CN106126844A - 一种内切面齿轮的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种内切面齿轮的设计方法,所述内切面齿轮与外切面齿轮可构成“面‑面”齿轮副,其设计方法包括以下步骤:1、确定内切和外切面齿轮生成的基本条件；2、推导内切面齿轮齿面方程和啮合方程；3、给出内切面齿轮界限条件；4、确定“面‑面”齿轮副的共轭啮合条件；5、建立三维模型。根据本发明实施例的“内切”面齿轮的设计方法，实现内切面齿轮齿面的精确三维建模，用Pro/E软件描述了内切面齿轮和外切面齿轮的共轭啮合，从而构成“面‑面”齿轮副。由内切面齿轮和外切面齿轮构成的“面‑面”齿轮副，具有结构紧凑、重合度大、体积小、零件少、传动比大、承载能力强等优点，在直升机、盾构机等大功率传动领域具有良好的应用前景。

Description

一种内切面齿轮的设计方法

技术领域

本发明涉及齿轮设计，加工技术领域，特别涉及一种内切面齿轮的设计方法。

背景技术

“面-面”齿轮副是指内切面齿轮及与之共轭啮合的外切面齿轮所构成的齿轮副。其中外切面齿轮是通过刀具直接切得的，通常与渐开线齿轮组成面齿轮副，广泛应用于鱼竿手轮、航空航天、交通运输等领域。由内切面齿轮和外切面齿轮构成的齿轮副一般用于章动传动装置，同样可应用于上述领域，更适合大功率传动系统中。

相关技术中，已对“面-面”齿轮副中外切面齿轮的全齿面进行了精确建模，但并未对适用于章动传动装置的内切面齿轮提出设计、说明，因此不能精确描述外切面齿轮和内切面齿轮啮合的全部细节特征，有必要进行研究。

发明内容

本发明针对上述技术问题，提出一种基于“面-面”齿轮副的内切面齿轮的设计方法。

为达到以上目的，通过以下技术方案实现的：

一种内切面齿轮的设计方法，包括以下步骤：

步骤一、根据齿轮啮合原理可知，这样直接得到的两个面齿轮间无法共轭啮合，章动面齿轮传动中，为保证共轭啮合，形成“面-面”齿轮副，须采用与真实刀具结构参数相同的假想刀具加工“内切”面齿轮；这时假想刀具的齿面外法矢方向与真实刀具的内法矢方向相同，这样得到的面齿轮就是内切面齿轮；这样由同一刀具加工得到的外切面齿轮与内切面齿轮可共轭啮合，即构成“面-面”齿轮副；进而虚拟外切面齿轮与刀具外切和内切面齿轮与假想刀具内切结构；

设定，β₁和β₂分别为外切面齿轮和内切面齿轮的节锥角，γ_s为刀具的节锥角，γ₁为外切面齿轮和刀具的轴间角，γ₂为内切面齿轮和假想刀具的轴间角，外切面齿轮与内切面齿轮共轭啮合时其节锥和节锥顶点重合；

为保证刀具与外切面齿轮外切，而假想刀具与内切面齿轮内切，其轴间角和节锥角需满足下列条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1-{\mathrm{\&gamma;}}_s<\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2>\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_1<\mathrm{\&pi;}/2\end{array}\right.---\left(1\right)$

给定面齿轮和假想刀具的齿数以及章动角，根据式(2)，即可求出β₁、β₂、γs、γ₁和γ₂；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{m_{2/1}+{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_2=\frac{1+m_{2/1}{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{m_{2/1}{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{1+m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{cot\&gamma;}}_s=\frac{m_{1/s}+{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&gamma;}}_s\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，m_2/1＝z₂/z₁，m_i/s＝z_i/z_s(i＝1，2)，其中z_s、z₁和z₂分别是假想刀具、外切面齿轮和内切面齿轮的齿数,β为章动角，β_m＝180°-β；

步骤二、内切面齿轮齿面方程和啮合方程；

为了推导内切面齿轮的啮合方程，根据空间啮合原理建立空间坐标系，其中S₂₀(O₂₀,X₂₀,Y₂₀,Z₂₀)是与内切面齿轮相固连的固定坐标系，S₀(O,X,Y,Z)是与假想刀具相固连的固定坐标系，S₂(O₂,X₂,Y₂,Z₂)是与内切面齿轮相固连的动坐标系，S_s(O_s,X_s,Y_s,Z_s)是与假想刀具相固连的动坐标系.上述四个坐标系的坐标原点重合，且Z₂₀轴与Z₂轴重合，Z轴与Z_s轴重合，Z轴与Z₂₀轴之间的夹角为γ₂，φ₂角为内切面齿轮的瞬时转角，φ_s为假想刀具的瞬时自转角；

由坐标系S_s到坐标系S₂的变换矩阵M_2s为：

$M_{2s}=M_{220}{M}_{200}{M}_{0s}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& 0\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}& 0\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，

