CN101937482A - 面齿轮插齿刀齿形设计方法 - Google Patents

Abstract

面齿轮插齿刀齿形结构确定方法，基于面齿轮插齿加工基本原理和面齿轮啮合传动基本原理，综合考虑不同插齿刀齿数对面齿轮加工尺寸的影响和对加工出的面齿轮传动啮合性能的影响，确定出合理的面齿轮插齿加工刀具齿数，根据与面齿轮啮合的小齿轮齿数确定出加工的面齿轮插齿刀结构。采用本发明确定的面齿轮插齿刀齿形结构加工的出的面齿轮有很好的传动性能，节约了后续为改进面齿轮啮合性能而修形面齿轮带来的费用，同时也提高了面齿轮加工效率。

Description

面齿轮插齿刀齿形设计方法

技术领域

本发明涉及一种新型齿轮-面齿轮加工插齿刀齿形设计方法，适用于面齿轮插齿加工中插齿刀的设计方法。

背景技术：

目前，从国外的技术资料显示，面齿轮可以采用插齿、滚齿和磨齿的加工方法加工，由于国外对面齿轮加工技术实行严格保密，致使其加工方法及刀具设计技术在国内还未能掌握，而国内对面齿轮的研究还主要集中于对面齿轮设计阶段，主要包括面齿轮齿面方程的研究、面齿轮接触分析的研究、面齿轮传动应力的研究、面齿轮弹流润滑的研究以及面齿轮插齿加工仿真的研究。而国内对面齿轮的设计也是基于插齿刀参数为已知而进行的正向设计。

因此，目前尚缺乏一种已知面齿轮尺寸来设计面齿轮加工插齿刀齿形参数来加工合格的面齿轮件的逆向设计方法。

发明内容

本发明的技术解决问题：针对面齿轮结构尺寸已知的条件下，如何设计面齿轮插齿刀以保证加工出的面齿轮满足面齿轮结构尺寸精度的技术难题，提供一种面齿轮插齿刀齿形设计方法，该方法能够根据面齿轮和与其啮合传动的小齿轮结构尺寸，设计出的面齿轮插齿刀具加工面齿轮不但能够满足面齿轮结构尺寸要求，而且能够满足面齿轮传动啮合性能要求，降低了后续为满足面齿轮啮合性能而对面齿轮进行修形的成本，提高了加工效率。

本发明的技术方案是：面齿轮加工插齿刀齿形设计方法，其方法流程如下：

(1)已知面齿轮齿数N₂、面齿轮结构尺寸(即内外直径D₁和D₂)、小齿轮齿数N₁、小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′、小齿轮精度等级，根据点接触面齿轮传动原理和面齿轮与小齿轮为同一把刀具加工出来，确定出面齿轮插齿刀的齿数N_s范围为比小齿轮齿数N₁多1～5个，插齿刀模数m、插齿刀压力角α、插齿刀分度圆弧齿厚s₀分别与小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′相等；

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀的齿数N_s、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出面齿轮加工插齿刀齿面方程：

其中，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径；u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数；

(3)由步骤(2)确定的插齿刀齿面方程

和面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s，得到面齿轮齿面方程：

其中，φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)，

其中φ₂为面齿轮旋转参数，x₂，y₂，z₂分别代表为面齿轮齿面方程矢量的三个坐标值；

利用面齿轮不发生齿根根切和齿顶变尖的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)，(x_2p，y_2p，z_2p)，分别确定出面齿轮的内外半径

和

即为面齿轮结构尺寸，其中，x_2u、y_2u为面齿轮不发生齿根根切的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值； 为面齿轮不发生齿顶变尖的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值；

(4)由步骤(3)所建立的面齿轮内外半径R₁和R₂计算公式，分别计算不同插齿刀齿数N_s所对应的面齿轮结构尺寸，并与要加工的面齿轮结构尺寸，即内外直径D₁和D₂比较，若D₁≥2R₁且D₂≤2R₂，则N_s满足要求，否则，弃之，从而重新确定插齿刀的齿数范围；

(5)由步骤(1)的小齿轮齿数N₁、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出小齿轮齿面方程：其中，r_b1为小齿轮渐开线基圆半径；u₁为小齿轮齿面上一点的轴向参数；θ_o1为小齿轮渐开线上一点的角度参数；θ_k1为小齿轮渐开线齿面的参数；

