CN102699449A - 一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法 - Google Patents

Abstract

一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法，先将异形圆弧齿轮的齿形分成N段圆弧，接着确定滚刀的滚动圆半径R，然后引进三个坐标系，求得异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于坐标能性系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)；接着作图求得异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m成为啮合接触点时所需转过的角度

和任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ；联立异形圆弧齿轮的每段齿形圆弧对应的曲线方程、上述任意一点m成为啮合接触点时的坐标值(x₂,y₂)和角度

以及夹角为μ，即可得到滚刀的齿形曲线方程。采用本发明的设计方法所制造的滚刀刀具加工异形圆弧齿轮不仅生产效率和加工精度高，而且在加工过程中机床调整更加方便，能有效地延长刀具的使用寿命。

Description

一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法

技术领域

本发明涉及一种滚刀的设计方法，特别是一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法。

背景技术

在机械传动机构中，齿轮的形状、精度、角节距等方面是影响产品传动性能的重要参数，也是直接关系到产品质量的重要技术指标。

齿轮可按齿形、齿轮外形、齿线形状、轮齿所在的表面和制造方法等分类，现代使用的齿轮中，渐开线齿轮因为比较容易制造，在齿轮传动中占绝对多数，而异形圆弧齿形齿轮是一种非标准的异形齿轮，这类齿轮传动在国防、医疗器械、精密仪器（如钟表）等方面有着广泛的应用。现有技术中，异形圆弧齿形齿轮的成型通常采用铣削原理（铣齿法）的加工方法实现，即在机床上装有一个自动分度系统，加工时，机床开始运转，铣刀自身绕轴线转动并下降（吃刀）；当铣刀下降停止时，就沿工件轴线平行移动走刀（进给），将轮坯齿间的金属铣去成形，这样就铣出一个齿间；当铣好一个齿间后，铣刀抬起（退刀），并返回原起始点（回程），工件分度360/Z（Z为齿数）后，再进行下一个齿间的铣削，如此重复，完成异形圆弧齿形齿轮的加工。

但是，采用上述铣齿法原理直接加工异形圆弧齿形齿轮存在一定的缺陷，由于铣刀每次只能加工一个齿形，加工完一个齿形后，必须将工件转动一个分度后才能继续加工下一个齿，在铣削加工过程中，会因为分度不均匀而引起齿形有大小，从而造成齿形之间的精度差，还容易造成铣刀寿命短、齿面质量粗糙和加工效率低等其他问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术现状而提供一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法，由该滚刀设计方法加工获得的刀具可利用范成法（展成法）原理实现对异形圆弧齿轮的加工，并提高异形圆弧齿轮的生产效率和加工精度。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于，该滚刀设计方法包括有如下步骤：

(1)、根据异形圆弧齿轮的齿形参数，将异形圆弧齿轮的齿形分成N段圆弧；

(2)、根据范成法加工齿轮的原理，确定滚动圆半径R，并且选取该滚动圆半径大于等于所述异形圆弧齿轮的N段圆弧所分别对应的圆弧中心圆半径中的最大值；

(3)、根据齿廓啮合的基本定律，引进三个坐标系：静止的参考坐标系xoy、与异形圆弧齿轮固联并随其一起转动的齿轮坐标系x₁o₁y₁以及与滚刀固联并随其一起平移的滚刀坐标系x₂o₂y₂；

在所述异形圆弧齿轮与滚刀做展成运动过程中，取滚刀的滚动圆上和异形圆弧齿轮齿廓上的其中一个啮合接触点M的法线相交的啮合节点P，并设异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m成为啮合接触点时，相对于参考坐标系xoy按逆时针或顺时针方向所需转过的角度为

其中，y轴与o₁P方向一致；取y₁轴通过所述异形圆弧齿轮的齿根圆弧中心，在起始位置y₁轴与y轴方向一致，x₁轴与x轴平行且相距R；x₂轴与x方向一致，在起始位置x₂o₂y₂与xoy重合；