$M_{s0}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=M_{0s}^T$

b₁₁＝cosφ₂cosφ_s+sinφ₂cosγ₂sinφ_s

b₁₂＝-cosφ₂sinφ_s+sinφ₂cosγ₂cosφ_s

b₁₃＝-sinφ₂sinγ₂

b₂₁＝-sinφ₂cosφ_s+cosφ₂cosγ₂sinφ_s

b₂₂＝sinφ₂sinφ_s+cosφ₂cosγ₂cosφ_s

b₂₃＝-cosφ₂sinγ₂

b₃₁＝sinγ₂sinφ_s

b₃₂＝sinγ₂cosφ_s

b₃₃＝cosγ₂

已知假想刀具的齿面方程r_s(θ_s,u_s)为：

$r_s({\mathrm{\&theta;}}_s,u_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ z_s\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}\&lsqb;sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-{\mathrm{\&theta;}}_{s}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ -r_{bs}\&lsqb;cos({\mathrm{\&theta;}}_{so}+{\mathrm{\&theta;}}_s)+{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ u_s\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中，r_bs为假想刀具的基圆半径，θ_s0为假想刀具轮齿对称线到渐开线起始点的角度，θ_s为假想刀具渐开线上任一点的角度，u_s为假想刀具上任一点的轴向参数，x_s、y_s和z_s分别是假想刀具上任一点在x轴、y轴和z轴上的坐标；其中，θ_s0由下式确定：

${\mathrm{\&theta;}}_{s0}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-{\mathrm{inv\&alpha;}}_s---\left(5\right)$

式中，α_s为假想刀具压力角，且invα_s＝tanα_s-α_s；

由式(4)，可得到假想刀具齿面的单位法向量n_s为：

$n_s\left({\mathrm{\&theta;}}_s\right)=\frac{r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s}{|r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s|}=\left[\begin{array}{c}-cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

由式(3)和(4)，可得到内切面齿轮的齿面方程r₂(u_s,θ_s,φ_s)为：

$r_2(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\\ 1\end{array}\right]=M_{2s}\&CenterDot;r_s=\left[\begin{array}{c}{b}_{11}{x}_s+b_{12}{y}_s+b_{13}{z}_s\\ b_{21}{x}_s+b_{22}{y}_s+b_{23}{z}_s\\ b_{31}{x}_s+b_{32}{y}_s+b_{33}{z}_s\\ 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

由式(3)和(6)，可得到内切面齿轮齿面的单位法向量n₂(θ_s,φ_s)为：

$n_2({\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=L_{2s}\&CenterDot;n_s=\left[\begin{array}{c}-b_{11}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{12}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{21}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{22}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{31}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{32}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，L_2s是M_2s的3×3子矩阵；

对于假想刀具齿面上某一点P，设其在坐标系S_s中的矢径r_s为：

r_s＝[x_s y_s z_s]^T＝x_si_s+y_sj_s+z_sk_s (9)

式中，i_s，j_s和k_s为坐标系S_s的单位向量；相应的，设坐标系S₂的单位向量为i₂，j₂和k₂；

点P随同坐标系S_s运动的速度ν_s为：

ν_s＝ω_S×r_s＝ω_sk_s×r_s (10)

点P随同坐标系S₂运动的速度为：

ν₂＝ω₂×r_s＝ω₂k₂×r_s (11)则假想刀具与内切面齿轮齿面接触处的相对速度为：

ν^(s,2)＝ν_s-ν₂＝(ω_sk_s-ω₂k₂)×r_s (12)

由式(3)可得到如下关系式：

k₂＝sinγ₂sinφ_si_s+sinγ₂cosφ_sj_s+cosγ₂k_s (13)

假想刀具和内切面齿轮的齿数比q_2s为：

$q_{2s}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}=\frac{z_s}{z_2}=\frac{1}{q_{s2}}=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&phi;}}_s}---\left(14\right)$

将式(4)、(13)和(14)代入式(12)，整理可得：

$v^{(s,2)}=\left[\begin{array}{c}{v}_x^{(s,2)}\\ v_y^{(s,2)}\\ v_z^{(s,2)}\end{array}\right]={\mathrm{\&omega;}}_s\left[\begin{array}{c}{y}_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s\\ x_s(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)+z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s\\ q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2(x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)\end{array}\right]---\left(15\right)$

由齿轮啮合原理可知，两齿轮齿面的啮合条件为：

n_s·ν^(s,2)＝0 (16)

将式(6)和式(15)代入式(16)，整理可得假想刀具与内切面齿轮的齿面啮合方程为：

f₂(u_s,θ_s,φ_s)＝r_bs(1-q_2scosγ₂)-u_sq_2ssinγ₂cos(φ_s+θ_s+θ_s0)＝0 (17)

则假想刀具的轴向参数u_s可表示为：

$u_s=\frac{r_{bs}(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)}{q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})}---\left(18\right)$

步骤三、内切面齿轮界限条件；

内切面齿轮在利用假想刀具形成过程中，会发生齿根根切和齿槽变尖现象，为了避免这些现象，必须对假想刀具轴向参数u_s进行限制，其中设定和分别为u_s的最小值和最大值；

根据面齿轮不产生根切的条件，有：

$\mathrm{\&Delta;}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_x^{(s,2)}\\ \frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_z^{(s,2)}\\ f_{u_s}& f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}& f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}\end{array}\right|=0---\left(19\right)$

