CN105156637A - 一种斜线齿面齿轮传动副及齿宽几何设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种斜线齿面齿轮传动副及齿宽几何设计方法，该斜线齿面齿轮传动副是由渐开线直齿轮和斜线齿面齿轮组成的交错轴传动形式。斜线齿面齿轮是用直齿渐开线插齿刀交错展成的，这类斜线齿面齿轮只能与直齿圆柱齿轮啮合，而不能与具有螺旋角的斜齿圆柱齿轮啮合，其齿线为近似为斜线，并与半径方向形成斜角，非常适应于航空紧凑空间的设计多样化需求。本发明阐明了斜线齿轮斜线齿面齿轮的插齿原理，推导斜线齿面齿轮的齿面方程；利用渐开线插齿刀的界限线，求出内端齿根根切点的位置；通过外端齿顶齿厚等于零的条件，获得变尖的条件；再结合避免齿根二次切削发生的条件，确定刀顶圆角半径，最终获得斜线齿面齿轮的齿宽。

Description

一种斜线齿面齿轮传动副及齿宽几何设计方法

【技术领域】

本发明属于齿轮传动技术领域，特别涉及一种斜线齿面齿轮传动副及齿宽几何设计方法。

【背景技术】

斜线齿面齿轮传动是圆柱齿轮与平斜线齿面齿轮啮合的角度传动，可用于两齿轮轴线正交、非正交或偏置等不同传动要求。与采用锥齿轮的角度传动相比较，斜线齿面齿轮传动由于主动圆柱齿轮位置比较自由从而可以节省大量的安装调试时间与成本，另外它还有结构紧凑、单级传动比高等诸多优点。经过精加工的斜线齿面齿轮可替代直齿锥齿轮、弧齿锥齿轮及准双曲斜线齿面齿轮等并且能够简化支撑结构，因此具有非常广阔的市场与发展前景。

直齿和斜齿斜线齿面齿轮是国外斜线齿面齿轮传动中常用的类型，用于相交轴(正交和非正交)的动力传递，已经应用在直升机分支系统中。在直齿斜线齿面齿轮传动中，渐开线直齿轮不需要精确定位，这在传动精度要求较高时是非常有利的，它能够满足轴、径向浮动的安装支撑要求，有利于分支系统的均载、降低轴承性能要求和简化支撑结构；但是其接触迹线类似于直齿圆柱齿轮传动，近似垂直于齿根，重合度与齿宽无关仅为1.4～2.0。相比于直齿斜线齿面齿轮，斜齿斜线齿面齿轮具有更高的重合度和轮齿强度；但是由于螺旋角的存在，齿面几何结构更为复杂，即使是很小的安装误差都有可能破坏原有理想的啮合印痕；更为不利的是，啮合传动中会产生轴向力，从而提高了轴承工作性能要求及更为苛刻的安装条件。随着大功率传动系统在航空动力传动中的应用日益广泛，传统渐开线型的直齿、斜齿斜线齿面齿轮已不能适应于高速重载的传动场合，因此，迫切需要研发出适合于传递大功率的新型高性能斜线齿面齿轮传动装置。

综上所述，直齿斜线齿面齿轮存在着重合度低、承载能力差、振动噪声大等问题，而斜齿斜线齿面齿轮又存在轴向力、啮合稳定性差等不足之处，且斜线齿面齿轮齿宽几何设计考虑不全面，仅考虑内端齿根根切和外端齿顶变尖情况。

【发明内容】

为解决现有技术存在的问题，本发明提供了一种斜线齿面齿轮传动副及齿宽几何设计方法，本发明的传动副适用于两轴线空间交错倾斜的情况，实现了斜线齿面齿轮传动副的点接触。斜线齿面齿轮的齿宽设计综合考虑了内端齿根根切、外端齿顶变尖、预置内端工作齿高和齿根二次切削等条件；该新型面齿轮传动副具有重合度高、承载能力强、振动噪声小、啮合稳定性强等优点。

本发明解决技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

一种点接触斜线齿面齿轮传动副，包括相啮合的斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮，斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮是点接触啮合传动，所述斜线齿面齿轮的齿线与半径方向形成倾斜角，倾斜角γ不超过25°；渐开线直齿轮按沿着斜线齿面齿轮的节锥成倾斜角的方向安装。

进一步，所述的斜线齿面齿轮是用直齿渐开线插齿刀交错展成的；在加工过程中，渐开线插齿刀轴线相对于斜线齿面齿轮节锥线倾斜γ，渐开线插齿刀与节锥线的交点位置L₀沿节锥线移动，插齿过程的主运动为沿渐开线插齿刀轴线进给插削及回程；展成运动为渐开线插齿刀绕自身轴线以ω_s的角速度旋转，同时工件绕自身轴线以ω₂的角速度旋转，两者之间的滚比关系为ω₂/ω_s＝z_s/z₂，其中z_s为渐开线插齿刀齿数，z₂为斜线齿面齿轮齿数；完成一个轮齿的插削后，通过分度机构将轮坯旋转2π/z₂角度，继续插削下一个轮齿，直至插出所有的轮齿。

进一步，所述的渐开线插齿刀齿数z_s比小轮齿数z₁多1～3个齿；渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮节锥线的交点可沿节锥线移动，形成斜线齿面齿轮传动不同的偏置形式。

进一步，所述的渐开线插齿刀的截面齿形，包括展成斜线齿面齿轮工作齿面的渐开线齿廓和加工过渡曲面的刀顶圆弧，坐标系S_s(x_s,y_s,z_s)为渐开线插齿刀坐标系，平面y_s＝0是渐开线插齿刀齿槽的对称面，渐开线齿廓的位置矢量表示为：

$r_s\left(u_s,{\mathrm{\θ}}_s\right)=\left[\begin{array}{c}\±r_{bs}\[\sin \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)-{\mathrm{\θ}}_s\cos \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)\]\\ -r_{bs}\[\cos \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)-{\mathrm{\θ}}_s\sin \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)\]\\ u_s\end{array}\right]---\left(1\right)$

