CN105202115A - 基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，包括相互多点接触啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合曲面为管状曲面，凸齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线和凹齿齿轮上由啮合点构成的接触曲线为共轭曲线，本发明的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，啮合副的啮合方式为凸齿齿轮齿面与凹齿齿轮齿面同时多点接触，接触点在各齿面的接触轨迹均为光滑的空间曲线。该传动继承了共轭曲线的啮合特点，并且点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、滑动率大幅降低、磨损小。

Description

基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，具体的为一种基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副。

背景技术

齿轮作为一种典型的机械基础件，在很大程度上决定着装备的性能，因而针对高性能齿轮传动元件的设计也具有十分重要的意义和工程实用价值。传统齿轮传动如螺旋齿轮传动、蜗杆蜗轮传动，锥齿轮副、准双曲线副等，齿面均为共轭曲面，啮合齿廓均为凸齿廓，在啮合过程中，通常为线接触，因此齿面的承载能力低，齿面间滑动率大，齿面磨损严重。

生产和科技的发展对高速、重载、大功率的齿轮传动装置提出了更高的要求，因此圆弧齿轮取得了巨大的发展。圆弧齿轮是一种点接触传动形式，其突出的特点是啮合齿廓为凸圆弧齿廓与凹圆弧齿廓的点接触啮合，并且其啮合近似纯滚动。圆弧齿轮跑和之后，接触点扩展成接触面，接触强度大幅增加。目前，公开号为102853054A与103075493A的两个专利均公开了一种基于共轭曲线的齿轮及其啮合副，以上两专利中的齿轮的齿廓曲面均为球心沿圆心曲线运动的球族管状包络面，其齿廓曲面均为圆弧，由该齿轮组成的啮合副在相互啮合时，其啮合点只有一个，这种齿轮啮合副在初始制造时具有点接触特性，若要获得比较好的接触特性，这种齿轮必须经过跑和，为了增加跑和性能，这种齿轮的齿面一般采用软齿面或中硬齿面。跑和将增加企业的制造成本，并且在实际应用之中，硬齿面相对于软齿面和中硬齿面具有更高的接触强度和承载能力，因此当前需要一种根据使用需求，在初始制造时能具有多点接触特性，使得点接触的齿轮传动也可设计为硬齿面并可应用于高强度要求的工业场合，同时大大缩短现有点接触齿轮的跑合时间甚至无需跑合既能达到使用要求，有效降低企业的生产制造成本。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是克服现有技术的缺陷，提供一种可根据使用需求，具有多点接触特性的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副。

本发明公开的一种基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，包括相互点啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮且啮合点为多个，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合曲面为管状曲面；

进一步，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为3个且啮合点分布于其齿廓的不同截面上；

进一步，所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；

所述接触曲线l₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=rcos{\mathrm{\θ}}_1\\ y_1={\mathrm{rsin\θ}}_1\\ z_1={\mathrm{p\θ}}_1\end{array}\right.$

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

所述接触曲线l₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=rcos({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_1)\\ y_2=rsin({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_1)\\ z_2=p{\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.$

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

所述接触曲线l₃的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_3=rcos({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_2)\\ y_3=rsin({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_2)\\ z_3=p{\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.$

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

进一步，所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面∑₁、曲面∑₂和曲面∑₃；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括曲面∑'₁、曲面∑'₂和曲面∑'₃；

所述曲面∑₁方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_1}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_1+h_1{n}_{x1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),{\mathrm{rcos\θ}}_1+h_1{n}_{y1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),p+h_1{n}_{z1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right)\}$

其中h₁为所述齿廓曲面的半径，n_x1、n_y1和n_z1分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₁分别表示一般球面L₁参数；

所述曲面∑₂方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_2}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_2+h_2{n}_{x2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),{\mathrm{rcos\θ}}_2+h_2{n}_{y2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),p+h_2{n}_{z2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\}$

其中h₂为所述齿廓曲面的半径，n_x2、n_y2和n_z2分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₂分别表示一般球面L₂参数；