(6)由步骤(5)确定的小齿轮齿面方程

和步骤(3)确定的面齿轮齿面方程

确定出面齿轮传动接触区的长半轴

和短半轴以及长半轴的方向角度

其中，

和

分别为小齿轮和面齿轮的两个主曲率，σ为小齿轮主曲率

和面齿轮主曲率

所决定的主方向之间夹角，δ为接触分析的弹性压缩变形量；

(7)由步骤(6)确定的面齿轮传动接触区长短半轴a、b和方向角度σ₁，分别计算不同插齿刀齿数N_s对应的接触区的长短半轴a、b和方向角度σ₁，依据面齿轮传动避免发生边缘接触原则，即若接触区域部分超过齿面区域，则N_s不满足要求，弃之；反之，满足要求，从而重新确定出插齿刀齿数N_s范围；

(8)将步骤(7)确定的插齿刀齿数范围和步骤(4)确定的齿数范围进行综合考虑，即取两者N_s范围交叉部分且以传动接触区域分布在齿面区域上最大的原则，确定出插齿刀齿数；

(9)由步骤(1)确定的插齿刀分度圆弧齿厚s₀、插齿刀模数m，插齿刀压力角α和小齿轮精度等级及由步骤(8)确定的插齿刀的齿数，根据国标中插齿刀设计标准确定出面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸，按照得到面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸即可加工出面齿轮插齿刀。

本发明的原理：基于面齿轮插齿加工基本原理和面齿轮啮合传动基本原理，综合考虑不同插齿刀齿数对面齿轮加工尺寸的影响和对加工出的面齿轮传动啮合性能的影响，确定出合理的面齿轮插齿加工刀具齿数，根据与面齿轮啮合的小齿轮齿数确定出加工的面齿轮插齿刀结构。

本发明与现有技术相比的有益效果是：目前国内针对面齿轮插齿加工专用刀具结构还没有相关的说明，只是借用普通的插齿刀来代替面齿轮加工插齿刀；国外由于技术保密，也没有相关的文献进行介绍。因此，本发明很好地解决了面齿轮插齿刀的加工技术难题，针对已知面齿轮零件结构尺寸，给出能满足面齿轮加工精度和尺寸要求的插齿刀具结构，同时该刀具加工的出的面齿轮有很好的传动性能，节约了后续为改进面齿轮啮合性能而修形面齿轮带来的费用，同时也提高了面齿轮加工效率。

附图说明

图1为本发明实现方法流程图；

图2为要加工的面齿轮尺寸结构图；

图3为圆柱小齿轮渐开线齿面参数；

图4为面齿轮加工坐标系；

图5为面齿轮插齿刀齿轮轮廓；

图6为面齿轮最大外半径；

图7为面齿轮啮合传动坐标系；

图8(a)、(b)为曲率方向夹角图；

图9为面齿轮插齿刀结构图，图9(a)为插齿刀整体结构图，图9(b)为插齿刀前端面局部放大图(放大n倍)；

具体实施方式

本发明是针对面齿轮插齿加工而设计专用的面齿轮插齿刀具，以某型号面齿轮加工的插齿刀为例，插齿刀结构实现流程如图1所示。本实施实例针对如图2所示面齿轮结构图，插齿刀齿形结构实现步骤如下：

(1)已知面齿轮齿数N₂、面齿轮结构尺寸(内外直径D₁和D₂)，小齿轮齿数N₁、小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′、小齿轮精度等级，根据点接触面齿轮传动原理和面齿轮与小齿轮为同一把刀具加工出来，确定出面齿轮插齿刀的齿数N_s范围为比小齿轮齿数N₁多1～5个(到步骤(8)才确定出是1还是5，或者中间数，前面7步骤中，插齿刀齿数是个变量，这个变量的取值范围为比小齿轮齿数N₁多1～5个，即是N₁+1，N₁+2，N₁+3，N₁+4，N₁+5)，插齿刀模数m、插齿刀压力角α、插齿刀分度圆弧齿厚s₀分别与小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′相等；本实施例中，已知面齿轮齿数N₂＝160，面齿轮内直径

面齿轮外直径小齿轮齿数N₁＝24，小齿轮模数m′＝1.0583mm，小齿轮压力角α′＝20°，小齿轮分度圆弧齿厚小齿轮加工精度等级为6级；可得到面齿轮插齿刀可能的齿数为N_s＝25、N_s＝26、N_s＝27、N_s＝28、N_s＝29，插齿刀的模数m＝m′＝1.0583mm，插齿刀压力角α＝α′＝20°，插齿刀分度圆弧齿厚

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀的齿数N_s、插齿刀模数m、插齿刀压力角α，建立直齿圆柱齿轮渐开线坐标系如图3所示，则插齿刀渐开线齿面向量方程为：