式中，r_bs为渐开线插齿刀的基圆半径，z_s为渐开线插齿刀齿数，m_n为法向模数，α₀为渐开线插齿刀的分度圆压力角，u_s为刀具齿面的轴线参数，θ_0s确定插齿刀在基圆上的齿槽宽，θ_s为刀具渐开线的角度参数，式(1)中正负号分别对应于刀具齿槽两侧渐开线；

渐开线齿廓的单位法线矢量为

在刀具坐标系S_s下，刀齿顶圆弧的方程为：

$r_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)=\left[\begin{array}{c}{X}_f-r_{f}cos\frac{\mathrm{\π}}{z_s}sin{\mathrm{\θ}}_f+r_{f}sin\frac{\mathrm{\π}}{z_s}cos{\mathrm{\θ}}_f\\ Y_f-r_f\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_s}{\mathrm{sin\θ}}_f-r_{f}cos\frac{\mathrm{\π}}{z_s}{\mathrm{cos\θ}}_f\\ u_f\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，θ_f为刀顶圆弧参数，r_f为刀顶圆角半径；u_f为渐开线插齿刀轴向参数；X_f，Y_f为圆弧中心的坐标，由式(4)确定：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*})=r_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*})\\ \left|r_f(u_s,0)\right|=r_{as}\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中，第一个等式表示刀顶圆弧和渐开线齿廓相切交点A位矢相等，第二个等式为圆弧与齿顶圆相切于B点，r_as为渐开线插齿刀齿顶圆半径，求解两个非线性方程组，计算出位置A的圆弧参数和展角参数代入计算出圆弧中心的坐标(X_f，Y_f)。

一种点接触斜线齿面齿轮传动副的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，包括以下步骤：

步骤1：由渐开线插齿刀齿面方程、啮合方程和根切条件来计算渐开线插齿刀齿面的界限线；根切界限线和分界线的交点为根切极限点，即最先发生根切的位置；将该点的参数代入到工作齿面方程，求出斜线齿面齿轮两侧不发生根切的最小内半径；

步骤2：根据轮齿强度及齿顶间隙的要求，预置斜线齿面齿轮内端的工作齿高，由渐开线插齿刀渐开线齿廓与齿顶圆弧之间的分界线，求出斜线齿面齿轮工作齿面和过渡曲面之间的交线，再分别计算出斜线齿面齿轮两侧交线到齿顶等于预置工作齿高的最小内半径；

步骤3：取步骤1～2获得的所有最小内半径的最大值为斜线齿面齿轮的最小内半径R₁；

步骤4：根据斜线齿面齿轮的齿根过渡曲面方程和齿根高条件，计算出两侧齿根最低点的坐标，由旋转矢量公式判断两点之间的夹角与一个齿距角度之间的关系，若夹角大于齿距角度，则会发生二次切削，否则不发生二次切削，计算出两侧不发生二次切削的最小内半径；若初始给定的渐开线插齿刀圆角半径不能避免二次根切，则应将圆角半径减小，再重计算步骤1至步骤4，直至内半径R₁满足不发生二次切削；

步骤5：根据斜线齿面齿轮的齿面方程和齿顶高，计算出齿厚为零的两侧齿面点，从而获得斜线齿面齿轮齿顶不发生变尖的外半径R₂；

步骤6：最终确定出该斜线齿面齿轮的几何齿宽B＝R₂-R₁。

作为本发明的进一步改进，所述的步骤1的具体包括以下步骤：

(1)建立斜线齿面齿轮加工过程的坐标系，其中动坐标系S_s、S₂分别与渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮固联；坐标系S_a和S_d分别为渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮的参考坐标，用于确定渐开线插齿刀转角φ_s和斜线齿面齿轮转角φ₁，辅助坐标系S_b确定了渐开线插齿刀轴线z_s与斜线齿面齿轮节锥线z_b的倾斜角γ_c，辅助坐标系S_c用于确定与S_b的相对位置L₀以及斜线齿面齿轮副的轴交角γ_m；

所述的斜线齿面齿轮的齿面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2w}(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=M_{2s}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=(\frac{\∂r_{2w}}{\∂u_s}\×\frac{\∂r_{2w}}{\∂{\mathrm{\θ}}_s})\·\frac{\∂r_{2w}}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}=0\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，M_2s＝M_2dM_dcM_cbM_baM_as为刀具坐标系S_s到被加工斜线齿面齿轮坐标系S₂的变换矩阵；f(u_s,θ_s,φ_s)＝0为渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮的啮合方程；和分别为工作齿面位矢对坐标参数u_s，θ_s求偏导，表示工作齿面法矢；为工作齿面位置矢量对渐开线插齿刀转角φ_s求偏导，表示加工工作齿面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度；

所述的斜线齿面齿轮的过渡曲面的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2f}(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=M_{2s}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)\\ f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=(\frac{\∂r_{2f}}{\∂u_f}\×\frac{\∂r_{2f}}{\∂{\mathrm{\θ}}_f})\·\frac{\∂r_{2f}}{\∂{\mathrm{\φ}}_f}=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，和分别为过渡曲面位矢对坐标参数u_f，θ_f求偏导，表示过渡曲面的法矢；为过渡曲面位矢对渐开线插齿刀转角φ_f求偏导，表示加工过渡曲面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度；

(2)渐开线插齿刀齿面Σ_s的界限线为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=0\\ \left|G\right|=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中， $G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂f}{\∂u_s}& \frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}& \frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{\∂r_2^2}{\∂u_s^2}& \frac{\∂r_2}{\∂u_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}& \frac{\∂r_2}{\∂u_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂u_s}& \frac{\∂r_2^2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s^2}& \frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\end{array}\right],$ 和分别为啮合方程对坐标参数u_s，θ_s和渐开线插齿刀转角φ_s求偏导参数；根切界限线L_s上与分界线J_s的交点是根切极限点G_l，G_r，即最先发生根切的位置，将代入(7)式中，求解非线性方程组，分别求出左右两侧的参数和再将和代入到式(6)中从而求出斜线齿面齿轮发生根切起始的左侧点坐标和右侧点坐标