将式(19)整理可得：

$F(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_z^{(s,2)}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s})-\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_x^{(s,2)}{f}_{u_s})+v_x^{(s,2)}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s}-\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{u_s})=0---\left(20\right)$

根据式(4)和式(17)，可得：

$f_{u_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;u_s}=-q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}cos({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(21\right)$

$f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(22\right)$

$f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}={\mathrm{\&omega;}}_s{u}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(23\right)$

$\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}=0;\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0});\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}=1;\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=0---\left(24\right)$

将式(21)～(24)代入式(20)，整理可得：

$\begin{array}{c}{u}_s\sin ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&lsqb;y_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s-r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&rsqb;-\\ (x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})=0\end{array}---\left(25\right)$

式中，θ_s取将式(18)代入上式，即可求φ_s和u_s，其中r_as为假想刀具的齿顶圆半径，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最小值；

当内切面齿轮的齿槽变尖时，有如下关系式：

${\mathrm{\&theta;}}_t-{\mathrm{sin\&theta;}}_t\frac{z_s-2}{z_s{\mathrm{cos\&alpha;}}_s}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-({\mathrm{tan\&alpha;}}_s-{\mathrm{\&alpha;}}_s)---\left(26\right)$

$u_s=\frac{{\mathrm{mz}}_{s}cos\left({\mathrm{\&alpha;}}_s\right)}{2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_t\right)\tan \left({\mathrm{\&gamma;}}_s\right)}---\left(27\right)$

因此，根据假想刀具的基本参数，可求出θ_t的值，代入式(27)即可得到u_s的值，此处u_s为同时，齿槽变尖时，存在如下关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=0\\ -y_2=u_s^{**}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{m2}-(r_{ps}-a_g){\mathrm{cos\&gamma;}}_{m2}\end{array}\right.---\left(28\right)$

式中，r_ps是假想刀具的节圆半径，a_g是假想刀具的齿顶高；

将式(7)和式(18)代入式(28)，求解方程组即可求出φ_s和θ_s，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最大值；根据上述公式，结合表1和表2中给定实例的基本参数，可得到内切面齿轮的界限尺寸值，具体如表3所示。此外，根据外切面齿轮的界限条件，可得到外切面齿轮的界限尺寸值，如表3所示，这里的外切面齿轮是指面齿轮传动中的圆锥齿轮；

步骤四、共轭条件；

以外切面齿轮和内切面齿轮构成的“面-面”齿轮副为例，由于外切面齿轮和内切面齿轮是由同一刀具分别外切、内切形成，故刀具的轴向参数u_s需满足：

$max(u_{s1}^{*},u_{s2}^{*})\&le;u_s\&le;min(u_{s1}^{**},u_{s2}^{**})---\left(29\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸。同时，刀具的自转角φ_s也需满足：

$max({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{*},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{*})\&le;{\mathrm{\&phi;}}_s\&le;min({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{**},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{**})---\left(30\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸；

根据刀具与外切面齿轮、假想刀具与内切面齿轮的啮合方程，整理可得到共轭啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围为：

根据实例的界限尺寸值，即可得到外切面齿轮和内切面齿轮啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围；

步骤五、建立三维模型

刀具展角参数θ_s和刀具自转角参数φ_s的取值范围，结合内切面齿轮的齿面方程，利用Pro/E软件，即可得到内切面齿轮的齿形。

本文中坐标系遵循右手定则，取右手的螺旋方向为正方向。

采用上述技术方案的本发明具有以下优点：由内切面齿轮和外切面齿轮构成的“面-面”齿轮副，具有结构紧凑、重合度大、体积小、零件少、传动比大、承载能力强等优点，在直升机、盾构机等大功率传动领域具有良好的应用前景。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其他目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举较佳实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

图1(a)为本发明的假想刀具结构示意图；

图1(b)为本发明的内切面齿轮结构示意图；

图2(a)为本发明的外切面齿轮与刀具外切结构示意图；

图2(b)为本发明的内切面齿轮与假想刀具内切结构示意图；

图3为本发明的S₀(O,X,Y,Z)坐标系、S₂₀(O₂₀,X₂₀,Y₂₀,Z₂₀)坐标系、S₂(O₂,X₂,Y₂,Z₂)坐标系和S_s(O_s,X_s,Y_s,Z_s)坐标系之间的关系示意图；

图4为本发明的内切面齿轮的限制尺寸示意图；

图5为本发明的内切面齿轮单个轮齿的齿形示意图；

图6为本发明的内切面齿轮的齿形示意图；

图7为本发明的外切面齿轮和内切面齿轮的啮合示意图；

图中：1、外切面齿轮，2、内切面齿轮。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式，对本发明作出进一步详细说明；

一种内切面齿轮的设计方法，包括以下步骤：

步骤一，传统面齿轮传动中，面齿轮的加工是通过刀具(渐开线直齿轮)直接外切得到的，可称为“外切”面齿轮。根据齿轮啮合原理可知，这样直接得到的两个面齿轮间无法共轭啮合。章动面齿轮传动中，为保证共轭啮合，形成“面-面”齿轮副，须采用与真实刀具结构参数相同的假想刀具加工“内切”面齿轮。如图1(a)和图1(b)所示，这时假想刀具的齿面外法矢方向与真实刀具的内法矢方向相同，这样得到的面齿轮就是内切面齿轮。