所述曲面∑₃方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_3}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_3+h_3{n}_{x3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),{\mathrm{rcos\θ}}_3+h_3{n}_{y3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),p+h_3{n}_{z3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\}$

其中h₃为所述齿廓曲面的半径，n_x3、n_y3和n_z3分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₃分别表示一般球面L₃参数；

所述曲面∑'₁方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_1}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_1-{\mathrm{hn}}_{x1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),{\mathrm{rcos\θ}}_1-h_1{n}_{y1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),p-h_1{n}_{z1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right)\}$

其中h₁为所述齿廓曲面的半径，n_x1、n_y1和n_z1分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₁分别表示一般球面L₁参数；

所述曲面∑'₂方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_2}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_2-h_2{n}_{x2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),{\mathrm{rcos\θ}}_2-h_2{n}_{y2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),p-h_2{n}_{z2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\}$

其中h₂为所述齿廓曲面的半径，n_x2、n_y2和n_z2分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₂分别表示一般球面L₂参数；

所述曲面∑'₃方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_3}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_3-h_3{n}_{x3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),{\mathrm{rcos\θ}}_3-h_3{n}_{y3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),p-h_3{n}_{z3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\}$

其中h₃为所述齿廓曲面的半径，n_x3、n_y3和n_z3分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₃分别表示一般球面L₃参数；

进一步，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为4个并分别为啮合点p₁、啮合点p₂、啮合点p₃和啮合点p₄；所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；所述啮合点p₁分布于接触曲线l₁上，啮合点p₂以及啮合点p₃分布于接触曲线l₂上，啮合点p₄分布于接触曲线l₃上；所述接触曲线l₂为二次抛物曲线，接触曲线l₁和接触曲线l₃均为圆弧曲线并沿齿宽方向分列于接触曲线l₂两侧；

进一步，所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面∑₁；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括相互平滑过渡的曲面∑'₁、曲面∑'₂和曲面∑'₃；

所述曲面∑₁的方程为：

式中，

$r_{{\mathrm{\θ}}_c}=\{-r_c{\mathrm{sin\θ}}_c+h_{1c}{n}_{x1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right),r_c{\mathrm{cos\θ}}_c+h_{1c}{n}_{y1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right),p_c+h_{1c}{n}_{z1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right)\}$

其中r_c表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_c表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_c表示螺旋参数；h_1c表示啮合管齿面半径，n_x1c、n_y1c和n_z1c分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_c分别表示一般球面参数；

所述曲面∑'₁的方程为：

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负；

所述曲面∑'₂的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

所述曲面∑'₃的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}3}=\left({\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{sin\α}}^{\′}+X^{\′}\right){\mathrm{cos\φ}}_1-\left(-{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}\right){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}3}=\left({\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{sin\α}}^{\′}+X^{\′}\right){\mathrm{sin\φ}}_1-{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}{\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}3}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}+{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X’为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X’为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L’为正，同侧L’为负；

进一步，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为5个并分别为啮合点p₁、啮合点p₂、啮合点p₃啮合点p₄以及啮合点p₅；所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；所述啮合点p₁以及啮合点p₂分布于接触曲线l₁上，啮合点p₃分布于接触曲线l₂上，啮合点p₄以及啮合点p₅分布于接触曲线l₃上；接触曲线l₂为圆弧曲线，所述接触曲线l₁以及接触曲线l₃均为二次抛物曲线并沿齿宽方向分列于接触曲线l₂两侧；

进一步，所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面∑₁；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括相互平滑过渡的曲面∑'₁、曲面∑'₂和曲面∑'₃；

所述曲面∑₁的方程为：

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_m}=\{-r_m{\mathrm{sin\θ}}_m+h_{1m}{n}_{x1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right),r_m{\mathrm{cos\θ}}_m+h_m{n}_{y1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right),p_m+h_m{n}_{z1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\}$

其中r_m表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_m表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_m表示螺旋参数；h_1m表示啮合管齿面半径，n_x1m、n_y1m和n_z1m分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_m分别表示一般球面参数；