(3)将根切极限点的参数代入到齿面方程中，求出斜线齿面齿轮发生根切起始点的坐标则内端齿根不发生根切的内半径为：

$R_1=\sqrt{x_2^{*2}+y_2^{*2}}sin\mathrm{\γ}-z_2^{*}cos\mathrm{\γ}-r_{ds}\cot \mathrm{\γ}---\left(8\right)$

斜线齿面齿轮左、右侧根切起始点分别为和将其代入(8)式，得到两侧不发生根切的内半径分别为R_1l和R_1r。

作为本发明的进一步改进，所述的步骤2的具体包括以下步骤：

预置内端工作齿高h_a2，获得满足工作齿高的齿面两侧对应点的坐标(x'_2l,y'_2l,z'_2l)和(x'_2r,y'_2r,z'_2r)，利用内端齿根不发生根切的内半径的表达式计算出给定工作齿高的两侧内径R′_1l和R′_1r，工作齿高的约束条件为

$\sqrt{x_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})+y_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})}{\mathrm{sin\γ}}_m+z_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′}){\mathrm{cos\γ}}_m=r_{ds}+h_{a2}---\left(9\right);$

通过式(9)求解渐开线插齿刀转角参数φ′_sl，φ′_sr，获得齿面两侧对应点的坐标x'_2l，y'_2l，z'_2l和x'_2r，y'_2r，z'_2r，最后利用式(8)计算出给定工作齿高的两侧内半径R′_1l和R′_1r。

作为本发明的进一步改进，所述的步骤4的具体包括以下步骤：

假设刀顶圆角半径r_f和内半径R₁已知，极限点B的圆弧参数代入式(7)求得过渡曲面位置矢量同时，内端过渡曲面的齿根点满足：

$\sqrt{x_{2f}^2(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f)+y_{2f}^2(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f)}{\mathrm{sin\γ}}_m+z_{2f}(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f){\mathrm{cos\γ}}_m=r_{as}---\left(10\right)$

式中，x_2f,y_2f和z_2f分别为过渡曲面位置矢量r_2f的三个坐标分量，r_as＝0.5m_nz_s+1.25m_n；

联立式(6)的啮合方程和式(10)求解出左侧内端齿根点的参数右侧内端齿根点的参数代入式(6)的位置矢量，最终求得两侧内端齿根点的位置矢量分别为为r_2fl和r_2fr，矢量r_2fl绕斜线齿面齿轮轴线z₂旋转到r_2fr的旋转角θ_lr由式(11)确定：

r_2fr＝(r_2fl·g₂)·g₂+sinθ_lr(g₂×r_2fl)+cosθ_lr(g₂×r_2fl)×g₂(11)

式中，g₂为大轮轴线的矢量，则不发生二次切削的条件是|θ_lr|≤2π/z₂，由上述计算出旋转角θ_lr；

若初始给定的渐开线插齿刀圆角半径不能满足步骤4的避免二次根切，需减小刀顶圆角半径的取值，重复迭代计算步骤1、2和3直到不发生二次根切为止，最终计算出斜线齿面齿轮两侧不发生二次切削的最小内半径R₁。

作为本发明的进一步改进，所述的步骤5的具体包括以下步骤：

尖点位置是通过下式来确定：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2l}(u_{s1},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})-x_{2r}(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\\ y_{2l}(u_{sl},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})-y_{2r}(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\\ \sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2l}\sin \mathrm{\γ}-r_{ds}=0\\ \sqrt{x_{2r}^2+y_{2r}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2r}\sin \mathrm{\γ}-r_{ds}=0\\ f_l(u_{sl},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})=0\\ f_r(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\end{array}\right.$

式中，参数(u_sl,θ_sl,φ_sl)和(u_sr,θ_sr,φ_sr)分别表示斜线齿面齿轮的左侧和右侧的齿面参数，坐标分量x_2l，y_2l，z_2l和x_2r，y_2r，z_2r分别为左右齿面的坐标；r_ds为渐开线插齿刀齿根圆半径，方程f_l(u_sl,θ_sl,φ_sl)＝0和f_r(u_sr,θ_sr,φ_sr)＝0分别为左右两侧的啮合方程，则斜线齿面齿轮不发生变尖的外半径为：

$R_2=\sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}sin\mathrm{\γ}-z_{2l}cos\mathrm{\γ}-r_{ds}\cot \mathrm{\γ}.$

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

斜线齿面齿轮传动副包括相啮合的斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮，通过点接触啮合接触，由于该类斜线齿面齿轮传动仍然采用渐开线直齿轮，不产生轴向力，能够满足轴、径向浮动的安装支撑要求；斜线齿面齿轮副的交错倾斜安装，非常适应于航空紧凑空间的设计多样化需求，减轻航空减速器的重量，提高直升机的推重比；点接触局部共轭啮合原理降低了齿轮副啮合质量的误差敏感性，避免在较小的安装误差下过早出现边缘接触；移动交叉点位置可获得具有一定偏置距的斜线齿面齿轮。

本发明齿宽几何设计方法，阐明了斜线齿轮斜线齿面齿轮的插齿原理，推导斜线齿面齿轮的齿面方程；利用渐开线插齿刀的界限线，求出内端齿根根切点的位置；通过外端齿顶齿厚等于零的条件，获得变尖的条件；再结合避免齿根二次切削发生的条件，确定刀顶圆角半径，最终获得斜线齿面齿轮的齿宽。在安装误差条件下，预置内端工作齿高可有效避免小轮齿顶和斜线齿面齿轮内端齿根的过渡曲面发生干涉，造成较大振动冲击和不正常啮合现象；采用迭代优化刀顶圆角半径的方法，可避免在斜线齿面齿轮齿根处发生二次切削及形成凸台的现象，从而削弱齿根弯曲强度并且满足刀顶圆角越大强度越高的原则。

【附图说明】

图1为斜线齿面齿轮传动副示意图；

图2为斜线齿面齿轮传动齿宽设计的流程图；

图3为斜线齿面齿轮插齿坐标系图；

图4为斜线齿面齿轮插齿运动原理图；

图5为渐开线插齿刀截面齿形图；

图6为两侧根切界限图；

图7为斜线齿面齿轮的加工坐标系；

图8为齿根发生二次根切图。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

如图1所示，为本发明一种点接触斜线齿面齿轮传动副，包括相互啮合的斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮，斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮点接触啮合传动，斜线齿面齿轮的齿线近似为斜线，所述的齿线与半径方向形成倾斜角，倾斜角γ不超过25°；渐开线直齿轮按沿着斜线齿面齿轮的节锥成倾斜角的方向安装。