这样由同一刀具加工得到的外切面齿轮与内切面齿轮可共轭啮合，即构成“面-面”齿轮副。

如图2(a)和图2(b)所示，β₁和β₂分别为外切面齿轮和内切面齿轮的节锥角，γ_s为刀具的节锥角，γ₁为外切面齿轮和刀具的轴间角，γ₂为内切面齿轮和假想刀具的轴间角，外切面齿轮与内切面齿轮共轭啮合时其节锥和节锥顶点重合。

为保证刀具与外切面齿轮外切，而假想刀具与内切面齿轮内切，其轴间角和节锥角需满足下列条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1-{\mathrm{\&gamma;}}_s<\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2>\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_1<\mathrm{\&pi;}/2\end{array}\right.---\left(1\right)$

给定面齿轮和假想刀具的齿数以及章动角，根据式(2)，即可求出β₁、β₂、γ_s、γ₁和γ₂。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{m_{2/1}+{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_2=\frac{1+m_{2/1}{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{m_{2/1}{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{1+m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{cot\&gamma;}}_s=\frac{m_{1/s}+{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&gamma;}}_s\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，m_2/1＝z₂/z₁，m_i/s＝z_i/z_s(i＝1，2)，其中z_s、z₁和z₂分别是假想刀具、外切面齿轮和内切面齿轮的齿数,β_m＝180°-β。

结合实例，给定面齿轮和假想刀具的基本参数，如表1和表2所示。

表1面齿轮的基本参数

表2假想刀具的基本参数

步骤二，内切面齿轮齿面方程和啮合方程；

为了推导内切面齿轮的啮合方程，根据空间啮合原理建立如图3所示的空间坐标系，其中S₂₀(O₂₀,X₂₀,Y₂₀,Z₂₀)是与内切面齿轮相固连的固定坐标系，S₀(O,X,Y,Z)是与假想刀具相固连的固定坐标系，S₂(O₂,X₂,Y₂,Z₂)是与内切面齿轮相固连的动坐标系，S_s(O_s,X_s,Y_s,Z_s)是与假想刀具相固连的动坐标系.上述四个坐标系的坐标原点重合，且Z₂₀轴与Z₂轴重合，Z轴与Z_s轴重合，Z轴与Z₂₀轴之间的夹角为γ₂，φ₂角为内切面齿轮的瞬时转角，φ_s为假想刀具的瞬时自转角，β为章动角。

由图3可得，由坐标系S_s到坐标系S₂的变换矩阵M_2s为：

$M_{2s}=M_{220}{M}_{200}{M}_{0s}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& 0\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}& 0\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，

$M_{s0}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=M_{0s}^T$

b₁₁＝cosφ₂cosφ_s+sinφ₂cosγ₂sinφ_s

b₁₂＝-cosφ₂sinφ_s+sinφ₂cosγ₂cosφ_s

b₁₃＝-sinφ₂sinγ₂

b₂₁＝-sinφ₂cosφ_s+cosφ₂cosγ₂sinφ_s

b₂₂＝sinφ₂sinφ_s+cosφ₂cosγ₂cosφ_s

b₂₃＝-cosφ₂sinγ₂

b₃₁＝sinγ₂sinφ_s

b₃₂＝sinγ₂cosφ_s

b₃₃＝cosγ₂

已知假想刀具的齿面方程r_s(θ_s,u_s)为：

$r_s({\mathrm{\&theta;}}_s,u_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ z_s\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}\&lsqb;sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-{\mathrm{\&theta;}}_{s}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ -r_{bs}\&lsqb;cos({\mathrm{\&theta;}}_{so}+{\mathrm{\&theta;}}_s)+{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ u_s\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中，r_bs为假想刀具的基圆半径，θ_s0为假想刀具轮齿对称线到渐开线起始点的角度，θ_s为假想刀具渐开线上任一点的角度，u_s为假想刀具上任一点的轴向参数，x_s、y_s和z_s分别是假想刀具上任一点在x轴、y轴和z轴上的坐标。其中，θ_s0由下式确定：

${\mathrm{\&theta;}}_{s0}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-{\mathrm{inv\&alpha;}}_s---\left(5\right)$

式中，α_s为假想刀具压力角，且invα_s＝tanα_s-α_s。

由式(4)，可得到假想刀具齿面的单位法向量n_s为：

$n_s\left({\mathrm{\&theta;}}_s\right)=\frac{r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s}{|r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s|}=\left[\begin{array}{c}-cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

由式(3)和(4)，可得到内切面齿轮的齿面方程r₂(u_s,θ_s,φ_s)为：

$r_2(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\\ 1\end{array}\right]=M_{2s}\&CenterDot;r_s=\left[\begin{array}{c}{b}_{11}{x}_s+b_{12}{y}_s+b_{13}{z}_s\\ b_{21}{x}_s+b_{22}{y}_s+b_{23}{z}_s\\ b_{31}{x}_s+b_{32}{y}_s+b_{33}{z}_s\\ 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

