轮，其特征在于：该蜗轮的法面齿廓曲线为凹圆弧，且该蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂与所述接触曲线Γ₁为共轭曲线，其曲线方程为：

其中，t为曲线参数；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处给定的法线方向矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量；

所述蜗轮的法面齿廓曲线的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿给定法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定法线的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。

4.根据权利要求3所述基于共轭曲线的蜗轮，其特征在于：所述蜗轮的齿廓曲面为球心沿着圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面，其曲面方程为：

${\mathrm{\Σ}}_2:=\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\φ}}_2},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\α}}_2})=0\end{array}\right.$

式中，φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₂≤2π；为单参数球面族包络面的啮合方程。

5.一种基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，包括相互啮合的蜗轮和蜗杆，其特征在于：所述蜗杆的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与蜗轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线，且所述蜗杆的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Γ₁等距的圆心曲线Γ₁'运动的球面族管状包络面，所述蜗轮的齿廓曲面为球心沿着与所述接触曲线Γ₂等距的圆心曲线Γ'₂运动的球面族管状包络面。

6.根据权利要求5所述基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，其特征在于：所述接触曲线Γ₁的曲线方程为：

${\mathrm{\Γ}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\left(t\right)\\ y_1=y_1\left(t\right)\\ z_1=z_1\left(t\right)\end{array}\right.,t_1\≤t\≤t_2$

根据共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，t为曲线参数；t₁、t₂为曲线起始啮合点和结束啮合点处参数t的取值；分别为蜗杆、蜗轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为蜗轮蜗杆传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处给定方向的法线矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量。

7.根据权利要求6所述基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，其特征在于：所述圆心曲线Γ₁'的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{x1}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{y1}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·n_{z1}\end{array}\right.$

所述圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{x2}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{y2}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_2\·n_{z2}\end{array}\right.$

其中，ρ₁为接触曲线Γ₁与圆心曲线Γ₁'之间的距离；ρ₂为接触曲线Γ₂与圆心曲线Γ'₂的距离；n_x1、n_y1、n_z1为啮合点处给定法线的单位矢量在蜗杆坐标系下沿各坐标轴的分量；n_x2、n_y2、n_z2为啮合点处给定法线的单位矢量在蜗轮坐标系下沿各坐标轴的分量。

8.根据权利要求7所述基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，其特征在于：所述蜗杆的齿廓曲线在法面内为凸圆弧曲线，所述蜗轮的齿廓曲线在法面内为凹圆弧曲线。

9.根据权利要求8所述基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，其特征在于：所述蜗杆的齿廓曲面方程Σ₁为：

${\mathrm{\Σ}}_1:=\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=x_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\α}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=y_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\α}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=z_{1\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\α}}_1)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\φ}}_1},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\α}}_1})=0\end{array}\right.$

所述蜗轮的齿廓曲面方程Σ₂为：

${\mathrm{\Σ}}_2:=\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=x_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\α}}_2\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=y_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\α}}_2\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=z_{2\mathrm{\ρ}}+{\mathrm{\ρ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ \mathrm{\Φ}(t,{\mathrm{\φ}}_2,{\mathrm{\α}}_2)\≡(r_{\mathrm{\Σt}},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\φ}}_2},r_{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\α}}_2})=0\end{array}\right.$

其中，φ₁、α₁、φ₂、α₂为球面参数，且满足-0.5π≤φ₁≤0.5π，-0.5π≤φ₂≤0.5π，0≤α₁≤2π，0≤α₂≤2π； 为单参数球面族包络面的啮合方程。

10.根据权利要求9所述基于共轭曲线的蜗轮蜗杆啮合副，其特征在于：所述蜗杆、蜗轮之间啮合的公法线与接触曲线Γ₁、接触曲线Γ₂之间的公法线重合。