如图2所示，为本发明斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，包括以下步骤：

步骤1：由渐开线插齿刀齿面方程、啮合方程和根切条件来计算渐开线插齿刀齿面的界限线；根切界限线和分界线的交点为根切极限点，即最先发生根切的位置；将该点的参数代入到工作齿面方程，求出斜线齿面齿轮两侧不发生根切的最小内半径；

步骤2：根据轮齿强度及齿顶间隙的要求，预置斜线齿面齿轮内端的工作齿高，由渐开线插齿刀渐开线齿廓与齿顶圆弧之间的分界线，求出斜线齿面齿轮工作齿面和过渡曲面之间的交线，再分别计算出斜线齿面齿轮两侧交线到齿顶等于预置工作齿高的最小内半径；

步骤3：取步骤1～2获得的所有最小内半径的最大值为斜线齿面齿轮的最小内半径R₁；

步骤4：根据斜线齿面齿轮齿根的过渡曲面方程和齿根高条件，计算出两侧齿根最低点的坐标，由旋转矢量公式判断两点之间的夹角与一个齿距角度之间的关系，若夹角大于齿距角度，则会发生二次切削，否则不发生二次切削，计算出两侧不发生二次切削的最小内半径；若初始给定的渐开线插齿刀圆角半径不能避免二次根切，则应将圆角半径减小，再重复迭代计算步骤1至步骤4，直至内半径R₁满足不发生二次切削；

步骤5：根据斜线齿面齿轮的齿面方程和齿顶高，计算出齿厚为零的两侧齿面点，从而获得斜线齿面齿轮齿顶不发生变尖的外半径R₂；

步骤6：最终确定出该斜线齿面齿轮的几何齿宽B＝R₂-R₁。

具体几何设计方法如下：

(1)斜线齿面齿轮的插齿加工是模拟渐开线直齿圆柱齿轮与斜线齿面齿轮的斜交啮合传动，其运动过程类似于插削直齿斜线齿面齿轮；不同之处在于渐开线插齿刀轴线与节锥线的位置关系，前者是倾斜交错，而后者是平行关系。这类斜线齿面齿轮只能与直齿圆柱齿轮啮合，而不能与具有螺旋角的斜齿圆柱齿轮啮合；齿线为近似为斜线，并与半径方向形成倾斜角，倾斜角γ大小一般不超过25°；

图3所示，渐开线插齿刀轴线z_s和工件齿轮节锥线是异面直线关系且倾斜角为γ_s，坐标轴线z_m平行于斜线齿面齿轮节锥轴线，且渐开线插齿刀轴线z_s相交，交点为o_s，渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮节锥线的交点位置可沿节锥线移动，形成斜线齿面齿轮传动的不同偏置形式，包括上偏置和下偏置。定义o_s到斜线齿面齿轮坐标系o₂x₂y₂z₂的原点o₂为交叉点位置L₀，如图4所示，渐开线插齿刀沿轴线z_s以速度v_s进行切削，是插床的主运动；渐开线插齿刀绕轴线z_s以角速度ω_s旋转，被加工斜线齿面齿轮绕轴线z₂以角速度ω₂旋转，两者之间形成展成运动且满足ω_s/ω₂＝z₂/z_s，z₂为斜线齿面齿轮齿数，z_s为渐开线插齿刀齿数。实际加工中，将安装工件的夹具及相应的传动链绕o_s旋转γ_s后，即可实现斜线齿面齿轮的插齿加工。完成一个轮齿的插削后，通过分度机构将轮坯旋转2π/z₂角度，继续插削下一个轮齿，直至插出所有的轮齿。

(2)齿轮副的基本参数：渐开线插齿刀齿数z_s＝31，斜线齿面齿轮次数z₂＝107，法向模数m_n＝3.175，分度圆压力角α₀＝25°，轴交角γ_m＝85°，倾斜角15°，交叉点位置L₀＝174.8169mm。图5所示为渐开线插齿刀的截面示意图，包括展成斜线齿面齿轮工作齿面的渐开线齿廓和加工过渡曲面的刀顶圆弧坐标系S_s(x_s,y_s,z_s)为渐开线插齿刀坐标系，平面y_s＝0是渐开线插齿刀齿槽的对称面。矢量由式(1)给出

渐开线齿廓的位置矢量表示为

$r_s\left(u_s,{\mathrm{\θ}}_s\right)=\left[\begin{array}{c}\±r_{bs}\[\sin \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)-{\mathrm{\θ}}_s\cos \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)\]\\ -r_{bs}\[\cos \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)-{\mathrm{\θ}}_s\sin \left({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s\right)\]\\ u_s\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中，r_bs＝0.5m_nz_scosα₀＝44.6017mm，u_s为刀具齿面的轴线参数；θ_s为刀具渐开线的角度参数，即渐开线的展角。式(2)中的正负号分别对应于刀具齿槽两侧渐开线；渐开线插齿刀渐开线起点的角度为θ_0s＝π/2z_s-invα₀＝1.1858°，渐开线函数invα₀＝tgα₀-α₀＝0.03。

渐开线齿廓的单位法线矢量为

在刀具坐标系S_s下，刀齿顶圆弧的方程为

$r_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)=\left[\begin{array}{c}{X}_f-r_{f}cos\frac{\mathrm{\π}}{z_s}sin{\mathrm{\θ}}_f+r_{f}sin\frac{\mathrm{\π}}{z_s}cos{\mathrm{\θ}}_f\\ Y_f-r_f\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_s}{\mathrm{sin\θ}}_f-r_{f}cos\frac{\mathrm{\π}}{z_s}{\mathrm{cos\θ}}_f\\ u_f\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中，θ_f为刀顶圆弧参数，定义为圆弧上某点与O_fB之间的夹角，顺时针为正；r_f为刀顶圆角半径(初次取0.635mm)；u_f为渐开线插齿刀轴向参数；X_f，Y_f为圆弧中心的坐标，由式(5)确定