$\stackrel{\→}{r_s}(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}\±r_{\mathrm{bs}}[\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})\\ -r_{\mathrm{bs}}\left[\cos ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})\right]+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin ({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{os}}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})\\ u_s\\ 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

插齿刀渐开线齿面法向量为：

${\stackrel{\→}{n}}_s=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{+}\cos ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})\\ -\sin ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})\\ 0\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中：

m为插齿刀模数，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径，u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数；

(3)由步骤(2)确定的插齿刀齿面方程

和面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s，得到面齿轮齿面方程

分别确定出面齿轮的内外半径

和

即为面齿轮结构尺寸。其中，x_2u、y_2u为面齿轮不发生齿根根切的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值；

为面齿轮不发生齿顶变尖的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值；本实施例中面齿轮齿面方程和面齿轮内外半径R₁和R₂过程如下：

a.面齿轮加工坐标系的建立

面齿轮加工可采用以下4个坐标系：分别与插齿刀s和面齿轮一同转动的两个坐标系S_s(x_s，y_s，z_s)和S₂(x₂，y₂，z₂)，分别与插齿刀s和面齿轮初始位置固联的两个固定坐标系S_so(x_so，y_so，z_so)和S_2o(x_2o，y_2o，z_2o)。坐标原点o_s和o₂都与o点重合；z_so和z_s同轴，为插齿刀s转动轴线；z_2s与z₂同轴，为加工面齿轮的转动轴线。φ_s与φ₂分别表示插齿刀s的转角和面齿轮的转角，z_s与z₂轴间夹角为γ，本实施例取γ＝90。如图4所示。

b.面齿轮齿面方程

面齿轮齿面方程是根据插齿刀齿面方程和啮合原理推导出来的。从插齿刀坐标系到面齿轮坐标系的坐标变换矩阵为：

$M_{2s}\left({\mathrm{\φ}}_s\right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& -\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin {\mathrm{\φ}}_s& -\sin {\mathrm{\φ}}_2& 0\\ -\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& \sin {\mathrm{\φ}}_2\cos {\mathrm{\φ}}_s& -\cos {\mathrm{\φ}}_2& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_s& \cos {\mathrm{\φ}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中： $\frac{N_2}{N_s}=\frac{{\mathrm{\φ}}_S}{{\mathrm{\φ}}_2}=m_{2S}.$

则面齿轮齿面方程为：

${\stackrel{\→}{r}}_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_s)=M_{2s}\left({\mathrm{\φ}}_s\right){\stackrel{\→}{r}}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}})---\left(3\right)$

根据空间曲面啮合原理得到：

$\stackrel{\→}{n_s}\·{\stackrel{\→}{v}}^{\left(s2\right)}=0---\left(4\right)$

为插齿刀齿面的法线向量，

为相对速度矢量，从而得到

f(u_s，θ_ks，φ_s)＝r_bs-u_sm_2scos(θ_s±(θ_os+θ_ks))＝0    (5)

将式(1)、(5)代入式(3)得到面齿轮齿面方程为：

${\stackrel{\→}{r}}_2({\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{bs}}[\cos {\mathrm{\φ}}_2\left(\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)-\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\sin {\mathrm{\φ}}_2\left({\sin \mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\stackrel{\‾}{+}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\right)+\frac{1}{m_{2s}\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}}\sin {\mathrm{\φ}}_2]\\ -r_{\mathrm{bs}}(\cos {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}\±{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}\sin {\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}})\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中：φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)

c.面齿轮内半径的求取面齿轮加工过程中，接触点沿着插齿刀齿面和被加工面齿轮齿面移动的速度

和

满足下列方程：

其中

为接触点的相对移动速度。

时，面齿轮齿面出现根切。即面齿轮出现根切的条件为：

$\stackrel{\→}{v_r^s}+\stackrel{\→}{v_r^{s2}}=0---\left(7\right)$

考虑啮合微分方程：

$\frac{\∂f}{\∂s}\frac{{\mathrm{du}}_s}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}}}\frac{{\mathrm{d\θ}}_{\mathrm{ks}}}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\frac{{\mathrm{d\φ}}_s}{\mathrm{dt}}=0---\left(8\right)$

为了求出面齿轮不发生根切的临界尺寸，可求根切界限与插齿刀顶圆的交点对应的φ_ks

${\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ks}}=\frac{\sqrt{r_{\mathrm{as}}^2-r_{\mathrm{bs}}^2}}{r_{\mathrm{bs}}}---\left(9\right)$ 其中：r_as为插齿刀齿顶圆半径。