(4)、已知异形圆弧齿轮的齿形参数，获得异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于齿轮坐标系x₁o₁y₁的坐标值(x₁,y₁)，根据三个坐标系在展成运动过程中的相互位置关系，求得所述异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于参考坐标系xoy的坐标值(x,y)和相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)；由异形圆弧齿轮和滚刀的啮合共轭关系，滚刀齿廓上与啮合接触点M共轭的对应啮合接触点G相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)即为异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)；

(5)、设异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ，当该任意一点m作为啮合接触点时，m点的法线与滚刀的滚动圆相交得到另一啮合节点P'，由o₁作mP′的垂直线o₁Q，即m点切线的平行线，并设o₁Q与o₁P′的夹角为α_y，根据几何关系，由齿轮坐标系x₁o₁y₁的坐标值(x₁,y₁)分别求得异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m成为啮合接触点时所需转过的角度

以及异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ；

(6)、根据已知的异形圆弧齿轮的齿形参数，推导求得异形圆弧齿轮的每段齿形圆弧对应的曲线方程；

(7)、联立异形圆弧齿轮的每段齿形圆弧对应的曲线方程、异形圆弧齿轮齿廓上任意一点m成为啮合接触点时相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)、异形圆弧齿轮齿廓上任意一点m成为啮合接触点时所需转过的角度

以及异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ，即得到滚刀的齿形曲线方程。

由于异形圆弧齿轮的齿形特殊性，其齿面圆弧中心圆已经较接近于齿顶圆，为了避免因滚动圆半径过大而导致齿轮加工困难，滚动圆半径R只能略大于异形圆弧齿轮的最大圆弧中心圆半径，作为优选，所述步骤(2)中滚动圆半径与异形圆弧齿轮的各段圆弧的圆弧中心圆半径中的最大值之间的误差为ΔR，并且，该误差的范围为：0≤ΔR<0.02mm。

作为优选，所述的异形圆弧齿轮齿形的N段圆弧可以分成三段，分别包括有齿面圆弧、齿背圆弧和齿根圆弧。

作为进一步优选，具体地，选取所述齿面圆弧的中心圆半径为r_C1，所述齿背圆弧的中心圆半径为r_C2，所述齿根圆弧的齿根圆半径为r_g，所述滚动圆半径R满足以下条件：R≥r_C1，R≥r_C2和R≥r_Cg，并且，r_C1≤R<r_C1+0.02。

作为优选，所述异形圆弧齿轮的齿形参数包括有基本齿形参数和其他齿形参数，其中，所述的基本齿形参数为：齿数z；齿面圆弧半径ρ₁，中心圆半径r_C1；齿根圆弧半径ρ_g，齿根圆半径r_g；齿背圆弧半径ρ₂，中心圆半径r_C2；齿顶圆半径r_a；

其他齿形参数为：

τ=2π/z

${\mathrm{\&beta;}}_1=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C1}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C1}}$

${\mathrm{\&beta;}}_2=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C2}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C2}}$

${\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_1\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_2\right)$

由 ${\mathrm{\&rho;}}_1\frac{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_1)}{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})}={\mathrm{\&rho;}}_2\frac{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_2)}{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})}$ 解出θ，其中

${\mathrm{\&gamma;}}_1=\arcsin \left[\frac{r_{C1}}{{\mathrm{\&rho;}}_1}\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})\right],$ ${\mathrm{\&gamma;}}_2=\arcsin \left[\frac{r_{C2}}{{\mathrm{\&rho;}}_2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right],$ 则

$r_d=r_{C2}\cos ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_2^2-{\left[r_{C2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right]}^2}$