$\left\{\begin{array}{c}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*})=r_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*})\\ \left|r_f(u_s,0)\right|=r_{as}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，第一个等式表示刀顶圆弧和渐开线齿廓相切交点A位矢相等，第二个等式为圆弧与齿顶圆相切于B点，渐开线插齿刀齿顶圆半径r_as＝53.1812mm。求解两个非线性方程组，计算出位置A的圆弧参数和展角参数代入计算出圆弧中心坐标X_f＝5.2845mm，Y_f＝-52.2799mm。

(3)图7为斜线齿面齿轮加工过程的坐标系，其中动坐标系S_S、S₂分别与渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮固联；坐标系S_a和S_d分别为渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮的参考坐标，用于确定渐开线插齿刀转角φ_s和斜线齿面齿轮转角φ₁，辅助坐标系S_b确定了渐开线插齿刀轴线z_s与斜线齿面齿轮节锥线z_b的倾斜角γ_c，辅助坐标系S_c用于确定与S_b的相对位置L₀以及斜线齿面齿轮副的轴交角γ_m。

斜线齿面齿轮齿面Σ₂是由渐开线插齿刀齿面Σ_s包络展成，经过齐次坐标变换和啮合方程可获得齿面方程，由式(6)给出

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2w}(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=M_{2s}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=(\frac{\∂r_{2w}}{\∂u_s}\×\frac{\∂r_{2w}}{\∂{\mathrm{\θ}}_s})\·\frac{\∂r_{2w}}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，M_2s＝M_2dM_dcM_cbM_baM_as为刀具坐标系S_s到被加工斜线齿面齿轮坐标系S₂的变换矩阵；f(u_s,θ_s,φ_s)＝0为渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮的啮合方程；和分别为工作齿面位矢对坐标参数u_s，θ_s求偏导，表示工作齿面法矢；为工作齿面位置矢量对渐开线插齿刀转角φ_s求偏导，表示加工工作齿面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度。

同理，过渡曲面的方程为

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2f}(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=M_{2s}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)\\ f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=(\frac{\∂r_{2f}}{\∂u_f}\×\frac{\∂r_{2f}}{\∂{\mathrm{\θ}}_f})\·\frac{\∂r_{2f}}{\∂{\mathrm{\φ}}_f}=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，和分别为过渡曲面位矢对坐标参数u_f，θ_f求偏导，表示过渡曲面的法矢；为过渡曲面位矢对渐开线插齿刀转角φ_f求偏导，表示加工过渡曲面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度。

(4)齿根根切是一种加工缺陷，它会产生应力集中，降低轮齿的弯曲强度，造成齿轮过早失效，应在齿轮设计阶段给予消除。如图6所示，避免根切可以通过限定刀具齿面Σ_s来实现。渐开线插齿刀齿面Σ_s的界限线L_s用下列方程确定

$\{\begin{array}{c}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=0\\ \left|G\right|=0\end{array}---\left(8\right)$

式中， $G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂f}{\∂u_s}& \frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}& \frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{\∂r_2^2}{\∂u_s^2}& \frac{\∂r_2}{\∂u_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}& \frac{\∂r_2}{\∂u_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}\·\frac{\∂r_2}{\∂u_s}& \frac{\∂r_2^2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s^2}& \frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\θ}}_s}\frac{\∂r_2}{\∂{\mathrm{\φ}}_s}\end{array}\right],$

式中，和分别为啮合方程对坐标参数u_s，θ_s和渐开线插齿刀转角φ_s求偏导参数。根切界限线L_s上与分界线J_s(斜线齿面齿轮工作面和过渡曲面的切线)的交点是根切极限点G_l，G_r，即最先发生根切的位置。由于斜线齿面齿轮齿面结构的不对称性，轮齿两侧需分别计算，将代入式(8)中，求解非线性方程组，分别求出左右两侧的参数和再将和代入到式(7)中从而求出斜线齿面齿轮发生根切起始的左侧点坐标为 $x_{2l}^{*}=2.7613mm,y_{2l}^{*}=-169.7709mm,z_{2l}^{*}=-65.3594mm,$ 右侧点坐标为 $x_{2r}^{*}=-4.7140mm,$ $y_{2r}^{*}=-154.3446mm,z_{2r}^{*}=-57.5476mm.$ 则内端齿根不发生根切的内半径为

$R_1=\sqrt{x_2^{*2}+y_2^{*2}}sin\mathrm{\γ}-z_2^{*}cos\mathrm{\γ}-r_{ds}\cot \mathrm{\γ}---\left(9\right)$

代入上式，则两侧不发生根切的内半径分别为R_1l＝170.8159mm和R_1r＝154.8168mm。另外，斜线齿面齿轮内端过渡曲面不能太大，否则在安装误差条件下容易发生小轮齿顶和大轮齿根干涉。设计时，可预先给定内端工作齿高h_a2＝5.3578mm，通过式(10)求解渐开线插齿刀转角参数φ′_sl＝-18.6440°，φ′_sr＝18.6555°，获得齿面两侧对应点的坐标x'_2l＝3.9499mm，y'_2l＝-171.8890mm，z'_2l＝-66.6339mm和x'_2r＝-4.0704mm，y'_2r＝-165.5096mm，z'_2r＝-66.0762mm，最后利用式(9)计算出给定工作齿高的两侧内半径R′_1l＝172.7821mm和R′_1r＝166.3830mm。

$\sqrt{x_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})+y_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})}{\mathrm{sin\γ}}_m+z_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′}){\mathrm{cos\γ}}_m=r_{ds}+h_{a2}---\left(10\right)$

设计时斜线齿面齿轮的内半径R₁应取最大值，即

(5)为了提高刀具寿命和增加齿根强度，渐开线插齿刀都磨出有刀顶圆角。如图8所示，由于斜线齿面齿轮两侧齿面的不对称性，加工过渡曲面时容易产生齿根二次切削现象，即插削第二个轮齿左侧过渡曲面时会将第一个轮齿右侧过渡曲面的部分去除。由于斜线齿面齿轮的过渡曲面区域是从外端往内端增加的；因此，斜线齿面齿轮内端的过渡曲面发生二次切削的可能性最大，是由刀顶圆角的极限点B展成。假设刀顶圆角半径r_f和内半径R₁已知，极限点B的圆弧参数代入式(7)求得过渡曲面位置矢量同时，内端过渡曲面的齿根点满足