所述曲面∑'₁的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.;$

所述曲面∑'₂的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=\left(\mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\α}+X\right){\mathrm{cos\φ}}_1-\left(-\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+L\right){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=\left(\mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\α}+X\right){\mathrm{sin\φ}}_1-\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+{\mathrm{Lcos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}+\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+L\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负；

所述曲面∑'₃的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}3}=(t^{\′}{\mathrm{cos\α}}_n-\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t{\′}^2}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}3}=(t^{\′}{\mathrm{cos\α}}_n-\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}3}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right..$

本发明的有益效果是：本发明的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，啮合副的啮合方式为凸齿齿轮齿面与凹齿齿轮齿面同时多点接触，接触点在各齿面的接触轨迹均为光滑的空间曲线。该传动继承了共轭曲线的啮合特点，并且点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、滑动率大幅降低、磨损小，同时，可根据使用需求不同，运用不同的接触曲线实现齿轮啮合时同时具有一点、两点或者多点接触，解决了现有采用齿廓曲面均为球心沿圆心曲线运动的球族管状包络面的点接触齿轮在啮合时只具有一点接触的限制，因此，基于共轭曲线的多点接触齿轮传动是一种应用前景广阔的高性能齿轮传动。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：

图1为本发明的具有三点接触的圆柱齿轮的齿面结构示意图；

图2为本发明的具有三点接触的圆柱齿轮的啮合示意图；

图3为本发明的具有三点接触的圆柱齿轮的齿廓曲面推导示意图；

图4为本发明的具有局部四点接触的圆柱齿轮的齿面结构示意图；

图5为本发明的具有局部四点接触的圆柱齿轮的啮合示意图；

图6为本发明的具有沿全齿宽方向四点对称接触的圆柱齿轮的齿面结构示意图；

图7为本发明的具有沿全齿宽方向四点对称接触的圆柱齿轮的啮合示意图；

图8为本发明的具有四点接触的圆柱齿轮的齿廓曲面推导示意图；

图9为本发明的具有五点对称接触的圆柱齿轮的齿面结构示意图；

图10为本发明的具有五点对称接触的圆柱齿轮的啮合示意图；

图11为本发明的具有五点对称接触的齿廓曲面推导示意图。

具体实施方式

如图1、图2、图3所示的实施例中，在齿面局部异截面内选取三段齿廓曲线为圆弧曲线形式，确定最优点接触压力角以实现在不同截面的一般分布三点接触。如图1、2所示，基于共轭曲线啮合理论构建的凸、凹管状啮合齿面形成配对啮合副，啮合副在轴向方向沿接触点轨迹运动，两者在齿面局部异截面内呈一般三点接触；

选用圆柱螺旋线作为齿面共轭接触曲线。如图3所示，在空间坐标系下l₁、l₂和l₃分别为圆柱面上的三条螺旋曲线，满足曲线l₂相对曲线l₁绕中心轴线旋转角度Δθ₁，满足曲线l₃相对曲线l₁绕中心轴线旋转角度Δθ₂。

假定圆柱螺旋线l₁的曲线方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=rcos{\mathrm{\θ}}_1\\ y_1={\mathrm{rsin\θ}}_1\\ z_1={\mathrm{p\θ}}_1\end{array}\right.$

其中r表示圆柱螺旋线l₁半径，θ₁表示圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p表示圆柱螺旋线的螺旋参数。

曲线l₂相对曲线l₁绕中心轴线旋转角度Δθ₁，基于坐标变换矩阵，可得圆柱螺旋线l₂的曲线方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=rcos({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_1)\\ y_2=rsin({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_1)\\ z_2=p{\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.$

同理，曲线l₃相对曲线l₁绕中心轴线旋转角度Δθ₂，基于坐标变换矩阵，可得圆柱螺旋线l₃的曲线方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_3=rcos({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_2)\\ y_3=rsin({\mathrm{\θ}}_1-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}_2)\\ z_3=p{\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.$