将(9)带入(7)、(8)式进而可求出发生根切界限φ_s，可得到发生根切的界限点坐标

根据坐标变换将根切的界限坐标点

变换的面齿轮坐标系，得到面齿轮不发生齿根根切的界限坐标点

可求得不发生根切的的最小内半径R₁：

$R_1=\sqrt{x_{2u}^2+y_{2u}^2}---\left(10\right)$

d.面齿轮外半径的求取

图5为插齿刀齿轮轮廓，面齿轮齿顶变尖的几何特征是轮齿两侧面齿面相交，其齿顶厚等于零。本发明采用轮齿顶面的平面来截取面齿轮的齿面，这个平面切与半径为r_ms＝r_ps-m的圆柱(参考图6)，其中，r_ps为插齿刀节圆半径。该圆柱的轴线同插齿刀的轴线重合。当插齿刀的齿数时，r_ps-m＜r_bs，在这种情况下，取r_ms＝r_bs，这是由于切于插齿刀圆柱的平面将确定面齿轮齿面的边界尺寸。y₂oz₂平面是面齿轮两侧齿廓的对成面，因此齿顶变尖处的坐标为：

$x_{2p}=0,y_{2p}=-R_2,z_{2p}=-r_{\mathrm{ms}}$

代入面齿轮齿面方程(6)，即可计算出面齿轮不发生齿顶变尖的界限坐标点

的值，可得齿顶不变尖的最大外半径

(4)由步骤(3)所建立的面齿轮内外半径R₁和R₂计算公式，分别计算不同插齿刀齿数N_s所对应的面齿轮结构尺寸，与要加工的面齿轮结构尺寸比较，若D₁≥2R₁且D₂≤2R₂，则N_s满足要求，否则，弃之，从而重新确定插齿刀的齿数范围。本实例中分别计算面齿轮插齿刀齿数为N_s＝25、N_s＝26、N_s＝27、N_s＝28、N_s＝29所对应的面齿轮最小内半径R₁和最大外半径R₂如下表所示：

插齿刀齿数	面齿轮最小内半径(mm)	面齿轮最大外半径(mm)
			25	80.123	101.13
26	80.148	100.23
			27	80.173	99.396
28	80.197	98.622
			29	80.222	97.899

由于所制造的面齿轮内直径

面齿轮外直径从表1可以看出，所制造的面齿轮内外半径均在插齿刀齿数从25～29的面齿轮最小内半径和最大外半径范围内，因此，此步骤确定的面齿轮插齿刀齿数范围为N_s＝25～29。

(5)由步骤(1)确定小齿轮的齿数N₁、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出小齿轮齿面方程

本实施例中，小齿轮齿面方程

的推导过程如步骤(2)中所述插齿刀齿面方程推导过程一样，可直接将式子(1)、(2)中下标“s”改为“1”就得到小齿轮的齿面方程和小齿轮的齿面法向量

其中：

为小齿轮渐开线基圆半径，u₁为小齿轮齿面上一点的轴向参数；θ_o1为小齿轮渐开线上一点的角度参数；θ_k1为小齿轮渐开线齿面的参数；

(6)由步骤(5)确定的小齿轮齿面方程

和步骤(3)确定的面齿轮齿面方程利用齿轮传动原理和微分几何原理，确定出面齿轮传动接触区的长半轴a和短半轴b以及长半轴的方向角度σ₁。本实施例中，推导面齿轮传动啮合接触区长短半轴及其方向角度的过程如下：

a.面齿轮传动啮合分析坐标系的建立

面齿轮啮合传动坐标系如图7所示，面齿轮传动啮合可采用以下5个坐标系：与小齿轮、插齿刀、面齿轮初始位置固连的三个固定坐标系S₁₀(x₁₀，y₁₀，z₁₀)、S_s0(x_s0，y_s0，z_s0)、S₂₀(x₂₀，y₂₀，z₂₀)；与小齿轮和面齿轮一同转动的两个坐标系S₁(x₁，y₁，z₁)，S₂(x₂，y₂，z₂)。坐标原点O_s0和O₁₀有参数ΔE，B和Bcotγ确定，E为当小齿轮轴线和面齿轮轴线异面时两轴线最短距离，ΔE为其偏差，本实施例取E＝0，ΔE＝0，B为小齿轮与插齿刀之间的中心距，

r_p1为小齿轮节圆半径，γ为面齿轮与小齿轮的轴交角，φ′₁，φ′₂分别为小齿轮和面齿轮转角。

b.面齿轮传动啮合接触点方程

从坐标系S₁₀(x₁₀，y₁₀，z₁₀)到坐标系S₁(x₁，y₁，z₁)的坐标转换矩阵为M₁₀₁(φ′₁)：

$M_{101}\left({\mathrm{\φ}}_1^{\′}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\mathrm{\φ}}_1^{\′}& -\sin {\mathrm{\φ}}_1^{\′}& 0& 0\\ \sin {\mathrm{\φ}}_1^{\′}& \cos {\mathrm{\φ}}_1^{\′}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(11\right)$