式中，x_2f,y_2f和z_2f分别为r_2f的三个坐标分量，r_as＝0.5m_nz_s+1.25m_n。

联立式(7)的啮合方程和式(11)求解出左侧内端齿根点的参数右侧内端齿根点的参数代入式(6)位置矢量，最终求得两侧内端齿根点的位置矢量分别为r_2fl＝[5.1211mm，-169.4405mm，-68.5082mm]和r_2fr＝[-5.1068mm，-169.4409mm，-68.5082mm]。矢量r_2fl绕斜线齿面齿轮轴线z₂旋转到r_2fr的旋转角θ_lr由式(12)确定。

r_2fr＝(r_2fl·g₂)·g₂+sinθ_lr(g₂×r_2fl)+cosθ_lr(g₂×r_2fl)×g₂(12)

式中，g₂＝[0,0,1]为大轮轴线的矢量。求得则不发生二次切削的条件是|θ_lr|≤2π/z₂，由上述计算出旋转角θ_lr＝3.4575°>3.3645°，故r_f＝0.635mm时发生二次切削，需减小刀顶圆角半径的取值，重复步骤(2)、(3)、(4)、(5)和(6)，直到不发生根切为止。此时，内半径能够同时满足，内端齿根不发生根切、预置内端工作齿高h_a2，避免齿根发生二次切削的条件，同时保证最大的齿根弯曲强度。

(6)齿顶变尖是指轮齿的两侧齿面与齿顶圆锥面相交，使得齿顶的厚度等于0；尖顶的出现削弱了在该区域轮齿的接触强度，应当避免轮齿齿顶变尖的发生。尖点位置是通过求解式(13)的非线性方程组获得。

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2l}(u_{s1},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})-x_{2r}(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\\ y_{2l}(u_{sl},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})-y_{2r}(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\\ \sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2l}\sin \mathrm{\γ}-r_{ds}=0\\ \sqrt{x_{2r}^2+y_{2r}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2r}\sin \mathrm{\γ}-r_{ds}=0\\ f_l(u_{sl},{\mathrm{\θ}}_{sl},{\mathrm{\φ}}_{sl})=0\\ f_r(u_{sr},{\mathrm{\θ}}_{sr},{\mathrm{\φ}}_{sr})=0\end{array}\right.---\left(13\right)$

这里，渐开线插齿刀齿根圆半径r_ds＝46.0375mm，求出尖点的左侧齿面参数u_sl＝28.3819mm，θ_sl＝22.1479°，φ_sl＝13.1017°和右侧齿面参数u_sr＝22.7899mm，θ_sr＝21.0453°，φ_sr＝12.2325°，坐标分量x_2l＝6.6363mm，y_2l＝-195.0559mm，z_2l＝-63.2884mm；方程f_l(u_sl,θ_sl,φ_sl)＝0和f_r(u_sr,θ_sr,φ_sr)＝0分别为左右两侧的啮合方程。斜线齿面齿轮齿顶不发生变尖的外半径为

$R_2=\sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}{\mathrm{sin\γ}}_m-z_{2l}{\mathrm{cos\γ}}_m-r_{ds}{\mathrm{cot\γ}}_m---\left(14\right)$

计算的外半径R₂＝195.9143mm。最后，斜线齿面齿轮的有效齿宽B＝R₂-R₁＝25.0984mm。

本发明提出斜线齿面齿轮传动副，它是由渐开线直齿轮和斜线齿面齿轮组成的，适用于两轴线空间交错倾斜的情况，非常适应于航空紧凑空间的设计多样化需求；斜线齿面齿轮的齿宽设计综合考虑了内端齿根根切、外端齿顶变尖、预置内端工作齿高和齿根二次切削等条件，采用迭代的方法确定渐开线插齿刀的齿顶圆角半径。

Claims (9)

1.一种点接触斜线齿面齿轮传动副，其特征在于：包括相啮合的斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮，斜线齿面齿轮与渐开线直齿轮是点接触啮合传动，所述斜线齿面齿轮的齿线与半径方向形成倾斜角，倾斜角γ不超过25°；渐开线直齿轮按沿着斜线齿面齿轮的节锥成倾斜角的方向安装。

2.根据权利要求1所述的一种点接触斜线齿面齿轮传动副，其特征在于：所述的斜线齿面齿轮是用直齿渐开线插齿刀交错展成的；在加工过程中，渐开线插齿刀轴线相对于斜线齿面齿轮节锥线倾斜γ，渐开线插齿刀与节锥线的交点位置L₀沿节锥线移动，插齿过程的主运动为沿渐开线插齿刀轴线进给插削及回程；展成运动为渐开线插齿刀绕自身轴线以ω_s的角速度旋转，同时工件绕自身轴线以ω₂的角速度旋转，两者之间的滚比关系为ω₂/ω_s＝z_s/z₂，其中z_s为渐开线插齿刀齿数，z₂为斜线齿面齿轮齿数；完成一个轮齿的插削后，通过分度机构将轮坯旋转2π/z₂角度，继续插削下一个轮齿，直至插出所有的轮齿。

3.根据权利要求2所述的一种点接触斜线齿面齿轮传动副，其特征在于：所述的渐开线插齿刀齿数z_s比小轮齿数z₁多1～3个齿；渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮节锥线的交点可沿节锥线移动，形成斜线齿面齿轮传动不同的偏置形式。

4.根据权利要求2所述的一种点接触斜线齿面齿轮传动副，其特征在于：所述的渐开线插齿刀的截面齿形，包括展成斜线齿面齿轮工作齿面的渐开线齿廓和加工过渡曲面的刀顶圆弧，坐标系S_s(x_s,y_s,z_s)为渐开线插齿刀坐标系，平面y_s＝0是渐开线插齿刀齿槽的对称面，渐开线齿廓的位置矢量表示为：