三个接触点在齿面上的运行轨迹分别为圆柱螺旋线l₁、l₂和l₃，特别注意地是，应当满足三个接触点不在同一截面内，即呈异截面分布，该齿面主要包括三段曲面：

(1)已知圆柱螺旋线l₁的表达式，基于啮合管齿面构建理论与方法，可得曲线l₁成形的曲面∑₁方程为

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_1}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_1\±h_1{n}_{x1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),{\mathrm{rcos\θ}}_1\±h_1{n}_{y1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right),p\±h_1{n}_{z1}\left({\mathrm{\θ}}_1\right)\}$

其中符号“±”分别表示可成形凸、凹管状啮合齿面，h₁表示所成形的啮合管齿面半径，n_x1、n_y1和n_z1分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₁分别表示一般球面L₁参数。

(2)已知圆柱螺旋线l₂的表达式，基于啮合管齿面构建理论与方法，可得曲线l₂成形的曲面∑₂方程为

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_2}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_2\±h_2{n}_{x2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),{\mathrm{rcos\θ}}_2\±h_2{n}_{y2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right),p\±h_2{n}_{z2}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\}$

其中符号“±”分别表示可成形凸、凹管状啮合齿面，h₂表示所成形的啮合管齿面半径，n_x2、n_y2和n_z2分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₂分别表示一般球面L₂参数。

(3)已知圆柱螺旋线l₃的表达式，基于啮合管齿面构建理论与方法，可得曲线l₃成形的曲面∑₃方程为

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_3}=\{-{\mathrm{rsin\θ}}_3\±h_3{n}_{x3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),{\mathrm{rcos\θ}}_3\±h_3{n}_{y3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right),p\±h_3{n}_{z3}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\}$

其中符号“±”分别表示可成形凸、凹管状啮合齿面，h₃表示所成形的啮合管齿面半径，n_x3、n_y3和n_z3分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₃分别表示一般球面L₃参数。

如图4、图5所示的另一个实施例中，在齿面局部异截面内选取三段齿廓曲线，前后两段齿廓曲线为圆弧曲线形式，中间齿廓曲线为二次抛物曲线形式，确定最优点接触压力角以实现局部四点对称接触。如图5所示，基于共轭曲线啮合理论构建的凸、凹管状啮合齿面形成配对啮合副，啮合副在轴向方向沿接触点轨迹运动，两者在齿面局部异截面内呈局部四点对称接触。

如图6、图7所示的另一个实施例中，在齿面沿齿宽方向的不同截面内选取不同段齿廓曲线，前后两段齿廓曲线为圆弧曲线形式，中间齿廓曲线为二次抛物曲线形式，确定最优点接触压力角以实现沿齿宽方向四点对称接触。如图7所示，基于共轭曲线啮合理论构建的凸、凹管状啮合齿面形成配对啮合副，啮合副在轴向方向沿接触点轨迹运动，两者在沿齿宽方向呈四点对称接触。

如图8所示，在轮齿齿面上选取三段齿廓曲线，其中前、后两段齿廓曲线为圆弧曲线形式，中间齿廓曲线为二次抛物曲线形式。啮合过程中，圆弧齿廓在各自截面区域内呈单点接触，抛物线齿廓在其截面区域内呈双点接触，啮合副构成四点接触状态。

(1)凸齿面

凸齿面全部采用圆弧齿廓形式，其齿面一般方程可参考啮合管齿面形成方法，进一步表示为

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_c}=\{-r_c{\mathrm{sin\θ}}_c+h_{1c}{n}_{x1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right),r_c{\mathrm{cos\θ}}_c+h_{1c}{n}_{y1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right),p_c+h_{1c}{n}_{z1c}\left({\mathrm{\θ}}_c\right)\}$

其中r_c表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_c表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_c表示螺旋参数；h_1c表示啮合管齿面半径，n_x1c、n_y1c和n_z1c分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_c分别表示一般球面参数。

(2)凹齿面

凹齿面由三部分组成，包括圆弧齿廓c₁段、抛物线齿廓c₂段和圆弧齿廓c₃段。

1)圆弧齿廓c₁段齿面方程

假定圆弧齿廓c₁表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c1}=\mathrm{\ρ}cos\mathrm{\α}+X\\ y_{c1}=\mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\α}+L\\ z_{c1}=0\end{array}\right.$