由式(3)和(6)，可得到内切面齿轮齿面的单位法向量n₂(θ_s,φ_s)为：

$n_2({\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=L_{2s}\&CenterDot;n_s=\left[\begin{array}{c}-b_{11}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{12}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{21}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{22}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{31}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{32}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，L_2s是M_2s的3×3子矩阵。

对于假想刀具齿面上某一点P，设其在坐标系S_s中的矢径r_s为：

r_s＝[x_s y_s z_s]^T＝x_si_s+y_sj_s+z_sk_s (9)

式中，i_s，j_s和k_s为坐标系S_s的单位向量。相应的，设坐标系S₂的单位向量为i₂，j₂和k₂。

点P随同坐标系S_s运动的速度ν_s为：

ν_s＝ω_S×r_s＝ω_sk_s×r_s (10)

点P随同坐标系S₂运动的速度为：

ν₂＝ω₂×r_s＝ω₂k₂×r_s (11)则假想刀具与内切面齿轮齿面接触处的相对速度为：

ν^(s,2)＝ν_s-ν₂＝(ω_sk_s-ω₂k₂)×r_s (12)

由式(3)可得到如下关系式：

k₂＝sinγ₂sinφ_si_s+sinγ₂cosφ_sj_s+cosγ₂k_s (13)

假想刀具和内切面齿轮的齿数比q_2s为：

$q_{2s}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}=\frac{z_s}{z_2}=\frac{1}{q_{s2}}=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&phi;}}_s}---\left(14\right)$

将式(4)、(13)和(14)代入式(12)，整理可得：

$v^{(s,2)}=\left[\begin{array}{c}{v}_x^{(s,2)}\\ v_y^{(s,2)}\\ v_z^{(s,2)}\end{array}\right]={\mathrm{\&omega;}}_s\left[\begin{array}{c}{y}_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s\\ x_s(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)+z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s\\ q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2(x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)\end{array}\right]---\left(15\right)$

由齿轮啮合原理可知，两齿轮齿面的啮合条件为：

n_s·ν^(s,2)＝0 (16)

将式(6)和式(15)代入式(16)，整理可得假想刀具与内切面齿轮的齿面啮合方程为：

f₂(u_s,θ_s,φ_s)＝r_bs(1-q_2scosγ₂)-u_sq_2ssinγ₂cos(φ_s+θ_s+θ_s0)＝0 (17)

则假想刀具的轴向参数u_s可表示为：

$u_s=\frac{r_{bs}(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)}{q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})}---\left(18\right)$

步骤三，内切面齿轮界限条件；

内切面齿轮在利用假想刀具形成过程中，会发生齿根根切和齿槽变尖现象，为了避免这些现象，必须对假想刀具轴向参数u_s进行限制，如图4所示，其中和分别为u_s的最小值和最大值。

根据面齿轮不产生根切的条件，有：

$\mathrm{\&Delta;}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_x^{(s,2)}\\ \frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_z^{(s,2)}\\ f_{u_s}& f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}& f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}\end{array}\right|=0---\left(19\right)$

将式(19)整理可得：

$F(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_z^{(s,2)}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s})-\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_x^{(s,2)}{f}_{u_s})+v_x^{(s,2)}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s}-\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{u_s})=0---\left(20\right)$

根据式(4)和式(17)，可得：

$f_{u_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;u_s}=-q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}cos({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(21\right)$

$f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(22\right)$

$f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}={\mathrm{\&omega;}}_s{u}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(23\right)$

$\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}=0;\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0});\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}=1;\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=0---\left(24\right)$

将式(21)～(24)代入式(20)，整理可得：

$\begin{array}{c}{u}_s\sin ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&lsqb;y_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s-r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&rsqb;-\\ (x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})=0\end{array}---\left(25\right)$

式中，θ_s取将式(18)代入上式，即可求φ_s和u_s，其中r_as为假想刀具的齿顶圆半径，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最小值。

当内切面齿轮的齿槽变尖时，有如下关系式：

${\mathrm{\&theta;}}_t-{\mathrm{sin\&theta;}}_t\frac{z_s-2}{z_s{\mathrm{cos\&alpha;}}_s}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-({\mathrm{tan\&alpha;}}_s-{\mathrm{\&alpha;}}_s)---\left(26\right)$

$u_s=\frac{{\mathrm{mz}}_{s}cos\left({\mathrm{\&alpha;}}_s\right)}{2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_t\right)\tan \left({\mathrm{\&gamma;}}_s\right)}---\left(27\right)$

因此，根据假想刀具的基本参数，可求出θ_t的值，代入式(27)即可得到u_s的值，此处u_s为同时，齿槽变尖时，由图4可知，存在如下关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=0\\ -y_2=u_s^{**}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{m2}-(r_{ps}-a_g){\mathrm{cos\&gamma;}}_{m2}\end{array}\right.---\left(28\right)$