上述式中，τ为齿距角，r_d为齿尖圆半径，β₁,β₂,α₁,α₂,θ,γ₁,γ₂为参数角。

与现有技术相比，本发明的优点在于：采用范成法原理实现异形圆弧齿形齿轮的加工，打破了异形圆弧齿形齿轮用常规铣削原理的加工方法，运用齿廓啮合基本定理，对异形圆弧齿形的各段齿形圆弧的曲线公式进行推导，进而获得滚刀的齿形曲线方程；采用本发明的设计方法所制造的滚刀刀具加工异形圆弧齿轮不仅生产效率和加工精度高，而且在加工过程中机床调整更加方便，能有效地延长刀具的使用寿命。

附图说明

图1为本发明的滚刀设计方法的异形圆弧齿轮的基本齿形图。

图2(a)为图1所示异形圆弧齿轮的滚动圆半径确定示意图之一。

图2(b)为图1所示异形圆弧齿轮的滚动圆半径确定示意图之二。

图3为本发明的滚刀设计方法涉及的共轭齿条齿廓的设计计算方法图形。

图4为本发明的滚刀设计方法涉及的滚刀齿背曲线方程计算的图形。

图5为本发明的滚刀设计方法涉及的滚刀齿面曲线方程计算的图形。

图6为本发明的滚刀设计方法涉及的滚刀齿顶曲线方程计算的图形。

图7为本发明实施例的异形圆弧齿形滚刀设计计算实例图形。

具体实施方式

以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

范成法亦称展成法、共轭法或包络法，是目前齿轮加工中最常用的一种方法。范成法是根据一对齿轮啮合传动时，两轮的齿廓互为共轭曲线的原理来加工的，其刀具分齿轮型刀具(如齿轮插刀)和齿条型刀具(如齿条插刀和齿轮滚刀等)两大类。

如图1～图6所示，为发明的具体实施例，本实施例提供了一种异形圆弧齿轮加工的刀具设计方法，通过本实施例的设计方法获得的滚刀能够通过范成法原理实现对异形圆弧齿形的加工制造。

本实施例的滚刀设计方法具体包括以下步骤：

1、根据异形圆弧齿轮的齿形参数，确定异形圆弧齿轮的齿形

异形圆弧齿轮的齿形如图1所示，考虑到计算方便，将它的齿形分成齿面圆弧、齿根圆弧和齿背圆弧三段（也可以根据实际情况，将齿形分成任意多段圆弧）。

齿形的基本参数为已知，具体包括有：齿数z；齿面圆弧半径ρ₁，其中心圆半径r_C1；齿根圆弧半径ρ_g，齿根圆半径r_g；齿背圆弧半径ρ₂，中心圆半径r_C2；齿顶圆半径r_a。

在齿形基本参数确定以后，即可由下述公式算出在滚刀齿形设计计算中所要用到的其他齿形参数如下：

τ=2π/z

${\mathrm{\&beta;}}_1=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C1}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C1}}$

${\mathrm{\&beta;}}_2=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C2}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C2}}$

${\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_1\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_2\right)$

由 ${\mathrm{\&rho;}}_1\frac{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_1)}{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})}={\mathrm{\&rho;}}_2\frac{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_2)}{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})}$ 解出θ，其中

${\mathrm{\&gamma;}}_1=\arcsin \left[\frac{r_{C1}}{{\mathrm{\&rho;}}_1}\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})\right],$ ${\mathrm{\&gamma;}}_2=\arcsin \left[\frac{r_{C2}}{{\mathrm{\&rho;}}_2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right],$ 则

$r_d=r_{C2}\cos ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_2^2-{\left[r_{C2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right]}^2}$

式中，τ为齿距角，r_d为齿尖圆半径，β₁,β₂,α₁,α₂,θ,γ₁,γ₂为参数角，如图1所示。

由于具有异形圆弧齿形的滚刀螺旋升角小于1°，可将滚刀的法向齿形视为与被加工齿轮工件相啮合的齿条齿形，由此产生的误差极小，不影响齿轮的加工精度，因此滚刀齿形的设计计算就可如同求解与齿轮相啮合的共轭齿条齿形。