其中ρ表示圆弧齿廓半径；α表示齿形角，决定了接触点在圆弧中的位置；X，L分别表示圆弧中心距离坐标系y轴和x轴的距离。

采用齿轮啮合理论运动学方法推导齿面方程，法面圆弧齿廓c₁做螺旋运动形成的齿面∑₁方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=(\mathrm{\ρ}sin\mathrm{\α}+X)cos{\mathrm{\φ}}_1-(-\mathrm{\ρ}cos\mathrm{\α}+L)cos\mathrm{\β}sin{\mathrm{\φ}}_1+r_{1}cos{\mathrm{\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=(\mathrm{\ρ}sin\mathrm{\α}+X){\mathrm{sin\φ}}_1-\mathrm{\ρ}cos\mathrm{\α}+{\mathrm{Lcos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}+\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+L\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负。

2)二次抛物线齿廓c₂段齿面方程

假定二次抛物线齿廓c₂表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c2}=t\\ y_{c2}=\frac{t^2}{2A}\\ z_{c2}=0\end{array}\right.$

式中t为自变量参数；A为抛物线参数，且为A＝ρcosα。

同理，二次抛物线齿廓做螺旋运动形成的齿面∑₂方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

3)圆弧齿廓c₃段齿面方程

圆弧齿廓c₃段齿面方程与圆弧齿廓c₁段齿面方程推导方法相同，假定圆弧齿廓c₃表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{c3}={\mathrm{\ρ}}^{\′}cos{\mathrm{\α}}^{\′}+X^{\′}\\ y_{c3}={\mathrm{\ρ}}^{\′}sin{\mathrm{\α}}^{\′}+L^{\′}\\ z_{c3}=0\end{array}\right.$

其中ρ'表示圆弧齿廓半径；α'表示齿形角，决定了接触点在圆弧中的位置；X’，L’分别表示圆弧中心距离坐标系y轴和x轴的距离。

采用齿轮啮合理论运动学方法推导齿面方程，法面圆弧齿廓c₃做螺旋运动形成的齿面∑₃方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}3}=\left({\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{sin\α}}^{\′}+X^{\′}\right){\mathrm{cos\φ}}_1-\left(-{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}\right){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}3}=\left({\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{sin\α}}^{\′}+X^{\′}\right){\mathrm{sin\φ}}_1-{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}{\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}3}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}+{\mathrm{\ρ}}^{\′}{\mathrm{cos\α}}^{\′}+L^{\′}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X’为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X’为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L’为正，同侧L’为负。

综上，当两段圆弧齿廓与中部二次抛物线齿廓分布较紧密时可实现局部四点对称接触；当两段圆弧齿廓与中部二次抛物线齿廓分布沿全齿宽方向时可实现沿全齿宽方向四点对称接触。

如图9、10、11所示的实施例中，在齿面沿齿宽方向的不同截面内选取不同段齿廓曲线，前后两段齿廓曲线为二次抛物曲线形式，中间齿廓曲线为圆弧曲线形式，确定最优点接触压力角以实现沿齿宽方向的对称五点接触。如图10所示，基于共轭曲线啮合理论构建的凸、凹管状啮合齿面形成配对啮合副，啮合副在轴向方向沿接触点轨迹运动，两者在沿齿宽方向呈五点对称接触。

齿面方程：

在轮齿齿面上选取三段齿廓曲线，其中前后两段齿廓曲线为二次抛物曲线形式，中间齿廓曲线为圆弧曲线形式。啮合过程中，圆弧齿廓在各自截面区域内呈单点接触，抛物线齿廓在其截面区域内呈双点接触，啮合副构成五点接触状态。

(1)凸齿面

凸齿面仍全部采用圆弧齿廓形式，其齿面方程参考啮合管齿面成形方法，表示为

式中

$r_{{\mathrm{\θ}}_m}=\{-r_m{\mathrm{sin\θ}}_m+h_{1m}{n}_{x1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right),r_m{\mathrm{cos\θ}}_m+h_m{n}_{y1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right),p_m+h_m{n}_{z1m}\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\}$