式中，r_ps是假想刀具的节圆半径，a_g是假想刀具的齿顶高。

将式(7)和式(18)代入式(28)，求解方程组即可求出φ_s和θ_s，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最大值。根据上述公式，结合表1和表2中给定实例的基本参数，可得到内切面齿轮的界限尺寸值，具体如表3所示。此外，根据外切面齿轮的界限条件，可得到外切面齿轮的界限尺寸值，如表3所示，这里的外切面齿轮是指面齿轮传动中的圆锥齿轮。

表3面齿轮的界限尺寸值

步骤四，共轭条件；

以外切面齿轮和内切面齿轮构成的面-面齿轮副为例，由于外切面齿轮和内切面齿轮是由同一刀具分别外切、内切形成，故刀具的轴向参数u_s需满足：

$max(u_{s1}^{*},u_{s2}^{*})\&le;u_s\&le;min(u_{s1}^{**},u_{s2}^{**})---\left(29\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸。同时，刀具的自转角φ_s也需满足：

$max({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{*},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{*})\&le;{\mathrm{\&phi;}}_s\&le;min({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{**},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{**})---\left(30\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸。

根据刀具与外切面齿轮、假想刀具与内切面齿轮的啮合方程，整理可得到共轭啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围为：

根据表3列出实例的界限尺寸值，即可得到外切面齿轮和内切面齿轮啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围，具体如表4所示。

表4刀具展角参数θ_s取值范围

步骤五，建立三维模型

根据表4中刀具展角参数θ_s和刀具自转角参数φ_s的取值范围，结合内切面齿轮的齿面方程，利用三维设计软件，即可得到内切面齿轮的齿形，如图5、6和7所示。

综上，内切面齿轮是区别于传统面齿轮传动中外切面齿轮的，其与外切面齿轮所构成的“面-面”齿轮副，具有结构紧凑、重合度大、体积小、零件少、传动比大、承载能力强等优点。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种内切面齿轮的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、根据齿轮啮合原理可知，这样直接得到的两个面齿轮间无法共轭啮合，章动面齿轮传动中，为保证共轭啮合，形成“面-面”齿轮副，须采用与真实刀具结构参数相同的假想刀具加工“内切”面齿轮；这时假想刀具的齿面外法矢方向与真实刀具的内法矢方向相同，这样得到的面齿轮就是内切面齿轮；这样由同一刀具加工得到的外切面齿轮与内切面齿轮可共轭啮合，即构成“面-面”齿轮副；

进而虚拟外切面齿轮与刀具外切和内切面齿轮与假想刀具内切结构；

设定，β₁和β₂分别为外切面齿轮和内切面齿轮的节锥角，γ_s为刀具的节锥角，γ₁为外切面齿轮和刀具的轴间角，γ₂为内切面齿轮和假想刀具的轴间角，外切面齿轮与内切面齿轮共轭啮合时其节锥和节锥顶点重合；

为保证刀具与外切面齿轮外切，而假想刀具与内切面齿轮内切，其轴间角和节锥角需满足下列条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1-{\mathrm{\&gamma;}}_s<\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2>\mathrm{\&pi;}/2\\ {\mathrm{\&gamma;}}_1<\mathrm{\&pi;}/2\end{array}\right.---\left(1\right)$

给定面齿轮和假想刀具的齿数以及章动角，根据式(2)，即可求出β₁、β₂、γ_s、γ₁和γ₂；

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{m_{2/1}+{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_2=\frac{1+m_{2/1}{\mathrm{cos\&beta;}}_m}{m_{2/1}{\mathrm{sin\&beta;}}_m}\\ {\mathrm{cot\&beta;}}_1=\frac{1+m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{m_{1/s}\&CenterDot;{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{cot\&gamma;}}_s=\frac{m_{1/s}+{\mathrm{cos\&gamma;}}_1}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_1}\\ {\mathrm{\&gamma;}}_2={\mathrm{\&beta;}}_2-{\mathrm{\&gamma;}}_s\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，m_2/1＝z₂/z₁，m_i/s＝z_i/z_s(i＝1，2)，其中z_s、z₁和z₂分别是假想刀具、外切面齿轮和内切面齿轮的齿数，β_m＝180°-β；

步骤二、内切面齿轮齿面方程和啮合方程；

为了推导内切面齿轮的啮合方程，根据空间啮合原理建立空间坐标系，其中S₂₀(O₂₀，X₂₀，Y₂₀，Z₂₀)是与内切面齿轮相固连的固定坐标系，S₀(O，X，Y，Z)是与假想刀具相固连的固定坐标系，S₂(O₂，X₂，Y₂，Z₂)是与内切面齿轮相固连的动坐标系，S_s(O_s,X_s,Y_s,Z_s)是与假想刀具相固连的动坐标系.上述四个坐标系的坐标原点重合，且Z₂₀轴与Z₂轴重合，Z轴与Z_s轴重合，Z轴与Z₂₀轴之间的夹角为γ₂，φ₂角为内切面齿轮的瞬时转角，φ_s为假想刀具的瞬时自转角；

由坐标系S_s到坐标系S₂的变换矩阵M_2s为：

$M_{2s}=M_{220}{M}_{200}{M}_{0s}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& 0\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}& 0\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，