2、滚刀滚动圆半径的选择

采用滚切法加工异形圆弧齿轮，除了齿形本身以外，滚动圆半径R的选择是一个十分重要的问题。选择的适当与否，不仅直接影响滚刀齿形和被加工齿轮的齿形，而且往往成为能否进行滚切加工的首要条件。

若滚动圆半径过小，求出的滚刀齿形上可能出现尖点，滚刀的齿顶也可能变尖；若滚动圆半径过大，则加工出的齿轮的齿根过渡曲线将要增大，即被切齿轮的齿面和齿背圆弧将变短。

如图2(a)、图2(b)所示，为了能够加工出被切齿轮的全部齿形，滚动圆半径R的取值必须满足下述条件：

R≥r_C1，R≥r_C2和R≥r_Cg

其中，r_C1为齿面圆弧中心圆半径；r_C2为齿背圆弧中心圆半径；r_Cg为齿根圆弧中心圆半径，r_C1>r_Cg>r_C2。此时，齿轮齿廓上各点的法线顺次和滚动圆圆周相交，有与其相共轭的滚刀齿廓存在，圆弧AB、BDE和EF段的齿形均可用滚刀滚切出来。

由于异形圆弧齿轮的齿形特殊性，其齿面圆弧中心圆已较接近于齿顶圆，为了避免因滚动圆半径R过大而导致齿轮加工困难，滚动圆半径R只能略大于齿面圆弧中心圆半径r_C1，作为优选方案，滚动圆半径R的取值范围宜为：r_C1≤R<r_C1+0.02（单位为mm），即滚动圆半径R不易过大，只要略大于齿面圆弧中心圆半径r_C1即可。

3、共轭齿条齿廓的设计计算方法

如图3所示，当齿轮的某个轮齿处于位置Ⅰ时，齿轮齿廓上N点的法线通过啮合节点P，那么，由齿廓啮合基本定律可知，此时N点也必定是共轭齿条齿廓上的一点。设此点在齿条齿廓上为H点。当齿轮转过

角后到达位置Ⅱ时，该轮齿上M点的法线通过啮合节点，则此点也必然是共轭齿条齿廓上的一点。设此点在齿条齿廓上为G点，齿轮每转过一个角度，在啮合范围内轮齿上就有一点的法线通过啮合节点，也就是接触点，这些接触点就组成了图3中虚线所示的共轭齿条齿形。如果我们能够示出齿条齿廓上G点、H点以及其他各点对于x₂o₂y₂坐标系的坐标，也就求出了共轭齿条的齿形。

为此，我们引进三个坐标系。xoy为静止不动的参考坐标系，y轴与o₁P方向一致。x₁o₁y₁为齿轮坐标系，与齿轮固联并随其一起转动，取y₁轴通过齿根圆弧中心，在起始位置y₁轴与y轴方向一致，x₁轴与x轴平行，且相距R。x₂o₂y₂为齿条坐标系，与齿条固联并随其一起平移，x₂轴与x方向一致，在起始位置x₂o₂y₂与xoy重合。在齿轮与齿条作展成运动时，齿轮相对于参考坐标系xoy逆时针转过

角，和它固联的x₁o₁y₁坐标系也一同转过

角，而齿条连同x₂o₂y₂坐标系则向左移动了

一段距离。

由于齿轮的齿形是已知的，因此M点对于x₁o₁y₁坐标系的坐标值(x₁,y₁)就可以求得。这样，根据三个坐标系在展成运动过程中的相互位置关系，我们可以求出M点在xoy坐标系中的坐标值为

在x₂o₂y₂坐标系中的坐标值为

这也是齿条齿廓（即刀具齿形）上一点G（它与M共轭）对它自已的坐标系x₂o₂y₂的坐标。依此连续求出一系列接触点的坐标值(x₂,y₂)，即可求出共轭齿条的齿廓曲线。现求使齿轮齿廓上任意一点m成为接触点时所需转过的角度