其中r_m表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_m表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_m表示螺旋参数；h_1m表示啮合管齿面半径，n_x1m、n_y1m和n_z1m分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_m分别表示一般球面参数。

(2)凹齿面

凹齿面由三部分组成，包括二次抛物线齿廓m₁段、圆弧齿廓m₂段和二次抛物线齿廓m₃段。

1)二次抛物线齿廓m₁段齿面方程

假定二次抛物线齿廓m₁表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{m1}=t\\ y_{m1}=\frac{t^2}{2A}\\ z_{m1}=0\end{array}\right.$

式中t为自变量参数；A为抛物线参数，且为A＝ρcosα。

同理，二次抛物线齿廓做螺旋运动形成的齿面∑₁方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}1}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}1}=({\mathrm{tcos\α}}_n-\frac{t^2}{2A}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}1}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-({\mathrm{tsin\α}}_n+\frac{t^2}{2A}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

2)圆弧齿廓m₂段齿面方程

假定圆弧齿廓m₂表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{m2}=\mathrm{\ρ}cos\mathrm{\α}+X\\ y_{m2}=\mathrm{\ρ}sin\mathrm{\α}+L\\ z_{m2}=0\end{array}\right.$

其中ρ表示圆弧齿廓半径；α表示齿形角，决定了接触点在圆弧中的位置；X，L分别表示圆弧中心距离坐标系y轴和x轴的距离。

采用齿轮啮合理论运动学方法推导齿面方程，法面圆弧齿廓c₁做螺旋运动形成的齿面∑₂方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}2}=\left(\mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\α}+X\right){\mathrm{cos\φ}}_1-\left(-\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+L\right){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}2}=\left(\mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\α}+X\right){\mathrm{sin\φ}}_1-\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+{\mathrm{Lcos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}2}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}+\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\α}+L\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负。

3)二次抛物线齿廓m₃段齿面方程

假定二次抛物线齿廓m₃表示为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{m3}=t^{\′}\\ y_{m3}=\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}\\ z_{m3}=0\end{array}\right.$

式中t'为自变量参数；A'为抛物线参数，且为A'＝ρcosα。

同理，二次抛物线齿廓做螺旋运动形成的齿面∑₃方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{\Σ}3}=(t^{\′}{\mathrm{cos\α}}_n-\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{cos\φ}}_1\\ -(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t{\′}^2}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βsin\φ}}_1+r_1{\mathrm{cos\φ}}_1\\ y_{\mathrm{\Σ}3}=(t^{\′}{\mathrm{cos\α}}_n-\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{sin\α}}_n+(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{sin\α}}_n){\mathrm{sin\φ}}_1\\ +(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n){\mathrm{cos\βcos\φ}}_1+r_1{\mathrm{sin\φ}}_1\\ z_{\mathrm{\Σ}3}=r_1{\mathrm{\φ}}_1\cot \mathrm{\β}-(t^{\′}{\mathrm{sin\α}}_n+\frac{t^{\′2}}{2A^{\′}}{\mathrm{cos\α}}_n-(\frac{{\mathrm{\ρsin}}^2\mathrm{\α}}{2\cos \mathrm{\α}}+A^{\′}){\mathrm{cos\α}}_n)\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (8)

1.一种基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：包括相互点啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮且啮合点为多个，所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合曲面为管状曲面。

2.根据权利要求1所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为3个且啮合点分布于其齿廓的不同截面上。

3.根据权利要求2所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；

所述接触曲线l₁的曲线方程为：

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

所述接触曲线l₂的曲线方程为：

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

所述接触曲线l₃的曲线方程为：

其中r为圆柱螺旋线l₁半径，θ₁为圆柱螺旋线l₁的曲线参数，其取值范围为θ_1i≤θ₁≤θ_1o，p为圆柱螺旋线的螺旋参数；

4.根据权利要求2所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面Σ₁、曲面Σ₂和曲面Σ₃；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括曲面Σ'₁、曲面Σ'₂和曲面Σ'₃；