则小齿轮在坐标系S₁₀(x₁₀，y₁₀，z₁₀)的齿面方程为：

${\stackrel{\→}{r}}_{101}(u_1,{\mathrm{\θ}}_{k1},{\mathrm{\φ}}_1^{\′})=M_{101}\left({\mathrm{\φ}}_1^{\′}\right){\stackrel{\→}{r}}_1(u_1,{\mathrm{\θ}}_{k1})---\left(12\right)$

${\stackrel{\→}{n}}_{101}({\mathrm{\θ}}_{k1},{\mathrm{\φ}}_1^{\′})=M_{101}\left({\mathrm{\φ}}_1^{\′}\right){\stackrel{\→}{n}}_1\left({\mathrm{\θ}}_{k1}\right)---\left(13\right)$

从坐标系S₂(x₂，y₂，z₂)到坐标系S₁₀(x₁₀，y₁₀，z₁₀)的坐标转换矩阵为M₁₀₂(φ′₂，γ_m)，则面齿轮齿面方程在坐标系S₁₀(x₁₀，y₁₀，z₁₀)下的表达式为：

${\stackrel{\→}{r}}_{102}(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\γ}}_m,{\mathrm{\φ}}_2^{\′})=M_{102}({\mathrm{\φ}}_2^{\′},{\mathrm{\γ}}_m){\stackrel{\→}{r}}_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\γ}}_m)---\left(14\right)$

${\stackrel{\→}{n}}_{102}({\mathrm{\φ}}_2^{\′},{\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\γ}}_m)=L_{102}({\mathrm{\φ}}_2^{\′},{\mathrm{\γ}}_m){\stackrel{\→}{n}}_2({\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\γ}}_m)---\left(15\right)$

其中，L₁₀₂(φ′₂，γ_m)为矩阵M₁₀₂(φ′₂，γ_m)前三阶主子式。

在接触点小齿轮和面齿轮有相同的坐标和法向量，因此可以得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\→}{r}}_{102}(u_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\γ}}_m,{\mathrm{\φ}}_2^{\′})={\stackrel{\→}{r}}_{101}(u_1,{\mathrm{\θ}}_{k1},{\mathrm{\φ}}_1^{\′})\\ {\stackrel{\→}{n}}_{102}({\mathrm{\φ}}_2^{\′},{\mathrm{\φ}}_s,{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ks}},{\mathrm{\γ}}_m)={\stackrel{\→}{n}}_{101}({\mathrm{\θ}}_{k1},{\mathrm{\φ}}_1^{\′})\end{array}\right.---\left(16\right)$

求解方程组(16)即可得到面齿轮传动接触点轨迹。

c.面齿轮主曲率计算

曲面S可用参数u、v表示成

给出曲面S上一点P和P点的方向λ＝du:dv，则曲面沿λ＝du:dv的法曲率K为：

$K=\frac{{\mathrm{Ldu}}^2+2\mathrm{Mdudv}+{\mathrm{Ndv}}^2}{{\mathrm{Edu}}^2+2\mathrm{Fdudv}+{\mathrm{Gdv}}^2}---\left(17\right)$

$\stackrel{\→}{n}=\frac{{\stackrel{\→}{r}}_u\×{\stackrel{\→}{r}}_v}{|{\stackrel{\→}{r}}_u\×{\stackrel{\→}{v}}_v|}---\left(18\right)$

其中 $L=-{\stackrel{\→}{n}}_u\·{\stackrel{\→}{r}}_u=\stackrel{\→}{n}\·{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{uu}},$ $M=-{\stackrel{\→}{n}}_u\·{\stackrel{\→}{r}}_v=\stackrel{\→}{n}\·{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{uv}},$ $N=-{\stackrel{\→}{n}}_v\·{\stackrel{\→}{r}}_v=\stackrel{\→}{n}\·{\stackrel{\→}{r}}_{\mathrm{vv}},$ $E={\stackrel{\→}{r}}_u\·{\stackrel{\→}{r}}_u,$ $F={\stackrel{\→}{r}}_u\·{\stackrel{\→}{r}}_v,$ $G={\stackrel{\→}{r}}_v\·{\stackrel{\→}{r}}_v.$