设m点处的切线与x₁轴的夹角为μ，当该任意一点m作为啮合接触点时，m点的法线与滚刀的滚动圆相交得到另一啮合节点P'，由o₁作mP′的垂直线o₁Q（即m点切线的平行线），并设o₁Q与o₁P′的夹角为α_y，则由图3可知

${\mathrm{\&alpha;}}_y=\arccos \frac{x_1\cos \mathrm{\&mu;}+y_1\sin \mathrm{\&mu;}}{R}$

齿轮齿廓是一条平面曲线，它的方程式可由不同的方式给出，相应的计算μ角公式为

这样，只要给定了齿轮齿廓曲线上任意一点的坐标值(x₁,y₁)，由式（4）计算出该点切线与x₁轴的夹角μ，再由式（3）就可求得使该点成为接触点时齿轮所需转过的

角（

为正值则需逆时针转动，反之则需顺时针转动）。

4、滚刀齿廓曲线方程式

由于异形圆弧齿轮的齿廓由齿面圆弧、齿根圆弧和齿背圆弧3段曲线组成（如图1所示），因此，与之相共轭的滚刀齿形也分别由对应的滚刀齿面曲线、滚刀齿顶曲线和滚刀齿背曲线组成，下面分段求其方程式。

4.1滚刀齿背曲线方程

齿轮齿背圆弧方程

由图4可知齿背圆弧中心的坐标为 $\left\{\begin{array}{c}{x}_{C2}=r_{C2}{\sin \mathrm{\&beta;}}_2\\ y_{C2}=r_{C2}{\cos \mathrm{\&beta;}}_2\end{array}\right.,$ 齿背圆弧上x₁坐标的取值范围为，x_E≤x₁≤x_F，其中x_E=ρ_g sin[π-(α₂+β₂)]，x_F=r_d sinθ。因此，故齿背圆弧方程为

$\left\{\begin{array}{c}{(x_1-r_{C2}{\sin \mathrm{\&beta;}}_2)}^2+{(y_1-r_{C2}{\cos \mathrm{\&beta;}}_2)}^2={\mathrm{\&rho;}}_2^2\\ {\mathrm{\&rho;}}_g\sin [\mathrm{\&pi;}-({\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_2)]\&le;x\&le;r_d\sin \mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(5\right)$

4.1.2共轭的滚刀齿背曲线方程

由式（2）、（3）和（4）可得

将式（5）、（6）联立，即为滚刀齿背曲线方程。

4.2滚刀齿面曲线方程

4.2.1齿轮齿面圆弧方程

由图5可知齿面圆弧中心的坐标为 $\left\{\begin{array}{c}{x}_{C1}=r_{C1}{\sin \mathrm{\&beta;}}_1\\ y_{C1}=r_{C1}{\cos \mathrm{\&beta;}}_1\end{array}\right.,$ 齿面圆弧上x₁坐标的取值范围为x_A≤x₁≤x_B，其中x_A=x_Fcosτ-y_F sinτ，x_B=-ρ_g sin(α₁+β₁)，而y_F=r_d sinθ。因此，故齿面圆弧方程为

$\left\{\begin{array}{c}{(x_1-r_{C1}{\sin \mathrm{\&beta;}}_1)}^2+{(y_1-r_{C1}{\cos \mathrm{\&beta;}}_1)}^2={\mathrm{\&rho;}}_1^2\\ x_F\cos \mathrm{\&tau;}-y_F\sin \mathrm{\&tau;}\&le;x_1\&le;{-\mathrm{\&rho;}}_g\sin ({\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1)\end{array}\right.---\left(7\right)$