$r_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)=\left[\begin{array}{c}\±r_{\mathrm{bs}}[\sin ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s)-{\mathrm{\θ}}_s\cos ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s)]\\ -r_{\mathrm{bs}}[\cos ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s)+{\mathrm{\θ}}_s\sin ({\mathrm{\θ}}_{0s}+{\mathrm{\θ}}_s)]\\ u_s\end{array}\right]---\left(1\right)$

式中，r_bs为渐开线插齿刀的基圆半径，z_s为渐开线插齿刀齿数，m_n为法向模数，α₀为渐开线插齿刀的分度圆压力角，u_s为刀具齿面的轴线参数，θ_0s确定插齿刀在基圆上的齿槽宽，θ_s为刀具渐开线的角度参数，式(1)中正负号分别对应于刀具齿槽两侧渐开线；

渐开线齿廓的单位法线矢量为

在刀具坐标系S_s下，刀齿顶圆弧的方程为：

$r_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)=\left[\begin{array}{c}{X}_f-r_f\cos \frac{\mathrm{\π}}{z_s}\sin {\mathrm{\θ}}_f+r_f\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_s}\cos {\mathrm{\θ}}_f\\ Y_f-r_f\sin \frac{\mathrm{\π}}{z_s}\sin {\mathrm{\θ}}_f-r_f\cos \frac{\mathrm{\π}}{z_s}\cos {\mathrm{\θ}}_f\\ u_f\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，θ_f为刀顶圆弧参数，r_f为刀顶圆角半径；u_f为渐开线插齿刀轴向参数；X_f，Y_f为圆弧中心的坐标，由式(4)确定：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*})=r_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*})\\ \left|r_f(u_s,0)\right|=r_{\mathrm{as}}\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中，第一个等式表示刀顶圆弧和渐开线齿廓相切交点A位矢相等，第二个等式为圆弧与齿顶圆相切于B点，r_as为渐开线插齿刀齿顶圆半径，求解两个非线性方程组，计算出位置A的圆弧参数和展角参数代入计算出圆弧中心的坐标(X_f，Y_f)。

5.权利要求4所述的点接触斜线齿面齿轮传动副的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：由渐开线插齿刀齿面方程、啮合方程和根切条件来计算渐开线插齿刀齿面的界限线；根切界限线和分界线的交点为根切极限点，即最先发生根切的位置；将该点的参数代入到工作齿面方程，求出斜线齿面齿轮两侧不发生根切的最小内半径；

步骤2：根据轮齿强度及齿顶间隙的要求，预置斜线齿面齿轮内端的工作齿高，由渐开线插齿刀渐开线齿廓与齿顶圆弧之间的分界线，求出斜线齿面齿轮工作齿面和过渡曲面之间的交线，再分别计算出斜线齿面齿轮两侧交线到齿顶等于预置工作齿高的最小内半径；

步骤3：取步骤1～2获得的所有最小内半径的最大值为斜线齿面齿轮的最小内半径R₁；

步骤4：根据斜线齿面齿轮的齿根过渡曲面方程和齿根高条件，计算出两侧齿根最低点的坐标，由旋转矢量公式判断两点之间的夹角与一个齿距角度之间的关系，若夹角大于齿距角度，则会发生二次切削，否则不发生二次切削，计算出两侧不发生二次切削的最小内半径；若初始给定的渐开线插齿刀圆角半径不能避免二次根切，则应将圆角半径减小，再重计算步骤1至步骤4，直至内半径R₁满足不发生二次切削；

步骤5：根据斜线齿面齿轮的齿面方程和齿顶高，计算出齿厚为零的两侧齿面点，从而获得斜线齿面齿轮齿顶不发生变尖的外半径R₂；

步骤6：最终确定出该斜线齿面齿轮的几何齿宽B＝R₂-R₁。

6.根据权利要求5所述的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，其特征在于：所述的步骤1的具体包括以下步骤：

(1)建立斜线齿面齿轮加工过程的坐标系，其中动坐标系S_s、S₂分别与渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮固联；坐标系S_a和S_d分别为渐开线插齿刀、斜线齿面齿轮的参考坐标，用于确定渐开线插齿刀转角φ_s和斜线齿面齿轮转角φ₁，辅助坐标系S_b确定了渐开线插齿刀轴线z_s与斜线齿面齿轮节锥线z_b的倾斜角γ_c，辅助坐标系S_c用于确定与S_b的相对位置L₀以及斜线齿面齿轮副的轴交角γ_m；

所述的斜线齿面齿轮的齿面方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2w}(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=M_{2s}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=(\frac{{\∂r}_{2w}}{{\∂u}_s}\×\frac{{\∂r}_{2w}}{{\∂\mathrm{\θ}}_s})\·\frac{{\∂r}_{2w}}{{\∂\mathrm{\φ}}_s}=0\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，M_2s＝M_2dM_dcM_cbM_baM_as为刀具坐标系S_s到被加工斜线齿面齿轮坐标系S₂的变换矩阵；f(u_s,θ_s,φ_s)＝0为渐开线插齿刀与斜线齿面齿轮的啮合方程；和分别为工作齿面位矢对坐标参数u_s，θ_s求偏导，表示工作齿面法矢；为工作齿面位置矢量对渐开线插齿刀转角φ_s求偏导，表示加工工作齿面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度；

所述的斜线齿面齿轮的过渡曲面的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{2f}(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=M_{2s}{r}_f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f)\\ f(u_f,{\mathrm{\θ}}_f,{\mathrm{\φ}}_f)=(\frac{{\∂r}_{2r}}{{\∂u}_f}\×\frac{{\∂r}_{2r}}{{\∂\mathrm{\θ}}_f})\·\frac{{\∂r}_{2f}}{{\∂\mathrm{\φ}}_f}=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，和分别为过渡曲面位矢对坐标参数u_f，θ_f求偏导，表示过渡曲面的法矢；为过渡曲面位矢对渐开线插齿刀转角φ_f求偏导，表示加工过渡曲面时渐开线插齿刀和斜线齿面齿轮的相对速度；