根据(17)、(18)得到

(EG-F²)K²+(2FM-EN-GL)K+(LN-M²)＝0    (19)

求解方程(19)得到法曲率K的最大值与最小值即为该点的主曲率，法曲率K最大值与最小值的方向即为该点的主方向。

在曲面切平面上的主方向矢量

为

$\stackrel{\→}{e}=(\frac{\∂r}{\∂u}\mathrm{\λ}+\frac{\∂r}{\∂v})/|\frac{\∂r}{\∂u}\mathrm{\λ}+\frac{\∂r}{\∂v}|---\left(20\right)$

其中， $\mathrm{\λ}=-\frac{M-\mathrm{KF}}{L-\mathrm{KE}}=-\frac{N-\mathrm{KG}}{M-\mathrm{KF}}.$

若F＝M＝0，则两方向分别为和

d.面齿轮主曲率所决定方向夹角计算

为了确定瞬时接触面积的大小，不仅需要求出主曲率

(其上标(1)表示小齿轮1，(2)表示面齿轮，下标1、2表示两个主方向)，而且还要求出

决定的主方向之间夹角，以角σ表示。

图8为曲率方向夹角，设M点为两齿面的接触点(只画出一个曲面)，过M点作两面的切平面，过M点引一直角坐标系∑_ηζl，l轴沿着曲面法线方向，面η轴、ξ轴位于切平面内。设σ₁和σ₂两个方向角度，他们在坐标系∑_ηζl中将分别确定两个齿面上主曲率为

和

的两个主方向MN₁和MN₂，两个主方向之间的夹角采用σ表示，则有

σ＝σ₂-σ₁(21)

e.接触域的大小和方向计算

齿轮副在实际啮合时，各瞬时的接触点由于受压作用产生弹性变形，将形成以理论接触点为中心的椭圆。接触椭圆的半轴a、b大小为：

$\left\{\begin{array}{c}a=\sqrt{\left|\frac{\mathrm{\δ}}{A}\right|}\\ b=\sqrt{\left|\frac{\mathrm{\δ}}{B}\right|}\end{array}\right.---\left(22\right)$

式中：

$A=\frac{1}{4}[k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(1\right)}-k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(2\right)}-\sqrt{g_1^2-2g_1{g}_2\cos 2\mathrm{\σ}+g_2^2}]$ $B=\frac{1}{4}[k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(1\right)}-k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(2\right)}+\sqrt{g_1^2-2g_1{g}_2\cos 2\mathrm{\σ}+g_2^2}]$

其中： $k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(1\right)}=k_{11}^{\left(1\right)}+k_{12}^{\left(1\right)},$ $k_{\mathrm{\Σ}}^{\left(2\right)}=k_{21}^{\left(2\right)}+k_{22}^{\left(2\right)},$ $g_1=k_{11}^{\left(1\right)}-k_{12}^{\left(1\right)},$ $g_2=k_{21}^{\left(2\right)}-k_{22}^{\left(2\right)}.$

当齿轮副在检验机上轻载运动时，经验表明齿面上的着色层及弹性压缩的变形量δ应取0.00625mm。

设定坐标系∑_ηξl中的η轴位置，使得下式成立：

$\tan 2{\mathrm{\σ}}_1=\frac{g_2\sin 2\mathrm{\σ}}{g_1-g_2\cos 2\mathrm{\σ}}$

即：

${\mathrm{\σ}}_1=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{g_2\sin 2\mathrm{\σ}}{g_1-g_2\cos 2\mathrm{\σ}}\right)---\left(23\right)$

接触椭圆的方向可以用椭圆长轴(短轴)的方向来确定，椭圆半轴b与小齿轮1齿面的曲率为

的主方向MN₁的夹角即为长半轴的方向角度σ₁如图8所示，σ₁可由式(23)计算得到。

(7)由步骤(6)确定的面齿轮传动接触区长短半轴a和b和方向角度σ₁，分别计算不同插齿刀齿数N_s对应的接触区的长短半轴a、b和方向角度σ₁，依据面齿轮传动避免发生边缘接触原则，即若接触区域部分超过齿面区域，则N_s不满足要求，弃之；反之，满足要求，从而重新确定出插齿刀齿数N_s范围。本实例中，分别计算面齿轮插齿刀齿数为N_s＝25、N_s＝26、N_s＝27、N_s＝28、N_s＝29所对应的面齿轮接触区位置分布如下表所示：