$M_{s0}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=M_{0s}^T$

b₁₁＝cosφ₂cosφ_s+sinφ₂cosγ₂sinφ_s

b₁₂＝-cosφ₂sinφ_s+sinφ₂cosγ₂cosφ_s

b₁₃＝-sinφ₂sinγ₂

b₂₁＝-sinφ₂cosφ_s+cosφ₂cosγ₂sinφ_s

b₂₂＝sinφ₂sinφ_s+cosφ₂cosγ₂cosφ_s

b₂₃＝-cosφ₂sinγ₂

b₃₁＝sinγ₂sinφ_s

b₃₂＝sinγ₂cosφ_s

b₃₃＝cosγ₂

已知假想刀具的齿面方程r_s(θ_s,u_s)为：

$r_s({\mathrm{\&theta;}}_s,u_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ y_s\\ z_s\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}\&lsqb;sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-{\mathrm{\&theta;}}_{s}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ -r_{bs}\&lsqb;cos({\mathrm{\&theta;}}_{so}+{\mathrm{\&theta;}}_s)+{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\&rsqb;\\ u_s\\ 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中，r_bs为假想刀具的基圆半径，θ_s0为假想刀具轮齿对称线到渐开线起始点的角度，θ_s为假想刀具渐开线上任一点的角度，u_s为假想刀具上任一点的轴向参数，x_s、y_s和z_s分别是假想刀具上任一点在x轴、y轴和z轴上的坐标；其中，θ_s0由下式确定：

${\mathrm{\&theta;}}_{s0}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-{\mathrm{inv\&alpha;}}_s---\left(5\right)$

式中，α_s为假想刀具压力角，且invα_s＝tanα_s-α_s；

由式(4)，可得到假想刀具齿面的单位法向量n_s为：

$n_s\left({\mathrm{\&theta;}}_s\right)=\frac{r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s}{|r_s/\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s\&times;r_s/\&part;u_s|}=\left[\begin{array}{c}-cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ 0\end{array}\right]---\left(6\right)$

由式(3)和(4)，可得到内切面齿轮的齿面方程r₂(u_s,θ_s,φ_s)为：

$r_2(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\\ 1\end{array}\right]=M_{2s}\&CenterDot;r_s=\left[\begin{array}{c}{b}_{11}{x}_s+b_{12}{y}_s+b_{13}{z}_s\\ b_{21}{x}_s+b_{22}{y}_s+b_{23}{z}_s\\ b_{31}{x}_s+b_{32}{y}_s+b_{33}{z}_s\\ 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

由式(3)和(6)，可得到内切面齿轮齿面的单位法向量n₂(θ_s,φ_s)为：

$n_2({\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=L_{2s}\&CenterDot;n_s=\left[\begin{array}{c}-b_{11}cos({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{12}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{21}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{22}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\\ -b_{31}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)-b_{32}sin({\mathrm{\&theta;}}_{s0}+{\mathrm{\&theta;}}_s)\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，L_2s是M_2s的3×3子矩阵；

对于假想刀具齿面上某一点P，设其在坐标系S_s中的矢径r_s为：

r_s＝[x_s y_s z_s]^T＝x_si_s+y_sj_s+z_sk_s (9)

式中，i_s，j_s和k_s为坐标系S_s的单位向量；相应的，设坐标系S₂的单位向量为i₂，j₂和k₂；

点P随同坐标系S_s运动的速度ν_s为：

ν_s＝ω_S×r_s＝ω_sk_s×r_s (10)

点P随同坐标系S₂运动的速度为：

ν₂＝ω₂×r_s＝ω₂k₂×r_s (11)

则假想刀具与内切面齿轮齿面接触处的相对速度为：

ν^(s,2)＝ν_s-ν₂＝(ω_sk_s-ω₂k₂)×r_s (12)

由式(3)可得到如下关系式：

k₂＝sinγ₂sinφ_si_s+sinγ₂cosφ_sj_s+cosγ₂k_s (13)

假想刀具和内切面齿轮的齿数比q_2s为：

$q_{2s}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}=\frac{z_s}{z_2}=\frac{1}{q_{s2}}=\frac{{\mathrm{\&phi;}}_2}{{\mathrm{\&phi;}}_s}---\left(14\right)$

将式(4)、(13)和(14)代入式(12)，整理可得：

$v^{(s,2)}=\left[\begin{array}{c}{v}_x^{(s,2)}\\ v_y^{(s,2)}\\ v_z^{(s,2)}\end{array}\right]={\mathrm{\&omega;}}_s\left[\begin{array}{c}{y}_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s\\ x_s(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)+z_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s\\ q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2(x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)\end{array}\right]---\left(15\right)$

由齿轮啮合原理可知，两齿轮齿面的啮合条件为：

n_s·ν^(s,2)＝0 (16)

将式(6)和式(15)代入式(16)，整理可得假想刀具与内切面齿轮的齿面啮合方程为：

f₂(u_s,θ_s,φ_s)＝r_bs(1-q_2scosγ₂)-u_sq_2ssinγ₂cos(φ_s+θ_s+θ_s0)＝0 (17)

则假想刀具的轴向参数u_s可表示为：

$u_s=\frac{r_{bs}(1-q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2)}{q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})}---\left(18\right)$