4.2.2共轭的滚刀齿面曲线方程

由式（2）、（3）和（4）可得

将式（7）、（8）联立即为滚刀齿面曲线方程。

4.3滚刀齿顶曲线方程

4.3.1齿轮齿根圆弧方程

由图6可知齿根圆弧上x₁的变化范围为x_B≤x₁≤x_E，

所以，齿轮的齿根圆弧方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x_1}^2+{[y_1-(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)]}^2={\mathrm{\&rho;}}_g^2\\ {-\mathrm{\&rho;}}_g\sin ({\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1)\&le;x_1\&le;{\mathrm{\&rho;}}_g\sin [\mathrm{\&pi;}-({\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_2)]\end{array}\right.---\left(9\right)$

4.3.2共轭的滚刀齿顶曲线方程

由式（3）、（4）可得与BD段齿根圆弧相对应的啮合参数为

与DE段齿根圆弧相对应的啮合参数为

将式（2）、（9）分别与式（10）、（11）联立即为滚刀齿顶曲线方程。

5、设计计算实例

结合上述设计方法，以某机构中的周立轮（异型圆弧齿轮的一种）为例，进行滚刀齿形的设计计算。

该周立轮的基本参数为：z=14，齿面圆弧半径ρ₁=0.8mm，ρ₂=1.3mm；中心圆半径r_C1=2.70478mm，r_C2=2.05086mm；齿根圆弧半径ρ_g=0.18mm，齿根圆半径r_g＝2.0mm；齿顶圆半径r_a＝2.8mm。

其他有关的齿形参数为：β₁=7.7963°，β₂=40.8082°，α₁=28.4875°，α₂=74.2869°，θ=17.6196°，齿尖圆半径r_d=2.90394mm。

取滚动圆半径为R=2.71mm，并将上述诸值代入前述各式，以齿轮齿廓的坐标值x₁为参数，就可求得滚刀齿廓曲线的坐标值(x₂,y₂)，计算结果如表1所示，图7为经处理后相应的滚刀齿形，按本实施例的设计方法制作的滚刀所滚切的齿轮，经检验完全满足设计要求。

表1滚刀齿廓曲线坐标值

Claims (5)

1.一种异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于，该滚刀设计方法包括有如下步骤：

(1)、根据异形圆弧齿轮的齿形参数，将异形圆弧齿轮的齿形分成N段圆弧；

(2)、根据范成法加工齿轮的原理，确定滚动圆半径R，并且选取该滚动圆半径R大于等于所述异形圆弧齿轮的N段圆弧所分别对应的圆弧中心圆半径中的最大值；

(3)、根据齿廓啮合的基本定律，引进三个坐标系：静止的参考坐标系xoy、与异形圆弧齿轮固联并随其一起转动的齿轮坐标系x₁o₁y₁以及与滚刀固联并随其一起平移的滚刀坐标系x₂o₂y₂；

在所述异形圆弧齿轮与滚刀做展成运动过程中，取滚刀的滚动圆上和异形圆弧齿轮齿廓上的其中一个啮合接触点M的法线相交的啮合节点P，并设异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m成为啮合接触点时，相对于参考坐标系xoy按逆时针或顺时针方向所需转过的角度为

其中，y轴与o₁P方向一致；取y₁轴通过所述异形圆弧齿轮的齿根圆弧中心，在起始位置y₁轴与y轴方向一致，x₁轴与x轴平行且相距R；x₂轴与x方向一致，在起始位置x₂o₂y₂与xoy重合；

(4)、已知异形圆弧齿轮的齿形参数，获得异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于齿轮坐标系x₁o₁y₁的坐标值(x₁,y₁)，根据三个坐标系在展成运动过程中的相互位置关系，求得所述异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于参考坐标系xoy的坐标值(x,y)和相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)；由异形圆弧齿轮和滚刀的啮合共轭关系，滚刀齿廓上与啮合接触点M共轭的对应啮合接触点G相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)即为异形圆弧齿轮齿廓上的任意一点m成为啮合接触点M时相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)；