注：由于正交面齿轮两个面关于Y轴对称，所以接触点Y坐标值代表了接触点在齿面上的相对位置。

通过计算可知，当N_s＝25时，出现了边缘接触(内半径处)，当N_s＝26～29时，没有出现边缘接触。

(8)将步骤(7)确定的插齿刀齿数范围和步骤(4)确定的齿数范围进行综合考虑，即取两者N_s范围交叉部分且以传动接触区域分布在齿面区域上最大的原则，确定出插齿刀齿数。本实例中，步骤(4)确定的N_s范围为25～29，步骤(7)确定的N_s范围为26～29，因此得到面齿轮插齿刀的齿数N_s范围为26～29，由于当N_s＝26时，传动接触区域分布在齿面区域上最大，因此取插齿刀的齿数为N_s＝26。

(9)由步骤(1)确定的插齿刀分度圆弧齿厚s、插齿刀模数m，插齿刀压力角α和小齿轮精度等级以及由步骤(8)确定的插齿刀的齿数，根据国标中插齿刀设计标准确定出面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸，按照得到面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸即可加工出面齿轮插齿刀。本实例中，根据步骤(1)得到的面齿轮插齿刀分度圆弧齿厚为

渐开线直小齿轮为6级精度等级，根据插齿刀设计标准，选取插齿刀精度等级为AA级，进而确定面齿轮插齿刀其他结构尺寸过程如下：

a.插齿刀基本参数

插齿刀型式：锥柄直齿插齿刀；齿数：z₀＝26；现在标准插齿刀顶刃都有前角γ，一般推荐使用γ＝5°；齿顶顶刃有后角α_e，当α＝20°时，推荐采用α_e＝6°；插齿刀侧刃有后角α_c，tanα_c＝sinαtanα_e＝2°4′32″；齿顶高系数：，h_a0 ^*＝h_a ^*+c^*，取齿顶系数h_a ^*＝1.00，顶隙系数c^*＝0.25，则h_a0 ^*＝1.25；分度圆直径：d₀＝z₀*m＝27.52mm；分度圆压力角(修正后)：tanα₀＝tanα/(1-tanα_etanγ)＝0.367348，故α₀＝20°10′14.5″。

b.插齿刀前端面变位系数

根据插齿刀设计标准取变位系数为x₀＝0.2；

计算得前端面齿顶厚度r_a0为齿顶圆半径，α_a0为齿顶圆处压力角，其中

取插齿刀前端面顶隙系数

c.原始截面参数和切削刃在前端面投影尺寸

原始截面分度圆弧齿厚：

(本计算实例取s₀＝1.58mm)

原始截面齿顶高：h_a0＝(h_a ^*+c^*)m＝1.3229mm；

原始截面全齿高：h₀＝2(h_a ^*+c^*)m＝2.6458mm；

前端面离原始截面距离：

前端面齿顶高：h_a01＝h_a0+b₀tanα_e＝1.533mm；

前端面分度圆弧齿厚：s₀₁＝s₀+2 b₀ tanα tanα_e＝1.733mm；

前端面分度圆直径：d_a0＝mz₀+2h_a01＝30.582mm；

前端面齿根圆直径：d_f0＝d_a0-2h₀＝25.290mm；

刀顶的磨损极限：为当刀磨损到原始界面处的齿顶圆直径：

d′＝mz₀+2h_a0＝30.1617mm。

分度圆弧齿厚为s₀＝1.58mm，计算得到跨3齿的公法线长度为8.098mm。前端面分度圆弧齿厚：s₀₁＝1.733mm，计算得到跨3齿的公法线长度为L＝8.246mm。因此跨三齿公法线尺寸磨损极限为L′＝8.089mm。

最终确定面齿轮插齿刀结构尺寸图如图9所示，图9(a)为插齿刀整体结构图，图9(b)为插齿刀前端面局部放大图(放大n倍)。

采用本发明方法所确定的面齿轮插齿刀结构加工出来的面齿轮齿距累计误差为0.05mm，面齿轮零件图上要求为0.04±0.02mm(测量结果为0.04mm)，因此满足加工精度的需求。

总之，本发明以面齿轮加工原理和面齿轮传动啮合原理为基础，利用空间曲面啮合原理和微分几何原理，建立了一套完整的面齿轮插齿刀齿形结构实现方法。应用本发明方法实现的插齿刀，不但能够保证面齿轮加工精度而且加工的面齿轮在轻载条件下具有良好的传动性能，降低了加工成本，提高了加工效率。本发明适用于各种面齿轮插齿加工的刀具，为面齿轮加工提供了更好的实现方法。