(2)渐开线插齿刀齿面Σ_s的界限线为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_s(u_s,{\mathrm{\θ}}_s)\\ f(u_s,{\mathrm{\θ}}_s,{\mathrm{\φ}}_s)=0\\ \left|G\right|=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中， $G=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂f}{{\∂u}_s}& \frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\θ}}_s}& \frac{\∂f}{{\∂\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{{\∂r}_2^2}{{\∂u}_s^2}& \frac{{\∂r}_2}{{\∂u}_s}\·\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_s}& \frac{{\∂r}_2}{{\∂u}_s}\·\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\φ}}_s}\\ \frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_s}\·\frac{{\∂r}_2}{{\∂u}_s}& \frac{{\∂r}_2^2}{{\∂\mathrm{\θ}}_s^2}& \frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\θ}}_s}\frac{{\∂r}_2}{{\∂\mathrm{\φ}}_s}\end{array}\right],$ 和分别为啮合方程对坐标参数u_s，θ_s和渐开线插齿刀转角φ_s求偏导参数；根切界限线L_s上与分界线J_s的交点是根切极限点G_l，G_r，即最先发生根切的位置，将代入(7)式中，求解非线性方程组，分别求出左右两侧的参数和再将和代入到式(6)中从而求出斜线齿面齿轮发生根切起始的左侧点坐标和右侧点坐标

(3)将根切极限点的参数代入到齿面方程中，求出斜线齿面齿轮发生根切起始点的坐标则内端齿根不发生根切的内半径为：

$R_1=\sqrt{x_2^{*2}+y_2^{*2}}sin\mathrm{\γ}-z_2^{*}cos\mathrm{\γ}-r_{ds}\cot \mathrm{\γ}---\left(8\right)$

斜线齿面齿轮左、右侧根切起始点分别为和将其代入(8)式，得到两侧不发生根切的内半径分别为R_1l和R_1r。

7.根据权利要求6所述的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，其特征在于：所述的步骤2的具体包括以下步骤：

预置内端工作齿高h_a2，获得满足工作齿高的齿面两侧对应点的坐标(x'_2l,y'_2l,z'_2l)和(x'_2r,y'_2r,z'_2r)，利用内端齿根不发生根切的内半径的表达式计算出给定工作齿高的两侧内径R′_1l和R′_1r，工作齿高的约束条件为

$\sqrt{x_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})+y_2^2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})}\sin {\mathrm{\γ}}_m+z_2(u_s,{\mathrm{\θ}}_s^{*},{\mathrm{\φ}}_s^{\′})\cos {\mathrm{\γ}}_m=r_{\mathrm{ds}}+h_{a2}---\left(9\right);$

通过式(9)求解渐开线插齿刀转角参数φ′_sl，φ′_sr，获得齿面两侧对应点的坐标x'_2l，y'_2l，z'_2l和x'_2r，y'_2r，z'_2r，最后利用式(8)计算出给定工作齿高的两侧内半径R′_1l和R′_1r。

8.根据权利要求6所述的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，其特征在于：所述的步骤4的具体包括以下步骤：

假设刀顶圆角半径r_f和内半径R₁已知，极限点B的圆弧参数代入式(7)求得过渡曲面位置矢量同时，内端过渡曲面的齿根点满足：

$\sqrt{x_{2f}^2{(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f)+y}_{2f}^2(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f)}\sin {\mathrm{\γ}}_m+z_{2f}(u_f,{\mathrm{\θ}}_f^{*},{\mathrm{\φ}}_f)\cos {\mathrm{\γ}}_m=r_{\mathrm{ds}}---\left(10\right)$

式中，x_2f,y_2f和z_2f分别为过渡曲面位置矢量r_2f的三个坐标分量，r_as＝0.5m_nz_s+1.25m_n；

联立式(6)的啮合方程和式(10)求解出左侧内端齿根点的参数右侧内端齿根点的参数代入式(6)的位置矢量，最终求得两侧内端齿根点的位置矢量分别为为r_2fl和r_2fr，矢量r_2fl绕斜线齿面齿轮轴线z₂旋转到r_2fr的旋转角θ_lr由式(11)确定：

r_2fr＝(r_2fl·g₂)·g₂+sinθ_lr(g₂×r_2fl)+cosθ_lr(g₂×r_2fl)×g₂(11)

式中，g₂为大轮轴线的矢量，则不发生二次切削的条件是|θ_lr|≤2π/z₂，由上述计算出旋转角θ_lr；

若初始给定的渐开线插齿刀圆角半径不能满足步骤4的避免二次根切，需减小刀顶圆角半径的取值，重复迭代计算步骤1、2和3直到不发生二次根切为止，最终计算出斜线齿面齿轮两侧不发生二次切削的最小内半径R₁。

9.根据权利要求6所述的斜线齿面齿轮齿宽几何设计方法，其特征在于：所述的步骤5的具体包括以下步骤：

尖点位置是通过下式来确定：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2l}(u_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sl}})-x_{2r}(u_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sr}})=0\\ y_{2l}(u_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sl}})-y_{2r}(u_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sr}})=0\\ \sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2l}\sin \mathrm{\γ}-r_{\mathrm{ds}}=0\\ \sqrt{x_{2r}^2+y_{2r}^2}\cos \mathrm{\γ}+z_{2r}\sin \mathrm{\γ}-r_{\mathrm{ds}}=0\\ f_l(u_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sl}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sl}})=0\\ f_r(u_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sr}},{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{sr}})=0\end{array}\right.$

式中，参数(u_sl,θ_sl,φ_sl)和(u_sr,θ_sr,φ_sr)分别表示斜线齿面齿轮的左侧和右侧的齿面参数，坐标分量x_2l，y_2l，z_2l和x_2r，y_2r，z_2r分别为左右齿面的坐标；r_ds为渐开线插齿刀齿根圆半径，方程f_l(u_sl,θ_sl,φ_sl)＝0和f_r(u_sr,θ_sr,φ_sr)＝0分别为左右两侧的啮合方程，则斜线齿面齿轮不发生变尖的外半径为：

$R_2=\sqrt{x_{2l}^2+y_{2l}^2}sin\mathrm{\γ}-z_{2l}cos\mathrm{\γ}-r_{ds}\cot \mathrm{\γ}.$