(5)、设异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ，当该任意一点m作为啮合接触点时，m点的法线与滚刀的滚动圆相交得到另一啮合节点P'，由o₁作mP′的垂直线o₁Q，即m点切线的平行线，并设o₁Q与o₁P′的夹角为α_y，根据几何关系，由齿轮坐标系x₁o₁y₁的坐标值(x₁,y₁)分别求得异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m成为啮合接触点时所需转过的角度

以及异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ；

(6)、根据已知的异形圆弧齿轮的齿形参数，推导求得异形圆弧齿轮的每段齿形圆弧对应的曲线方程；

(7)、联立异形圆弧齿轮的每段齿形圆弧对应的曲线方程、异形圆弧齿轮齿廓上任意一点m成为啮合接触点时相对于坐标系x₂o₂y₂的坐标值(x₂,y₂)、异形圆弧齿轮齿廓上任意一点m成为啮合接触点时所需转过的角度

以及异形圆弧齿轮的齿廓上任意一点m处的切线与x₁轴的夹角为μ，即得到滚刀的齿形曲线方程。

2.根据权利要求1所述的异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于：所述步骤(2)中滚动圆半径与异形圆弧齿轮的各段圆弧的圆弧中心圆半径中的最大值之间的误差为ΔR，并且，该误差的范围为：0≤ΔR<0.02mm。

3.根据权利要求1所述的异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于：所述的异形圆弧齿轮齿形的N段圆弧包括有齿面圆弧、齿背圆弧和齿根圆弧。

4.根据权利要求3所述的异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于：选取所述齿面圆弧的中心圆半径为r_C1，所述齿背圆弧的中心圆半径为r_C2，所述齿根圆弧的齿根圆半径为r_g，所述滚动圆半径R满足以下条件：R≥r_C1，R≥r_C2和R≥r_Cg，并且，r_C1≤R<r_C1+0.02。

5.根据权利要求1或2或3或4所述的异形圆弧齿形的滚刀设计方法，其特征在于：所述异形圆弧齿轮的齿形参数包括有基本齿形参数和其他齿形参数，其中，所述的基本齿形参数为：齿数z；齿面圆弧半径ρ₁，中心圆半径r_C1；齿根圆弧半径ρ_g，齿根圆半径r_g；齿背圆弧半径ρ₂，中心圆半径r_C2；齿顶圆半径r_a；

其他齿形参数为：

τ=2π/z

${\mathrm{\&beta;}}_1=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C1}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C1}}$

${\mathrm{\&beta;}}_2=\arccos \frac{{(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2+r_{C2}^2-{({\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g)}^2}{2(r_g+{\mathrm{\&rho;}}_g)r_{C2}}$

${\mathrm{\&alpha;}}_1=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_1-{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_1\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\arcsin \left(\frac{{\mathrm{\&rho;}}_g+r_g}{{\mathrm{\&rho;}}_2+{\mathrm{\&rho;}}_g}{\sin \mathrm{\&beta;}}_2\right)$

由 ${\mathrm{\&rho;}}_1\frac{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_1)}{\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})}={\mathrm{\&rho;}}_2\frac{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;}+{\mathrm{\&gamma;}}_2)}{\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})}$ 解出θ，其中

${\mathrm{\&gamma;}}_1=\arcsin \left[\frac{r_{C1}}{{\mathrm{\&rho;}}_1}\sin (\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;}}_1-\mathrm{\&theta;})\right],$ ${\mathrm{\&gamma;}}_2=\arcsin \left[\frac{r_{C2}}{{\mathrm{\&rho;}}_2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right],$ 则

$r_d=r_{C2}\cos ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_2^2-{\left[r_{C2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_2-\mathrm{\&theta;})\right]}^2}$

上述式中，τ为齿距角，r_d为齿尖圆半径，β₁,β₂,α₁,α₂,θ,γ₁,γ₂为参数角。

Images