本发明未详细阐述部分属于本领域公知技术。

Claims (3)

1.面齿轮插齿刀齿形结构确定方法，其特征在于实现步骤如下：

(1)已知面齿轮齿数N₂、面齿轮结构尺寸(即内外直径D₁和D₂)、小齿轮齿数N₁、小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′、小齿轮精度等级，根据点接触面齿轮传动原理和面齿轮与小齿轮为同一把刀具加工出来，确定出面齿轮插齿刀的齿数N_s范围为比小齿轮齿数N₁多1～5个，插齿刀模数m、插齿刀压力角α、插齿刀分度圆弧齿厚s₀分别与小齿轮模数m′、小齿轮压力角α′、小齿轮分度圆弧齿厚s′相等；

(2)由步骤(1)中得到的插齿刀的齿数N_s、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出面齿轮加工插齿刀齿面方程：

其中，r_bs为插齿刀渐开线基圆半径；u_S为插齿刀齿面上一点的轴向参数；θ_os为插齿刀渐开线上一点的角度参数；θ_ks为插齿刀渐开线齿面的参数；

(3)由步骤(2)确定的插齿刀齿面方程

和面齿轮传动原理以及插齿刀的旋转参数φ_s，得到面齿轮齿面方程：

其中，φ_ks＝φ_s±(θ_os+θ_ks)，

其中φ₂为面齿轮旋转参数，x₂，y₂，z₂分别代表为面齿轮齿面方程矢量的三个坐标值；

利用面齿轮不发生齿根根切和齿顶变尖的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)，

分别确定出面齿轮的内外半径

和

即为面齿轮结构尺寸，其中，x_2u、y_2u为面齿轮不发生齿根根切的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值；

为面齿轮不发生齿顶变尖的界限坐标点(x_2u，y_2u，z_2u)中的x₂、y₂的值；

(4)由步骤(3)所建立的面齿轮内外半径R₁和R₂计算公式，分别计算不同插齿刀齿数N_s所对应的面齿轮结构尺寸，并与要加工的面齿轮结构尺寸，即内外直径D₁和D₂比较，若D₁≥2R₁且D₂≤2R₂，则N_s满足要求，否则，弃之，从而重新确定插齿刀的齿数范围；

(5)由步骤(1)的小齿轮齿数N₁、插齿刀模数m、插齿刀压力角α确定出小齿轮齿面方程：

其中，r_b1为小齿轮渐开线基圆半径；u₁为小齿轮齿面上一点的轴向参数；θ_o1为小齿轮渐开线上一点的角度参数；θ_k1为小齿轮渐开线齿面的参数；

(6)由步骤(5)确定的小齿轮齿面方程

和步骤(3)确定的面齿轮齿面方程

确定出面齿轮传动接触区的长半轴和短半轴

以及长半轴的方向角度

其中，

和

分别为小齿轮和面齿轮的两个主曲率，σ为小齿轮主曲率

和面齿轮主曲率

所决定的主方向之间夹角，δ为接触分析的弹性压缩变形量；

(7)由步骤(6)确定的面齿轮传动接触区长短半轴a、b和方向角度σ₁，分别计算不同插齿刀齿数N_s对应的接触区的长短半轴a、b和方向角度σ₁，依据面齿轮传动避免发生边缘接触原则，即若接触区域部分超过齿面区域，则N_s不满足要求，弃之；反之，满足要求，从而重新确定出插齿刀齿数N_s范围；

(8)将步骤(7)确定的插齿刀齿数范围和步骤(4)确定的齿数范围进行综合考虑，即取两者N_s范围交叉部分且以传动接触区域分布在齿面区域上最大的原则，确定出插齿刀齿数；

(9)由步骤(1)确定的插齿刀分度圆弧齿厚s₀、插齿刀模数m，插齿刀压力角α和小齿轮精度等级及由步骤(8)确定的插齿刀的齿数，根据国标中插齿刀设计标准确定出面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸，按照得到面齿轮插齿刀齿形具体结构尺寸即可加工出面齿轮插齿刀。

2.根据权利要求1所述的面齿轮插齿刀齿形结构确定方法，其特征在于：所述步骤(6)中接触分析的弹性压缩变形量δ取为0.00625mm。

3.根据权利要求1所述的面齿轮插齿刀齿形结构确定方法，其特征在于：所述步骤(8)中传动接触区域分布在齿面区域上最大的原则是指接触区域完全分布在面齿轮齿面区域内且占面齿轮齿面区域最大为原则。

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