步骤三、内切面齿轮界限条件；

内切面齿轮在利用假想刀具形成过程中，会发生齿根根切和齿槽变尖现象，为了避免这些现象，必须对假想刀具轴向参数u_s进行限制，其中设定和分别为u_s的最小值和最大值；

根据面齿轮不产生根切的条件，有：

$\mathrm{\&Delta;}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_x^{(s,2)}\\ \frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}& \frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}& -v_z^{(s,2)}\\ f_{u_s}& f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}& f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}\end{array}\right|=0---\left(19\right)$

将式(19)整理可得：

$F(u_s,{\mathrm{\&theta;}}_s,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_z^{(s,2)}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s})-\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}-v_x^{(s,2)}{f}_{u_s})+v_x^{(s,2)}(\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}{f}_{{\mathrm{\&theta;}}_s}-\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}{f}_{u_s})=0---\left(20\right)$

根据式(4)和式(17)，可得：

$f_{u_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;u_s}=-q_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}cos({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(21\right)$

$f_{{\mathrm{\&theta;}}_s}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(22\right)$

$f_{{\mathrm{\&phi;}}_s}\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}=\frac{\&part;f_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{d\&phi;}}_s}{dt}={\mathrm{\&omega;}}_s{u}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{2}sin({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})---\left(23\right)$

$\frac{\&part;x_s}{\&part;u_s}=0;\frac{\&part;x_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_{s}sin({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0});\frac{\&part;z_s}{\&part;u_s}=1;\frac{\&part;z_s}{\&part;{\mathrm{\&theta;}}_s}=0---\left(24\right)$

将式(21)～(24)代入式(20)，整理可得：

$\begin{array}{c}{u}_s\sin ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&lsqb;y_s(q_{2s}{\mathrm{cos\&gamma;}}_2-1)-u_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s-r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\&rsqb;-\\ (x_s{\mathrm{cos\&phi;}}_s-y_s{\mathrm{sin\&phi;}}_s)r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_s{q}_{2s}{\mathrm{sin\&gamma;}}_2\sin ({\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})\cos ({\mathrm{\&phi;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_s+{\mathrm{\&theta;}}_{s0})=0\end{array}---\left(25\right)$

式中，θ_s取将式(18)代入上式，即可求φ_s和u_s，其中r_as为假想刀具的齿顶圆半径，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最小值；

当内切面齿轮的齿槽变尖时，有如下关系式：

${\mathrm{\&theta;}}_t-{\mathrm{sin\&theta;}}_t\frac{z_s-2}{z_s{\mathrm{cos\&alpha;}}_s}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2z_s}-({\mathrm{tan\&alpha;}}_s-{\mathrm{\&alpha;}}_s)---\left(26\right)$

$u_s=\frac{{\mathrm{mz}}_{s}cos\left({\mathrm{\&alpha;}}_s\right)}{2\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_t\right)\tan \left({\mathrm{\&gamma;}}_s\right)}---\left(27\right)$

因此，根据假想刀具的基本参数，可求出θ_t的值，代入式(27)即可得到u_s的值，此处u_s为同时，齿槽变尖时，存在如下关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=0\\ -y_2=u_s^{**}{\mathrm{sin\&gamma;}}_{m2}-(r_{ps}-a_g){\mathrm{cos\&gamma;}}_{m2}\end{array}\right.---\left(28\right)$

式中，r_ps是假想刀具的节圆半径，a_g是假想刀具的齿顶高；

将式(7)和式(18)代入式(28)，求解方程组即可求出φ_s和θ_s，此处φ_s为u_s为其中为φ_s的最大值；根据上述公式，结合表1和表2中给定实例的基本参数，可得到内切面齿轮的界限尺寸值，具体如表3所示。此外，根据外切面齿轮的界限条件，可得到外切面齿轮的界限尺寸值，如表3所示，这里的外切面齿轮是指面齿轮传动中的圆锥齿轮；

步骤四、共轭条件；

以外切面齿轮和内切面齿轮构成的“面-面”齿轮副为例，由于外切面齿轮和内切面齿轮是由同一刀具分别外切、内切形成，故刀具的轴向参数u_s需满足：

$max(u_{s1}^{*},u_{s2}^{*})\&le;u_s\&le;min(u_{s1}^{**},u_{s2}^{**})---\left(29\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸。同时，刀具的自转角φ_s也需满足：

$max({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{*},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{*})\&le;{\mathrm{\&phi;}}_s\&le;min({\mathrm{\&phi;}}_{s1}^{**},{\mathrm{\&phi;}}_{s2}^{**})---\left(30\right)$

式中，和是外切面齿轮的界限尺寸，和是内切面齿轮的界限尺寸；

根据刀具与外切面齿轮、假想刀具与内切面齿轮的啮合方程，整理可得到共轭啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围为：

根据实例的界限尺寸值，即可得到外切面齿轮和内切面齿轮啮合时，刀具展角参数θ_s的取值范围；

步骤五、建立三维模型

刀具展角参数θ_s和刀具自转角参数φ_s的取值范围，结合内切面齿轮的齿面方程，利用Pro/E软件，即可得到内切面齿轮的齿形。