所述曲面Σ₁方程为：

式中

其中h₁为所述齿廓曲面的半径，n_x1、n_y1和n_z1分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₁分别表示一般球面L₁参数；

所述曲面Σ₂方程为：

式中

其中h₂为所述齿廓曲面的半径，n_x2、n_y2和n_z2分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₂分别表示一般球面L₂参数；

所述曲面Σ₃方程为：

式中

其中h₃为所述齿廓曲面的半径，n_x3、n_y3和n_z3分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₃分别表示一般球面L₃参数；

所述曲面Σ'₁方程为：

式中

其中h₁为所述齿廓曲面的半径，n_x1、n_y1和n_z1分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₁分别表示一般球面L₁参数；

所述曲面Σ'₂方程为：

式中

其中h₂为所述齿廓曲面的半径，n_x2、n_y2和n_z2分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₂分别表示一般球面L₂参数；

所述曲面Σ'₃方程为：

式中

其中h₃为所述齿廓曲面的半径，n_x3、n_y3和n_z3分别表示该段齿廓曲面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α₃分别表示一般球面L₃参数。

5.根据权利要求1所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为4个并分别为啮合点p₁、啮合点p₂、啮合点p₃和啮合点p₄；所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；所述啮合点p₁分布于接触曲线l₁上，啮合点p₂以及啮合点p₃分布于接触曲线l₂上，啮合点p₄分布于接触曲线l₃上；所述接触曲线l₂为二次抛物曲线，接触曲线l₁和接触曲线l₃均为圆弧曲线并沿齿宽方向分列于接触曲线l₂两侧。

6.根据权利要求5所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面Σ₁；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括相互平滑过渡的曲面Σ'₁、曲面Σ'₂和曲面Σ'₃；

所述曲面Σ₁的方程为：

式中，

其中r_c表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_c表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_c表示螺旋参数；h_1c表示啮合管齿面半径，n_x1c、n_y1c和n_z1c分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_c分别表示一般球面参数；

所述曲面Σ'₁的方程为：

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负；

所述曲面Σ'₂的方程为：

所述曲面Σ'₃的方程为：

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X’为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X’为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L’为正，同侧L’为负。

7.根据权利要求1所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮和凹齿齿轮的啮合点为5个并分别为啮合点p₁、啮合点p₂、啮合点p₃啮合点p₄以及啮合点p₅；所述凸齿齿轮或凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的三条接触曲线分别为接触曲线l₁、接触曲线l₂和接触曲线l₃；所述啮合点p₁以及啮合点p₂分布于接触曲线l₁上，啮合点p₃分布于接触曲线l₂上，啮合点p₄以及啮合点p₅分布于接触曲线l₃上；接触曲线l₂为圆弧曲线，所述接触曲线l₁以及接触曲线l₃均为二次抛物曲线并沿齿宽方向分列于接触曲线l₂两侧。

8.根据权利要求7所述的基于共轭曲线的多点接触圆柱齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮的齿廓曲面包括曲面Σ₁；所述凹齿齿轮的齿廓曲面包括相互平滑过渡的曲面Σ'₁、曲面Σ'₂和曲面Σ'₃；

所述曲面Σ₁的方程为：

式中

其中r_m表示圆柱螺旋线所在的圆柱半径，θ_m表示圆柱螺旋线的曲线参数，p_m表示螺旋参数；h_1m表示啮合管齿面半径，n_x1m、n_y1m和n_z1m分别表示该段啮合管齿面过接触点处的法矢量在各坐标轴方向上的分量，参数和α_m分别表示一般球面参数；

所述曲面Σ'₁的方程为：

所述曲面Σ'₂的方程为：

式中，φ₁为齿轮旋转角度，r₁为齿轮节圆柱半径，β为轮齿螺旋角。齿廓圆心位于齿轮节圆柱之外X为正，齿廓圆心位于齿轮节圆柱之内X为负；齿廓圆心位于齿形对称轴线的异侧L为正，同侧L为负；

所述曲面Σ'₃的方程为：